Enfoque práctico de la ingeniería financiera sobre la economía mexicana

(54T- 3~9
ENFOQUE PRACTICO DE
INGENIERIA FINANCIERA SOBRE
LA ECONOMIA MEXICANA
Trabajo presentado para ingresar
como Académico de Número a la
Academia Mexicana de Ingeniería
Ing. Enrique Gavaldón Enciso
Febrero de 1993

.
e Indice
e
o
e
Presentación
e
Capítulo 1
e Hacia un análisis histórico y conceptual de la
e
Ingeniería Financiera ................................................................................................. 1
e
Capítulo 2
e Enfoque práctico en la enseñanza de la
e
Ingeniería Financiera...............................................................................................12
e - Espacio Inacroeconórnico ................................................................................. 15
- Espacio empresarial ......................................................................................... 32
- Espacio individual................................................................................. 42
Capítulo 3
Matemáticas básicas para Ingeniería Financiera...............................................54
Anexo
Principales instrumentos financieros del
mercado de dinero y de capital en México.........................................................66

'1
2
e
Hace algunos años fui invitado a impartir clases de Ingeniería Financiera
en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de
México, de la cual soy egresado. En mi desempeño profesional como
Gerente de Planeación y Presupuesto de la Compañía Nacional de
O Subsistencias Populares, me había enfrentado ya a los problemas que
e representa la gestión y ejercicio de recursos, el análisis de alternativas
antes de decidir la contratación de créditos, tanto en moneda nacional
e como extranjera, opciones de renegociación de deuda, el manejo cotidiano
e de la tesorería, en fin, con el conjunto de elementos y variables que aborda
la moderna Ingeniería Financiera.
e
Acepté la invitación sobre todo por la conciencia que había adquirido
acerca de la importancia que una materia como esa representa en la
evolución profesional de un ingeniero, y que usualmente es relegada a
segundo término, como me sucedió a mi mismo cuando cursé mis estudios
de licenciatura en el área de ingeniería mecánica.
Cuando empecé a revisar los materiales de apoyo al docente y a los
estudiantes me econtré con dos carencias básicas: por un lado, cierta
indefinición y ambigüedad en torno a lo que debe entenderse por
Ingeniería Financiera en tanto disciplina específica: podía ser todo y nada,
dependiendo del punto de vista desde el que se la mirara; en segundo
lugar, la inmensa mayoría de los textos son de autores norteamericanos,
cuyo enfoque no tiene por qué responder ni al momento ni a las
condiciones peculiares en las que se practica la ingeniería financiera en este
país. Me llamó la atención en especial la clase de ejemplos utilizados en
estos textos: no es difícil encontrar ejemplos que comiencen "En una
comunidad del oeste...", o bien "Debido a la llegada de nuevos residentes a
los alrededores de una pequeña comunidad en la montaña...", etc. No
existe, por parte de los traductores y editores, esfuerzo alguno por adecuar
dichos textos. En algún libro se llega al extremo de solicitar el análisis de
proyectos de obras públicas y se recomienda, como buenas fuentes para
obtener los estudios respectivos: U.S. Corps of Army Engineers, o bien
documentos del Congreso y del Senado de los Estados Unidos. De esta
forma, poco se puede estimular en los estudiantes una visión crítica y
creativa de la Ingeniería Financiera.
No deja de sorprender el vacío que existe en la materia, cuando nuestro
país es rico en ejemplos que denotan un considerable desarrollo práctico
en este terreno. Desde mediados de la década de los setenta, cuando se
posibilitó a nivel jurídico la operación de la banca múltiple, casi al mismo

.
tiempo que en la mayoría de los países capitalistas desarrollados, se
C sentaron las bases para el desarrollo de los mercados de dinero y de
C
capital. El gobierno, por su parte, ha sido un importante promotor,
creando sus propios instrumentos de financiamiento, interno y externo, y
e alentando con ello el desarrollo de los privados. Baste señalar el caso de los
Certificados de la Tesorería de la Federación, creados en 1978 con el doble
e objetivo de financiar el gasto del Gobierno Federal y de controlar el medio
e circulante, y que a la fecha constituyen un instrumento básico de referencia
en los mercados mexicanos de dinero.
e
e.
Dicha experiencia, sin embargo, no ha sido sistematizada y se encuentra
dispersa en artículos y conferencias de escasa difusión. Para hacer frente a
• dichas limitaciones empecé a elaborar ejemplos extraídos de la realidad
mexicana, buscando que brindaran a los alumnos una visión amplia de la
e Ingeniería Financiera, no limitada al correcto manejo de las fórmulas, y
e que los familiarizara con lo que significa la aplicación concreta de las
técnicas y procedimientos en los que se apoya.
e
A partir de esa labor fue surgiendo la necesidad adicional de ordenar
C aspectos conceptuales e históricos de la Ingeniería Financiera, con el fin de
e proporcionar a los alumnos elementos básicos que les permitieran ubicarla
en el contexto económico y social.
e
e El resultado es el presente trabajo, que tiene como objetivo fundamental el
de contribuir al desarrollo de un enfoque metodológico y didáctico en la
e enseñanza de la Ingeniería Fianciera en nuestro país, que permita a los
estudiantes entender la dimensión económica y social de esta disciplina y
• fomente en ellos un sentido crítico y creativo. Ello no puede ser labor de
el una sola persona; requiere el concurso fundamental de quienes son
responsables de su enseñanza y de quienes la practican.
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•
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Capítulo 11e
e
e
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e.
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e
e Hacia un análisis
e histórico y conceptual
e de la Ingeniería Financiera
e
e
e

.
e
C
¿ Espejismo económico o enfoque sistemático de la relación del dinero en el
C tiempo?
Durante los últimos años, el desarrollo de los procesos económicos en el mundo se
e ha visto impactado por nuevas formas de acción y reacción de los agentes
económicos, en un contexto caracterizado por la inestabilidad. Para renovar las
e viejas formas del quehacer económico y soda!, han surgido diversas disciplinas y
e enfoques para enfrentar los nuevos retos, desde las formas de organización social y
productiva hasta los modelos de desarrollo tecnológico y económico.
e
C
Es en el ámbito económico donde la Ingeniería Financiera se va constituyendo como
una de las disciplinas que permite responder, en la práctica, al desafio del riesgo y
• la inestabilidad.
La complejidad, magnitud y dinamismo de este desafío no ha permitido alcanzar
e una definición precisa de esta disciplina. Su conceptualización teórica y
metodológica ha quedado rezagada frente a la prioridad de su enfoque práctico en
el diseño de instrumentos y mecanismos financieros.
Así, encontramos que para la corriente española, la Ingeniería Financiera es "la
e parte de la gestión financiera que trata de la combinación de instrumentos de
inversión y financiación, en la forma más adecuada para conseguir un objetivo
prestablecido". En este enfoque, las características básicas que resaltan la definición
e' son: la existencia de un objetivo, la combinación de instrumentos, la conjunción de
operaciones, las operaciones a medida y su internacionalización 1
e
Algunos autores franceses privilegian la necesidad de enfocar la definición desde el
punto de vista etimológico y semántico, destacando el aspecto creativo de la
e ingeniería en su enf oque pragmático en la creación de instrumentos 2,
El Premio Nobel de Economía 1990, William Sharpe, orientó su atención a
e fundamentar la teoría de la medición del riesgo en la adquisición de valores, como
el aspecto técnico fundamental de la Ingeniería Financiera 3.
e
CI Luis Díez de Castro y Juan Mascareñas, Ingeniería Financiera. La gestión en los mercados financieros
internacionales. McGraw Hill-Interamericana de España, España 1991, p. 380.
C
2 Alain Choinel, Introduction i l'ingénieriefinancire. La Revue Banque Editeur, France 1991.
William Sharpe y Gordon Alexander, Fundamentais of Investments. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J.,
e 1990.
e 1

.
C Por su parte, en la literatura y en la práctica mexicanas, se concibe a la Ingeniería
e Financiera como "la asistencia técnica en materia de gestión financiera y otros
e
aspectos afines, para facilitar la creación y desarrollo de empresas" 4. Esta
concepción privilegia la selección de instrumentos y mecanismos que garanticen la
e generación e incremento del valor económico de las empresas, con base en la
relación riesgo-rentabilidad.
e
e Sin embargo, para la conceptualización teórica de la Ingeniería Financiera es
necesario privilegiar dos elementos básicos: dinero y tiempo. La relación entre estos
e dos elementos, si bien se encuentra presente en los distintos enfoques y propuestas
metodológicas de la bibliografía disponible, no ha sido tratada de manera relevante.
e El surgimiento del dinero como equivalente general de valor para la interacción
económico-social, junto con su desarrollo a través del tiempo, así como la aparición
y evolución de diversos mecanismos alrededor de éste, nos permiten proponer la
e siguiente definición conceptual: la Ingeniería Financiera es la optimización de la
relación del valor del dinero en el tiempo.
e
Bajo este marco conceptual podemos analizar las diferentes propuestas y enfoques
e en los que se nos muestra la Ingeniería Financiera. Es evidente que la creación de
e instrumentos de inversión, el desarrollo de mecanismos que buscan el equilibrio
entre riesgo y rentabilidad, la eficaz gestión de la tesorería empresarial, las
permutas financieras (swap's) y los contratos a futuro, así como la compleja gama
e de instrumentos para cubrir las exigencias del gasto público, constituyen en última
instancia la expresión práctica y dinámica de la optimización del valor del dinero en
e el tiempo.
e Para lograr una mejor comprensión de la utilidad e importancia de la Ingeniería
e Financiera en nuestros días conviene analizar algunos aspectos y condiciones del
origen y desarrrollo del dinero en el tiempo.
lo
.
e
el ' Wilfrido Lozano, "El nuevo enfo que de la ingeniería financiera", en Interés, revista de la Asociación Mexicana
el de Bancos, dic. 1990-ene. 1991, pp. 28-31
C 2
e

e
e
e
Trueque y moneda: surgimiento y desarrollo de un equivalente general
e Para quienes vivimos en sociedades urbanas, resulta imposible imaginar su
existencia cotidiana sin dinero y sin los complejos y cambiantes mecanismos de
C crédito y financiamiento. Sin exagerar, las actividades más simples no podrían
e seguir desarrollándose si volviésemos al trueque como medio para obtener cuanto
necesitamos.
e
Situados en el fin del milenio parece difícil concebir que hubo etapas de la
humanidad en las que el trueque pudo satisfacer prácticamente todas las
• necesidades comerciales de los pueblos y en las que el ganado, el cacao o el trigo,
por ejemplo, bastaban como medida de valor para todo, según la cultura y los
C recursos naturales con los que contaban. Se ha recorrido un largo trecho desde el
• trueque hasta la existencia del dinero como mercancía, pasando por la aparición y
desarrollo de la moneda como expresión de un equivalente general de valor para
poder intecambiar mercancías o servicios bajo un enfoque comercial.
No se ha encontrado una evolución regular que conduzca a los pueblos desde el
e sistema de trueque hasta el uso de la moneda, con la desaparición completa del
primero. Más aún, cabe dudar que el trueque puro y simple haya existido. Un siglo
e antes de Cristo los habitantes de la antigua Britania usaban no sólo formas
e primitivas de moneda, sino monedas acuñadas recibidas del Este. Y un milenio
después permanecían sin acudir al uso de ese medio.
e
e Más todavía, hubo civilizaciones que, sin pasar por la etapa financiera de la moneda
acuñada, desarrollaron formas de crédito basadas en mercancías que aún hoy se
e considerarían complejas. Incluso no faltó aquella sociedad que dispuso de una
moneda cuyo valor legal no estaba sujeto a ningún tipo de fluctuación, logrando así
lo que hoy en día banqueros y economistas de todo el mundo no consiguen.
C
En el siglo XVI las comunidades indígenas que encontraron los españoles habitando
• el continente americano basaban su economía en el intercambio tipo trueque de
e granos especialmente codiciados, como el cacao, el maíz, algunas especias y mantas
y adornos igualmente valorados en el mercado de la época. Para ellos el oro y la
e plata no poseían el valor que los europeos le atribuían desde siglos atrás como
instrumento de intercambio económico, lo que explica su desprendimiento a
e cambio de las baratijas que los invasores les ofrecieron. Las culturas prehispánicas
e contaban, por otro lado, con sofisticados esquemas de intercambio comercial e
impositivos, que difícilmente podían haber desarrollado a través del trueque
simple.
e
e
e

En resumen, no puede hablarse de unas sociedades con moneda y de otras sin ella,
puesto que la moneda y el trueque coexisten en la mayoría de los pueblos, tanto en
los tiempos primitivos como en la Edad Media y en las regiones coloniales en la
época moderna. En esta etapa de la evolución la moneda es más bien un auxiliar del
trueque, un medio para hacerlos más cómodo y exacto en cuanto a la valuación de
los productos intercambiados. La moneda propiamente dicha no existía.
La verdadera moneda en el sentido moderno de su función apareció sólo en la
Grecia poshomérica y en la Roma republicana. Fue en Grecia en donde por vez
primera se impuso un control público a la moneda en beneficio económico. Hasta
entonces el dinero había sido monopolio de los ricos, en el sentido de que sólo ellos
lo necesitaban. En Grecia, y más tarde en Roma, la moneda se "democratizó", por
decirlo de algún modo, dejó de ser un privilegio para pasar a ser del dominio
común.
Después del colapso del imperio romano, el oro desapareció virtualmente del viejo
mundo. Durante la primera mitad del medioevo, el comercio estaba prácticamente
paralizado y el uso del dinero como medio de cambio fue casi inexistente. Pero la
ascensión de ciudades como Venecia, Barcelona, Génova, Florencia y Pisa, en los
siglos XII y XIII y el crecimiento del intercambio comercial entre ellas y las naciones
hizo necesario de nuevo la moneda y puede decirse que ellas fueron las ciudades
responsables del restablecimiento de la moneda, no sólo en la forma de piezas
S acuñadas sino también, y por primera vez, bajo la forma de documentos de crédito,
e en especial la letra de cambio que ofrecía grandes ventajas en un tiempo en el cual
los viajes no eran muy seguros.
Todos estos vaivenes en el uso de los metales tienen poca importancia vistos con
e perspectiva histórica en comparación con el cambio de actitud moral respecto a los
e préstamos de dinero y al cobro de intereses que tuvo lugar en los últimos siglos de
la Edad Media.
e Nos resulta ahora difícil comprender que durante centenares de años pensadores,
políticos y religiosos consideraran como un verdadero crimen cobrar intereses sobre
el dinero prestado. La iglesia católica, durante el primer periodo de su existencia, se
opuso vigorosamente a los intereses sobre los préstamos bajo el argumento de que
el dinero no se reproduce por la naturaleza, y por lo tanto quién quisiera obtener
dinero del dinero iba contra la ley natural.
00 La iglesia no sólo condenó el cobro de intereses sino el comercio en general,
considerando que en el intercambio de artículos alguna de las partes obtendría
beneficio al recibir algo de mayor valor que lo que habia entregado, con lo que
estaría cometiendo un acto de latrocinio. Sin embargo, ante el empuje social y
económico del desarrollo comercial, la iglesia, que basaba su autoridad moral en un
fl 4

.
e _creciente poderio economico, debio ir modificando su postura, primero hacia una
e tolerancia práctica y después hacia un involucramiento directo.
C En efecto, las Cruzadas, al abrir para occidente las puertas del oriente, en donde
e abundaban los metales, cambiaron el panorama monetario de Europa y con ello los
puntos de vista acerca del comercio y el interés. El papado, que era el único
C gobierno que no percibía impuestos en especie, debido a las dificultades de
transporte que ello implicaba, recurrió con fecuencia a prestamistas y usureros para
la recaudacion de sus impuestos. Conviene recordar que el papado fue, en cierto
e modo, la más importante institución de la edad media. En 1572, según los
historiadores, dejó de considerar como delito y pecado el cobro de intereses
C mientras éstos no excedieran del 10% anual. El dinero quedaba absuelto.
e Por otra parte, los reyes al necesitar cada vez más dinero para sostener sus guerras
se veían obligados a recurrir con mayor frecuencia a los banqueros lombardos y a
e los judíos para obtener préstamos cada vez más cuantiosos, lo que contribuyó a
cambiar no sólo las cosas sino las nociones aceptadas acerca de ellas. La escasez e
e inestabilidad de metales preciosos en aquella época, puede considerarse como la
causa que originó la aparición de los verdaderos monarcas del dinero, cuya
e influencia en el desarrollo de la economía fue trascendental y cuyas actividades
e dieron lugar a las formas modernas de la banca y al sistema de documentos de
crédito que a nuestro juicio son los verdaderos orígenes de lo que hoy conocemos
como Ingeniería Financiera.
e Es importante insistir en este cambio, ya que supone la conversión de la moneda,
e que hasta entonces había servido como equivalente general de valor que facilitaba
el intercambio de mercancías, en una mercancía en sí misma cuyo intercambio
debía, por ello, reportar algún beneficio a su propietario, generar algún interés,
e dicho en lenguaje actual.
Ot El desarrollo del crédito
La evolución del crédito en la historia, desde su aparición hasta las sofisticadas
e formas con que lo conocemos hoy en día no ha sido lineal, como tampoco lo fue la
del trueque y la moneda. Con expresiones muy antiguas, el crédito sin embargo se
consolida cuando la actividad bancaria pasa a ocupar un papel fundamental, con
e especificidades e intereses propios, dentro del conjunto de las actividades
- económicas. Veamos algunos rasgos de su evolución histórica.
En Caldea y Babilonia se han encontrado tabletas de arcilla en las cuales se
ordenaba el pago de determinada cantidad a determinada persona y en algunos
casos con intereses por demora respecto a fechas señaladas. Esto constituía en la
L
e 11

.
práctica un documento de crédito, aunque no ostentara firma de aceptante ni cifra
e de moneda, sino sólo el peso de la plata o cobre que debía entregarse.
e En Mesopotamia existían hipotecas, minuciosamente reguladas por el Código de
e Hamurabi. Los babilonios, lo mismo que los fenicios y cartagineses, tenían moneda
de pergamino, es decir, documentos en los cuales señalaban cantidades a pagar a
personas dadas en lugares y fechas fijados. Eran de uso corriente entre comerciantes
e y personajes de la corte, en tanto que en el pueblo todo el comercio se realizaba por
medio del trueque.
e
Los romanos conocían ya las letras de cambio. Su uso fue restablecido en el siglo XII
e por los florentinos y en el siguiente por los venecianos y barceloneses. Los agentes
• papales encargados de recaudar ayuda para las Cruzadas emplearon mucho los
letras de cambio, que facilitaban las transferencias de dinero, sin riesgo alguno en
una época en la que los viajes resultaban siempre peligrosos. Más aún, esos agentes
•
giraban letras sobre obispos y abates que estaban obligados a aceptarlas, so pena de
excomunión.
e
La Cámara o Tesorería Papal recibía monedas de tantos países, que poco a poco se
estableció la costumbre de sustituir los envíos de dinero por letras y cheques. Así,
e por ejemplo, los cheques italianos se pagaban por medio de la exportación de lana a
los mercados italianos; los españoles por lana, aceite y plata, etc. Esto contribuyó a
C fomentar la creación de bancos en países que, por su comercio interior, no los
e habían necesitado todavía. En las ferias, donde no sólo se cambiaban mercancías
sino también documentos de crédito, los cambistas sentaron las bases de esos
e nuevos bancos de desarrollo más lento y con funciones meas limitadas.
el En el siglo XIV, florentinos, genoveses y venecianos, principalmente, tenían casas
e "consulares" en las que realizaban operaciones de descuento, por medio de las
cuales el mercader recibía su dinero mucho antes de que en verdad fuera dinero. En
t esa época, el comercio internacional se realizaba casi enteramente a base de crédito
e
y del descuento. Sin embargo, no es todavía un sistema bancario cerrado, pues toda
clase de mercaderes hacen préstamos y éstos no se han convertido aún, como en los
e dos siglos posteriores, en la ocupación exclusiva de un grupo de negociantes en
dinero: los banqueros.
e
e El siglo XV vió el traslado del centro de las finanzas del sur al norte, de Venecia a
Amberes y a las ciudades bálticas. A Amberes y sus dos ferias anuales acudían,
C desde un siglo atrás, comerciantes de las ciudades hanseáticas, italianas, francesas e
inglesas, y su puerto terminó convirtiéndose en el almacén de casi todas las
mercancías que se intercambiaban entre el Báltico y el Mediterráneo. En Amberes, el
e oficio de banquero o prestamista era absolutamente libre -caso único en el
e
e

medioevo-, lo mismo que el de hotelero, y este último tenía una gran importancia
en un centro comercial.
Por ello, en Amberes se formó el tipo de banquero especialista, técnico en cuestiones
de compensación, y allí funcionó una verdadera clearing house donde podían
descontarse letras, conseguirse todo tipo de documentos de pago sobre cualquier
ciudad y realizarse compras y ventas sin necesidad de disponer de una mercancía
ni del dinero.
En 1578 se estableció en Venecia el primer banco público, el Banco Di Rialto (más
tarde llamado de Venecia) y luego fueron creándose otros: de Amsterdam, en 1609;
de Hamburgo, en 1619; de Estocolmo, en 1688; de Inglaterra, en 1694; de Viena, en
1703. Los financieros dueños de esos bancos, ya por poseerlos de modo directo ya
por disponer de la mayoría del capital, ejercieron sobre gobiernos y monarcas una
influencia infinitamente superior a la que jamás hayan tenido luego, debido al
sistema irregular de recepción de impuestos y a la sistemática pobreza de los
tesoros reales. El dinero, después de siglos de significar muy poco en la economía y
en la vida del hombre, adquiría una importancia enorme, desproporcionada, y
quienes lo manejaban se convirtieron en auténticos reyes sin corona.
El siglo XVI, con el saqueo de las riquezas del continente americano, la expansión
del comercio y el poder del dinero, dió toda clase de oportunidades a los
aventureros financieros. Los Estados centralizados que surgieron durante el
Renacimiento se hallaban en situación financiera desesperada, que las constantes
guerras agravaban. La contradicción entre métodos de gobierno ya modernos, a
base de proliferante burocracia, y sistemas financieros todavía medievales,
favoreció a esos financieros, que hicieron de puente entre dos épocas.
Devaluaciones, venta de cargos, establecimiento de monopolios, concesiones de
cobro de impuestos abrumadores, incautación de bienes de la iglesia y venta de
bienes de la corona, fueron recursos empleados por los reyes para salir de apuros
que constituyeron otros tantos trampolines para el éxito de los financieros.
Al terminar la edad media y bajo la monarquía absoluta, el negociante en dinero
emergía con un poder personal considerable, trataba de igual a igual con los
gobiernos y fundaba verdaderas dinastías financieras, menos espectaculares pero
tanto o más poderosas que las dinastías reales. A partir de ahí, los banqueros, en
tanto representantes de una actividad que adquiría perfiles y una dinámica propios,
basada en la necesidad de valorizar el dinero en el tiempo como finalidad explícita,
pasaron a ocupar una función más "institucional" en la evolución económica y social
y que hasta la fecha se conserva en lo sustancial. Desde entonces, ha sido una
exigencia de la actividad bancaria evaluar alternativas y medir riesgos antes de
decidir el destino del dinero que los banqueros captan a través de diversos medios
. 7

y, por supuesto, diseñar mecanismos que les permitan abaratar al máximo el costo
e de dicha captación.
e En esta medida, el esquema básico de instrumentos, cálculos y procedimientos en
e los que se apoya la moderna ingeniería financiera no son algo nuevo. Constituyen
herramientas de uso cotidiano desde que el desarrollo de la economía comercial
permitió la generación y acumulación de excedentes monetarios que podían
e destinarse a una o varias actividades con un afán eminentemente lucrativo. El
desarrollo de esos instrumentos se hizo más acelerado con el surgimiento de la
e actividad bancaria como tal, cuando la acumulación de dinero con la finalidad
explícita de prestarlo a cambio de la obtención de una utilidad obligó a sistematizar,
C conceptual y prácticamente, la valorización del capital en el tiempo.
La Ingeniería Financiera en nuestros días
e
e Sin embargo, en los últimos 20 años se ha registrado una explosión de lo que ha
dado en llamarse Ingeniería Financiera; todos los bancos e instituciones financieras
e han creado áreas específicas que reciben este nombre, por lo general con un peso
jerárquico de relevancia dentro del organigrama y muchas grandes empresas que
pueden permitírselo cuentan también con sus propias áreas de ingeniería financiera;
• a nivel académico sucede algo similar, la gran mayoría de universidades ofrecen
posgrados y diplomados en esta materia además de incluirla en los planes de
e estudio de carreras que, como la de Ingeniería, no se suponían vinculadas con
e aspectos financieros.
e, Entre las causas que han originado este rápido desarrollo de la Ingeniería
Financiera, podemos señalar como principales las siguientes: a) la inestibilidad de
los mercados financieros internacionales a principios de la década de los setenta,
• después de un largo periodo de estabilidad y crecimiento; b) el proceso de
desregulación bancaria iniciado a mediados de esa década, en parte como respuesta
• a dicha inestabilidad y los cambios registrados en la formas de vinculación entre el
C
sector productivo y el sector financiero, ante la necesidad de buscar formas
novedosas de financiamiento; y c) la revolución tecnológica en el campo de la
e electrónica, que ha modificado radicalmente las formas de planeación, operación y
control de las actividades bancarias y financieras.
e
A continuación desarrollaremos brevemente cada uno de estos aspectos.
a. Inestabilidad financiera
C Después de casi tres décadas de crecimiento económico sostenido y de estabilidad
e en el comportamiento de las principales variables macroeconómicas, a principios de
los años setenta la economía mundial entró a una etapa de estancamiento de la
e
e
e

.
producción acompañada de índices elevados de inflación, situación que contradecía
e los supuestos tradicionales de los economistas. Las medidas correctivas
C
acostumbradas perdieron su eficiencia además de que su aplicación difícilmente
podía resultar de utilidad en un sólo país, en el marco de una economía cada vez
e más internacionalizada.
C Tipos de cambio flotantes de las principales divisas internacionales, elevadas tasas
e de inflación y tasas de interés en constante fluctuación, entre otros factores,
provocaron inestabilidad e incertidumbre en los mercados financieros, dando lugar,
e por un lado, al auge de la especulación financiera, a la proliferación de estrategias y
mecanismos encaminados a la obtención rápida de utilidades en operaciones de
compra-venta de valores y divisas, y por otro lado, al diseño de mecanismos de
e defensa orientados a evitar pérdidas cambiarias y monetarias en un proceso de
valorización del dinero en acelerada transformación.
e
e Todo lo anterior implicó, primero, el desarrollo de esquemas de seguimiento y
evaluación de las diferentes variables económicas cada vez más sofisticados y, en
e segundo lugar, la creación de instrumentos bancarios y financieros que
respondieran a las expectativas de los inversionistas en un mercado caracterizado
por la incertidumbre y el cambio. Para mantenerse dentro de la competencia, los
e bancos y las instituciones financieras en general debieron empezar a jugar un papel
más activo y ofrecer una gama creciente y diversificada de servicios. Dada la
e complejidad y especificidad de estas tareas fue preciso crear áreas técnicas
especializadas y enfatizar en ellas la parte creativa del trabajo, la necesidad de
encontrar respuestas propias a cada situación en lo particular.
e
b. Desregulación bancaria
e La evolución de los mercados financieros provocó que paulatinamente fuera
reduciéndose la distinción entre las operaciones financieras realizadas por la banca
C y las efectuadas por otras instituciones financieras. Asimismo, el marco regulatorio
e se convirtió en una camisa de fuerza que obstaculizaba la adecuación de
operaciones e instituciones a condiciones del mercado en constante transformación.
e Se hacía imprescindible eliminar trabas legales a fin de que la oferta de servicios
financieros ad uiriera un carácter más integral más flexible para poder responder a
requerimientos específicos de las empresas y de las circunstancias.
A mediados de la década de los setenta se generalizó en todo el mundo una
C importante tendencia hacia la desregulación de las actividades bancarias y
e financieras, cuya concreción podría ejemplificarse en la aparición de la banca
múltiple en prácticamente todos los países de economías capitalistas desarrolladas y
e en la mayoría de los países de América Latina. La banca múltiple significó la
respuesta jurídica que permitió la superación de las restricciones en la que venían
e 13

.
e trabajando los diferentes segmentos del sector financiero. Al fomentar una
e competencia más abierta y facilitar y promover la fusión de diferentes tipos de
instituciones, se facilitaba al mismo tiempo la posibilidad de desarrollar y ofrecer
soluciones financieras integrales, adaptadas a las necesidades particulares de los
e clientes y de cubrir una amplia gama de operaciones y procesos, pues lo mismo se
pueden apoyar proyectos nuevos que de expansión o de rescate de empresas en
dificultades, y se pueden tomar en cuenta aspectos tan variados como los
e industriales, financieros e impositivos.
e Factores no menos importantes lo constituyeron las economías de escala obtenidas
bajo este esquema de funcionamiento, pues no sólo fue posible realizar en conjunto
las funciones que antes se realizaban de manera separada sino que fue factible
e también diversificar y por lo tanto reducir el riesgo de las operaciones.
Por otra parte, el desarrollo de los bancos se había caracterizado, en términos
e generales, por una separación entre la banca comercial y la de inversión, entre
aquella que se limitaba a conceder préstamos a personas y/o empresas y aquella
e otra que tenía una mayor vinculación mediante la adquisición de acciones de las
empresas. Las cambiantes condiciones en las que tuvo que empezar a otorgarse el
financiamiento obligaron a las empresas y a los bancos a buscar una vinculación
• cada vez más estrecha, toda vez que para las empresas los cálculos financieros se
volvieron más y más complejos, con tasas de interés fluctuantes, con tipos de
e cambio en flotación, con condiciones y plazos de créditos también variables, en fin,
e, debieron acercarse a las instituciones financieras para apoyarse en labores de
seguimiento especializado y diseño de estrategias que solamente las grandes
e empresas podían realizar con recursos propios.
• Los bancos, a su vez, debieron buscar relaciones más sistemáticas con el sector
e productivo a fin de conocer la evolución y perspectivas de sus clientes antes de
otorgar financiamientos, como una medida para reducir riesgos crediticios pero
• también para estar en condiciones de ofrecer un enfoque integral en sus servicios y
C
de satisfacer las exigencias particulares de sus clientes. Sólo bajo estas
consideraciones fue posible que las instituciones financieras pudieran participar en
e una amplia gama de operaciones: establecimiento de nuevas empresas, expansión,
fusiones, rescate de empresas en quiebra, renegociaciones de deuda, por citar sólo
• algunas.
C
c. Revolución tecnológica
e
C
Es un lugar común señalar que la reciente revolución tecnológica ha avanzado, y
avanza, a un ritmo en verdad vertiginoso. En menos de una década ha
e transformado radicalmente las formas de organización empresarial y de
administración no sólo de los negocios sino en muchos casos de infinidad de
e
e ILO
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e
e
e
aspectos de la vida cotidiana. En el área que nos ocupa, hoy en día es prácticamente
imposible imaginar el trabajo diario de un banco sin la presencia de computadoras,
cuando hace no más de quince o veinte años el registro y procesamiento de la
información se realizaba manualmente.
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Desde principios de los años setenta empezó la introducción de nuevas tecnologías
en el ámbito financiero, si bién limitada a las grandes instituciones que podían
afrontar sus elevados costos y a unas cuantas operaciones. La evolución errática e
inestable de los mercados financieros a que se hace referencia más arriba constituyó
el incentivo básico para que la aplicación de las nuevas tecnologías, apoyadas en el
procesamiento electrónico de datos y en su transmisión y procesamiento a distancia,
se generalizara rápidamente.
De lo señalado hasta ahora puede deducirse fácilmente que la complejidad de las
operaciones bancarias y financieras se incrementó notablemente, y con ello la
demanda de más y mejores equipos que la industria de la electrónica y la
computación estaban desarrollando. Cabe hacer mención que la utilización de
nuevas tecnologías no sólo permitió hacer frente al registro y procesamiento de
grandes volúmenes de datos, agilizar trámites y papeleos o diseñar nuevos
instrumentos bancarios, sino que al mejorar el contenido mismo de la información y
facilitar su acceso y consulta oportunos, se convirtió rápidamente en un
instrumento de poder, de competencia y de concentración económica.
A principios de la década de los ochenta, un importante ejecutivo del Chase
Manhattan de Nueva York señalaba muy atinadamente: "La clave para permanecer
en el negocio bancario durante los años ochenta consiste en maximizar las
diferencias entre los varios servicios que ofrecen al público. Uno de los caminos
para hacerlo será por medio de la tecnología de computadoras y
telecomunicaciones. Los bancos se están convirtiendo pronto en corporaciones de
información financiera en una escala global". Los diez años trascurridos desde
entonces confirman totalmente lo anterior: la competencia cada vez más cerrada en
los espacios en los que se valoriza el capital, ya sea en la esfera de la producción o
en los mercados financieros, sólo puede entenderse en la actualidad mediante la
utilización en gran escala de las nuevas tecnologías en el campo de la informática y
de las telecomunicaciones.
111

..
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•o
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e
e
e
Capítulo 21
Enf oque práctico
en la enseñanza de
la Ingeniería Financiera

La Ingeniería Financiera ha mostrado un importante desarrollo en la práctica
bancaria y financiera mexicana. Numerosos ejemplos dan cuenta de ello: la
aparición de los Certificados de la Tesorería (CETES) en 1978, con el doble
propósito de financiar el gasto público y de regular la oferta monetaria, y que desde
entonces constituyen una referencia obligada en el mercado mexicano de dinero; las
emisiones de Petrobonos, a finales de los setenta, con la finalidad de proveer de
fondos de inversión a Pemex, aprovechando la inestabilidad del mercado petrolero
mundial, por citar sólo dos de los más conocidos instrumentos gubernamentales.
Pero la práctica no sólo se ha limitado a la creación de instrumentos, sino que se ha
extendido al diseño de estrategias de gran alcance e impacto macroeconómico,
como lo fue el caso de la creación y operación del Fideicomiso de Cobertura
Cambiaria (FICORCA), a través del cual se renegoció la deuda externa de un
importante número de empresas privadas que estaban imposibilitadas de hacer
frente a sus compromisos de pago.
Sin embargo, el vacío conceptual a que hacíamos referencia se refleja en la casi
absoluta carencia de textos sobre la materia y en la escasa sistematización de la
experiencia cotidiana.
Lo anterior tiene implicaciones importantes, más allá de la ambigüedad o
indefinición con la que se aborde el estudio o la práctica de la Ingeniería Financiera,
sobre todo desde el punto de vista de la docencia. En efecto, al revisar los materiales
disponibles de apoyo al maestro y a los estudiantes, se encuentra que la inmensa
mayoría de los textos son de autores norteamericanos, cuyo enfoque no tiene por
qué responder ni al momento ni a las condiciones peculiares en las que se practica
la Ingeniería Financiera en nuestro país. En especial, llama la atención la clase de
ejemplos utilizados para ejercitar a los lectores en el uso de las fórmulas: en su
mayoría demasiado simples, destinados a cubrir exclusivamente los aspectos
revisados en el capítulo en cuestión, y por completo ajenos a nuestra realidad,
presentando situaciones que poco propician en el alumno una visión crítica y
creativa de la Ingeniería Financiera. Esta sería nuestra principal observación a los
materiales y textos que apoyan la docencia comúnmente.
Es preciso avanzar en la conformación de una propuesta metodológica para su
enseñanza que, partiendo de un marco conceptual definido, integre elementos
relativos al desarrollo de la Ingeniería Financiera en nuestro país, resalte el carácter
integral bajo el cual debe enfocarse la solución de los problemas y enfatice en su
- aspecto creativo, en un contexto dinámico y cambiante.

.
.
e Bajo esta perspectiva, la base matemática en la cual se apoya no puede constituir el
núcleo central en tomo al cual gire su aprendizaje, y por el contrario, en carreras
C
como las de Ingeniería que suponen una sólida formación matemática, debe pasar a
constituir un elemento marginal, en un conjunto en el que predominen los aspectos
e históricos y conceptuales y el análisis y desarrollo creativo de la problemática a la
que tiene que hacer frente la Ingeniería Financiera en nuestros días.
e
e El presente trabajo busca avanzar en esa dirección; primero, al tomar como punto
de partida un análisis sobre el concepto y evolución de la Ingeniería Financiera; y en
e segundo lugar, al presentar ejercicios prácticos para su aplicación, tomados de
el
nuestra realidad inmediata.
e A través de los ejercicios se pretende no sólo la correcta utilización de las fórmulas y
de los procesos de cálculo sino, sobre todo, el esfuerzo analítico que conduzca a
el encontrar la solución de los problemas planteados, que motive la búsqueda creativa
que está en la base misma del origen etimológico de la ingeniería. Por ello no se
plantean preguntas en contextos o en situaciones extremadamente hipotéticos, que
e en muchas ocasiones hacen ver a la Ingeniería Financiera como algo etéreo,
e
reservado para especialistas y con escasa utilidad práctica.
• En los ejercicios contenidos en el presente trabajo se expone, en primer lugar, una
breve síntesis del entorno en el que se desenvuelve la problemática a resolver y los
e supuestos y datos básicos a considerar; de ahí se derivan las preguntas, elaboradas
e sobre la base de las interrogantes que por lo general se plantean quienes deben
tomar decisiones. Cuando el problema así lo requiere, se presenta información
e complementaria, indispensable para su solución. Por último, antes de pasar al
desarrollo matemático del problema, se enumeran los razonamientos y criterios
e básicos a seguir en su resolución.
Los ejercicios se agrupan en tres grandes bloques: a) de carácter macroeconómico;
b) empresarial; y c) individual, atendiendo a las diferentes esferas de la actividad
le
económica en las cuales surgen de manera cotidiana situaciones de implican el
análisis de alternativas financieras previo a la toma de decisiones.
a. Macroeconómico
e Bajo este ámbito consideramos aquellas problemáticas que por su carácter afectan al
conjunto de la economía, tanto en su vinculación con el exterior como en las
e necesidades internas de captación y canalización del ahorro. Este bloque incluye
e cinco ejercicios, a través de los cuales se abordan tres de las áreas de mayor
relevancia desde la perspectiva de la Ingeniería Financiera a nivel macroeconómico:
e dos de ellos están relacionados con la renegociación de la deuda externa de nuestro
país que se concretó a inicios de la actual administración; dos más se refieren al
e 13
e

.
e
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e
e
e
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e
e
e
e
e
financiamiento del gasto público, mediante la utilización de dos tipos de
instrumentos -los Certificados de la Tesorería (CETES) para el corto plazo y los
Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (BONDES) para el largo plazo-; por
último, se presenta un ejercicio acerca de las características, en plazos y
rendimientos, que deben ofrecerse para desestimular la salida de divisas del país.
Empresarial
Dentro de este ámbito se incluyen ejercicios orientados a conocer el tipo de
problemas que la Ingeniería Financiera permite resolver a las empresas. El bloque
está integrado por cuatro ejercicios, ubicados en diferentes sectores de la actividad
económica: en el primero se deberá encontrar la alternativa más ventajosa para la
adquisición de maíz importado, necesario para subsanar el déficit de la producción
nacional; el segundo analiza la conveniencia para una empresa constructora de
adquirir SWAP's como forma de financiamiento para la construcción de una
carretera; el tercer ejemplo permite analizar las ventajas que para una empresa
privada con deuda contraída en dólares, representó su incorporación al esquema de
negociación y refinanciamiento del Fideicomiso de Cobertura Bancaria (FICORCA);
por último, se comparan las opciones que a una empresa comercial se le presentan
antes de decidir las características de un programa de comercialización para una
línea de productos a crédito.
Individual
Situados en la perspectiva de la decisión personal, a través de los ejercicios
agrupados en este bloque se busca ejemplificar sobre el tipo de alternativas que la
vida cotidiana ofrece a las personas. Bajo esta óptica, la Ingeniería Financiera se nos
presenta como una herramienta de gran utilidad para la mayoría de la gente y no
sólo como una materia propia de los especialistas o de los propietarios del capital.
Así, se comparan y analizan opciones a fin de encontrar la más favorable o la que
mejor se adecúe a las posibilidades individuales en los siguientes casos: utilización
de una tarjeta de crédito bancario o una de crédito de un establecimiento comercial
para la adquisición de un producto; ventajas o desventajas de comprar un
automóvil a través de un mecanismo de autofinanciamiento; elección de un
trabajador sobre dos mecanismos propuestos de compensación de retiro al término
de su vida laboral -mantenerle el sueldo o cobrar dos veces la liquidación que le
correspondería conforme a la ley-; nivel de ahorro alcanzado por medio de las
aportaciones al Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR) al cabo de un periodo
determinado: y la decisión entre mantener dinero en el banco, invertido en
instrumentos de renta fija, o adquirir un inmueble para rentarlo.
14

e •... ... ......... . .
....................,.....
Espacio macroeconomico1e .
e Ejercicio 1
C En el año de 1989, México reestructuró su deuda con alrededor de 500 bancos
C
extranjeros por un valor de 48,044 millones de dólares. Dicho monto representaba a
finales de 1988 el 47.86% de la deuda total del país, que ascendía a 100,384 millones
e de dólares.
C Algunos de los acuerdos más relevantes fueron:
El 47% del valor a renegociar tendría una reducción de la tasa de interés a un
• nivel fijo de 6.25% anual, con pago de intereses semestral. La tasa líder de la
. negociación (Líbor) se encontraba en dicho momento en aproximadamente
9.0% anual.
e
El 43% del monto tendría una reducción del 35% del principal con pago de
e intereses sobre el saldo reducido a una tasa Líbor más 13/16 capitalizables
e semestralmente, mediante el canje de bonos nuevos.
• c) El 10% restantequedaría igual con la opción a nuevos préstamos hasta por el
25% del monto involucrado.
e d) Por último, el gobierno mexicano constituiría un fondo de 7,050 millones de
dolares para la adquisición de bonos "Cupón Cero" del Tesoro de los Estados
e Unidos de América para garantizar el pago del capital al cabo de 30 años y la
e cobertura de los intereses durante los primeros 18 meses. Dichos bonos
tendrían una tasa de interés de 7.925% anual capitalizable.
e
Preguntas
e A) Si México no hubiera renegociado su deuda, ¿cuál sería el equivalente a pagar
respecto al monto negociado (48,044 millones de dólares), si la tasa Líbor
C promediara en el período 7% anual capitalizable semestralmente? El pago del
e capital se realizaría hasta el final del período.
e B) En el caso de que las condiciones de nivel de tasa se presentaran conforme a
la pregunta anterior, ¿cuál sería el ahorro o sobrepago de la deuda por parte
de México, considerando los acuerdos alcanzados en la negociación?.
e C) ¿A que nivel tendría que ubicarse la tasa Líbor en promedio durante los
C próximos 30 años, para que el descuento obtenido tanto en la reducción del
e
LI 11-
LI

35% del principal como en el correspondiente a la tasa fija de 6.25% anual
capitalizable semestralmente, eliminara el esfuerzo de la negociación?
Para el conjunto de las preguntas, considere que la inversión en bonos 'Cupón
Cero", sólo es aplicable para los acuerdos de la renegociación. Por lo tanto, de no
haber existido ésta, México podría haber dispuesto del rendimiento de dicha
inversión a una tasa similar a la ofrecida.
Por último, es necesario aclarar que en virtud del objetivo didáctico de la propuesta,
este ejercicio sobre la negociación de la deuda simplifica los elementos de la
resolución aunque en la realidad su cálculo preciso es más complejo. Por ejemplo, el
pago de intereses se realiza en cada período de vencimiento y éstos no se
capitalizan como se muestra en nuestro cálculo. Por ello, la magnitud de los valores
absolutos puede no mostrar con precisión en la realidad. Sin embargo, lo anterior
no significa que los resultados alcanzados en el desarrollo de la solución sean
erróneos en el sentido de su objeto.
e
Datos Básicos
% de la deuda total sujeto a reestructuración
Monto deuda negociado
Monto sujeto a reducción de tasa
Monto sujeto a reducción principal
Nuevo monto de principal con reducción de 35%
Monto con opción a nuevos préstamos
Posibilidad de nuevos préstamos
Solución
48,044/100,384 47.86%
48,044
48,044 (0.47) 22,581
48,044 (0.43) 20,659
20,659 (0.65) 13,428
48,044 (0.10) 4,804
4,804 (0.25) 1,201.0
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
Pregunta "A"
1) Procedimiento de solución
En el contexto de no haber renegociado la deuda, el procedimiento a seguir
sería:
a) Obtener la tasa efectiva de 7% anual capitalizable semestralmente.
i= (1 +r/t)t 1
donde: i = tasa efectiva
r = tasa nominal
t = periodos de capitalización
1L

sustituyendo, i = (1 + 0.07/2)2 - 1 = 7. 1225%
b) Una vez conocida la tasa efectiva, obtener el importe para un período
de 30 años.
F=P(1+i)fl
donde: f = valor futuro
p = monto del principal
i = tasa efectiva
n = número de pagos
sustituyendo: 48,044 (1+0.071225)30 = 378,495
De no haberse renegociado los 48,044 millones de dólares, su valor
equivalente para un plazo de 30 años hubiese significado al país pagos por un
total de 378,495 millones de dólares.
Pregunta "B"
1) Procedimiento de solución.
Obtener las tasas efectivas: la tasa libor de 7% se obtuvo en la pregunta
"A": la tasa efectiva de 6.25% anual con pago semestral de intereses es
igual a:
L=(1 +r/t)t1
ie = (1+0.0625/2)2 4
ie = 6.35%
Obtener el valor bruto en 30 años del monto renegociado, sin considerar
aún la capitalización de los bonos "Cupón Cero", ni la cobertura de los
intereses de los tres primeros semestres.
F = F = P1(1+jF)fl+P2(1+[jm+(13/ 16)])''+P3(1+im)'
donde: iF= Tasa efectiva fija para el 47% del valor a renegociar.
in,= Tasa de mercado = 7% anual capitalizable semestralmente.
n = Período de pago.
pi = Principal 1 (22,581 millones de dólares)
p2 = Principal 2 (13,428 millones de dólares)
p3 = Principal 3 (4,804 millones de dólares)
17

.
.
e
e sustituyendo:
e F = 22,58i(l±F) -4-13,428 (1+[im+(13/16)])'+4,804 (1+im)"
F = 22,581(1+0.0635)30+13,428 (i + [0.071225+0.0081251)30+4,804(1+0.071225)30
F = 313,724 millones de dólares.
e
c) A este último importe debe restársele la inversión del capital original
renegociado:
313,724 - 40,813 = 272,911 millones de dólares.
e
C
d) A dicho resultado será necesario adicionar el costo de haber invertido
desde el inicio del proceso 7,050 millones de dólares en bonos "Cupón
e Cero". Considerando las cláusulas de pagar los intereses durante los
primeros 18 meses a una tasa del 7.925%, se procede primero a la
estimación de éstos:
e Pago de intereses del principal
e Periodos Capital Interés Capital Del Del Del Capital
semestre Invertido generado disponi- monto monto de monto de invertido
e
al inicio al ble al sujeto de 13,428 4,804 Total después
semestre semestre 6.25% (0.07+ de pago
(0.7925/2) 22,581 13/16%) de
e M.D. intereses
0 7,050.0
e 1 7,050.0 279.18 7,329.18 705.65 532.75 168.14 1,406.54 5,643.46
2 5,643.5 223.48 5,866.98 705.65 532.75 168.14 1,406.54 4,236.92
e 3 4,236.9 167.78 4,404.68 705.65 532.75 168.14 1,406.54 2,830.36
e El capital que queda invertido después de pagar los intereses de 18 meses;
e sería entonces de 2,830.36 millones de dólares. Este monto constituye la base
para capitalizar la inversión en bonos "Cupón Cero".
e
El valor futuro para completar el periodo de 30 años de dicha cantidad es de:
C F=P(1+i)n
sustituyendo: F = 2,830.36(1+0.07925)28.5 = 24,878.3 millones de dólares
e Agregando este monto a los 272,911 millones que se pagarían a valor futuro
en intereses, tendríamos:
272,911+24,878.3 = 297,189.3
e
e
e llo
e

e e) Al monto a pagar obtenido de la resolución de la pregunta "A" le
restaríamos el importe resultante del inciso d). El resultado nos
indicaría el ahorro obtenido por la renegociación:
e 378,495 - 297,189.3 = 81,306.7
41 Pregunta "C"
e 1) Procedimiento de solución.
e
Es necesario buscar la tasa que resulte de la igualdad del monto a pagar
e sin negociación con el monto a pagar con reestructuración: Ms = M
Suponiendo que la tasa libor promedio se mantuviera en 5% anual, se obtiene
e la tasa efectiva de 5% anual capitalizable trimestralmente: m = (1+r/t)t -1
m = (1 + 0.05/4)4 -1
e im5.095%
e Se establece la igualdad Ms = M
e donde MC es igual a:
e F = F = P1(1+jF)+P2(1+[jm+(13/16)])fl+P3(1+jm)1
sustituyendo: MS = 48,044 (1 + im)30 = 48,044 (4.4408) = 213,354
e Tasa efectiva de mercado más el margen negociado:
e 5.095 + 0.8125 = 5.9075%
e 213,354 = 22,581(1 ±1F)±l3,428 (i + [im+(13/ 16)])'+4,804 (1+im)'
C 213,354 = 22,581(1 +0.064)°+ 13,428(1 +(0 .059075))30+4,804(1 +0.5095)
C 213,354 = 22,581(6 .4305)+13,428(5.5950)+4,804 (4.4408)
213,354 = 145,207+75,130+21,334
213,354:#241,671
e
Se supone una tasa libor promedio del 6% anual
e
e Tasa efectiva de 6% anual capitalizable trimestralmente:
im (1 +r/t)t_1
C 1m (1 + 0.06/4)4 1
jm 6.136
e
e
e

MS = 48,044(1+0.06136)30 = 286,761
Tasa efectiva de mercado más el margen negociado
6.136+0.8125 = 6.9485%
Por el procedimiento anterior, tenemos lo siguiente:
286,761 = 22,581(1 +iF)rti13,428(1+[im+(13/ 16)])n+4,804 (1+im)3°
286,761 = 22,581(1 +0.064) 3°+ 13,428 (i +(0.06136)+0.008125) 3°+4,804(1 +0.06136)°
286,761= 145,207+ 13,428(7.5031)+4,804 (5.9687)
286,761 = 145,207+100,751+28,673
286,761;t 274,631
d) Teniendo una iteración mayor de 1 (tasa de 6% anual) y otra menor
(tasa de 5% anual) procederíamos a interpolar:
Relación> 1 => 286,761 / 274,631 = 1.04416
Relación < 1 => 213,354 / 241,671 = 0.8828
5.0 0.8828 1al c
b Lx 1.000] d
6.0 ------ 1.04416
a= JLc
d
1.04416-0.8828
x-5.0= 1 (0.1172)
0.16136
x - 5.0 = 0.7263
x = 5.0+0.7263
x=5.7263
5.7263% es la tasa de equilibrio a la cual con o sin negociación es exactamente
igual.
20

e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
Ejercicio 2
De acuerdo al esquema de negociación de deuda externa anteriormente expuesto y
considerando que la tasa Líbor se mantenga como durante los últimos meses, es
decir, en 3.5% anual, ¿cuál sería el sobrepago que alcanzaría México en el período
de 30 años?
Solución
Tasa efectiva de mercado a 3.5% capitalizáble trimestralmente: m = (1+r/t)t -1
= (1+0.035/4)4 -1
= 3.546% anual
Monto a pagar sin reestructuración:
Ms = 48,044(1+im)°
MS = 48,044(2.8444)
MS = 136,656
Monto a pagar con reestructuración:
MC = 22,581 (1+iF)'+13,428(1+[im+(13/16)])1+4,804 (1+jm) 1
MC = 22,581 (6.4305)+ 13,428(1+0.03546+0.008125)30+4,804(1+0.03546)3
MC = 145,207+ 13,428(3.5961)+4,804(2.8444)
MC = 145,207+48,229+13,665
MC = 207,101
Sobrepago = 207,101-136,656 = 70,445 millones de dólares.
211

.
n
e
Ejercicio 3
e
C
Aunque el presupuesto de la federación puede ser superavitario en su balance
anual, a lo largo del año podría presentar déficit en algún trimestre que requiriera
e ser cubierto con emisión de instrumentos gubernamentales. El instrumento de
captación de corto plazo del gobierno federal son los Certificados de la Tesorería
(CETES), que se emiten por lo general a 28 días.
Según las cifras presentadas en el cuadro siguiente sobre las necesidades de gasto
e público y los niveles de ingreso trimestral, determine:
a) El monto de gasto público al final del año en pesos corrientes,
e considerando que el gobierno federal deberá emitir CETES en aquellos
meses en que presenta una estructura deficitaria, a una tasa de 4% real
e y pagar a final del año el capital emitido.
e b) ¿Qué monto de intereses deberá pagar conforme a las consideraciones
• de la pregunta anterior?
e c) ¿Qué tasa de rendimiento podrían alcanzar los CETES para el caso de
e que el estado de ingresos y egresos presentara una estructura
equilibrada?
le Notas de contexto:
e - Todos los ingresos y gastos del sector público están expresados en
valores nominales y se requiere disponer de los recursos al inicio de
e cada período.
- La inflación anual esperada es de 12%.
Solución
e Pregunta "A"
e Diagrama de Flujo (cifras en miles de millones de nuevos pesos)
e
El]
e
e 22
e

70.0
Enero
Déficit!
Superávit
65.0
61.0 64.0
2.0 (3.0) (5.0) 1.0
Diagrama de flujo del déficit del 2° trimestre.
Abril
=?
ibre
3.0
No. de meses de emisión: 9
Diagrama de flujo del déficit del 3° trimestre
Julio
=?
abre
5.0
No. de meses de emisión: 6
Pago de intereses de la emisión para cubrir el déficit del20 trimestre.
* Monto de emisión: 3 mii millones de nuevos pesos.
* No. de períodos de capitalización de 28 días entre abril y diciembre
Meses días/mes No. días capitalización CETES.
RE

e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
9 x 30 /28=n
270 / 28 = 9.64
* Tasa de interés: Inflación + 4= 12 + 4 = 16% anual.
* Tasa de interés efectiva (i e) a 28 días:
360 / 28 = 12.85 períodos de capitalización
= 16 / 12.85 = 1.245 cada 28 días.
* Valor de la emisión al final del año.
VF1 = 3,000 (1 + I)n
VF1 = 3,000 (1 + 0.01245)9.64
VFI = 3,380 millones de nuevos pesos
* Monto intereses devengados al final del año:
3,380- 3,000 = 380 millones de nuevos pesos.
Pago de intereses de la emisión para cubrir el déficit del 30 trimestre.
* Monto de emisión: 5 mil millones de nuevos pesos.
* No. de períodos de capitalización de 28 días entre julio y diciembre
Meses días/mes No. días capitalización
6 x 30 /28=n
180 / 28 = 6.428
* Valor de la emisión al final del año.
VF2 = 5,000(1+I)fl
sustituyendo
VF2 = 5,000(1+0.01245)6.428
VF2 = 5,414.9 millones de nuevos pesos
* Monto de intereses devengados al final del año:
5,414 - 5,000 = 414 millones de nuevos pesos.
* Monto total de intereses devengados al final del año:
380 + 414 = 794 millones de nuevos pesos.
Monto final de gasto público:
246,000 + 794 = 246,794 millones de nuevos pesos

Pregunta "B"
Ver monto total de intereses devengados al final del año.
Ingresos = Egresos
247,000 = 238,000+3,000(1+i)9.M+5,000(1+i)6.428
considerando tasa de interés efectiva a 28 días de 2%,
247,000 = 238,000+3,000(1+0.02)9.64+5,000(1+0.02)6.428
247,000 = 238,000+3,000(1.2103) +5,000(1.1357)
247,000 = 238,000+3,631+5,678
247,000 # 247,309
considerando tasa de interés efectiva a 28 días de 1.245%,
247,000 = 238,000+3,000(1+0.01245)9.64+5,000(1+0.01245)6.428
247,000 = 238,000+3,000(1. 1267)+5,000(1 .0827)
247,000= 238,000-4-3,380+5,414
247,000 # 246,794
Interpolando entre los valores mayores y menores de 247,000,
Tasa
j 1.245
al
b Lx
2.0
246,794 1Ic
247,000 J d
247,309
cd
x-1.245 2.0 - 1.245 (247000 - 246794)
247309-246794
x-1.245 = 0.755 (206)
25

e
e
e 515
e
x-1.245 = 0.302
x = 1.245+0.302
e x=1.547
C Tasa de interés anual efectiva máxima de los CETES para no rebasar el
e ingreso anual de 247,000 millones de nuevos pesos.
• 1.547 x 12.85 = 19.88%
e in = 12.85[(1+O.1988)1/12.851]
e in = 12.85[(1+0.1988)0. 07782 1
i= 18.26
e
e La tasa nominal de los CETES es entonces de 18.26%
e
e
e
e
e
e.
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e

Ejercicio 4
Una vez que ha sido solucionado el déficit de corto plazo del presupuesto público,
el gobierno de la república desea avanzar con un sistema de financiamiento más
sano y equilibrado para promover el desarrollo de la infraestructura del país. Para
ellos, ha planteado emitir mayor cantidad de bonos de largo plazo.
Supongamos que los bonos de largo plazo (Bonos de Desarrollo del Gobierno
Federal, BONDES) tendrían un crecimiento nominal de 250% en los próximos 5
años. A su vez se estima que los instrumentos de corto plazo (CETES) tendrán un
crecimiento nominal de 220%.
Preguntas
Si en dicho contexto el gobierno decidiera emitir 5,000 millones de nuevos
e pesos en CETES y otra cantidad similar en BONDES, ¿cuál sería el valor de
dichas emisiones al final de los próximos 5 años?
e
¿Cuál sería el ahorro o el sobrepago del gobierno federal por la emisión de
• instrumentos de largo plazo?
e
Datos
e
e - Tasa nominal Cetes: 220%
- Períodos Capitalización de Cetes: 28 días.
• - Tasa nominal Bondes: 250%
- Período capitalización de Bondes: 365 días.
e - No. de días promedio considerados por año: 365
el No. de períodos de 28 en 5 años: 365 x 5/28 = 65.18
• Solución
Pregunta "A"
e
Tasa efectiva de los CETES al término de 5 años
C ie = (1+r/t)t_1
C ie=(1+_2.20 )65.18 1
65.18
e L=7.70
Tasa de interés efectiva para 5 años de los CETES a 28 días
ie =770%
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e 27
e

1
e
• Tasa efectiva de los BONDES al término de 5 años
C
ie = (1+r/t)t-1
ie = (1+_2.50 )-i = 6.59
e
Tasa de interés efectiva para 5 años de los BONDES a 365 días
e ie=659%
• Valor de la emisión de 5,000 millones de nuevos pesos en CETES
e VF = 5,000(1+i)
VF = 5,000 (1+7.70)1 = 43,500 millones de nuevos pesos
e
C
Valor de la emisión de 5.000 millones de nuevos pesos en BONDES
VF = 5,000(1+6.59)1 = 37,950 millones de nuevos pesos
e
Pregunta "B"
Ahorro por la emisión de instrumentos de largo plazo
• 43,500-37,950 =5,550 millones de nuevos pesos.
e
1
1
1
lo
1
1
1
1
1
e
e 20
e

e Ejercicio 5
e
C
Ante la fuga de divisas que se ha presentado en los años pasados, el gobierno
federal ha pensado en lanzar al mercado un nuevo instrumento de inversión de
e renta fija que pueda competir con bonos extranjeros, particularmente los de Estados
Unidos de América. La idea es emitir algún instrumento que garantice la inversión
t en dólares, pero con una tasa menor que la de los instrumentos mexicanos. Con ello,
e el dinero se quedaría en México y el país podría disminuir la fuga de capital,
manteniendo un nivel de ahorro acorde con las necesidades del desarrollo, pero sin
e premiar a la par la inversión de instrumentos con soporte en divisas. Podría
tambien atraer capitales extranjeros hacia México.
• Para 1989 las tasas líderes para ahorradores en México eran los CETES, con un
rendimiento anual de 45.01% a plazo de 28 días y en Estados Unidos los certificados
de déposito a plazo de 1 mes con un rendimiento anual de 8.61%. El tipo de cambio
e pasó, de enero de 1989 a diciembre del mismo año, de 2,326 pesos por dólar a 2,679.
El índice de inflación fue para México de 19.7% y para Estados Unidos de 4.55%.
Con la información anterior, el gobierno de México se pregunta ¿A qué tasa
• promedio anual deberá emitir los nuevos instrumentos para castigar en por lo
• menos 15% real al rendimiento de dicho instrumento con respecto a los CETES,
pero sin que este sea menor de 5 puntos reales con respecto a la inversión en
• Estados Unidos, considerando la variación en el tipo de cambio?.
e So lucion
e
Será necesario obtener primero la tasa efectiva de los bonos de cada país.
• Tasa efectiva de los CETES:
= (1+r/t)t-1
e
e No. de días promedio considerado por año: 365
No. de períodos de capitalización de los CETES: 13.03
e
Sustituyendo,
• ie = (1 +0.4501)13. 03 1
13.03
ie=55.65%
e Tasa efectiva de los certificados de depósito a 1 mes en los Estados Unidos:
C ie = (1+r/t)t_1
e
29

.
No. de períodos de capitalización: 12
e
ie = (1+086)12 1
12
e
C
ie=8.96%
e El siguiente paso sería agregar a la tasa de los certificados de depósito en
e
Estados Unidos el rendimiento que se obtiene por el deslizamiento.
El deslizamiento será de
2,679-2,326/2,326 = 15.18% anual
e
Para obtener una mayor precisión en la determinación del diferencial de
tasas, habría que descontar la inflación, toda vez que el valor de la moneda en
e si mismo se encontraría sin referencia real si no se relacionara con el valor de
los bienes en general. Para México, entonces, la tasa real de los CETES sería:
e
e Rea1 = [(1+ie/100) / (1+Inflación/100)-11 100
e Rea1 = [(1+55.65/ 100)/(1+19.70/100)-1]100
tReal = [(1.5565)/(1.1970)4]100
'Real = (1.300)4 100
1Real = 30%
e Para Estados Unidos la tasa real de los certificados de depósito sería:
e ReaI = [(1+ie/100)/(1+Iflflación/100)4]100
'Real = [(1+O.0896/100)/(1+0.0455/100)4] 100
e Real = [(1.0896) / (1.0455)-lI 100
C 'Real = 4.22%
e Ahora si podemos agregar el rendimiento por tipo de cambio para la
e inversión en certificados de depósito de Estados Unidos..
e El rendimiento real de una inversión en Estados Unidos en su
e correspondiente en pesos sería de:
4.22+15.18 = 19.4%
e
C
Con la información anterior el nuevo instrumento podría emitirse a una tasa
real en pesos de 25%, que es 5 puntos superior al rendimiento real de los
e
e
e

C
certificados de depósito de Estados Unidos en su correspondiente en pesos y
menor en por lo menos el 15% a la tasa de rendimiento real en México.
Para obtener la tasa efectiva en pesos a la que corresponderían los 25% de tasa
e real, tendríamos que
C
Rea1 = [(1+ie/100)/(1+Inflación/100)41 100
25% = [(1+ie/100)/(1+19.70/ 100)41100
• 0.25 = [(1+ie/100)/(1.1970)4]
e
1.25(1.1970) = (1+ie/100)
1.4962-1 = ie/100
e ie=49.62
Considerando los períodos de capitalización mensual, la tasa nominal
• correspondiente a este nuevo instrumento sería:
e in = 12[(1+0.4962)1/12 1]
in = 12[(1.4962)1/12
in = 12(0.03414)
e i=0.4097
i=>40.97%
e
e
e

.
.
e . Espacio empresariali
e Ejercicio 1
e México tiene una producción anual de maíz de 12.5 millones de toneladas y una
demanda de 15 millones - esta condición deficitaria obliga a importar. Sin embargo,
e en virtud de la falta de divisas en el corto plazo para hacer frente a la compra de
e este grano básico, se requiere solicitar un crédito a la banca internacional.
e La Compañía Nacional de Subsistencias Populares es, desde los años 30's, la
e exclusiva importadora de alimentos básicos en el país, por lo tanto, realiza
concursos internacionales para cubrir el déficit nacional. Dichos concursos incluyen
• el sistema de financiamiento para la compra. En uno de ellos, las propuestas
Or
presentadas fueron las siguientes:
e a) Por parte de Estados Unidos:
- Valor del producto: 140 dólares/ton.
• - Tasa de interés: Líbor +4/5
C
- Pagos de capital uniformes anualizados. Primer pago un año después
de haber adquirido el producto.
• - Pago de interés anual sobre saldos insolutos.
- Duración del crédito: 3 años
e
e b) Por parte de Canada:
- Valor del producto: 136 dólares/ton.
e - Tasa de interés: 1 líbor +3/4
e - Pagos de capital uniformes anualmente. Primer pago un año después
de haber adquirido el producto.
e - Pago de interés anual sobre saldos insolutos.
- El préstamo es únicamente el 90% del total del capital requerido, es
• decir, es necesario pagar el 10% en el momento de la adquisición.
e - Duración del crédito: 3 años.
e ¿Cuál de las dos opciones presentadas es la más económica?, considerando que la
e tasa líbor tiene un nivel actual 3.5% anual y que como Canada ofrece únicamente el
90% de crédito, el 10% restante habría que pagarlo de las reservas, que tienen un
e rendimiento de libor capitalizable mensualmente.
el Solución
Para Estados Unidos:
• Tasa de interés: Líbor+4/5 = 33+0.8 =4.3%
e Déficit anual: 123-15.0 = 2.5 millones de toneladas.
e 32
e

Valor de adquisición: (2.5x106)(140) = 350 millones de dólares.
Deuda Pago de Pago Adeudo
Inicial Capital Interés Final
1 350 116.66 15.05 233.34
2 233.34 116.66 10.03 116.66
3 116.66 116.66 5.02
TOTAL 30.10
Pago total = 350 + 30.1 = 380.1
Pago total final por tonelada: 152.04 dólares/ton.
Para Canadá:
Tasa de interés: Líbor+3/4 = 3.5+0.75 = 4.25%
Valor de adquisición: (2.5x106)(136) = 340 millones de dólares.
Valor del préstamo: 340 x 0.90 = 306
Cálculo de pago de intereses.
Deuda Pago de Pago Adeudo
Inicial Capital Interés Final
1 306 102 13.01 204
2 204 102 8.67 102
3 102 102 4.34
TOTAL 26.02
Pago total = 306 + 26.02 = 332.02
Con respecto al 10 % que se tendría que desinvertir, a México le costaría:
Monto de desinversión: 34 millones de dólares.
Valor de la desinversión a 3 años: 34(1+i)fl,
donde:
n 36 ya que la inversión es capitalizable mensualmente el número de
períodos de capitalización en 3 años

e i=Líbor=3.5%
e
mensua1 = 33/12 = 0.292
C mensua1 = 34 (1 + 0.00292)36
e mensual = 37.76 millones de dólares.
C La suma del préstamo con intereses más el valor de desinvertir es igual a:
e 332.02+37.76 = 369.78
• Pago total final por tonelada: 147.9
• La opción más económica es Canadá
e
1
e
e
e
e,
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e

e
e Ejercicio 2
e
Una empresa de construcción ha solicitado a la Secretaría de Hacienda y Crédito
e Público (S.H.C.P.) el sistema de compra de deuda por inversión para la construcción
e de una carretera. Dicho sistema es conocido como SWAP.
C El sistema de SWAP's funciona comprando a la banca internacional deuda del país,
e a un porcentaje de descuento. Posteriormente esta deuda es comprada por la
S.H.C.P. a un nivel superior al de adquisición pero menor a su valor nominal
e (100%). La reducción que aplica la S.H.C.P. está en función de la prioridad para el
país del proyecto para el que se haga la operación.
• Supongamos que la empresa constructora desea adquirir 100 millones de dólares en
deuda del mercado secundario y que su cotización es de un 70% de su valor
Ir nominal. Asimismo, por el tipo de proyecto, la S.H.C.P. pagaría hasta el 80% de
el
dicho valor. El tipo de cambio en ese momento es de 3.183 nuevos pesos por dólar y
tiene un deslizamiento de 40 centésimas por día. Finalmente, la empresa en cuestión
e tiene que contratar un préstamo por 90 días, de 100 millones de dólares, toda vez
que la S.H.C.P. tiene programado pagar la operación en ese plazo. La tasa de interés
actual es de 26.75% anual capitalizable mensualmente.
e Con las condiciones anteriores, la pregunta que se hace la empresa es ¿cuál va a ser
e la utilidad neta de la operación?
Solución
La primera información que habría que obtener es cuánto compramos de
e deuda a valor nominal con 100 millones de dólares. Posteriormente, cuál sería
e el valor de adquisición por parte de la S.H.C.P. Estos elementos nos darían la
utilidad bruta, si la adquisición en el mercado secundario y la compra de
e S.H.C.P. se hicieran en el mismo momento.
e Valor nominal de compra de 100 millones de dólares
e V=100(100)/70
e
Vn = 142.85 millones de dólares.
e Valor de compra de la S.H.C.P.
Vc = 142.85(0.80)
V=114.29
Utilidad bruta
e Ub =
Ub = 28.56 millones de dólares.
e
e 35
e

e
e Para saber la utilidad neta del proyecto, tendríamos que obtener el costo del
préstamo durante 90 días.
e Monto de pesos de 100 millones de dólares
= 3.183 (100x106) = 318.3x106 nuevos pesos.
e
C
Valor futuro del préstamo
Vf = 318.3x106(1+0'
e donde
Tasa efectiva mensual (ie) = 26.75/12 = 2.23%
n = 90 días = 3 meses
Costo financiero del préstamo
e ' = 3.183x106(1+0.0223)3-318.3x106
= 340.07-318.3 = 21.77 millones de nuevos pesos.
e Como la operación se realiza a los 90 días de la adquisición en el mercado
secundario, la utilidad bruta en pesos será de:
e 28.56x106(3.219) = 91.9 millones de nuevos pesos.
La utilidad neta
C U (utilidad bruta)-(costo financiero)
e U = 91.9x106-21.77x106
U = 70.13 millones de nuevos pesos.
e
SO
5
5
e
e
e

.
e
Ejercicio 3
e
Cuando una economía presenta fuerte tendencia a las devaluaciones periódicas,
independientemente de la fuga de capitales, la deuda, particularmente la del sector
e privado, ejerce una presión importante sobre la balanza de pagos y sobre la
inflación. En efecto, las empresas endeudadas en divisas requieren incrementar sus
C precios para poder captar mayor cantidad de pesos que demanda cada unidad de
divisa.
• Con un panorama similar se encontraba México a principios de los años 80 y el
gobierno mexicano creó el sistema llamado Fideicomiso de Cobertura Bancaria
• (Ficorca). En términos generales, consistía en incorporar toda la deuda del sector
• privado y negociar en paquete el refinanciamiento de intereses y extensión del
plazo de pago del capital, evitando así caer en moratoria frente a la banca
• internacional acreedora. Bajo este sistema se requirieron alrededor de 20,000
millones de dólares.
• Si consideramos una empresa cuya deuda ascendía a 200 millones de dólares y su
contratación original establecía el pago a 3 años e intereses a tasa líbor + 3/4, su
C esquema de pago tendría el siguiente comportamiento.
lo Deuda Pago de Pago Adeudo
e Inicial Capital Interés Final
e 0 200
e 1 200 66.66 23.5 133.34
2 133.34 66.66 15.67 66.68
3 66.68 66.68 7.83
e TOTAL 200 47.0
e En este caso, dicha empresa debería tener un excedente después de operación de
e
por lo menos 247 millones de dólares, que representaría, a un tipo de cambio de 150
pesos por dólar, 37,050 millones de pesos, en lugar de 12,350 millones de pesos a un
e tipo de cambio de 50 pesos por dólar. En consecuencia, el crecimiento de su deuda,
no podría ser cubierto por un aumento en sus precios de manera inmediata,
independientemente de la capacidad del mercado de absorber dicho incremento.
Si consideramos que a través del sistema Ficorca se obtuvo una ampliación de 8
años en el plazo de pago y el correspondiente refinanciamiento de intereses a la tasa
original negociada (líbor + 3/4), resuelva lo siguiente:
e
e
e
e

.
e
C a) ¿Qué tasa anual de incremento de sus precios o ingresos requiere dicha
e empresa para hacer frente al servicio de la deuda y seguir su
funcionamiento?
e b) ¿Tendría posibilidad de generar utilidades si sus ingresos aumentaran
- al nivel promedio anual de inflación?
e Consideraciones básicas
e - Inflación esperada promedio anual durante cada uno de los ocho años: 80%
- Ingreso anual promedio de la empresa: 20,000 x 106 pesos.
- Tipo de cambio al inicio del período: 150 pesos/dólar.
• - Valor programado del dólar controlado al final del período: 2,900
pesos/dólar.
• - Costo de operación antes del pago del servicio de deuda: 10,000 x 10 6 .
e Solución
e
La primera incógnita a resolver es el comportamiento de los costos totales de
• operación más el servicio de la deuda, para determinar el nivel de ingreso
e mínimo requerido.
el Servicio de la deuda: Bajo el supuesto de líbor = 11 % anual y pago de capital
e intereses anuales.
e
e Pago
Deuda Pago de Pago Total Adeudo
• Inicial Capital Interés Anual Final
e 0 200
• 1 200 25 23.5 48.5 175
e
2 175 25 20.56 45.5 150
3 150 25 17.63 42.6 125
e 4 125 25 14.69 39.9 100
5 100 25 11.75 36.75 75
e 6 75 25 8.81 33.81 50
e 7 50 25 5.875 30.87 25
8 25 25 2.937 27.93 -
e
Para obtener el precio del dólar en cada año tenemos el valor en el momento
de la negociación y el precio final estimado después de ocho años. De lo
e anterior podemos deducir la tasa promedio de crecimiento anual.
e
e KQ
HÍ

.
Valor Futuro = valor presente (1+i)n
e
C sustituyendo,
c i=J2900/150'-1
C i = (2900/150)1/8 1 = 44.8
C
La tasa anual promedio del tipo de cambio es de 44.8%
e
En referencia a los costos totales de operación, suponemos que tendrán un
C comportamiento por lo menos igual al índice de inflación que es de 80%
• anual.
e Atendiendo a las dos variables anteriores tendremos el siguiente cuadro.
= COSTOS +
SERV. DEUDA
MILLONES
PESOS
COSTOS TOTALE
DE OPERACION
MILLONES
PESOS
SERVICIO DE LA DEUDA
PAGO ANUAL TiPO DE CAMBRi MONTO EN PESC
MILLONES (DOLAR/PESO) (MILLONES)
DLS.
10,000 150.0
1 28,534 18,000 48.50 217.2 10,534
2 46,740 32,400 45.50 314.5 14,340
3 77,720 58,320 42.60 455.4 19,400
4 131,128 104,976 39.90 659.4 26,152
5 224,045 188,956 36.75 954.8 35,089
6 385,121 340,122 33.81 1,328.6 44,999
7 674,021 612,220 30.87 2,002.0 61,801
8 1,182,993 1,101,996 27.93 2,900.0 89,997
11
Si el ingreso necesario mínimo futuro de la empresa en cuestión tuviera que
alcanzar 1182,993 millones de pesos y su captación actual era del orden de
20,000 millones, la tasa de incremento de sus precios debería ser:
Vp = Vp (1+
i = (V/Vp)l/n1
i = (1'182,943/20,000) 1/8 1
i = 66.53%
Si la inflación promedio es de 80% anual y se requiere de un 66.53% de
incremento real de los precios para hacer frente a los compromisos de la
empresa se deduce que sí podría obtener utilidades en su ejercicio
incrementando sus precios de acuerdo al Indice Nacional de Precios al
Consumidor.
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e

Ejercicio 4
Para mantenerse en posición de competencia en el mercado, la compañía "K-2"
e desea poner en promoción un lote de 180 refrigeradores de la marca líder, con un
e descuento del 30% sobre su precio actual, que es de N$5,000 por unidad. De esta
manera, podría vender 15 refrigeradores semanales para terminar el lote en 3 meses.
e
le
La empresa comercial pretende compartir con el proveedor el porcentaje de
reducción y está dispuesta a disminuir su ingreso en N$ 500, es decir, 10% del valor.
e Por su parte, el proveedor sacrificaría de su ingreso N$ 250 que representaría el 5%
del valor del precio al consumidor. El resto tendría que obtenerse con un adecuado
e manejo de Tesorería, por lo cual, en lugar de pagar al contado podría solicitarle al
e proveedor el pago a 90 días. Si las tasas de rendimiento de la inversión de los
remanentes de Tesorería de la empresa comercial son de 25% anual, ¿alcanzaría el
nivel de descuento neto deseado en el precio al consumidor? Considere que el
e
precio de venta del proveedor es de N$ 3,800.
e Solución
El primer valor que habría que obtener es ¿el monto de dinero que significa el
e 10% faltante para alcanzar el descuento neto deseado. Posteriormente el nivel
de intereses que obtendría, en valor absoluto, manejando durante 90 días los
e ingresos de la venta de los refrigeradores.
• La cantidad necesaria para alcanzar el nivel de descuento neto deseado es:
e X = (No. de refrigeradores del lote)(valor unitario del producto)(0.10)
X = 60(5,000)(0.10)
• X = 90,000 nuevos pesos.
Los 90,000 nuevos pesos representan N$ 500 por refrigerador.
e
Para obtener el monto de intereses por manejo financiero, habría que
• considerar que el precio por unidad de venta en promoción sería:
e P= 5,000 (0.80) = 4,000 nuevos pesos/unidad.
• Si el número de refrigeradores semanales de venta es 5, el ingreso en este
e período sería de:
Ingreso semanal = 4,000 (15) = 60,000 nuevos pesos.
• De esta manera "K-2" invertiría N$ 20,000 semanales durante 12 semanas. Su
diagrama de flujo sería:
la
e 40
e

.
.
A
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12T F=?
e *
e
e Con una tasa de interés del 25% anual tendríamos a los noventa días un
monto de:
e Tasa efectiva semanal con una tasa de 25% anual.
e ¡e= 25/52 = 0.4807% semanal.
Monto de la inversión a 90 días.
VFuturo =Ai±if4
e
= 60,000 0+0.004807)' :1.
• 0.004807
= 60,000(12.322)
= 739,344 nuevos pesos.
e Monto de Inversión: (60,000)(12) = 720,000
Monto de Intereses: 739,344-720,000 = 19,344
Monto a pagar al proveedor en 90 días.
e Mp = (Precio de lista - 250) 60
= (3,800-250)180
• = 639,000 nuevos pesos.
Si el monto a pagar al proveedor es de 213,000 nuevos pesos, la utilidad de la
e operación sería:
739,334 - 639,000 = 100,344 nuevos pesos.
el
e Dicho monto representa 557.47 nuevos pesos por unidad, que sumados a los
500 nuevos pesos que "K-2" estaba dispuesta a disminuir de su ingreso, nos
e dan la siguiente ecuación:
500 + 557.47 = 1,057.47 nuevos pesos.
e
Los 1,057.47 nuevos pesos representan el 21.15% del precio al consumidor
C antes de la promoción.
De lo anterior se deduce que "K-2" podría reducir, inclusive, poco más del
e 20%.
e
e
e 41
e

E
.
e
e Ejercicio 1
e Los sistemas de financiamiento de automóviles en el mercado mexicano, a través de
tandas y subastas, comercializan sus servicios con la modalidad de no cobrar "ni
C enganche ni intereses", para lo cual especifican un pago mensual. El monto de dicho
e pago se ajusta, dependiendo del valor del automóvil que se desea adquirir.
e Una de las empresas que otorgan este servicio es la empresa "Sistefin" que, en
noviembre de 1992, para la adquisición de un automóvil Topaz GS, 4 puertas,
automático y equipado, plantea las siguientes condiciones:
e
Precio de la Unidad: 52,000 Nuevos pesos.
C Cuota de Inscripción: 136 Nuevos pesos.
• Mensualidad Normal: 1,010 Nuevos pesos.
Mensualidad de Adjudicación: 1,296 Nuevos pesos.
e Número de Mensualidades: 60
lo El sistema de subasta consiste en que cada mes una de las 60 personas que entraron
C a ésta, obtiene uno de los automóviles. A partir de ese mes, el ganador comienza a
pagar la cuota de adjudicación, quedando fija hasta el final del proceso. Antes de
obtener la adjudicación, los postores pagan la cuota llamada "mensualidad normal".
e Si el precio de lista del automóvil aumenta, la cuota mensual lo hace en la misma
proporción, siempre cuando no haya sido adjudicado.
e De acuerdo con la información anterior, determine:
e a) ¿Cuál es el valor final de adquisición del automóvil si se gana la subasta
en el mes 60, considerando que en lugar de abonar al sistema de subasta
podría haber invertido la cantidad mensual a las tasas actuales del
e mercado de renta fija (16% anualfl
e b) ¿Qué tasa de interés anual efectiva pagaría el postor que adquiriera su
e vehículo de acuerdo al contexto presentado en la pregunta anterior?
e Solución
le Pregunta "A"
- Mensualidad normal: 1,010 nuevos pesos.
C - Tasa de interés anual: 16%
e - Tasa de interés mensual efectiva: 16/12 = 1.333
e
e

Para obtener el valor futuro, tendríamos
VF = Mensualidad [(1 + j)nJ.j
1
VF = 1,010 [(1 + 0.01333)..-1]
0.01333
VF= 1,010[1.2133 J
0.0133
VF = 1,010 [91.02]
VF=91,935
4IJi1b ;
- Valor Futuro del Vehículo: 91,935 nuevos pesos.
- Valor original de la unidad: 52,000 nuevos pesos.
- Período del proceso: 60 meses = 5 años.
VF = P (1+i)n
91,935 = 52,000(1+i)n
despejando i,
i
N 52,000
í 5 -i
N 52,000
i = 76.79% en cinco años.
anuaI = 76.79/5 = 15.36% Tasa efectiva anual.
40

Ejercicio 2
Para la adquisición de una máquina de escribir eléctrica en la cadena comercial de
"El Palacio de Hierro", una familia tiene dos opciones. Comprarla con Tarjeta de
Crédito de Bancomer o adquirirlo con tarjeta emitida por la cadena comercial.
El sistema de tarjeta de crédito exije un pago mínimo de 10% de la cantidad
adeudada. El cargo por intereses se calcula sobre saldos insolutos y la tasa
promedio es de 3.5% mensual. En cuanto a la tarjeta de la cadena comercial, exije un
pago de 10% de enganche y 12 mensualidades de 52 nuevos pesos.
¿Cuál de las opciones resultaría más barata, si el costo de la máquina es
de 500 nuevos pesos, y la inflación estimada anual es de 6%?
¿Cuánto pagaría de más sobre los 500 nuevos pesos con cualquiera de
las formas de pago?
Solución
Cálculo para la tarjeta de la cadena comercial
ice
[ji
A = 52
Enganche: 50 nuevos pesos.
Mensualidades: 52 nuevos pesos.
No. de mensualidades: 12
Valor de las mensualidades en el momento de la compra:
44

Vp = Mensualidad[(1+Di]
i(1+i)n
Vp = 521(1+0.005)12 1
0.005 (1 + 0.005)12
Vp = 52 [0.06168]
0.0053
Vp =52 [11.6377]
Vp = 605.16 nuevos pesos
El valor en el tiempo "0" o de compra del pago de las 12 mensualidades de 52
nuevos pesos y considerando una tasa de inflación de 6%, es 605.16 nuevos
pesos. A dicha cifra se le puede agregar directamente los 50 nuevos pesos de
enganche, ya que están en equivalencia en el tiempo.
Valor de adquisición por medio de la tarjeta del Palacio de Hierro = 605.16 +
50 = 655.16 nuevos pesos.
Cálculo para la tarjeta de crédito
Para dicho cálculo suponemos que la misma familia está dispuesta a pagar las
mensualidades de 52 nuevos pesos.
- Precio de adquisición: 500 nuevos pesos.
Como los intereses de las tarjetas de crédito se calculan sobre saldos insolutos
debemos hacer una tabla como la siguiente:
45

e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
=
ADEUDO
INICIAL
DEL PERIODO
P A G O
CAPITAL
MENSUAL
INTERESES
(1=3.5% MENS)
I.V.A. SOBRE
INTERESES
VALOR DE LA
MENSUALIDAD
AL MOMENTO
DE LA
COMPRA (1) MENSUALI-
DAD
-Ó 500.00
1 500.00 32.75 17.50 1.75 51.74 52
2 467.25 34.01 16.35 1.64 51.49 52
3 433.24 35.32 1516 1.52 51.23 52
4 397.92 36.68 13.92 1.39 50.98 52
5 361.24 38.09 12.64 1.26 50.73 52
6 323.15 39.56 11.31 1.13 50.49 52
7 283.59 41.04 9.93 0.99 50.24 52
8 242.51 42.66 8.49 0.85 49.99 52
9 199.85 44.31 6.99 0.67 39.74 52
10 155.54 46.01 5.44 0.54 49.49 52
11 109.53 47.78 3.83 0.38 49.24 52
12 61.75 49.62 2.16 0.22 48.99 52
13 12.12 12.13 0.42 0.04 11.81 12.59
Ilta
(1) P = mensualidad
(1+0.005)
El pago con tarjeta de crédito resulta más económico.
Tarjeta del Palacio de Hierro: 655.16 nuevos pesos.
Tarjeta de Crédito: 616.16 nuevos pesos.
El pago sería superior para cada forma de pago en:
Tarjeta del Palacio de Hierro: 655.16/500 = 1.31 => 31%
Tarjeta de Crédito: 616.16/500 = 1.23 => 23%

e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
Ejercicio 3
Un trabajador de una empresa desea ejercer su jubilación después de haber
laborado durante 40 años. Dicha empresa le ofrece dos sistemas para compensar su
retiro de trabajo:
Pagarle un 100% de su sueldo anual, que en la actualidad es de 120,000
nuevos pesos libres de impuesto mientras viva y 50% a su esposa en el
caso de fallecer.
Pagar una jubilación al momento de su retiro de 2,0 veces lo que resulte
conforme a Ley, es decir, 3 meses más 20 días por cada año trabajado,
más 12 días de salario mínimo por cada año.
¿Cuál es la mejor opción si considera los siguientes elementos?
El trabajador vivirá durante cinco años después de jubilado y su esposa
dos más.
El rendimiento efectivo de las inversiones de renta fija se espera se
mantengan durante los próximos años en 17% anual.
El nivel de inflación promedio esperado es de 5.0% anual.
Solución
Para la solución habrá que actualizar el monto que va a recibir durante los
cinco años de vida del trabajador y dos de su esposa. De esta manera se
podría comparar con el pago por una sola ocasión de la segunda opción.
Diagrama de flujo del primer esquema
P =?
A=60,000
ANUALIDAD = 120,000
47

Para obtener el valor presente del sueldo recibido en el período se tiene:
Vp = Anualidad [(1 + i)nj]
i(1+i)n
Donde i es la tasa de inflación.
Para los cinco primeros años, mientras vive el jubilado:
Vp = 120,000 [(1 + 0.050)2i}
0.05 (1+ 0.05)5
Vp = 120,000(4.3294)
Vp = 519,528
Para los 2 años de que la esposa recibe el salario, tenemos:
VF=Vp(1 +i)n
VF=Vp/(1 +i)n
Para el sexto año
Vp = 60000 = 44,776
(1+0.05)6
Para el séptimo año
Vp = 60000 = 42,642
(1 + 0.05)7
Como todos los valores están en valor presente los podemos sumar
Vp Total = 519,528 + 44,776 + 42,642 = 606,946
Para obtener el valor de la segunda opción se tiene
- Sueldo anual: 120,000 nuevos pesos.
- Sueldo mensual: 10,000 nuevos pesos.
De acuerdo a la Ley:
1) 3 meses = 30,000.
89

e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
•0
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
20 días por año =20 (40) = 800/365 = 2.19 años.
2.19 (120,000) = 262,800.
12 días de salario mínimo por año trabajado.
Salario mínimo actual 13.5 nuevos pesos/día.
12 (40) = 480 (13.5) = 6,480.
Sumando lo estipulado en la Ley del Trabajo, tenemos:
30,000 + 262,800 + 6,480 = 299,280.
El pago total sería
299,280 (2) = 598,560 nuevos pesos.
La mejor opción es entonces, recibir el sueldo hasta el fallecimiento del
trabajador y su esposa.
MII

.
s
e Ejercicio 4
e
Un trabajador del nivel medio superior en el mercado de trabajo, desea saber de
e cuanto podrá disponer dentro de 25 años a precios actuales para retirarse con el
e nuevo Sistema de Ahorro para el Retiro, si mantiene su nivel de sueldo actual.
C El Sistema de Ahorro para el Retiro considera una inversión bimestral de 5% del
e ingreso bruto como aportación para el Infonavit y 2% de retiro en una cuenta dentro
del sistema bancario, que tendrá rendimientos de 3 puntos arriba de la inflación. Sin
• embargo, para los sueldos de niveles superiores, existe el tope de 10 veces el salario
mínimo diario (S.M.D.), tanto para su aportación del Infonavit como para la de
retiro, en cuentas separadas como aportación mensual.
Considere una inflación de 6% anual durante los próximos 25 años y el salario
• mínimo 14.27 nuevos pesos (valor a precios de enero de 1993). Considere que dicho
salario se incrementa en 2.4 nuevos pesos cada año.
e Solución
e Para obtener el resultado tendríamos, primero, que buscar la cantidad de
e dinero al final del período, es decir, dentro de 25 años. Asimismo, dado que el
ingreso de un cuadro medio superior es suficientemente elevado, su inversión
• por concepto del sistema de ahorro para el retiro e Infonavit sería la
- considerada como máxima.
e S.M.D.: 14.27 = 2.4 cada año.
e Para obtener el correspondiente de los 2.4 pesos de incremento por año,
e tenemos que utilizar el método de gradiente equivalente.
e Equivalencia por bimestre
=2.4/6[1_ n
e 1 (1+i)n -1
e
e =0.4[_1 - 150
0.015 (1+0.015)1501
e
=0.4[66.66_ 150
8.3305
e
e
= 0.4 [48.65]
e
e
e

e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e,
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
= 19.46 Equivalencia bimestral de incremento de 300 nuevos pesos anuales.
Cálculo de aportación bimestral.
Aportación bimestral de Infonavit = S.M.D. (Cuota máxima) [No. de meses] =
14.27(10) [2] = 285.4
Aportación bimestral de retiro = S.M.D. x cuota máxima x No. de meses =
14.27(10) [2] = 285.4
Aportación bimestral total máxima = 285.4 + 285.4 + equivalencia del
incremento (cuota máxima)
= 285.4 + 285.4 + 19.46 (10) = 765.4
Valor futuro de una inversión bimestral de 765.4, es:
VF=765.4[(1 +i)ni]
1
donde: n = No. de bimestres en 25 años =6 x 25 = 150
Tasa anual = Indice de Inflación + 3 puntos reales = 6 + 3 =9%
Tasa bimestral = 9/6 = 1.5%
VF = 765.4 [(1 + 0.0150) 150 :1]
0.015
= 765.4(555.37)
= 425,080
Los 425,080 nuevos pesos dentro de 25 años corresponderían, a valores
actuales, a:
Vp = VF / (1+i)fl
= 425.080
(1+0.06)25
= 99,086 nuevos pesos.

.
Ejercicio 5
e
Una viuda tiene en el banco un ahorro de N$ 400,000 y se pregunta cuál será la
e mejor inversión de dicho dinero entre mantenerla en el mercado de renta fija o
e adquirir un inmueble por el mismo valor, acumulando la renta que dicho inmueble
e
le genere en los próximos 5 años.
Je El rendimiento mensual de los instrumentos de inversión de renta fija es de 1%. La
renta mensual es de aproximadamente 1% del valor del inmueble, es decir, N$ 4,000
• y tendrá un incremento de N$300 cada año. El valor comercial del departamento a
los cinco años será de 1.5 veces su valor de adquisición original. Suponga que tanto
C los intereses devengables del capital invertido como la renta se invierten en el
e sistema bancario.
Solución
e Valor futuro de la inversión en instrumentos de renta fija.
e
VF = Vp (1+i)fl
e donde: Valor presente: 400,000 nuevos pesos
Tasa de interés: 1% mensual
e Período de capitalización en 5 años: 12 x 5 = 60
e
Vp = 400,000 (1+0.01)60
e VF = 726,679
e A los cinco años la viuda tendría 726,679 nuevos pesos.
Valor futuro de la adquisición del inmueble:
e - Valor actual: 400,000 nuevos pesos.
e - Valor del inmueble a 5 años: 400,000 (1.5) = 600,000 (a)
Valor futuro de la inversión de las rentas:
e - 1% del valor del inmueble: 4,000
- Renta mensual: 4,000 + 300 cada año
e - No. de mensualidades en 5 años: 12 (5) = 60
e
- Tasa de interés inversión: 1% mensual.
e Valor futuro = mensualidad [(1 + i)-1]
- 1
e
CI
e

Sin embargo, la mensualidad va ascendiendo 300 nuevos pesos cada año. Por
ello tendremos que obtener la equivalencia de los 300 nuevos pesos en una
mensualidad.
Equivalencia en la mensualidad
= Aumento anual/No, de meses Ej. - n ]
i (1+i)n1
=25[ 1 - 60
0.01 (1+0.01)60 1
=25[100_ 60
0.8167
= 25 (26.53)
= 663.25
Mensualidad equivalente durante el período:
4,000 + 663.25 = 4,663.25
Con este cálculo ahora si podemos obtener el valor futuro de la inversión de
las rentas.
Valor futuro = mensualidad equivalente [(1 + i)fl-i]
con incremento i
Valor futuro = 4,663.25 [(1 + 0.01) 60 .1]
0.01
= 4,663.25 (81.66)
Valor futuro
de la mensualidad invertida= 380,846
Agregando el valor del inmueble al final del período
600,000 + 380,346 = 980,346
La mejor opción sería adquirir un departamentos ya que su valor sería 34.9%
superior al que se obtendría mediante la inversión en instrumentos de renta fija.

Capítulo 31
Matemáticas básicas
ara Ingeniería Financiera
e
e
e
e
e
e
e

e
e
Introducción
e
C
Las herramientas matemáticas son únicamente la traducción alfa-numérica de los
elementos conceptuales de un universo específico de trabajo. Cuando los conceptos
e de un espacio de trabajo son relativamente sencillos, tanto en su comprensión como
en su aplicación, con frecuencia se tiende a simplificar y caer en interpretaciones
erróneas y conclusiones equívocas.
Como hemos señalado, la Ingeniería Financiera contempla básicamente el manejo
de dos variables: Dinero y Tiempo. Debido a ello, no se debe subestimar la simpleza
de su tratamiento matemático para evitar resultados inadecuados o sencillamente
falsos.
En este contexto, consideramos importante incorporar en nuestro trabajo un breve
repaso de las matemáticas básicas para llevar a cabo actividades de Ingeniería
Financiera, no sin antes recordar que las matemáticas financieras proporcionan al
analista un esquema práctico de acción, pero que existe un alto grado de
complejidad en la previsión del comportamiento de las variables que determinan
los cambios del valor del dinero en el tiempo, como son: las futuras tasas de interés,
de inflación, de tipo de cambio de una moneda frente a otras divisas, etc. En este
sentido, si bien los resultados que se obtienen de la aplicación de dichas
herramientas son difícilmente precisos y/o exactos en lo que se refiere a las
previsiones sobre su comportamiento futuro, éstos alcanzan un nivel suficiente para
apoyar la toma de decisiones.
1. Importancia y representación gráfica del flujo de caja
Elemento fundamental para la comprensión y resolución de algún planteamiento
financiero, es establecer el flujo de caja o flujos de dinero. El flujo de caja es
resultado de ingresos y costos o erogaciones de algún agente económico durante un
mismo período de tiempo. Algebraicamente se puede representar:
Flujo de caja = Entradas o Ingresos - Egresos o Costos.
Una tabla que representa el flujo de caja de organismos y empresas controladas del
sector público entre 1988 y 1991 es como sigue:

Miles de millones de pesos
1988 1989 1990 1991
Ingresos 67,598 77,238 107,868 117,619
Egresos 65,733 78,060 104,947 119,203
Flujo de Caja 1,865 (822) 2,921 (1,584)
(Déficit) o Superávit
Es evidente que como los valores absolutos del dinero en el tiempo no son
equivalentes, el déficit o superávit en un año podría ser menor en valor al de años
anteriores, pero superior en términos reales.
La representación gráfica de un flujo de caja es:
AÑOS
0 1 2 3 4 5
TIEMPO
107,868
117,619
77,238
104,947 119,203
2. Equivalencia del dinero en el tiempo
Para facilitar los cálculos de equivalencia, se desarrollará una serie de fórmulas de
interés. Se usará la siguiente notación para simplificar la presentación:
i = Tasa de interés por período de interés. En las ecuaciones, la tasa de interés, se
establece como un decimal (es decir, 5% de interés se expresa 0.05).
P = Una cantidad presente de dinero.

.
.
e
C F = Una cantidad futura de dinero. La cantidad futura F es una cantidad a n
le
períodos del presente, que es equivalente a P o a Fcon una tasa de interés i.
e G = Un gradiente aritmético uniforme que representa un incremento, período a
- período, en los pagos o desembolsos.
e
2.1 Valor futuro
e Supóngase que se invierte una suma de dinero P (capital) a un año (o dicho
de manera más general, a un período de interés) a una tasa de interés i. Al
t final del año deberá recibirse la inversión inicial P, más el interés obtenido en
e el período, que es igual a iP. De esta forma, la cantidad total a recibir será
igual a: P + iP. Factorizando P, la suma al final del año es P(1+i). Supóngase
que en lugar de retirar la inversión (capital más intereses) al final del año, se
deja que permanezca otro año. ¿Cuánto valdría la inversión del segundo año?
La cantidad que se tiene al iniciar el segundo año es P( 1+i) + el interés iP(1+i),
e lo que significa que al final del segundo año la inversión total se convierte en
P(1 + j)2. Si el proceso continua un tercer año, la cantidad total al final de este
• tercer año será P(1+i)3 y después de "n" años será P(1 + i)..La progresión se
e ve como sigue:
e Cantidad al principio + Interés del período = Cantidad al final del
del periodo de interés período de interés
e Primer año P + iP = P(1+i)
Segundo año P(1+i) + iP(1+i) = P(1+i)2
e Tercer año P(1+i)2 + iP(1+i)2 = P(1+i)3
• Año P(1+i)fl4 + iP(1+i)fl-1 = P(1+i)
e Dicho de otra manera, la suma presente P aumenta en n periodos a P(1 +j).
e Por lo tanto, se tiene una relación entre el valor de una cantidad presente P y
el valor de la cantidad futura equivalente F.
Valor futuro = Valor presente (1+i)fl.
F = P(1+i)
Para propósitos prácticos, la expresión matemática anterior se puede
transformar en la siguiente notacion funcional:
e F = P(F/P,i%,n),
e
e
e
e

.
.
e donde el término (f/p,i%,n) se llama factor de cantidad compuesta; algunas
e publicaciones contienen las tablas que presentan el valor del factor de
cantidad compuesta para diferentes valores de "i" y "n".
e 2.2 Valor Presente
Si se toma F = P(TI-i-i). y se despeja P, se obtiene
e P= F(1+i)fl,
e
e que en flotación funcional pasa a ser
• P = F(P/F,i%,n)
• El término (P/F,i%,n) se denomina valor presente y también puede obtenerse
e en tablas de algunas publicaciones.
• 2.3 Serie de pagos o ingresos uniformes
Los préstamos para automóviles, los pagos de una casa y muchos otros
• créditos se fundan en series de pagos uniformes. La serie A se puede definir
como:
e A = Un ingreso o desembolso de fin de período en una serie uniforme que
continúa n períodos, en donde la serie completa es equivalente a Po a F a una
e tasa de interés i.
La figura que se muestra abajo es una representación del tiempo en la que se
e muestran cuatro períodos de interés. Se han colocado cuatro ingresos
uniformes A al final de cada período de interés y existen tantos ingresos A
e como períodos de interés n. Estas dos condiciones se especfican en la
e definición de A.
• Anteriormente ya se había visto que una cantidad P en un punto en el tiempo
aumentará a un valor F, en n períodos de acuerdo con la ecuación:
e F = P(1+i)fl
e
e
e

A A A A
Se usará esta relación para desarrollar la fórmula de serie uniforme.
Viendo nuevamente la figura, se observa que si se invierte una cantidad A al
final de cada uno de los siguientes n años, es naturalmente la suma de los
valores futuros de cada una de las inversiones individuales
F = A(1+i)3 + A(1+i)2 + A(1+i) + A
En el caso general para n años,
F = A(1+i)fl-1 +...+ A(1+i)3 + A(1+i)2 + A(1+i) + A
Multiplicando por (1 +i) ambos miembros,
(1+i) F = A(1+i)fl +...+ A(1+i)4 +A(1+i)3 + A(1+i)2 A(1+i)
Factorizando A y restando la ecuación del caso general para n años se obtiene
(1+i)F = A[(1+i)fl +...+ (1+i)4 +(1-i-i)3 + (1+i)2+(1+i)]
F = A[(1+i)fl 1 +.. .+(1-i-i)3 + (1+i)2 +(1+i) + 11
entonces,
iF = A[(1+i)fl -11
Despejando F,
F = A[(1+i) Ii-ui]
Así, se tiene una ecuación para F cuando se conoce A. El término entre
corchetes se conoce como factor de cantidad compuesta de una serie uniforme y
se hace referencia a él con la notación:

.
.
C (F/A,i%,n)
e
Combinando las fórmulas que ya conocemos, con la que acabamos de
obtener, se tienen las siguientes expresiones:
e
A = F{i/[(1 +j)fl - 1]) = F(A/F,i%,n)
• A = P{i(1 +j)fl ¡[(1 +)fl- 1]} = P(A/P,i%,n)
e P = A{[(1 j)fl -1]/i(1 +j)fl} = A(P/A,i%,n),
e donde los términos (A/F,i%,n), (A/P,i%,n), (P/A,i%,n) se llaman factor de
e amortización, factor de recuperación de capital y factor de valor presente,
respectivamente, y se obtienen de tablas.
e
le
2.4 Gradiente Uniforme
e Con frecuencia se encuentran situaciones en las que la serie de flujo de caja no
es una cantidad constante A. En su lugar hay una serie creciente linealmente
e como la que se muestra:
e
e
e
e
e
e
e
e
e
Los flujos de caja de esta forma se pueden desglosar en dos componentes:
A+(N-1)G
A+3C
A~G A+2C
P
09
e
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e

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