Matemáticas financieras

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MATEMATICAS FINANCIERAS:
un enfoque aplicado
Econ. Luis Flores Cebrián

2
INTRODUCCIÓN
Con frecuencia cuando escuchamos el término matemáticas apreciamos gestos de desagrado e
incomprensión por parte de los alumnos o interlocutores, producto probablemente de experiencias
académicas frustrantes en asignaturas relacionadas con esta importante disciplina.
Es objetivo del autor contribuir modestamente a revertir esta apreciación mediante la presente obra ,
pues no debemos olvidar que las matemáticas como ciencia formal , son utilizadas en todas las ciencias
naturales y sociales y con mayor razón en las ciencias empresariales como la administración, economía
y contabilidad .
El texto es producto de la enseñanza de matemáticas financieras en el Instituto peruano de
Administración de Empresas – IPAE, así como en instituciones financieras y bancarias e instituciones
de educación superior.
Aborda en la primera unidad una breve revisión de conceptos matemáticos indispensables para
facilitar de manera didáctica la comprensión del resto del texto.
En la segunda unidad trata acerca del mercado de capitales y el circuito financiero que es el esquema
central que guia el resto de la obra.
La tercera unidad está referida a la variable más importante , que es la tasa de interés su concepto,
clasificación y principales aplicaciones.
En la cuarta unidad trata de las operaciones de actualización , tanto de stocks, como de rentas y su
importancia especialmente en el ámbito de la evaluación de inversiones .
La Quinta unidad presenta las operaciones de capitalización tanto de stocks y rentas así como la
diferencia principal entre las operaciones con rentas sean estas vencidas o adelantadas
Las diferentes perspectivas de la amortización o formas de pago de una deuda ocupan el interés de la
sexta unidad en la que se comparan los cuatro métodos más comunes de amortización.
El descuento bancario simple y compuesto es el tema de la sétima unidad en la que se muestra la
importancia de este tipo de operaciones con el sistema bancario
Los distintos métodos de depreciación de activos es el tema de la última unidad se muestran los cuatro
principales métodos de depreciación que son muy útiles en el ámbito del tratamiento y contabilizacion
de los activos fijos y mobiliarios.

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Al finalizar cada lección se acompañan una serie de ejercicios aplicativos que se sugiere sean resueltos
antes de pasar a la siguiente unidad.
Los anexos son referentes indispensables para recordar o reforzar conceptos básicos y/o apreciar cómo
aplicar las fórmulas del circuito básico utilizando hoja electrónica (EXCEL).
Espero haber cumplido con las expectativas personales cifradas en la presente obra, no sin antes
reconocer el importante aporte de los señores autores de los textos que figuran en la bibliografía y las
sugerencias y críticas de los alumnos y profesionales a quienes tuve el honor de enseñar .

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INDICE
Pág
PRESENTACIÓN
INTRODUCCIÓN 1
CAPITULO I : Las Matematicas Financieras 4
1 . Concepto de Matematica Financiera 7
2 . Aplicaciones de las Matematicas Financieras
3 . Los Mercados Financieros
4. El circuito financiero
CAPITULO II : Los Porcentajes y la regla de tres
1. La Regla de tres
2. La teoria de los porcentajes
3. Los gráficos financieros
CAPITULO III : La tasa de Interés
1 . Interes Simple y Compuesto
2 . Interes efectivo, nominal y equivalente
CAPITULO IV : Valor Actual
1 . La relación Valor Actual – Monto

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2. La relación Valor Actual - Renta
3. Aplicaciones prácticas del Valor Actual
UNIDAD V : Valor Futuro
1 . La Relación Valor Futuro – Capital
2 . La Relación Valor Futuro – Renta
3. Operaciones mixtas
UNIDAD VI : Perpetuidades y Gradientes
1 . Perpetuidades
2 . Gradientes
UNIDAD VII : Amortización de deudas
1 . Los métodos Alemán y Francés
2 . Los métodos Hipotecario y Amercicano
3. Los metodos Flat y Fondo de amortización
UNIDAD VIII : El Descuento Bancario
1 . Descuento Racional Simple
2 . Descuento Racional Compuesto
3. Descuento bancario simple
4. Descuento bancario compuesto
UNIDAD IX : La Depreciación

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1 . Metodos uniforme y porcentaje fijo
2 . Métodos Fondo de Amortización e Interés sobre
La Inversión
GLOSARIO
APENDICES
BIBLIOGRAFIA

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CAPITULO I
LAS MATEMATICAS FINANCIERAS
1. Las Matemáticas Financieras
2 . El Mercado Financiero y la tasa de interés
3 . El Circuito Financiero
OBJETIVOS :
1º Conocer la naturaleza de los mercados financieros, la importancia de la tasa de interés,
así como su clasificación
2º Conocer el circuito financiero y las diversas operaciones financieras que derivan de él

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1.1 CONCEPTO DE MATEMATICAS FINANCIERAS
Las matematicas financieras son una disciplina derivada de la matematica y las finanzas , la
primera es una ciencia exacta, formal y exacta que es base del conocimiento humano y las
finanzas son una disciplina emergente de carácter empresarial. La confluencia de las dos dan
origen a la matemática financiera .
La matemática podríamos decir que empieza hace 3,000 A.C. período en el que se han
descubierto las primeras tablillas con escritura cuneiforme de la civilización sumeria.
Son los griegos – desde la perspectiva occidental – quienes le dan un gran impulso a esta ciencia,
Tales de mileto ( 700 AC ) formuló la concepción atómica de la espacio basada en relaciones y
proporciones , Euclides ( 365 AC) plantea la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas
y volúmenes en su obra “ Elementos” ,
En la edad media se tienen aporte importantes de Omar Khayyam que generalizó los métodos
de extracción de raices cuadradas y cúbicas , Leonardo de Pisa ( Fibonacci) (1170) escribió su
libro “ Liber Abacci” , donde presenta la ponencia de que la aritmética y la geometría están
conectadas e interrelacionadas.
En el renacimiento, Gerolamo Cardano ( 1545) en su obra “Ars Magna” elabora la formula
algebraica para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado, Galileo Galilei ( 1564) , junto
con Johannes Kepler (1571) fueron importantes cientificos cuyos aportes inciaron una
MATEMATICAS
Matematicas
Financieras FINANZAS

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revolución científica cuyo punto más alto lo constituyó el fisico ingles Isaac Newton ( 1642)
padre del cálculo diferencial e integral.
Poco después el alemán Gottfried W. Leibnitz ( 1646) descubrio el cálculo, los límites y su
importancia en la matematica son descubiertos por Augustin Lowis Cauchy ( 1789)
Carl Friedrich Gauss (1977) demostró el teorema fundamental de algébra y dio una explicación
apropiada de los números complejos.
En el siglo XX se forjan los instrumentos de la llamada “Matemática Moderna” gracias a los
aportes de la teoría de los conjuntos George Cantor ( 1845) y David Hilbert ( 1862) .
Las finanzas, en cambio durante mucho tiempo se consideraron como una parte integrante de
la economía, a principios del siglo veinte es surge como un campo de estudios independiente.
Las finanzas hasta el siglo XIX estaban dominadas por el aspecto de la teneduría de libro, la
contabilidad, y la búsqueda de financiación como señala Besley (2001) .
Durante la segunda revolución industrial, a principios del siglo XX, las empresas empiezan a
crecer, surgiendo las fusiones y absorciones , estrategias que requieren de grandes emisiones de
activos financieros como acciones y obligaciones, desarrollándose los mercados financieros
especialmente los mercados primarios.
La crisis de la bolsa de valores de Nueva York en 1929 son un acontecimiento que generó, la
inestabilidad, subida de las tasas de interés, paralización crediticia, con lo cual las liquidaciones
y quiebras configuraron un panorama desolador. En esta coyuntura las empresas privilegiaban
mantener la solvencia , reducir el endeudamiento y aparecen los primeras preocupaciones por
la estructura financiera de la empresa.
Posteriormente después de la Segunda Guerra Mundial en los años 60 el enfoque teórico estuvo
dirigido a la elección de activos y pasivos requeridos para la maximización del valor de la
empresa. Implementándose la planificación financiera y los controles de capital y tesorería.
Los objetivos se enfocan en la rentabilidad, el crecimiento y la diversificacióninternacional . Es
en estos años que surge el modelo de estructura financiera de Modigliani y Miller (1958) en el
cual se plantea – en una primera instancia- que la estructura financiera no afecta el valor de la
empresa. En 1976 Jensen y Mekling postulan la Teoria de la Agencia, que argumenta que existe
diferencias entre los objetivos de los directores ( ejecutivos ) y los propietarios (accionistas)
de la empresa. Así los ejecutivos podrían tener objetivos diferentes a la maximización del valor
de la empresa, como proteger sus propios intereses . Esto genera costos ocasionados por nuevos
procedimientos de control ( costos de agencia) .

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Actualmente se tiene a las finanzas inmersa en la globalización y mundialización de los
mercados financieros , desregulación financiera , hipercompetencia entre proveedores de capital
y servicios financieros, alta volatilidad de las tasas de interes y activos financieros, desarrollo
del mercado de opciones y futuros, incertidumbre económica mundial , el impresionante avance
de la tecnología, los ordenadores y las comunicaciones y surgen nuevos retos que el
administrador financiero debe asumir.
En las finanzas existen temas emergentes como la valoración de empresas, la naturaleza de los
riesgos financieros , la Teoría de Agencia, la búsqueda de la estructura financiera óptima, Teoría
del Valor económico agregado , entre otros.
Actualmente las funciones básicas de las finanzas son :
• Decisiónes de Inversión , para optimizar la estructura de las inversiones , reducir el riesgo
así como incrementar la capacidad productiva
• Decisiónes de Financiación, referida a la estructura óptima de financiamiento y la mezcla
adecuada de recursos propios y de terceros
• Decisiones de Dividendos, que comprende el dilema del autofinaciamiento, la constitución
de reservas, el pago de dividendos a los accionistas y su impacto en la empresa
El objetivo principal de la empresa – desde la óptica financiera- es el maximización del valor
de mercado de la empresa para sus accionistas. Para lograr estobjetivo fundamental las empresas
deben elegir la combinación óptima de estructura de inversiones, financiación y politica de
dividendos. Otros objetivos secundarios son la maximización de las utilidades, maximización
del volumen de ventas, minimización de los costos y gastos, supervivencia empresarial, entre
otros.
Es preciso precisar algunos conceptos que serán de suma utilidadpara la comprensión del texto
como:
• Dinero : cualquier cosa que los miembros de una colectividad están dispuestos a aceptar
como pago de bienes y deudas, su función específica es de desempeñar la función de
equivalente general
o Funciones :
▪ Medida de valor
▪ Medio de circulación
▪ Medio de pago
o Tipos de dinero
▪ Dinero mercancia, cuando se utiliza una mercaderia ( oro, sal) como
medio de intercambio de bienes o servicios

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▪ Dinero signo , cuando es aceptado por imperio de la ley,la cual determina
su circulación y aceptación obligatoria ( billetes y monedas)
▪ Dinero giral , que son los depósitos bancarios
• Operación Financiera : son instrumentos que materializan intercambios de capitales con
vencimientos no simúltáneos (diferente capacidad de liquidez). Los aspectos que
intervienen en una operación financiera son :
o Prestación, capital que se compromete a entregar al persona que inicia la
operación
o Contraprestación , compromiso que adquiere la persona deudora
o Origen de la operación, momento en que vence el primer capital
o Final de la operación , vencimiento del último capital que se intercambia
o Duración , tiempo que media entre el origen y final de la operación
1.2 EL MERCADO FINANCIERO
Es el mercado formado por los modos , plazos y condiciones bajo los cuales se encuentran la
oferta y demanda de capitales. Su función esencial es posibilitar el flujo de recursos financieros
de manos de los ofertantes a los demandantes.
Vamos a detallar brevemente los elementos del Mercado Financiero :
OFERTA
Unidades
superavitarias
MERCADO
FINANCIERO
DEMANDA
Unidades
deficitarias
ELEMENTOS :
• Recursos financieros
• Intermediarios financieros
• Instrumentos financieros
• Tasa de Interés

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• Recursos Financieros : Es la liquidez del sistema financiero o dicho de otro modo son los medios
de pago (M) creados por los intermediarios más el ahorro financiero. Esta liquidez está
constituida por :
Liquidez = DINERO + CUASIDINERO
Constituye la oferta monetaria ( OM = M1 + M2 +M3 +M4) . Donde :
M1 : billetes y monedas en poder del público + depósitos a la vista del sector privado
M2 : M1 + depósitos a plazo del sector privado
M3 : M2 + depósitos de ahorro del sector privado
M4 : Totalidad de medios de pago del sistema
• Intermediarios financieros : Son las instituciones agrupadas en sistemas que dan vida al mercado
de capitales y cuya función consiste en movilizar los recursos financieros, captándolos y
canalizándolos sistemáticamente hacia inversiones o colocaciones . Se divide en
▪ Sector bancario ( Bancos )
▪ Sector no bancario ( Cajas, EDPYMES, COPACS ; etc).
También estan considerados los organismos reguladores (Banco Central) y los organismos de
control y vigilancia (Superintendencia de Banca y Seguros )
• Instrumentos Financieros : Son todas las formas técnicas de captación y colocación de recursos
en el sistema . En el caso de los préstamos dan origen a los títulos de crédito (letra de cambio,
cheque, Pagaré)
• Tasa de interés :Es el precio que se paga por el uso del dinero expresado en porcentaje o en
tanto por uno. Precisamente la tasa de interés el motivo del presente libro dada su importancia
en la función financiera
1.3 CONCEPTO DE TASA DE INTERÉS

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El INTERÉS ( I ), es el precio a que se negocian los capitales en el mercado, se aplica a las
operaciones bancarias y financieras de caracter monetario y se mide por una tasa.
La TASA DE INTERÉS ( i ), es la expresión del interés como una fracción proporcional del
capital inicial.
Se expresa en porcentaje generalmente a término anual
$ 10,000 x 5% = $ 500
tasa de Interes Interés
i I
1.3.1 CLASIFICACIÓN DE LAS TASAS DE INTERÉS
1.3.1 De acuerdo a la nomenclatura bancaria
Tasa activa : es aquella que se aplica a las operaciones de colocación de fondos vía prestamos
(descuentos, créditos ordinarios, creditos hipotecarios, etc.)
Tasa pasiva ; es aquella que el banco paga a los depositantes o ahorristas por la captación de
depósitos ( ahorros, cuentas corrientes, depósitos a plazo, etc.)
1.3.2 De acuerdo al momento enque se cobran los intereses :
Tasa vencida (i) : es aquella tasa que se aplica al vencimiento del plazo de la operación pactada
, es un cálculo racional pues presupone el paso del tiempo como requisito para el cobro de
intereses
Tasa adelantada (d) : es aquella que se descuenta del capital antes del transcurso del tiempo .
Determina en cuanto disminuye un valor nominal de un título valor (valor actual)

14
m
j
1.3.3 De acuerdo al cumplimiento de la obligación :
Tasa compensatoria : es la contraprestación por el uso del dinero, es la tasa corriente tanto para
operaciones de crédito como de captación de fondos
Tasa moratoria : es aquella que se aplica al incurrir el prestatario en atraso en el pago de sus
obligaciones.
1.3.4 Considerando el valor del dinero en el tiempo
Tasa efectiva ( i ) : es aquella que efectivamente se paga o cobra en una transacción financiera.
No considera el efecto de la inflación
Tasa real ( r ) : es aquella que considera el efecto del la inflación (IPC) pues éste fenómeno
económico afecta la capacidad adquisitiva del dinero . Su expresión es :
1.3.5 Según el efecto de la capitalización
Tasa nominal ( j ) : Se aplica a operaciones de interes simple y es susceptible de
proporcionalizarse ( dividirse o multiplicarse ) j / m veces al año , donde :
Donde : j : tasa nominal
m : número de capitalizaciones en un
Así, si calculamos la tasa nominal diaria correspondiente a una tasa nominal anual de 32%
tendremos :
jd = (32 / 360 ) = 0.088888
Tasa efectiva (i) : Es aquella que se obtiene a partir de una tasa nominal y considera el efecto
de la capitalización (m).
Su expresión es :
i = ( 1 + j / m) n
- 1

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1.4 EL CIRCUITO FINANCIERO
Es el circuito básico de la matemática financiera cuyo esquema es :
CAPITALIZACIÓN
Ii
i
R1 R2 R3 R4 ............ Rn
0 1 2 3 4 ………. n
ACTUALIZACIÓN
donde :
M - Va : Monto - Stock final - Valor futuro- Valor presente
C – Vf : Capital - Stock inicial - valor actual- Valor futuro
R : Rentas - flujos períodicos- anualidades
i : Tasa de interés
n : Período de tiempo
Se tienen operaciones de capitalización , es decir incrementar al capital los intereses ganados
y operaciones de actualización en las que se descuentan los intereses de las rentas o montos.
1.4.1 ELEMENTOS DEL CIRCUITO FINANCIERO
1.4.1.1 CAPITAL
Llamado también Valor actual, valor presente , es el stock inicial de dinero en el circuito
financiero. Es igual a :
C = M - I
V
a
Vf

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1.4.1.2 MONTO
Llamado también Valor futuro, , es el stock final de dinero en el circuito financiero y
es igual a :
M = C + I
1.4.1.3 RENTAS
Una renta es la sucesión de pagos periódicos llamados también flujos ( anuales,
semestrales, mensuales, etc.)
Están sujetos a interés compuesto. Pudiendo ser cantidades constantes o variables y que
pueden estar cubiertas al inicio o final del período.
R = A + I
Donde A : Amortización , I : interés
Clasificación de las Rentas : Se pueden clasificar por :
a) Por su duración
Rentas temporales : tienen una duración limitada de "n" períodos
R1 R2 R3 R4 ……….. Rn
0 1 2 3 4 ………… n
Rentas Perpetuas : Tienen una duración indefinida
R1 R2 R3 R4 ……….. R∞
0 1 2 3 4 ………… ∞
Rentas Vitalicias : Limitadas por la vida del individuo

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R1 R2 R3 R4 ……….. Rn
0 1 2 3 4 ………… n
b) Por el inicio de PAGOS
Rentas inmediatas : Se comienzan a pagar desde el comienzo de la operación
R1 R2 R3 R4 ……….. Rn
0 1 2 3 ………… n
Rentas diferidas : Cuando la operación tiene dos etapas : una inicial "m"
llamada plazo del diferido, donde no se efectúa ningún pago, y otra "n" llamada
etapa de pagos.
c) Por la OPORTUNIDAD del PAGO
Renta de pago vencido : cuando los pagos se efectúan al final de cada
período.
Renta de pago anticipado : cuando los pagos se efectúan al comienzo de
cada período.
R1 R2 R3 R4 R5 ……….. Rn
0 1 2 3 4 ………… n
EXPLORACION ON LINE
m R1 R2 ……….. Rn
0 1 2 3 4 n
R1 R2 R3 R4 ……….. Rn
0 1 2 3 4 ………… n

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ENLACES ON LINE
www. Gestiopolis.com
www.conasev.gob.pe
www.basefinanciera.com/finanzas
www.matematicas-financieras.cl
www.sbs.gob.pe
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 1
Diga si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones :

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1. La tasa de interes activa es aquella que el Banco nos paga por nuestros depósitos de
ahorros ( )
2. La letra de cambio es un instrumento financiero ( )
3. Las unidades económicas deficitarias constituyen la oferta en el Mercado financiero ( )
4. Una caja Municipal de Ahorro y Crédito es un intermediario financiero ( )
5. La tasa vencida supone el paso del tiempo como requisito para el cobro o pago de
intereses ( )
6. La tasa nominal es la que efectivamente se aplica en una operación financiera ( )
7. La tasa real considera el efecto de la inflación sobre la tasa efectiva ( )
Complete las siguiente expresión .
8. En la siguiente operación :
15,000 x 8% = 1,200
Los 1,200 son el ________________________________
El 8 % es _____________________________________
Diga si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones :
9. La renta perpetua tiene una duración limitada ( )
10. La renta diferida tiene dos etapas ( )
11. La renta anticipada es aquella que se cobra al inicio del período ( )
12. El capital es llamado también valor futuro ( )
13. La actualización es una operación de descuento o desagio de intereses ( )

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Coloque el número según corresponda a la afirmación :
14. Depósito de Ahorro ( ) Renta
15. Pago de pensiones ( ) Capital
16. Cobro de alquiler de casa ( ) Monto
17. Pago de letra al vencimiento ( ) Renta
Calcule :
18. Si el Interés es de 385 y el capital es de 1,250. El Monto es _____________
LECTURA 1 :

21
La Matemática Financiera y su relación con otras disciplinas1
Las matematicas financieras son una rama de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en
el tiempo, al combinar elementos fundamentales ( capital, tasa, tiempo) para conseguir un rendimiento
o interés adecuado a las expectativas de los agentes económicos , brindando herramientas y métodos
que permitan tomar la decisión más correcta, sustentada en aspectos cuantitativos e indicadores
matemáticos.
Aquí algunas relaciones con otras disciplinas :
Contabilidad : Es el proceso mediante el cual se identifica , mide, registra ycomunica la información
económica tangible de una organización o empresa, con el fin de que las personas interesadas puedan
evaluar la situación de la entidad.
Relación : Suministra en momentos precisos y determinados, información razonada, en base a indices
técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o público , que permitan tomar la decisión
más correcta al momento de realizar una inversión o de evaluar una gestión
Derecho : Es el conjunto de leyes, preceptos y reglas , a los que están sometidos los hombres que viven
en una sociedad civil. El derecho posee diferentes ramas por lo que se relaciona de diversas maneras
con las matemáticas financieras :
• Derecho mercantil , es el conjunto de leyes relativas al comercio y a las transacciones
realizadas en los negocios
1 ORTIZ Carlos & ROMERO Mairena. Monografias.com ( adaptado)

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Relación : en las leyes se encuentran artículos que regulan las ventas, los instrumentos
financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje, garantías y embarque de
mercancías , que son instrumentos esenciales de las finanzas
• Derecho civil , es el conjunto de normas e instituciones destinadas a la protección y defensa
de la persona y de los fines que son propios de ésta
Relación : regula la propiedad de los bienes, la forma en que se pueden adquirir, los contratos
de compra y venta, disposiciones sobre hipotecas, préstamos tasas de interes;
Es decir gran parte de las transaccciones economicas entre agentes economicos o personas ienen
subyacentes aspectos de tipo financiero , que necesariamente requieren de un tratamiento legal.
Economía : Ciencia social que estudia los procesos de producción, distribución,
comercialización y consumo de bienes y servicios ; es decir estudia el proceso de generación
de riqueza para satisfacer de manera adecuada las necesidades humanas.
Relación : coadyuva y posibilita el uso de herramientas económicas de análisis económico y
evaluación de inversiones, alternativas de financiación, instrumentos en los mercados
financieros, tanto a nivel macroeconómcio y microeconomico.
Ciencia Política : disciplina que estudia de manera sistemática el gobierno en su sentido más
amplio. Abarca el orígen de los regímenes políticos, sus estructuras, funciones e instituciones,
las formas en que los gobiernos identifican y resuelven problemas socioeconómicos y
las interacciones entre grupos e individuos que permiten el establecimiento, mantenimiento y
cambio de los gobiernos.
Relación : auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuanto a inversiones,
presupuestos, análisis , ajustes económicos, proyecciones y consecuencias de aplicaciónde
políticas al manejo de la cosa publica
Ingenierías : disciplina en la que el conocimiento de las matemáticas, y las ciencias básicas
permiten la utilización óptima de los materiales y fuerzas de la naturaleza
Relación : Control de los costos de producción en el proceso de transformación industrial,
cálculo de las depreciaciones de activos fijos y equipos industriales , optimización de
procedimientos relacionados a aspectos economicos, inversiones y negociaciones
Finanzas : disciplina empresarial vinculada a las decisiones de inversión , financiación y
dividendos , orientada a maximizar el valor de la empresa para sus accionistas
Relación : vinculación fundamental , permite optimizar el proceso de toma de decisiones
financieras y medir cuantitativamente el efecto de las mismas en la empresa
Sociología : ciencia que estudia el desarrollo, la estructura y funcionamiento de la sociedad.
Analiza las formas en que las estructuras sociales , lasinstituciones y los problemas de indole
social influyen en la sociedad.

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Relación : las empresas y organizaciones son entes sociales y requieren para el cumplimiento
de sus fines de un adecuado manejo economico y financiero , una racional administración de
los recursos materiales y el potencial humano . Las matemáticas financieras proporcionan
herramientas que permiten evaluar efectuar diagnósticos y posibilitar mejorar eficiencia en aras
del desarrollo armonico de la sociedad
CAPITULO II

24
LOS PORCENTAJES Y LA REGLA DE TRES
1 . La Regla de tres
2 . Los porcentajes
3. Los Graficos Financieros
OBJETIVOS :
Recordar los aspectos básicos previos de las matemáticas necesarios para facilitar la
comprensión de las lecciones precedentes
Entender los conceptos de los porcentajes necesarios para la comprensión cabal de las
operaciones en matemáticas financieras
2.1 LA REGLA DE TRES

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2.1.1 Concepto
Es una operación matemática en la cual se conocen tres números y se se tiene un cuarto número
desconocido. Las magnitudes que están involucradas en esta operación son proporcionales.
La regla de tres tiene esta compuesta por dos series de números :
Supuesto
Conocido
Supuesto
Conocido
Pregunta
Puede ser conocida
o desconocida
Pregunta
Puede ser conocida
o desconocida
La regla de tres se clasifica de la siguiente manera :
o Regla de tres simple
▪ Regla de tres simple directa
▪ Regla de tres simple indirecta
o Regla de tres compuesta
2.1.2 Regla de tres simple
Es aquella que se resuelve mediante proporciones . La proporción se plantea en los siguientes
términos . Puede ser directa o inversa
Gráficamente se puede expresar :
Supuesto
Pregunta
2.1.2.1 Regla de tres simple directa :
a b
c d

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La proporción se plantea en los siguientes términos : El primer término del supuesto es al
primer término de la pregunta , como el segundo término del supuesto es al segundo
término de la pregunta.
En estos casos el razonamiento permite multiplicar en cruz . Ejemplo
Supuesto
Pregunta
Es decir : a x d = c x b
Ejemplo 1 :
Si 23 kilos de frijoles valen S/. 18.00 ¿ cuánto cuestan 44 kilos?
23 Kgs. S/. 18.00
44 Kgs. X
23
1844 
=X
X = S/.34.43
2.1.2.2 Regla de tres simple indirecta
En este caso la proporción se plantea en los siguientes términos : El primer término del
supuesto es al primer término de la pregunta , como el segundo término de la pregunta es
al segundo término del supuesto.
En estos casos el razonamiento es permite multiplicar en paralelo . Ejemplo
a b
c d

27
Supuesto
Pregunta
Es decir : a x d = c x b
Ejemplo 2 :
Tres cocineros emplean 11 horas para hacer un buffett. ¿ Cuánto tiempo necesitarán cinco
cocineros?
3 cocineros. 11 horas
5 cocineros X
115
3 X
=
5
113 
=X
X = 6.6 horas
2.1.3 Regla de tres compuesta
Cuando aparecen mas de dos magnitudes relacionadas se tiene que utilizar la regla de tres
compuesta.
Se puede descomponer en dos más reglas de tres simples y seresuelve por proporciones. La
regla a utilizar es : la razón del par de valores corrrespondiente a la incógnita es igual al
producto de las razones directas o inversas de los demas pares de valores, según estos pares
sean directa o inversamente proporcionales a la incógnita.
Puede ser regla de tres compuesta directa o indirecta
2.1.3.1 Regla de tres compuesta directa
El razonamiento es parecido al de la regla de tres simple .Vamos a utilizar un ejemplo :
a b
c d

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Ejemplo 3 : En un Restaurante 150 clientes han consumido en tres dias 80 kilos de pollo,
¿ cuanto consumirán 110 clientes en 15 dias ?
La regla en estos casos es :
CLIENTES DIAS KILOS DE POLLO
150 3 80
110 15 X
CLIENTES DIAS KILOS DE POLLO
D1 D2 D3
P1 P2 P3 : ?
La solución será :
P3 = (P1 ×P2×D3) ÷(D1×D2)
P3 = ( 110×15×80) ÷ (150×3)
P3 = 132,000 ÷ 450
P3 = 293.33 kilos de pollo
2.1.3.2 Regla de tres compuesta inversa
Ejemplo 4 : Para elaborar 50 artesanias en 14 días se necesitan 4 artesanos; ¿ cuántos
artesanos se necesitarán para hacer 80 artesanias en 10 días?
Supuestos : 4 artesanos elaboran 50 artesanias en 14 dias
Pregunta : X artesanos elaboran 80 artesanías en 10 días
El par de valores correspondiente a la incógnita constituye la primera razón :
X
4
La segunda razón es :

29
10
14
,
80
50
La razón del planteamiento de la tercera razón es : mientras más artesanos trabajen mas
artesanías elaborarán (directa) pero compàrando la primera razón con la tercera, cuanto
menos días se trabaje, más artesanos habrá que tener para completar el pedido, por tanto
estas dos razones son inversamente proporcionales . El planteamiento sería :
1080
1450
10
14
80
504


==
X
1450
10804


=X
X = 6.4 artesanos
2.2LOS PORCENTAJES
2.2.1 Concepto : Es una operación que permite calcular el tamaño de un subconjunto en relación
a un número cualquiera , expresándolo en términos de tanto por ciento (%)
2.2.2 Elementos
Los elementos de los porcentajes son :
Donde :
B : Base (número real)
P ,
%
B

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P : porcentaje (número real )
Es el resultado del cálculo de un tanto por ciento sobre una base cualquiera
% : tanto por ciento de un número
Es una o varias de las 100 partes en que se puede dividir la base o número real
Fórmulas
P = B x %
100
% = ( P / B ) x 100
B = P x 100
%
Ejemplo 1
¿ Cuánto es el 32.5 % de 17,232?
Datos Solución
P = ? P = 17,232 x 32.5
B = 17,232 100
% = 32.5
P = 560,400
100
P = 5,600.40
Ejemplo 2
¿ Qué tanto por ciento de 2,800 es 445?
Datos Solución
P = 445 % = 445 x 100
B = 2,800 2,800
% = ?
% = ( 0.15892857 x 100 )
% = 15.89 %

31
Ejemplo 3
Se ha pagado la suma de S/. 2,320 que representa el 26% de la deuda total.
¿ A cuánto asciende la deuda total?
Datos Solución
P = 2,320 B = 2,320 x 100
B = ? 26
% = 26%
B = 232,000
26
B = S/. 8,923.08
2.2.3 Relaciones entre dos Bases ( menor , mayor)
Supongamos que se tienen dos bases B1 y B2 que son dos números reales . Entre ellos puede
haber comparaciones en la que los porcentajes son muy útiles. Vamos a esquematizar estas
relaciones :
SITUACION A
<
Es importante considerar lo siguiente :
Si en el enunciado se dice “ B2 es mayor que B1 “ entonces la formula de cálculo será :
B1 B2 =
?

32
a) B2 = B1 x ( 1 + % )
En cambio si en el enunciado es “ B1 es menor que B21 “ entonces la formula de cálculo será
b) B2 = B1
( 1 - %)
Donde .
B2 : base que se quiere conocer
Bi : base conocida
%´ : tanto por ciento de diferencia
Ejemplo 4 :
Se tienen dos números : B1 que es igual a 130 y B2 que es desconocido. Sólo sabemos que B2
es mayor que B1 en un 25%
Datos
B2 = ?
B1 = 130
% = 25%
Aplicamos la formula a) :
B2 = 130 x ( 1 +0.25 )
B2 = 130 x 1.25
B2 = 162.50
Si el enunciado fuera : B1 es menor en un 25% respecto de B2, entonces se aplica la fórmula
b) :
B2 = 130 / ( 1-0.25)

33
B2 = 130 / 0.75
B2 = 173.33
Los resultados en ambos casos son diferentes, por lo que hay que tener cuidado en estos casos
SITUACION B
>
Si en el enunciado se dice “ B2 es menor que B1 “ entonces la formula de cálculo será :
c) B2 = B1 x ( 1 - % )
En cambio si en el enunciado es “ B1 es mayor que B2 “ entonces la formula de cálculo será :
d) B2 = B1
( 1 + %)
Donde .
B2 : base que se quiere conocer
Bi : base conocida
%´ : tanto por ciento de diferencia
Ejemplo 5 :
B1 B2 = ?

34
Se tienen dos números B1 que es igual a 840 y B2 que es desconocido. Sólo sabemos que B2 es
menor que B1 en un 37%
Datos
B2 = ?
B1 = 840
% = 37%
Aplicamos la formula c) :
B2 = 840 x ( 1 - 0.37 )
B2 = 130 x 0.63
B2 = 529.20
Si el enunciado fuera : B1 es mayor en un 37% respecto de B2, entonces se aplica la fórmula
d) :
B2 = 840 / ( 1+0.37)
B2 = 840 / 1.37
B2 = 613.14
Ejemplo 6 : Completar la siguiente factura :
RESTAURANTE “ EL CRIOLLO “

35
B1 B2
item Descripción Precio
unitario S/.
Descuento
%
Precio Total S/.
1 Algarrobina 12.50 (a) 11.80
2 Tamalito verde (b) 4.5% 8.30
3 Cuy chactado 28.00 7.2 % (c)
4 Arroz con leche (g ) 7% (f)
TOTAL A PAGAR S/. (d)
Impuesto general a las ventas 19% S/. (e)
NETO A PAGAR S/. 77.50
Los calculos efectuados son :
a) : % = (1- ( 11.80 / 12.50) ) x 100 = - 5.6%
b) : B1,2 = (8.30 / ( 1-0.045)) = S/. 8.69
c) : B2,3 = 28 x ( 1-0.072) = S/.25.98
d) : B 2, Total = (77.50 x (1+0.19)) = S/. 65.13
e) : B2,IGV = 77.50- 65.13 = S/. 12.37
ó : 65.13 x 0.19 = S/. 12.37
f) : B2,4 = 65.13 – ( 11.80+8.30 + 25.98) = S/.19.05
g) : B1,4 = (19.05 / ( 1-0.07)) = S/. 20.48
2.1.4 Aplicaciones de los porcentajes :
a ) Estructuras porcentuales (e%)

36
Permiten conocer la composición o participación de una de las partes o subconjunto frente al
valor de la base o el conjunto total .
e% = ( p / B ) x 100
Ejemplo 6 :
Se tienen las ventas del restaurante “Royal “ : Calcular la participación de cada mes frente al
valor total de semestre.
Mes Ventas Estructura %
Enero 19,130 15.43
Febrero 24,310 19.61
Marzo 29,140 23.50
Abril 22,100 17.83
Mayo 15,200 12.26
Junio 14,100 11.37
Totales S/. 123,980 100
¿ Cómo se calcula los valores de cada mes ?
• Enero = (19,130 / 169,632 ) x 100 = 15.43 %
• Febrero = ( 24,310 / 169,632 ) x 100 = 19.61 %
• Marzo = ( 29,140 / 169,632 ) x 100 = 23.50 %
• Abril = ( 22,100 / 169,632 ) x 100 = 17.83 %
• Mayo = ( 15,200 / 169,632 ) x 100 = 12.26 %
• Junio = ( 14,100 / 169,632 ) x 100 = 11.37 %
Graficamente se pueden expresar así :

37
Los meses de mayor participación porcentual son febrero marzo y abril ,los cuales sumados
significan el 62% de las ventas del período.
b ) variaciones porcentuales (v%)
Permiten conocer cuál es la evolución de una serie de datos economicos y sociales a lo largo
del tiempo ( dias , semanas y meses ) y se expresa en términos de tanto por ciento.
Su fórmula es :
v% = ( ( n / n-1 ) –1) x 100
enero
15%
febrero
20%
marzo
24%
abril
18%
mayo
12%
junio
11%
estructura de ventas restaurante Royal

38
Utilizando el ejemplo tenemos :
Mes Ventas v%
Enero 19,130 0
Febrero 24,310 27.08
Marzo 29,140 19.87
Abril 22,100 -24.16
Mayo 15,200 -31.22
Junio 14,100 -7.24
Totales S/. 123,980
¿ Cómo se calculan los valores de v% de las ventas cada mes ?
• Enero = No se puede porque se carece información de diciembre
• Febrero = ( ( 24,310 / 19,130 ) – 1 ) x 100 = 27.08 %
• Marzo = ( ( 29,140 / 24,130 ) -1) x 100 = 19.87 %
• Abril = ( ( 22,100 / 29,140 ) -1) x 100 = -24.16 %
• Mayo = (( 15,200 / 22,100 ) -1) x 100 = -31.22 %
• Junio = ( ( 14,100 / 15,200 ) – 1 ) x 100 = -7.24 %
Se aprecia que las ventas de los meses de Abril a junio decrecieron frente a los valores de los
meses antecedentes. En cambio en Febrero y marzo se observa un crecimiento de las ventas
Graficamente se puede expresar de esta manera :

39
c ) Tasas de crecimiento porcentual (t%)
Cuando se tiene que encontrar un valor representativo de una serie de tiempo, y que mida su
crecimiento promedio,se utiliza la tasa promedio de crecimiento porcentual- t% cuya expresión
es la siguiente :
1001% 1 







−= −n
i
t
V
V
t
Donde :
Vt : Valor al término del periodo
Vi : Valor al inicio del período
n : Número de períodos
Es también la formula de la media geométrica
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
enero febrero marzo abril mayo junio
evolucion de las ventas restaurante Royal

40
Ejemplo 7 :
Se tiene la siguiente evolucion de la cotización de una acción en la Bolsa de valores :
MES Cotizacion fin de mes
S/.
Variación mensual
v%
Enero 6.10 --
Febrero 7.10 16.39
Marzo 8.24 16.05
Abril 8.02 -2.67
Mayo 9.32 16.21
Junio 10.20 9.44
Julio 12.40 21.57
Agosto 13.55 9.27
Setiembre 14.30 5.54
Octubre 15.10 5.59
Noviembre 16.11 6.67
Diciembre 16.40 1.80
Hallando la tasa de crecimiento promedio tenemos :
1001
10.6
40.16
% 112 








−







= −v
( ) 100109407408.1% −=v
v% = 9.41% mensual
Comprobamos :
Cotización diciembre = 6.10 x ( 1+0.0941)11
Cdic = 6.10 x 2.68922536
Cdic = 16.40

41
EXPLORACION ON LINE
ENLACES ON LINE
www.descartes.cnice.mecd.es
www.pntic.mec.es
http://icarito.latercera.cl
http://thales.cica.es/rd/recursos
http://oregon.conevyt.org.mx/cursos
http://es.wikipedia.org/wiki/porcentaje

42
1. El vehículo de transporte turístico se incendia y estaba asegurado al 86% de su valor. Se cobra
$4,300 por el seguro. ¿ Cuál era el valor del vehículo?.
2. Pedro tenía $80. gastó el 20% y le dio a su hermano el 15% del resto. ¿ Cuánto le queda?
3. Se vendió un artefacto eléctrico en S/. 7,920. perdiendo en dicha transacción el 12% del costo.
¿ A cómo habría tenido que venderse el artefacto para ganar el 8% del costo?
4. Vendiendo un Tour a Punta Sal por $152.50 se tiene una ganancia de 22%. ¿ Qué tanto por
ciento se ganará si se le agrega adicionalmente $10.00?
5. Compramos un vehículo para transporte turístico al contado y nos dan una rebaja de S/.
4,250.00. que es el 10% del precio de costo. ¿Cuánto sería el ahorro total ?
6. Se ha concertado una cena para 30 turistas , el costo total es de $1,200 incluido impuesto a las
ventas (19%). ¿ Cuál sería el precio de costo sin impuestos?
7. El Restaurante turístico “ SIPAN” tiene la siguiente estadística de Ventas :
MES VENTAS S/.
ENERO 23,500
FEBRERO 31,200
MARZO 38,500
ABRIL 40,100
MAYO 27,900
JUNIO 25,400
JULIO 23,000
AGOSTO 24,000
SETIEMBRE 28,150
OCTUBRE 31,700
NOVIEMBRE 35,700
DICIEMBRE 44,000
Se pide :
a) Calcule la estructura porcentual mensual (%) de las ventas
b) Calcule la variación porcentual mensual (%) de las ventas

43
2.2 LOS GRÁFICOS FINANCIEROS
2.2.1 CONCEPTO
La representación de las operaciones financieras mediante gráficos es muy útil en la medida
que nos permite tener una apreciación pictórica de las variables y además ubicar a las variables
. Se debe conciderar los siguientes aspectos :
1º Considerar la línea de tiempo
0 1 2 3 4………………..n
2º Determinar los Stocks (inicial y final )
Va Vf
0 1 2 3 4………………..n
C : capital inicial, stock inicial, Valor actual
M : Capital final, Monto, Valor futuro
3º Clasificar la dirección de los flujos ( Rentas , anualidades , flujos, pagos, cobros)
0 1 2 3 4……….……..n
Salidas de dinero

44
Entradas de dinero
0 1 2 3 4……….……..n
Ejemplo :
El Banco nos ha efectuado un préstamo de S/. 3,300 el primer día util de enero , el cual vamos
a pagar dentro de tres meses . La tasa de interés efectiva aplicada es de 2.2% mensual. Elabore
el Gráfico Financiero de la operación :
i : 2.2%mensual
Vf : ?
0 1 2 3 meses
C : 3,000
Nótese lo siguiente :
• Las cuatro variables involucradas están consideradas ( C,M,n ,i)
• La prespectiva del gráfico es del cliente del Banco. No del banco pues en este caso
la direccionalidad sería la contraria, es dexcir un préstamo como cliente es una
entrada, pero desde la perspectiva del Banco es una salida
• No se coloca valor al valor futuro , en razón que el dato no ha sido proporcionado.
En caso de solicitar se calcule el valor ,se tendría previamente que efectuar el
cálculo del mismo.

45
CAPITULO III
LA TASA DE INTERÉS
1 . Interés simple
2. Interés Compuesto
3. Interés efectivo y nominal
OBJETIVOS :
1º Conocer la naturaleza del interes simple y compuesto , entender la diferencia
entre ellos y efectuar calculos con sus diversos elementos
2º Comprender la diferencia entre el interés efectivo, nominal y equivalente y
efectuar cálculos en forma adecuada

46
3.1 INTERES SIMPLE
3.1.1 Definición
El interés simple es el rendimiento que obtiene el capital por uno o varios períodos de tiempo,
en los que no se adicionan los intereses al capital, permaneciendo éste constante. Los intereses
calculados así, no generan un rendimiento en sí mismos.
Fórmulas
VARIABLE FORMULA
Interes niCI =
Monto )1( niCM +=
Capital
ni
I
C

=
Tasa de interés
nC
I
i

=
Tiempo
iC
I
n

=
Donde :
I : Interes Ganado ( valor monetario)
C : Capital , valor inicial o valor actual
i : tasa de interés ( porcentaje o tanto por uno)
n : período de tiempo
M : Monto , valor final o valor futuro

47
Ejemplo 1 :
¿A cuánto asciende el interés ganado por un capital de UM / 10,000 durante 5 años a una
tasa anual simple del 12%. ?
Datos Solución
I : ?
C : UM/ 0,000 I = 10,000 x 0.12 x 5
n : 5
i : 12% I = 10,000 x 0.60
I = UM/ 6,000 de interés ganado
Cálculo del Monto cuando hay variaciones en la tasa de interés :
Ejemplo 2 :
Se ha efectuado un depósito de 11,000 el 8 de abril al 30 de junio. La tasa anual efectiva inicial
fue de 18%. El 16 de Mayo se redujo a 14.5% anual efectiva. Calcular el monto
Datos Solución
M : ?
C : 11,000 M = 11,000 x 1+0.18 x 37 + 0.145 x 45
i1 : 18% a.ef. 360 360
i2 : 14.5%a.ef.
n1 : 8/4 al 15/5 M = 11,000 x 1 + 0.18 x .10277778 + 0.145 x 0.125
n2 : 16/5 al 30/6
M = 11,000 x ( 1 + 0.036625 )
M = 11,402.88
Este procedimiento también se puede trabajar en hoja electrónica EXCEL de la siguiente manera

48
Notas :
1º Los dias transcurridos se calculan utilizando la función CUPON DIAS.L2, conforme
se aprecia en el gráfico
2º El factor se obtiene así : +(D4/E4)*C4
3º El factor acumulado : + 1+F4, el siguiente : +G4+F5
4º El monto al 30 de junio es igual a : +B2*G5

49
Ejemplo 3 :
Se ha prestado un capital de S/.180,000 durante 4 meses, a una tasa anual del 20%. ¿Cuál será
el monto acumulado al finalizar la operación?
Datos Solución
M : ?
C : s/.180,000 M = 180,000 x (1+0.01666667 x 4)
i : 0.20/ 12 = 0.016666
n : 4 M = 180,000 x ( 1+ 0.06666668)
M = s/.192,002.00
Ejemplo 4 :
Un capital de $ 5,000 se ha incrementado en un 15%, en razón de la aplicación de una tasa de
interés simple de 6% anual. ¿Cuál fue el tiempo de la operación?
Datos Solución
C : $5,000 Hallamos primero el interés ganado
I = ?
i = 6% I = 5,000 x 0.15 = 750
n = ?
Ahora encontramos el tiempo :
n = 750
5000 x 0.06
n = 750
300
n = 2.5 años
Ejemplo 5 :
¿ A qué tasa de interés simple fue colocado un capital de UM/ 9,000 en 2 años y 3 meses,
obteniendo UM/ 300 de interés?

50
Datos Solución
I : 300 1° Convirtiendo el período de años a meses
i : ?
C : 9,000 n = ( 2 x 12 ) + 3 = 27 meses
n: 2 años 3 meses
2° Encontrando el interés :
i = 300
9000 x 27/12
i = 0.0148 ó 1.48%
Ejemplo 6 :
Hallar el capital de un Monto de UM/ 22,000, después de transcurridos 9 meses a una tasa de
interés simple anual de 4%
Datos Solución
M : 22,000
C : ? C = 22,000
i: 4% anual 1+ 0.04 x ( 9/12)
n : 9 meses
C = 22,000 / 1.03
C = UM/ 21,359.22
Ejemplo 7 :
Se han colocado dos capitales en el Banco PYME. El capital menor era S/. 3,000 menor que el
capital mayor.
El Capital mayor fue colocado al 8% anual y el menor al 12% anual de interés simple . Los
intereses vencidos fueron de S/. 38,200 en un año. Calcule el valor de los dos capitales

51
Datos Solución
C1 : C2-3,000 I1 + I2 = 38,200
C2 : ?
i1: 8% C1 x i1 + C2 x i2 = 38,200
i2 : 12%
n : 1
(C2-3,000) x 0.12 + C2 x 0.08 =38,200
C2 x 0.12 -360 + C2 x 0.08 = 38,200
C2 x 0.12 + C2 x 0.08 = 38,200 +360
C2 x ( 0.12 +0.08 ) = 38,560
C2 = 38,560 / 0.20
C2 = 192,800 valor del capital 2
C1 = 192,800 – 3,000
C1 = 189,800 valor del capital 1
Comprobando calculamos los intereses :
I1 = 189,800 x 0.12 x 1 = 22,776.00
I2 = 192,800 x 0.08 x 1 = 15,424.00
I = I1 + I2
I = 22,776.00 + 15,424.00
I = 38,200 , que es el valor consignado a los intereses totales
en el enunciado del problema
Ejemplo 8 :
Nuestra empresa ha efectuado un depósito en el Banco durante 8 meses las 2/5 partes de su
capital auna tasa del 22% anual simple , el resto de dicho capital se ha colocado al 24% anual

52
simple. Si en la primera parte del depósito hemos ganado UM 7,672 de intereses ¿ A cuanto
ascienden las ganacias totales por la integridad del depósito?
Datos Solución
C1 : 2/5 C C1 = 7,672
C2 : 5/2 C 0.6666667 x 0.22
i1: 22%
i2 : 24% C1 = 7,672
n : 8 meses 0.14666667
I : ?
C1 = UM 52,309.09
2/5 C = 52,309.09
C = 52,309.09 x 5
2
C = UM 130,772.73 Capital Total
C2 = 130,772.73 – 52,309.09
C2 = UM 78,463.64
Calculo de los intereses :
I = C x i x n
I2 = 52,309.09 x 0.22 x 0.66666667
I1 = UM 7,672.00
I2 = 78,463.64 x 0.24 x 0.66666667
I2 = UM 12,554.18
I = 7,672.00 + 12,554.18
I = UM 20,226.18

53
C. CALCULO UTILIZANDO EXCEL
Calculo del Interés (I)
Ejemplo 8:
Calcular el interes simple de un capital de 12,500 colocado en un Banco durante 58 dias, a una
tasa anual del 4.12%
1º Seleccionar funciones fx
2º Se escoge financieras
3º Se elige INT.ACUM.V
Nota : Se pone base 2 porque en nuestro país se trabaja el año bancario como 360 días, de ser
365 se tendría que considerar base = 3

54
Calculo del Monto (M) - Ejercicio 1
3º Se elige VF
UTILIZANDO EXCEL : (El mismo ejemplo )
Nota :
Calculo del Capital (C) . Ejemplo 4
3º Se elige VA

55
Calculo del Tiempo (n) - Ejemplo 3
3º Se elige TASA.INT

56
Nota : el tiempo se ha colocado en dias : 27×30 = 810 dias
1.2 INTERES COMPUESTO
A.- DEFINICION
Operación financiera en la cual los intereses simples, se capitalizan, es decir se incorporan al
Capital al final de cada período de tiempo.
B.- FORMULAS
VARIABLE FORMULA
Monto n
iCM )1( +=
Capital
n
i
M
C
)1( +
=
Tasa de interés 100)1( −= n
C
M
i
Tiempo
i
CM
n
+
=
1log
log
donde:
M = Suma de capital inicial más intereses ( Valor futuro - Monto)
C = Capital inicial (Valor Actual)
i = Tasa o interés compuesto
n = Período de tiempo.

57
Ejemplo 1:
Halle el monto de un capital de 5,800. colocado al 5% de interés compuesto durante 7 años.
Datos Solución
M = ? M = 5,800 (1+0.05) 7
C = 5,800
i = 5% = 0.05 M = 5,800 x 1.4071
n = 7
M = 8,161.2
Se puede efectuar la comprobación tabular con el siguiente cuadro :
n C I M
1 5,800 290.00 6,090.00
2 6,090.00 304.50 6,394.50
3 6,394.50 319.73 6,714.23
4 6,714.23 335.71 7,049.34
5 7,049.94 352.50 7,402.44
6 7,402.44 370.12 7,772.56
7 7772.56 388.63 8,161.19
El cuadro en EXCEL quedaría de la siguiente manera :

58
Notas :
1º La celda interés ( I ) se calcula : D4 : +C4*$D$2, luego se copia hasta la celda D10
2º La celda de Monto ( M ) : E4 : +C4+D4, luego se copia hasta la celda E10
3º la celda de Capital (C ) , C4 es un dato que es igual el capital inicial, la celda siguiente
es una copia de la celda Monto del período anterior, así : C5 : +E4, luego se copia
hasta la celda C10
Calculo del Monto cuando hay variaciones en la tasa de interés :
Ejemplo 2 :
Se ha depositado $ 5,000 el 02 de julio al 30 de setiembre. La tasa efectiva anual aplicada ha
sufrido las siguientes variaciones :del 02/07 al 14/07 fue de 24% a.ef., del 15/07 al 15/10 fue de
22% a.ef. y del 16/10 al 30/10 de 20% a.ef. . Se pide calcular el Monto.
Datos Solución
M : ?
C : 5,000 M = 5,000 x (1+0.24)12/360
x (1+0.22)62/360
x(1+0.20)14/360
i1 : 24 % a.ef.
i2 : 22 %a.ef M = 5,000 x 1.00719615 x 1.0348397 x 1.00711548
i3 : 20 %a.ef.
n1 : 2/7 al 14/7 M = 5,000 x 1.04970293
n2 : 15/5 al 15/10
n3 : 16/10 al 30/10 M = $ 5,248.51
Este procedimiento también se puede trabajar en hoja electrónica EXCEL de la siguiente manera

59
Notas :
1º El tiempo se calcula utilizando la función CUPONDIAS.L2, :
Liq : A5
Venc. : B5
Frec. 1
Aceptar
Dde la misma manera se copia para los otros dos periodos
2º La tasa del período se calcula mediante la siguiente formula : +(1+D5)^(C5/360)
Para el primer período y luego se copia la celñda para los siguientes períodos
3º El Monto se calcula : +F4*E5
Ejemplo 3 :
Si un capital de 4,969. colocado a interés compuesto capitalizándose anualmente produjo un
monto de 38,000. después de 8 años. ¿A que tasa de interés anual estuvo colocado?
Datos Solución
C = 4,969 i = (M/C)1/8
- 1
M = 38,000 i = ((38,000 / 4,969)0.125
- 1 ) x 100
n = 8
i = ? i = 28.95%

60
Ejemplo 4 :
Por cuánto tiempo necesitará la suma de 800 para duplicarse con la tasa de interés del 25%
anual?
Datos Solución
n : ? n = Log 1600 / 800
C : 800 Log 1+ 0.25
M = 1,600 (800x2)
i = 0.25 anual n = log 2 / Log 1.25
n = 3.10 años
Ejemplo 5 :
Halle el capital que colocado al 1.25% de interés compuesto mensual durante 11 meses da un
monto de 11,135.26
Datos Solución
C = ? C = M / (1+I ) n
i = 1.25%
n = 11 meses
M = 11,135.26 C = 11,135.26
( 1+0.0125) 11
C = 11,135.26
1.14642422
C = 9,713.04
Ejemplo 6 :
Una empresa debe pagar S/. 7,000 y S/. 5,000 dentro de 2 y 5 años. Deseamos sustituir estos
dos pagos por uno sólo el cual sería dentro de 6 años : La operación esta pactada a una tasa de
interés efectivo frl 6% anual. Calcular el importe del pago único.

61
Datos Solución
C1 : 7,000 M = 5,000 x ( 1+0.06) 1
+ 7,000 x ( 1+0.06)4
C2: 5,000
i : 6% a ef. M = 5,000 x 1.06 + 7,000 x 1.26247696
n1: 1 año
n2: 4 años M =5,300 + 8,837.34
M = 14,137.34
Ejemplo 7 :
Se tiene que efectuar tres pagos a un proveedor : $3,000, 10,000 y 5,000 dentro de 2 ,4 y 7 años
respectivamente.
Se desea sustituir estos compromisos por un solo pago de $ 17,600 .
La operación se realiza al 7.5% de interés compuesto anual. Calcular en que momento del
tiempo se deberá efectuar el pago.
Datos Solución
M1 : 3,000 Elaboremos el gráfico :
M2: 10,000
M3 : 5,000
i : 7.5% a ef. 0 1 2 3 4 5 6 7
Cn : ?
n1: 2 años
n2: 4 años
n3: 7 años 3,000
5,000
10,000
C = 3,000 + 10,000 + __ 5,000
(1+0.075)2
(1+0.075)4
(1+0.075)7

62
C = 2,596.00 + 7,488.01 + 3,013.77
C = 13,097.78 capital total
n = (Log 17,600 / 13,097.78)
Log 1 + 0.075
n = 0.12831498
0.03140846
n = 4.08 años
C. CALCULO UTILIZANDO EXCEL
Calculo del Monto (M) - Ejemplo 1
3º Se elige VF

63
Calculo del Capital (C) – Ejemplo 5
3º Se elige VA
Calculo de la tasa de interes (i) – Ejemplo 3
3º Se elige TASA

64
Calculo del tiempo (n ) – Ejemplo 4
3º Se elige NPER

65
1.3 DIFERENCIA ENTRE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
Mediante un ejemplo vamos a ilustrar la diferencia entre estas dos maneras de trabajar el interés
.
Supongamos que tenemos que capitalizar un capital (C ) de UM/ 5,000 durante 5 años ( n ) a
una tasa de interés ( i ) de 25%. Los resultados serían:
tiempo Interes simple
M = C+ i x n
Interés compuesto
M = C x ( 1+ i ) n
1 6,250 6,250
2 7,500 7,812.5
3 8,750 9,765.6
4 10,000 12,207
5 11,250 15,258.8
Gráficamente se puede apreciar la diferencia en la evolución en ambos métodos :

66
1.4 EQUIVALENCIA ENTRE INTERES SIMPLE Y COMPUESTO
Las tasas de intereses equivalentes tienen las siguientes fórmulas
EQUIVALENCIA FORMULA
Interés compuesto
a interes simple
n
i
i
n
s
c
1)1( −+
=
Interés simple a
interés compuesto
1)1( /1
−+= n
cs nii
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
1 2 3 4 5
i simple i compuesto

67
Ejemplo 1 :
Hallar la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de interés compuesto mensual
de 5%.
is = ( 1+0.05x12) 1/12
-1
is = (1+0.60 ) 1/12
-1
is = 1.03994411-1
is = 0.03994411 , o 4%

68
1. Una Financiera otorga un préstamo de S/. 20,000 para ser devueltos en 18 meses a la
tasa de interés simple anual del 32%. Determinar la cantidad que se debe devolver .
2. ¿ Cuál es la tasa anual de interés simple que se ha aplicado para que un capital de $8,000
colocado en 2 años y 6 meses haya ganado $ 6,000 ?
3. ¿ Qué capital colocado al 36% anual durante 3 años produjo un interés de $ 34,506 ? .
4. Un capital de S/. 250,000 se presta a tres clientes en las siguientes condiciones :
• Cliente A : El 20% al 21% anual durante 18 meses
• Cliente B : El 25% al 23% anual durante 15 meses
• Cliente C : El resto al 26% anual durante 5 meses y 18 días
¿ Cuanto será el cobro de intereses a cada cliente y el cobro total ?
5. Calcular el Monto que corresponde a un capital de S/. 5,000 si está sometido a interes
simple durante 8 años y a la tasa de interés anual de 8%
6. Una Agencia de Viajes recibe de préstamo $ 10,000, si la tasa de interés simple para el
préstamo es de 0.5% mensual, calcular la suma que tendrá que devolverse transcurridos
30 meses de haber recibido dicho préstamo.
7. Calcular el interés ganado por un Capital de S/. 50,000 , sometido a una operación de
interés simple trimestral durante 12 años al 7% anual
8. Calcular el tiempo requerido para que un capital de S/. 3,000 al 4% de interés simple
semestral se convierta en un Monto de S/. 4,440
9. Calcule el interés que tenemos que pagar al recibir un préstamo de € 8,000 al 2% de
interés simple trimestral , para ser devuelto , junto con sus intereses después de 8 años
10. Un capital de $ 7,000 colocado al 7% de interés simple anual , proporciona a su
proveedor en concepto de intereses $ 4,900. Calcular la duración de la operación en la
que estuvo colocado dicho capital.
Interes compuesto

69
11. Un capital de S/. 2,000 ha sido prestado a la tasa de interés de 45% anual efectivo
durante 2 años. Se desea saber el monto que ha generado dicho capital.
12. Hallar la suma de dinero que debe colocarse en un Banco al 26% anual efectivo durante
2 años para producir un monto de UM 10,000.
13. Un Capital de $/ 12,300 colocado a interés compuesto en un banco y capitalizándose
anualmente produjo un monto de $ 28,678 después de 3 años. ¿ A qué tasa de interés
anual estuvo colocado?
14. Hallar el monto que ha generado al cabo de 2 años y 3 meses , un capital de S/. 1,000
,a la tasa de interés del 1.3725% mensual efectivo.
15. ¿En qué tiempo se logró obtener un monto de $5,500 , si el capital inicial fué de $ 3,200?
La tasa de interés efectiva fué de 11% .
16. Un inversionista desea duplicar su inversión de $ 10,000, en dos años.
¿A qué tasa de interés debe tratar de invertir?
17. ¿Qué proporción de interés, sobre el capital se ha ganado sabiendo que la tasa de 25%
anual efectiva, en cinco años ha permitido incrementar dicho capital hasta S/.25,000?
18. Hallar el total de intereses que se ganará al colocar UM/40,000 durante 5 años y medio,
en un banco que paga el 18.5% anual efectivo.
19. La Financiera WWW ha concedido un préstamo por la suma de $59,000 a una tasa de
interés anual efectiva de 18%. Transcurridos 7 meses, la tasa aumentó al 19.5%. Calcule
el monto a ser cobrado. El plazo de la operación es de 12 meses.
Prepare el cuadro de capitalización.
20. Se tiene dentro de dos años y medio que pagar $ 2,800 por concepto de matrículas y
pensiones en un colegio privado.
¿Cuánto es lo que tendríamos que depositar hoy en una Financiera que nos abona el
0.9% mensual efectivo de intereses?.

70
2 : INTERES NOMINAL EFECTIVO Y EQUIVALENTE
2.1 TASA NOMINAL : ( j )
Es la tasa de interés que generalmente se refiere a una tasa anual y que es fraccionada según el
número de capitalizaciones.
Se aplica a operaciones de interés simple y es susceptible de proporcionalizarse (dividirse o
multiplicarse) j / m veces en un año ( m es el número de capitalizaciones en un año).
2.2 TASA EFECTIVA : ( i )
Es la que realmente se aplica en la operación financiera y considera el efecto de capitalización
de los intereses.
La tasa efectiva se obtiene de la tasa nominal mediante la expresión :
100)1)1(( −+= n
m
j
i
donde :
j = tasa de interés nominal
m = frecuencia de capitalización ( dias, meses, semanas, etc.)
n = N° períodos de capitalización (si es un año , n =m)
Ejemplo 1:
¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual correspondiente a una tasa nominal anual de 25% con
capitalización mensual?
Datos Solución
i = ? i = ((1+0.25 / 12) -1) 12
x 100
j = 25%
m = 12 i = ((1.02083333) 12
-1) x100
n =12
i = (1.2807315- 1 ) x 100

71
i = 28.07 % tasa efectiva anual
CALCULO UTILIZANDO EXCEL
Calculo del Interes efectivo ( i ) - Ejemplo 1
3º Se elige INT.EFECTIVO
2.3 TASA EFECTIVA PROPORCIONAL ( p )
Cuando se quiere conocer la tasa efectiva proporcional para períodos inferiores a un año se aplica
la siguiente fórmula :
donde :
p = interés efectivo proporcional
i = interés efectivo anual
m = subperíodo ( dia, semana, mes,etc)
n = número de subperíodos en un año
100)1)1(( /
−+= nm
ip

72
Ejemplo 2 :
Se tiene una tasa efectiva anual de 18% encontrar la tasa efectiva mensual.
Datos Solución
i = 18% p = [(1+0.18) 1/12
- 1] x 100
m = 1
n = 12 p = [(1+0.18) 0.083333333
- 1] x 100
p = ?
p = ((1.01388843) – 1 ) x100
p = 1.39% efectivo mensual
2.4 TASA REAL (r)
Valor expresado en tanto por ciento que nos permite medir el verdadero rendimiento de una
inversión de capital cuando existe inflación .
FÓRMULA
100)1)
1
1
(( −
+
+
=

i
r
donde :
i = tasa de interés efectiva
Π = tasa de inflación
r = tasa real de la inversión u operación
Ejemplo 3:
Cuál fue la rentabilidad real que se produjo el mes pasado si la inflación fue del 3% en los
siguientes casos
1) Si los ahorros pagan una tasa de interés mensual de 2.2%
r = 1+ 0.022 - 1 x 100
1+ 0.03

73
r = ( 0.99223301-1) x100
r = - 0.7767%
2) Si las operaciones de reporte en bolsa arrojaron una ganancia del 5.2%
r = (( 1+0.052)/(1+0.03) )-1) x 100
r = (1.02135922-1) x 100
r = 2.1359%
2.5 TASAS EQUIVALENTES :
A.- Tasa efectiva (i) equivalente a tasa nominal (j)
i = (1 + ( j / m) m
- 1 ) x 100
Ejemplo 4:
Calcular la tasa efectiva anual de interés correspondiente a una tasa nominal anual de 18.2% ,
con capitalización bimensual
Datos Solución
i = ?
j = 18.2% = 0.182 i = (( 1+ ( 0.182 / 6) ) 6
– 1) x 100
m = 6 (bimestres)
i = ( (1.03033333) 6
-1) x100
i = (1.19637272 – 1 ) x 100
i = 19.64 % tasa efectiva anual

74
B.- Tasa nominal (j) equivalente a tasa efectiva (i)
j = (((1+i) 1/m
- 1 ) x m) x100
Ejemplo 5 :
¿ Cuál es la tasa nominal equivalente a una tasa efectiva anual de 12.5% si la capitalización es
trimestral
Datos Solución
i = 12.5% =0.125 j = ( ( 1+ 0.125)1/4
- 1 ) x 4 x 100
j = ?
m = 4 j = ( 1.02988357 – 1) x 4 x 100
j = ( 0.02988357) x 4 x 100
j = 11.95% nominal anual
Ejemplo 6 :
¿ Cuál es la tasa nominal equivalente a una tasa efectiva anual de 23.% si la capitalización es
mensual ?
Datos Solución
i = 23 % =0.23 j = ( ( 1+ 0.23)1/12
- 1 ) x 12 x 100
j = ?
m = 12 j = (( 1.01740084 - 1 ) x 12 x 100
j = 20.88% tasa nominal anual

75
CALCULO UTILIZANDO EXCEL
Calculo del Interes nominal ( j ) - Ejemplo 6
3º Se elige TASA.NOMINAL
NOTA 3 :
Los factores deben tener ocho decimales y las respuestas dos decimales , así :
(( 1 + 0.023 ) 4
-1 ) x 100 = ( 1.09522295 – 1 ) x 100 = 9.52 %
factor resultado
ENLACES ON LINE
www. Gestiopolis.com/canales/financieros
www.sectormatematica.cl/contenidos/interes1
www.thales.cica.es/rd/recursos
http://descartes.cnice.mecd.es
www.dinerohispano.com
www.monografias.com/trabajos12 (ejercicios)

76
1. Hallar la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal de :
a) 48% anual capitalizable trimestralmente
b) 36% anual capitalizable mensualmente
c) 24% anual capitalizable diariamente
2. Si la tasa efectiva de interés anual es del 48%, hallar :
a) La tasa efectiva mensual
b) La tasa efectiva diaria
c) La tasaefectiva semestral
d) La tasa efectiva trimestral
3. Si la inflación del año es de 8. 02 % calcule la tasa real de _
a) tasa efectiva del 5.18%
b) tasa efectiva de 8.10%
c) tasa efectiva de 12.88%
4. Hallar la tasa nominal de interés equivalente a una tasa efectiva de :
a) 31 % anual capitalizable mensualmente
b) 17.2 % anual capitalizable diariamente
c) 14 % anual capitalizable trimestralmente

77
CAPITULO IV
EL VALOR ACTUAL
1 . La relación Valor Actual – Monto
2 . La relación Valor Actual - Renta
3. Aplicaciones prácticas del Valor Actual
OBJETIVOS :
1º Comprender la naturaleza del Valor Actual y su relación en el circuito financiero con
variables como el Monto y al Renta
2º Efectuar cálculos matemáticos utilizando el concepto de Valor Actual y su aplicación
en operaciones de índole comercial y financiera

78
1 . LA RELACION VALOR ACTUAL – VALOR FUTURO
1.1 CONCEPTO
Valor actual o capital es aquel monto que a una determinada fecha anterior , tendrá un valor
equivalente ( a interés compuesto ). Llamado también Valor actual - VA o Valor Presente - VP
1.2 RELACION VALOR ACTUAL – VALOR FUTURO
ESQUEMA :
Va = ?
FORMULA
n
i
VfVa
)1(
1
+
=
n
iFSAFactor Simple de Actualización -
ó Va = Vf x (1+ i ) - n
donde:
Va = Capital o valor actual ( C o A )
Vf = Monto o valor futuro
i = Tasa de interés efectiva
n = Período de tiempo
1 2 3 .......n
Vf

79
Ejemplo 1
Hallar el valor actual de $5,000. pagaderos en 5 años a la tasa anual efectiva de 6%
Datos Solución
Va = ? Va = 5000 / (1+0.06) 5
Vf = $5,000.
n = 5 Va = 5000 / 1.33822558
i = 0.06
Va = $ 3,736.29
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige Va

80
2. RELACIÓN VALOR ACTUAL – RENTA
2.1 RELACION VALOR ACTUAL – RENTA VENCIDA
ESQUEMA
Va R1 R2 R3 R4 ……… Rn
0 1 2 3 4 ……… n
FÓRMULA
i
i n
RVa
−
+−
= )1(1
FAS ( Factor de Actualización de la Serie)
Ejemplo 2 :
Determinar el valor actual de una anualidad adelantada de s/.40,000, que será pagada durante
3 años a la tasa de interés del 45%.
Datos Solución
Va = ?
R = S/ 40,000 Va = 40,000 x 1 - ( 1 + 0.45) - 3
n = 3 0.45
i = 0.45
Va = 40,000 x 1 – 0.32801673
0.45
Va = 40,000 x 1.49329616
Va= S/. 59,731.85

81
Es el valor actual de las tres cuotas anuales iguales de s/. 40,000 .
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige Va
2.2 RELACIÓN VALOR ACTUAL – RENTA ADELANTADA
ESQUEMA
Va =? R1 R2 R3 R4 ……… Rn
0 1 2 3 ……… n
FÓRMULA

82






+




 +−
=
+−
1
08.0
)08.01(1
500,3
13
Va






=
08.0
14266118.0
500,3Va






+




 +−
=
+−
1
)1(1 1
i
i
VaC
n
FAS ( Factor de Actualización de la Serie)
Ejemplo 4 :
Determinar el valor actual de una anualidad vencida de s/.3,500 que será pagada durante 3 años
a la tasa de interés del 8 %.
Datos Solución
Va = ?
R = S/ 3,500
n = 3
i = 0.08
Va = 3,500 x 2.78326475
C= S/. 9,741.43
Es el valor actual de las tres cuotas iguales de 9,741.43 .
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige Va

83
2.2.1 APLICACIONES PRACTICAS
Ejemplo 3:
Nuestra empresa se ha endeudado por $80,000 con la financiera “Z” por un período de ocho
meses a una tasa variable (cambiante) pagadera al tèrmino del período 8 y cuyo detalle es :
MES 1 2 3 4 5 6 7 8
Tasa var. 3.5% 3% 2.8% 3.2% 3% 3.5% 3.5% 3.5%
Transcurridos cuatro meses queremos refinanciar la deuda y la financiera nos hace la propuesta
de cancelar cuatro meses antes del vencimiento a una tasa de interés efectiva mensual de 2.25%.
La propuesta : ¿Es conveniente?
SOLUCIÓN
a) elaborando el esquema :

84
0 1 2 3 4 5 6 7 8
80,000 3.5% 3% 2.8% 3.2% 3% 3.5% 3.5% 3.5%
b) Calcular el monto al 8° mes :
Vf = 80,000 x ( (1.035) x (1.03) x (1.028) x (1.032) x (1.03) x (1.035) 3
)
Vf = 80,000 x 1.2915423
Vf = $103,323.39
c) Calculando el valor actual (A) al cuarto mes :
Va1 = 103,323. 39
(1.035)3
x (1.03) 1
Va1 = $90, 477.45
d) Los intereses descontados serían :
I1= $103,323.39 – 90,477.45
I1= $12,845.94
e) Calculando el valor actual con la propuesta de descontar al 2.5% tendríamos
Va2= 103,323.39
(1.025)4
Va2= $ 94,524.72

85
Los intereses descontados serían :
I2 = $103,323.39 – 94, 524.72
I2 = $8,798.67
f) En resumen tendríamos : Va 1< Va 2 y I1 > I2
12,845.94 > 8,798.67
NO conviene cancelar la deuda aceptando la propuesta de la financiera , porque el el valor
actual de la propuesta es menor que el valor actual en la propuesta original , o lo que es lo mismo
los intereses descontados son menores
Ejemplo 4:
¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad?
a) $90,000 al contado
b) $40,000 al contado y el saldo en tres pagarés iguales de $20,000 con vencimiento a 1 , 2 y
3 años plazo. El rendimiento del dinero es de 8% anual efectivo
Solución
Vamos a desarrollar la opción (b) para contrastarla con la opción (a)
0 1 2 3
40,000 20,000 20,000 20,000
Va2 = 40,000 + 20,000 + 20,000 + 20,000
(1+0.08) 1
(1+0.08) 2
(1+0.08) 3

86
Va2 = 40,000 + 18,518.52 + 17,146.78 + 15,876.67
Va2 = $91,541.97
Si Va1 = $90,000 < 91,541.97
En la perspectiva del valor actual la segunda opción es más conveniente, en razón que representa
un mayor ingreso de $1,541.97 (en términos de valor actual).
Ejemplo 5 :
La empresa que usted administra tiene los siguientes pagarés con un proveedor importante
(incluyen intereses) : interes mensual = 3.12%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 meses
270 270 270 270
310 310 310 310 310
Se pide actualizar los flujos al período “0”
Va1 = 270 x 1 – ( 1+0.0312) - 4
0.0312
Va1 = 270 x 0.11564144
0.0312
Va1 = 270 x 3.70645649
Va1 = 1,000.74

87
Ahora actualizamos la segunda serie :
Va2,1 = 310 x 1 – ( 1+0.0312) - 5
0.0312
Va2,1 = 310 x 0.14239861
0.0312
Va2,1 = 270 x 4.56405788
Va2,1 = 1,414.86
Va2 = 1,414.86 x ( 1+0.0312) –4
Va2 = 1,414.86 x 0.88435856
Va2 = 1,251.24
El valor actual Total es igual a = Va1 + Va2
Va = 1,000.74 +1,251.24
Va = 2,251.98
Pero llegamos sólo hasta
el período “4”. Entonces
debemos utilizar la
fórmula del FSA para
llegar al período “0”

88
1.- Se tiene concertado un pagaré a 120 días plazo, cuyo monto asciende a s/. 180,000. La
tasa de interés páctada es de 3 % mensual efectiva. Transcurridos 2 meses queremos
cancelar la obligación.
a) Elabore el gráfico financiero
b)¿ A cuánto asciende el valor actual?
c) ¿ A cuanto asciende el interés que vamos a ahorrar ?
2. Nos han vendido un lote de autos para transporte de turistas en las siguientes
condiciones :
▪ Inicial : $ 2,900
▪ 12 letras de $ 299
▪ Interés : 2.3772% mensual
Utilizando la técnica del valor actual ¿ Cuál es el valor contado de cada vehículo?
3. Nuestra empresa tiene las siguientes deudas :
Deuda Monto vencimiento Interes anual
Pagaré A 85,000 30/04 19%
Pagaré B 60,000 31/06 19.5%
Deuda C 12,000 4 letras Marzo- junio 22%
El Banco W nos ha ofrecido consolidar la deuda con una tasa efectiva mensual de 0.52%
la cual pagaríamos a fines del mes de junio.
Se pide :
a) Calcule la tasa de interés mensual efectiva
b) Elabore el gráfico financiero pertinente
c) Calcule el Valor actual de las tres deudas al período “0”
d) ¿Qué tan conveniente es la operación?

89
3 : APLICACIONES PRÁCTICAS DEL VALOR ACTUAL
3.1 EL VALOR ACTUAL EN LA EVALUACION DE INVERSIONES
El valor actual neto -VAN es un criterio de inversión muy utilizado en la evaluación de
proyectos de inversión y consiste en determinar si la diferencia de el valor actual de los flujos
netos de efectivo de un proyecto comparados a la inversión inicial justifican su aceptación o
rechazo .
Fórmula :
= +
+−=
n
t
t
t
K
FC
IIVAN
1 )1(
donde :
II = desembolso inicial (VALOR NEGATIVO)
FC = Flujos de Caja
k = Costo de capital ( rendimiento requerido por la inversión )
t = período de tiempo en que ocurrirá el flujo de efectivo
n = último período con flujo de efectivo
Criterio de evaluación:
VALOR DEL VAN DECISION
VAN > 0 ACEPTAR
VAN ≤ 0 RECHAZAR

90
Ejemplo 5 :
Diga si es rentable o no el siguiente flujo de efectivo
La tasa de interés es del 12% para cada período
0 1 2 3 4
-15,000 5,000 3,000 7,000 6,000
VAN = -15,000 + 5000 + 3000 + 7000 + 6000
(1.12)1
(1.12)2
(1.12)3
(1.12)4
VAN = -15000 + 4464.29 + 2391.58 + 4982.46 + 3813.11
VAN = -15000 + 15651.44
VAN = 651.44 > 0 => Se acepta el proyecto.
Ejemplo 6 :
Un Hotel requiere comprar un bus para el transporte de turistas con el objetivo de ahorrar los
gastos de alquiler de transporte.
La inversión será de S/. 50,000, cubierto en 3 armadas : S/. 25,000 al momento de comprar, S.
15,000 a fines del primer año y S/. 10,000 al fin del 2º año. Estas cantidades incluyen los
intereses.
El costo anual de alquiler de vehículos es de S/. 15,000, la vida útil del vehículo es de 5 años y
su costo de recuperación es de cero.
SOLUCIÓN
El flujo de efectivo del proyecto es el siguiente ( Flujo de caja) :
RUBRO 0 1 2 3 4 5
Ingresos 0 15,000 15,000 15,000 15,000 15,000
Egresos -25,000 -15,000 - 10,000 0 0 0
Beneficios -25,000 0 5,000 15,000 15,000 15,000

91
EL VAN sería :
VAN : -25,000 + 0__ + 5,000 + 15,000 + 15,000 + 15,000
(1.12)1
( 1.12)2
(1.12)3
(1.12)4
(1.12)5
VAN = -25,000 + 0 + 3,985.97 + 10,676.70 + 9,532.77 + 8,511.40
VAN = -25,000 + 32,706.84
VAN = 7,706. 84
VAN > 0 El proyecto es rentable
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige VNA
Nota : Es importante mencionar que Excel calcula el valor Actual (VA) y a ese valor hay que
deducirle la inversion inicial , que en este caso sería :
VAN = -25000+32,073.84 = 7,073.84

92
3.2 LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
Es el complemento del VAN al momento de evaluar una inversión y es un indicador de la
rentabilidad que se obtiene mediante la búsqueda de la tasa de descuento capaz de igualar la
serie de flujos de caja actualizados con el desembolso original.
Su expresión matemática es :
0
)1(1
=
+
+−= =
n
t
t
t
k
FC
IITIR
Criterio de evaluación:
VALOR DEL TIR DECISION
TIR > K ACEPTAR
TIR ≤ K RECHAZAR
Utilizando los datos del ejemplo anterior tendríamos :
TIR : -25,000 + __ 0 + 5,000 + 15,000 + 15,000 + 15,000
(1.2055)1
( 1.2055)2
(1.2055)3
(1.2055)4
(1.2055)5
TIR = -25,000 + 0 + 3,440.61 + 8,562.28 + 7,102.68 + 5,891.90
TIR = -25,000 + 25,000 = 0
TIR = 20.55% > 12% Entonces se acepta el proyecto

93
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige TIR
NOTA 4 :
Es importante acotar que si no se tiene computadora el cálculo de la tasa de descuento (TIR)
debe hacerse por aproximaciones sucesivas (tanteo) hasta llegar a la tasa de 20.55%
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94
1.- El Hotel " Colca" tiene en alquiler dos lavadoras industriales a $200.00 mensual c/u. Cada tres
meses se debe hacer el mantenimiento preventivo y cambio de rodajes , el costo es de $80 por
cada máquina.
Se nos ha ofrecido en venta una máquina nueva, que tiene la misma capacidad que las otras dos.
Las condiciones de la operación con el Proveedor son: una inicial de $800.00 y seis letras de
$1,200.00 cada dos meses.
La máquina se deprecia en un año en 30% - en otras palabras si se tuviera que venderla - su
precio de mercado después de un año de uso, sería de $3,850.00.
Se pide :
o Elabore el Flujo de Caja de cada opción
o ¿ Que alternativa minimiza el costo según la técnica del valor Actual ?
o Utilize una tasa de costo de capital del 2.5 % mensual
2.- Se tienen dos proyectos de inversión alternativos para emprender un pequeño negocio en
turismo.
Las dos alternativas son: (En S/.)
Concepto A B
Inversión inicial $ 14,500 $ 12,500
Costos anuales $ 6,500 $ 4,400
Incremento de costos anual 4% 2%
Ingresos anuales $ 11,000 $ 9,500
Incremento anual 6 % 5%
Vida útil del proyecto (años) 5 años 4 años
Costo de capital (anual %) 8% 10%
En función del valor actual. ¿ Que opción recomendaría usted?

95
CAPITULO V
VALOR FUTURO
1 : La relación Valor futuro - Capital
2. La relación Valor futuro - Renta
2 : Capitalizaciones Mixtas
OBJETIVOS :
1º Conocer la importancia del proceso de capitalización y efectuar cálculos que le
permitan aplicar dicho proceso a operaciones bancarias y comerciales
2ª Diferenciar las operaciones con rentas que se efectúan a término vencido y
término adelantado

96
1 . LA RELACIÓN VALOR FUTURO -CAPITAL
Capitalizar es aquel proceso financiero mediante el cual un capital o una renta se convierten en
un monto o VALOR FUTURO - VF despues de transcurrido un determinado período de tiempo
y a una determinada tasa de interés compuesta.
ESQUEMA :
Va 0 1 2 3 4 ……. n Vf=?
FORMULA :
n
iVaVf )1( +=
(FSC) Factor Simple de Capitalización
Ejemplo 1:
A cuánto ascenderá el valor futuro de un valor actual de $ 12,000, depositado en el banco durante
8 meses a una tasa de interés efectiva de 2.8%
Datos Solución
Vf= ? Vf = 12,000 x ( 1+ 0.028) 8
Va = 12,000
n = 8 Vf = 12,000 x 1.24722532
i = 0.028
Vf = 14,966.70
Respuesta : al cabo de 8 meses el monto obtenido sera igual a $14,966.70

97
Vamos a efectuar el mismo cálculo utilizando el método tabular
Período Saldo capital Interes Monto
1
2
3
4
5
6
7
8
12,000.00
12,336.00
12,681.41
13,036.49
13,401.51
13,776.75
14,162.50
14,559.05
336.00
345.41
355.08
365.02
375.24
385.75
395.55
407.65
12,336.00
12,681.41
13,036.49
13,401.51
13,776.75
14,162.50
14,559.05
14,966.70
Los resultados coinciden con los obtenidos con el FSC
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige VF
Nota : El Valor actual o capital se pone en valor negativo ( -B1 )

98
¿ Qué sucedería si al término del 5° período la tasa de interés sube a 3.5%?
Vf = 12,000 x ( 1+ 0.028) 5
x ( 1 + 0.035)3
Vf = 12,000 x 1.14806261 x 1.10871788
Vf = 12,000 x 1.27287754
Vf = 15,274.53
Gráficamente sería :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 meses
12,000
13,776.75
15,274.53

99
2. RELACIÓN VALOR FUTURO – RENTA
2.1 LA RELACIÓN VALOR FUTURO – RENTA VENCIDA
ESQUEMA :
R1 R2 R3 R4 …… Rn Vf : ?
FORMULA :
i
i
RVf
n
1)1( −+
=
(FCS) Factor de Capitalización de la Serie
Ejemplo 2 :
A cuánto ascenderá el monto de una anualidad de $10,000 durante 8 años si se invierte a la tasa
del 6% de interés efectivo anual ?
Datos Solución
Vf= ?
R = 10,000 Vf = 10,000 x ( 1+ 0.06) 8
- 1
i= 6% 0.06
n = 8
Vf = 10,000 x 1.59384807 – 1
0.06
Vf = 10,000 x 9.89746791
Vf = $ 98,974.68
Respuesta : al cabo de 8 años el valor futuro obtenido sera igual a $98,974.68

100
Período Saldo capital Renta Interés Renta+interés
1
2
3
4
5
6
7
8
10,000.00
20,600.00
31,836.00
43,746.16
56,370.93
69,753.19
83,938.38
98,974.68
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
10,000
0.00
600.00
1,236.00
1,910.16
2,624.77
3,382.26
4,185.19
5,036.30
10,000.00
10,600.00
11,236.00
11,910.16
12,624.77
13,382.26
14,185.19
15,036.30
TOTALES 80,000 18,974.68 98,974.68
Los resultados coinciden con los obtenidos con el FCS
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige VF
Nota : En tipo se coloca 1 o se ignora cuando la renta es vencida – como es este caso

101
2.2 RELACIÓN VALOR FUTURO – RENTA ADELANTADA
ESQUEMA :
R1 R2 R3 R4 …… RN M =?
FORMULA :






−




 −+
=
+
1
1)1( 1
i
i
RVf
n
(FCS) Factor de Capitalización de la Serie
Ejemplo 3 :
Se ha efectuado cuatro depositos mensuales de $ 4,700 adelantados durante cuatro meses a una
tasa efectiva mensual de 3.4%. Calcular el valor futuro obtenido
Datos Solución
Vf= ?
R = 4,700 Vf = 4,700 x ( 1+ 0.034) 4+1
- 1 -1
i= 3.4 % 0.034
n = 4
Vf = 4,700 x 0.18195977 -1
0.034
Vf = 4,700 x 4.35175786
Vf = $. 20,453.26
Respuesta : al cabo de 4 años el monto obtenido sera igual a $ 20,453.26

102
Período Saldo capital Renta Interés Renta+interés
0
1
2
3
4
4,700
9,559.80
14,584.83
19,780.71
20,453.25
4,700
4,700
4,700
4,700
0
0
159.80
325.03
495.88
672.57
4,700
4,859.80
5,025.03
5,195.88
672.54
TOTALES 18,800 1,653.28 20,453.25
Los resultados coinciden con los obtenidos con el FCS
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige VF
Nota : La renta se coloca con valor negativo (Pago) para que el valor del Monto sea positivo

103
3. OPERACIONES MIXTAS (RENTAS Y MONTOS)
Tenemos la posibilidad de capitalizar en simultáneo rentas (flujos) y montos ( stocks).
Así por ejemplo se tiene el siguiente esquema :
630
500 500 500 500
430 430 430
0 1 2 3 4 5 6 7 8 meses
i = 6.18% mensual i = 4.82% mensual
Se pide : capitalizar el conjunto de rentas y capital y encontrar el valor futuro (Vf).
Tenemos un primer Monto : ( 3 rentas de 430)
Vf1 = [ ( 430 x ( 1+ 0.0618 ) 3
- 1 ) x 1.0618 ] x ( 1.0482 ) 4
0.0618
Vf1 = (( 430 x 3.18921924) x 1.0618) x 1.20719276
Vf1 = 1,371.36 x 1.0618 x 1.20719276
Vf 1 = 1,757.81
Ahora trabajamos el segundo monto : ( capital de 630)

104
Vf2 = 630 x (1+0.0482) 4
Vf2 = 630 x 1.20719276
Vf2 = 760.53
Por último tenemos el tercer monto ( 4 rentas de 500)
Vf3 = 500 x ( 1 + 0.0482 ) 4
- 1
0.0482
Vf3 = 500 x 4.29860494
Vf3 = 2,149.30
Vf = Vf1 + Vf2 + Vf3
Vf = 1,757.81 + 760.53 + 2,149.30
Vf = 4,667.36 Monto total
NOTA 5 :
EN EXCEL CUANDO SE APLICAN LAS FUNCIONES SE TIENE LA
EXPRESIÓN
TIPO :
SI SE PONE 1 CORRESPONDE A RENTAS VENCIDAS
SI SE PONE 0 o 2 CORRESPONDE A RENTAS ADELANTADAS
SI SE IGNORA CORRESPONDE A RENTAS VENCIDAS

105
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106
1.- Una persona debe pagar una renta de S/. 56,000 trimestrales durante 8 años. Si no efectúa los
primeros cinco pagos. ¿ Cuánto debe pagar al vencer la quinta cuota para poner al día su deuda
?. La tasa de interés efectiva es de 9% trimestral.
Elabore el cuadro de capitalización.
2.- Si se desea formar un Fondo de UM/10,000 mediante 10 depósitos cada fin de año al 25% de
interés efectivo anual. ¿Cuál será el importe de cada depósito?
3.- Si se deposita en un Banco UM/1,000 cada fin de mes al 2% mensual efectivo. Cuánto podrá
acumularse al cabo de 3 años?
4.- Si se desea formar un capital de UM/50,000 mediante cinco depósitos cada fin de año al 25%
efectivo anual. Cuál será el importe de cada depósito?
5.- Se desea establecer un fondo para ampliar una fábrica dentro de ocho años. El proyecto estima
un desembolso de $3'000,000. ¿Cuál es el importe de los pagos que tendrían que efectuarse
cada año para poder cumplir con reunir el monto proyectado? Se estima una tasa efectiva de
rentabilidad del 12% anual
6.- ¿Cuál es el Valor de una cuota de pago vencido, sabiendo que el valor actual es de $19,000 y
que la tasa de interés anual efectiva es de 40% y el tiempo de tres años?
7.- ¿Cuál es el monto que puede acumularse al cabo de 10 años depositando UM/1,000 cada fin de
mes, y ganando un interés efectivo mensual de 1%?
8.- Hallar la renta trimestral vencida, necesaria para cancelar un préstamo de S/.100,000 recibido
hoy al 53.32% anual efectivo durante cinco años?
9.- Por una maquinaria que al contado cuesta $100,000 se decide pagarla a plazos mediante 12
cuotas trimestrales vencidas. Hallar el valor de cada cuota, si el interés efectivo mensual es de
2.91%

107
CAPITULO VI
PERPETUIDADES Y GRADIENTES
1 . PERPETUIDADES
2 . GRADIENTES
OBJETIVOS :
1º Conocer las caracteristicas de las perpetuidades , sus elementos y su aplicación
práctica
2º Entender las gradientes

108
1 . PERPETUIDADES
1.1. CONCEPTO
Es una serie de rentas o anualidades que están distribuidas en un período de tiempo que tiende
al infinito . Las perpetuidades pueden ser :
▪ Vencidas
R1 R2 R3 ….. Rn
0 1 2 3 ….. n
▪ Adelantadas
R1 R2 R3 R4 ….. Rn-1
0 1 2 3 ….. n
1.1 FORMULAS
VARIABLE VENCIDA ADELANTADA
Valor actual
Va i
RVa
1
= 





+=
i
iRVa
1
)1(
Renta
R iVaR = 





+
=
i
i
VaR
1
Tasa de
interés
i
Va
R
i =
RVa
R
i
−
=

109
Ejemplo 1 : (Perpetuidad vencida)
La Fundación para el desarrollo del turismo sustentable desea efectuar una donación anual de
€ 130,000 : calcule el valor actual asumiendo una tasa efectiva anual de 8.5%
Datos Solución
Va : ?
R : 130,000 Va = 130,000 x 1
i : 3.4 % 0.085
Va = 130,000 x 11.76470588
Va = € 1,529,411.77
Respuesta : El valor actual de la perpetuidad de € 130,000 es € 1,529,411.77
Ejemplo 2 : ( Perpetuidad adelantada)
El primer día util de cada año y en forma indefinida la empresa “Cosmos” efectuará un aporte
de $ 40,000 para aliviar la contaminación en la floresta de la provinvia de Condesuyo.
Calcular el Valor actual asumiendo una tasa de interés efectiva anual de 3.5%
Datos Solución
Va : ? Va = 40,000 x 1.035 x ( 1 / 0.035)
R : $40,000
i : 3.5% a.ef. Va = 40,000 x 1.035 x 28.57142857
Va = 40,000 x 29.57142857
Va = $ 1,182,857.14
Ejemplo 3 : ( renta perpetuidad vencida )
Queremos depositar S/. 128,000 a fines de cada año en el Banco “Mochica” , el cual paga en
ahorros una tasa anual efectiva de 4.5% . ¿ Cuá será el valor de la renta mensual a obtener?

110
Datos Solución
R : ? Convertimos el interés anual efectivo a mensual efectivo :
Va : 128,000
i : 4.5% a.ef. i = (( 1+0.045)1/12
) -1
i = 0.00367481
R = 128,000 x 0.00367481
R = S/. 470.37 mensuales
Si aplicamos a este ejemplo el calculo de renta adelantada el resultado sería :
R = 128,000 x 0.00367481
1+0.00367481
R = 128,000 x 0.00366136
R = S/. 468.66 mensuales
Ejemplo 4 :
Calcular el valor de la tasa de interés efectiva mensual de un depósito de S/. 30,000, y que
produciriá una renta mensual de S/. 600
Datos Solución
i : ? i = 600
R : 600 30,000
Va : 30,000
i = 0.02 ó 2%
Ejemplo 5 :
Hemos efectuado a inicios de año un depósito a plazo de $45,000, queremos cobrar una renta
bimensual anticipada de $550 ¿ Cuál debe ser la tas de interés?

111
Datos Solución
i : ? i = 550
R : 550 45,000-550
Va : 45,000
i = 0.01237345 ó 1.24% efectivo bimensual
2 . GRADIENTES
2.1. CONCEPTO
Las gradientes son un conjunto de rentas vencidas , que a lo largo del tiempo, y a partir de la
primera renta experimentan procesos de cambio .
Las gradientes pueden ser :
• Gradientes que varían en progresión aritmética ( uniformes)
• Gradientes que varían en regresión geométrica ( no uniforme)
2.2 GRADIENTES ARITMETICAS
Son aquellas cuyas rentas varían de manera aritmética, la diferencia entre una renta y la siguiente
o anterior es la misma . gráficamente se pueden presentar de la siguiente manera :
Donde :
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1 2 3 4
G3
G2
G1
R

112
R : Renta base ( R1= R2 = R3 = ……Rn)
G : Gradientes ( G1 = G2 = G3 = …..Gn )
Las fórmulas aplicadas en este caso son :
VARIABLE VENCIDA
Valor actual
Va 











+
−
+
−+
= nn
n
i
n
ii
i
i
GVa
)1()1(
1)1(1
Renta
R (1)






−+
−=
1)1(
1
n
i
n
i
GR
Valor Futuro












−
−+
= n
i
i
i
GVf
n
1)1(1
(1) Conversión de Gradientes a Rentas uniformes
Ejemplo 1 :
Calcular el valor actual de seis gradientes aritméticas mensuales cuyo valor es de S/. 350.
Considere una tasa efectiva mensual de 1.8%
Datos Solución
Va : ?
G : S/.350 G = 350 x 1 x (1+0.018) 6
-1 _ 6
n : 6 0.018 0.018 x ( 1+0.018) 6
( 1+0.018) 6
i : 1.08 ef.m.
G = 350 x 55.5555555 x ( 5.63943443-5.39094104)

113
G = 350 x 55.55555555 x 0.24849339
G = S/. 4,831.82
Ejemplo 2 :
Se tiene un conjunto de cuatro gradientes aritméticas uniformes mensuales de $70. Convertir
estas cuattro gradientes en rentas iguales aplicando una tasa de interés de 2% mensual.
Datos Solución
R : ? R = 70 x 1 _ 4
G : $70 0.02 ( 1+0.02) 4
- 1
n : 4
i : 2% ef.m. R = 70 x 50 _ 4
0.08243216
R = 70 x ( 50 – 48.52475053 )
R = 70 x 1.47924947
R = $103.27
Las cuatro gradientes uniformes de $70 son iguales a cuatro rentas iguales de $ 103.27
Ejemplo 3 :
Se tiene un conjunto de cicno gradientes uniformes mensuales de € 550. Calcular el valor futuro
de las mismas aplicando una tasa de interés efectiva mensual de 3.8%
Datos Solución
Vf : ? Vf = 550 x 1 x ( 1+0.038) 5
-1 _ 1
G : 550 0.038 0.038
n:5
i:3.8 ef.m. Vf = 550 x 26.31578947 x 0.20499922 _ 1
0.038

114
Vf = 550 x ( 26.31578947 x 0.39471645 )
Vf = 550 x 10.387275
Vf = € 5,713.00
Ejemplo 4 :
Se tienen las siguientes gradientes :
Hallar el valor futuro :
Vf = Vf R + Vf G
Vf = 1,200 x ( 1+0.025)4
– 1 + 250 x 1 x ( 1+0.025)4
– 1 _ 4
0.025 0.025 0.025
Vf = ( 1,200 x 4.15251563 ) + ( 250 x ( 40 x ( 4.15251563 – 4) )
1200 1200 1200 1200
250 250 250 250
250 250 250
250 250
250
0
500
1000
1500
2000
2500
R1 R2 R3 R4
um
rentas

115
Vf = 4,983.02 x ( 250 x 40 x 0.15251563 )
Vf = 4,983.02 + 1,525.16
Vf = 6,508.18
2.3 GRADIENTES GEOMETRICAS
Son aquellas cuyas rentas varían de manera geométrica, la diferencia entre una renta y la
antecedente o consecuente no es proporcional . Su gráfico es el siguiente :
Donde :
R : Renta base ( R1= R2 = R3 = ……Rn)
G : Gradientes ( G1 ≠ G2 ≠ G3 ≠ …..Gn )
g : Razón de la variación geométrica . g = (( Rn / Rn-1)-1)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
R1 R2 R3 R4
um
Rentas

116
Si g > 1 entonces es una variación creciente
Si g < 1 es una variación decreciente
Las fórmulas aplicadas en este caso son :
VARIABLE VENCIDA
Valor actual
Va
g ≠ i






−−+
+−+

+
=
ig
ig
i
R
Va
nn
n
1)1(
)1()1(
)1(
Valor actual
Va
g = i
)1( g
Rn
Va
+

=
Renta
R
g ≠ i 





+−+
−−+
+= nn
n
ig
ig
iVaR
)1()1(
1)1(
)1(
Renta
R
g ≠ i n
gVa
R
)1( +
=
Ejemplo 1 : ( 1+g) ≠ (1+i)
Calcular el valor actual de cuatro rentas mensuales , con gradientes geométricos y con una tasa
efectiva mensual de 3%mensual

117
224.97
216.32
208
200
0 1 2 3 4
Datos Solución
Va : ?
R : S/.350 Calculamos g = (208/ 200) -1 = 0.04
n : 4
i : 3 % ef.m.
Va = 350 x (1+0.04)4
- (1+ 0.03)4
(1+0.03)4
(1+0.04)-1-0.03
Va = 177.70 x 1.16985856 – 1.12550881
0.01
Va = 177.70 x 4.434975
Va = 788.10
En caso de que ( 1+g) = (1+i) , en este caso 0.04 , tendríamos :
Va = 4 x 200
(1+0.04)
Va = 800
1.04
Va = 769.23
Ejemplo 2 :
Un préstamo de $ 8,500 debe pagarse en unsemestre. La razón de crecimiento de la rentas es de
1.5% mensual. La tasa efectiva mnesual aplicado es de 3%. Calcular el valor de la cuota base (
primera cuota)

118
Datos Solución
R : ? R = 8,500 x (1+0.03)6
x (1+0.015) -1-0.03
Va : $8,500 (1+0.015)6
- (1+0.03)6
n : 6
i : 3% ef.m. R = 8,500 x 1.19405230 x -0.015
d : 1.5% - 0.10060903
R = 8,500 x 1.19405230 x 0.14909199
R = $ 1,513.20
En caso de que ( 1+g) = (1+i) , en este caso 0.04 , tendríamos :
R = 8,500 x 1.03
6
R = 1,459.17

119
1. A fines de cada año se desea efectuar un aporte de $24,000 de manera indefinida. Calcule el valor
actual de esta perpetuidad vencida . La tasa de interés a considerar es de 7.2% anual efectiva
2. Se desea constituir un fondo de apoyo a las pequeñas empresas artesanales, mediante un aporte de
S/. 75,000 el cual se hará efectivo a inicios de cada año. Calcule el valor actual de la perpetuidad
3. Se quiere obtener una renta perpetua trimestral vencida, para tal efecto se ha depositado una
cantidad de S/. 135,000. La financiera noa paga un interés anual efectivo de 6.5%. Calcule la renta
4. ¿ Cuál es la tasa de interés efectiva trimestral de un depósito de € 34,000 y que se estima generará
una renta trimestral vencida de € 830 ?
5. Hallar el Valor actual de ocho gradientes aritméticos bimensuales cuyo valor es 500 UM y con una
tasa efectiva mensual de 0.8%
6. Convertir cinco gradientes aritméticos mensuales de S/ 3,000 en rentas iguales considerando una
tasa efectiva mensual de 3%
7. Hallar el valor futuro de ocho gradientes aritméticos de 1,200 UM . La tasa efectiva aplicada es de
1.2% mensual
8. ¿Cuál es el valor actual de un conjunto de seis rentas mensuales cuya base es 500 y que varían a
razón de 1.5% mensual . La tasa de interés efectiva mensual a considerar es de 2%
9. Utilizando los datos del ejercicio anterior ¿ que pasaría si la razón de crecimiento es igual a la tasa
de interés ? ( 1.5%)
10. Cuál será la cuota base o renta de un Valor actual de $11,000. Se conoce que la razón de crecimiento
de la rentas es del 2.8% mensual y la tasa efectiva mensual es del 2% . Las rentas a considerar son
diez

120
CAPITULO VII
AMORTIZACION DE DEUDAS
1 . METODO ALEMÁN Y FRANCÉS
2 . MÉTODO HIPOTECARIO Y METODO AMERICANO
3. MÉTODO FLAT Y FONDO DE AMORTIZACIÓN
OBJETIVOS :
1º Conocer los diversos métodos de amortización de deudas y diferenciar su
filosofía y aplicación práctica
2º Conocer con propiedad los elementos integrantes de un cuadro de amortización
y elaborar un plan de pagos

121
1 . EL METODO ALEMÁN Y EL METODO FRANCES
1.1. CONCEPTO
Si un préstamo se cancela se dice que está amortizado. La palabra amortización viene del
francés "amortir" que significa "amortiguar o mitigar" . Podríamos entender que la amortización
en sentido económico permite amortiguar o mitigar el peso de una deuda
Entonces la amortización es la devolución gradual de un préstamo, la mayoría de las veces
mediante pagos períodicos. Estos pagos incluyen además los intereses por el uso del
financiamiento, comisiones, costos operativos, etc.
La descomposición de los pagos en porciones de interés y capital se llama programa de
amortización, o plan de pagos.
1.2 PLAN DE CUOTAS DECRECIENTES - ALEMAN
Llamado también "Plan de Amortizaciones constantes", bajo esta modalidad quien recibe un
préstamo lo tiene que "amortizar" en partes iguales pagadas a intervalos regulares sobre el plazo
del préstamo. En cada amortización se pagan intereses al rebatir o sobre el saldo pendiente.
Las cuotas del préstamo, es decir la amortización con los intereses son más elevados al inicio y
van declinando a través del tiempo, lo cual se debe a que el saldo pendiente se va reduciendo
con cada amortización y los intereses ppor pagar son cada vez menores.
EJEMPLO : (válido para los tres sistemas)
Se ha contraído una deuda de S/.90,000. para pagar en un plazo de 10 meses a una tasa efectiva
mensual de 4.5% Elabore el programa de amortización mediante un plan de cuotas
decrecientes.
1º Se calcula la amortización (Constante)
amortización mensual = 90,000 / 10 = 9,000

122
2º Se elabora el cuadro de amortización :
 primero se coloca toda la columna de amortización
 luego se calcula toda la columna de saldo capital
 Se calcula el interés : Saldo capital n-1 x i
 Se suma : amortización + interés = Cuota integral
A continuación presentamos el cuadro de amortizaciones :
n Saldo Capital Amortización Interes Renta
1 90,000 9,000 4,050 13,050
2 81,000 9,000 3,645 12,645
3 72,000 9,000 3,240 12,240
4 63,000 9,000 2,835 11,835
5 54,000 9,000 2,430 11,430
6 45,000 9,000 2,025 11,025
7 36,000 9,000 1,620 10,620
8 27,000 9,000 1,215 10,215
9 18,000 9,000 810 9,810
10 9,000 9,000 405 9,405
TOTALES 90,000 22,275 112,275

123
1.3 PLAN DE CUOTAS FIJAS O CONSTANTES - FRANCES
Mediante este Sistema varían tanto las amortizaciones como los intereses, siendo las
amortizaciones crecientes y los intereses a su vez decrecientes, de tal forma que en cada
período se paga una cuota igual. Como las armadas son constantes forman lo que se llama una
anualidad , renta, flujo o pago periódico.
Conociendo esta armada constante, que contiene los intereses el saldo es la amortización
del período, quedando de esta manera construída por diferencia la tabla de amortización.
Es el método mas utilizado en la actualidad en el sistema financiero y comercial.
En el cálculo de la cuota se utiliza el Factor de Recuperación de Capital - FRC.
Ejemplo:
Con los datos del ejercicio anterior, elabore el Programa de Amortización mediante un plan
de cuotas fijas.
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
S/.
n
Método aleman
Amortización Interés

124
1º Se calcula la cuota fija o renta (R):
R = C x FRC
R = 90,000 x 0.045
1- (1+0.045) - 10
R = 90,000 x 0.126379
R = S/.11,374.09 incluye amortización e interés
2º Se elabora el cuadro de amortizaciones
n Saldo Capital Amortización Interes Renta
1 90,000 7,324.09 4,050 11,374.09
2 82,675.91 7.653.68 3,720.42 11,374.09
3 75,022.23 7,998.09 3,376.00 11,374.09
4 67,024.13 8,358.01 3,016.09 11,374.09
5 58,666.13 8,734.12 2,639.98 11,374.09
6 49,932.01 9,127.15 2,246.94 11,374.09
7 40,804.85 9,537.88 1,836.22 11,374.09
8 31,266.98 9,967.08 1,407.01 11,374.09
9 21,299.90 10,415.60 958.50 11,374.09
10 10,884.30 10,884.30 489.79 11,374.09
TOTALES 90,000 23,740.94 113,740.90
El cuadro en hoja electrónica se elabora de la siguiente manera :

125
Notas :
1º El cálculo se la Renta se efectúa mediante la función financiera PAGO, conforme los
comandos que figuran en la celda C4
2º La Rentas se copian de la celda C4 y luego se copian para todo el período de pago
3º El interés (I) del primer periodo se calcula así : + C7*$C$3, luego se copia la celda
hasta E16
4º La amortuización del primer período (A ) se obtiene : + F7-E7 , luego se copia la celda
hasta D16
5º El saldo capital del primer período es igual a la celda C2, el saldo capital del 2º
período se obtiene : +C7-D7 , luego se copia la celda hasta C16
6º Por último se obtienen las sumatorias correspondientes con la función Σ

126
El grafico estadístico seria el siguiente :
1.3.1 Calculo del Saldo Insoluto – Método francés
En caso de querer calcular el saldo insoluto , o el saldo capital – SC se puede aplicar la expresión
i
i n
RSI
−
+−
= )1(1
Esta formula corresponde al Factor de actualización de una serie – FAS y en el caso del ejercicio
desarrollado se aplicaria de la siguiente manera :
Supongamos que se han pagado cuatro rentas iguales de S/.11,374.09. ¿ A cuánto asciende el
saldo pendiente de pago ?. – Sin elaborar el cuadro de amortización. La respuesta sería :
SC = 11,375.09 x 1- ( 1+ 0.045) -6
0.045
SC = 11,375.09 x 0.23210426
0.045
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n
Interes Amortización

127
SC = 11,375.09 x 5.15787248
SC = S /. 58,666.11
Es el valor del Saldo capital del 5º mes SC5 = S/. 58,666.13 , no ha coincidido exactamente
debido a que en al cuadro se ha redondeado a dos decimales
UTILIZANDO EXCEL :
3º Se elige PAGO
Nota : El Valor actual (Va) se pone con signo negativo, VF y Tipo se ignora

128
1. Se desea concertar un endeudamiento por la suma de S/.150,000 para pagar a un plazo
de dos años y medio.
Las cuotas a pagar serán trimestrales y la tasa de interés trimestral efectiva considerar
es del 3. 2%.
Elabore los programas de amortización utilizando los sistemas de pago
▪ Método Alemán
▪ Método Francés
Compare y comente los resultados.
2. Deseamos comprar una computadora avaluada en $2,500. nuestro Banco nos ofrece un
financiamiento de 12 meses sea en moneda nacional (MN) o moneda extranjera (ME).
Las condiciones son:
Condiciones MN ME
Plazo en meses 12 12
Interes efectivo
mensual
2% 1.5%
Forma de pago Cuota fija mensual - francés
Suponiendo que el tipo de cambio inicial es de S/.3.30 y se espera una devaluación
mensual de 0.5%
¿Qué alternativa recomendaría para asumir el financiamiento? Es importante que
considere que usted gana su sueldo en moneda nacional.
Prepare el Plan de amortizaciones ( MÉTODO FRANCÉS) en ambos casos.

129
2 . EL MÉTODO HIPOTECARIO Y AMERICANO
2.1 PLAN DE CUOTAS CRECIENTES - HIPOTECARIO :
Sistema en el cual las cuotas aumentan en forma sucesiva a través del tiempo, esto se
consigue al diferir la entrega del capital en los períodos iniciales.
Utilizado en el financiamiento hipotecario de largo plazo.
El diseño de este modelo, está basado en asumir una amortización determinada por la
suma de los períodos dígitos.
El método consiste en dividir el monto del préstamo entre la suma de todos los períodos
y se procede a amortizar en cada período un monto igual a dicha cifra por el número
de período respectivo.
Es preciso mencionar que a medida que se amplia el plazo del préstamo el incremento
de las cuotas es menos brusco.
EJEMPLO:
Con las cifras del ejercicio anterior ( seccion 1) que son :
C = 90,000
n = 10
i = 4.5%
Vamos a elaborar un programa de amortización basado en cuotas crecientes.
1º Primero obtenemos la suma de los períodos dígitos (N)
( )
2
)1+
=
nn
N
Si n = 10 entonces:

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