Bases físicas de la circulación de la sangre

1. Hemodinámica
Básica
2013-2014

2. En todo sistema circulatorio se tiene:
Un generador de pulsos de presión (bomba)
Un sistema para captación de oxígeno y
expulsión de deshechos
Un medio portador de oxígeno y otros
nutrientes
Un sistema de distribución
Un sistema de control de direccionalidad de
distribución
Mecanismos de la Circulación Sanguínea

3. Mecanismos de la Circulación Sanguínea
 Tarea principal: transporte de oxígeno y
dióxido de carbono desde y hacia el
sistema de intercambio con el medio.
 Posibilidades:
Si se usa la bomba para generar presión y
hacer llegar la sangre al sistema de intercambio,
queda poca presión para distribuir la sangre
oxigenada a los tejidos
Si la bomba se usa para generar presión para
hacer llegar sangre a los tejidos, queda poca
presión para impulsar la sangre desoxigenada al
sistema de intercambio.

4. El problema esquemáticamente queda
planteado así:

5. SOLUCION.
Bomba doble en paralelo:
Bomba A
Bomba B
Para impulsar la sangre se debe ejercer una fuerza, debiendo
impulsarla a lo largo del sistema circulatorio. Es decir, debe
realizarse un trabajo de traslación.
La manera más óptima de lograr un gran impulso en un solo paso
en este caso es mediante contracción. Es decir, vía V se
producirá un P por la compresión súbita del líquido y su natural
salida por el punto de menor resistencia.
Vo Vf

6. Sistema circulatorio– esquema general
Capilares O2
CO2
Válvulas
direccionales

7. Sistema circulatorio – Características
 Flujo contínuo de sangre
 Diámetro decreciente + ramificación de
los vasos
 Volumen sanguíneo ~ 5 – 10% del
volumen corporal
 El corazón bombea la sangre al sistema
arterial
 Elevada presión en las arterias 
reservorio de presión  circula la sangre
por los capilares.

8.  El corazón
permite elevar la
presión del líquido
en forma
escalonada pero
rápida.
Sistema circulatorio – Características

9. Propiedades de líquidos y gases
S
n
T
T ’
T ’
Sobre el elemento de superficie S actúan tangencialmente
las tensiones T ’ , originando una resultante T.

10. La tensión actuante sobre la
superficie será:
S
T
P
n
P
n






Por otro lado:
k
n
P
j
n
P
i
n
P
n
P z
z
y
y
x
x








11. Multiplicando escalarmente por i, j y k
sucesivamente se obtiene que:
z
y
x P
P
P
P 


Es decir, en equilibrio, en cada punto la
presión es igual (Ley de Pascal)

12. Ecuaciones de Equilibrio y Movimiento
P(x)
P(x + dx)
dx
dS
dx
x
P
x
P
dFx )]
(
)
(
[ 


La fuerza elemental que actúa sobre el
elemento de fluído es originada por la
diferencia de presiones entre los extremos:

13. Pero:
dx
x
P
dx
x
P
x
P





 )
(
)
(
Entonces:
dV
x
P
dS
dx
x
P
dS
dx
x
P
x
P









 ))
(
)
(
(
De modo que podemos definir
x
P
f
dV
dF
x
x





Fuerza por unidad de volumen

14. Por analogía definimos las restantes dos componentes:
z
P
f
y
P
f
x
P
f z
y
x











 ;
;
y
P
grad
f
k
z
P
j
y
P
i
x
P
f

















Ecuación fundamental de la hidrostática
Fuerza que
actúa sobre
el líquido

15. Por III Ley de Newton, en equilibrio por parte del líquido actuará
una fuerza:
P
grad


estando el sistema en equilibrio. Si no está en equilibrio su
ecuación de movimiento será (expresada por unidad de
voumen):
P
grad
dt
v
d
P
grad
a












ECUACION DE EULER
Atención
al signo

16. Si el líquido se halla en un campo gravitacional, en equilibrio:
g
f




Por componentes:
g
z
P
y
P
x
P











;
0
E integrando a lo largo
del eje OZ: z
g
P
P o 


P(0) – Presión atmosférica a nivel del mar

17. De la ecuación de Mendeleev:


RT
P 
tenemos:













z
RT
g
P
P
dz
RT
g
P
dP
z
T
T
P
RT
g
dz
dP
o



exp
)
(
,
FORMULA BAROMETRICA
Fuerza por
unidad de
volumen

18. Para líquidos en movimiento:
S1
S2
v1
v2
Volumen 1 = Volumen 2
const
v
S
v
S
dt
v
S
dt
v
S



2
2
1
1
2
2
1
1
Se obtiene la
ECUACION DE CONTINUIDAD.

19. h1
h2
h
v1
v2
En términos de energía y
trabajo:
A
E
E 
 1
2
donde:
E2- Energía mecánica
total en 2
E1- Energía mecánica
total en 1
A – trabajo de las
fuerzas externas que
trasladan la masa de
líquido de 1 a 2
S1
S2

20. Recordemos que E = K + U, de modo que:
2
2
2
1
1
1
²
2
1
²
2
1
mgh
mv
E
mgh
mv
E




y el trabajo total, realizado por las fuerzas originadas por la
diferencia de presiones entre los extremos del tubo, será:
)
(
)
( 2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
t
v
S
P
t
v
S
P
l
F
l
F
A





 Trabajo parcial en 1 – Trabajo parcial en 2

21. Igualando ambos miembros de la ecuación de energía:
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
P
gh
v
P
gh
v 



 



volumen
V
t
v
S
t
v
S 



 )
(
)
( 2
2
1
1
Pero:
De modo que, finalmente, al dividir todos los términos por V:
)
(
)
(
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
2
2 t
v
S
P
t
v
S
P
mgh
mv
mgh
mv 












Ecuación de Bernoulli

22. Donde:
i
i
i
P
gh
v

 2
2
1 Presión dinámica
Presión manométrica de la
columna de líquido
Presión registrada en el extremo del
tubo

23. Si h1  h2:
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
P
v
P
v 

 

Y para un tubo curvo:
S1
S2
v1
v2
F ’
F
dt
v
m
d
dt
p
d
dt
p
d
dt
p
d
)
(
0
'







Ley de conservación de momentum, consecuencia de
la III Ley de Newton para un sistema
cerrado.
Ley de
Conservación de
Momentum

24. Entonces:
)
(
0
)
(
,
:
.
.
1
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
v
v
Sv
F
dt
p
d
t
t
v
v
Sv
p
v
v
v
S
S
S
pero
v
t
v
S
p
v
t
v
S
p



































Fuerza que actúa
sobre el punto de
inflexión del tubo.

25. VISCOSIDAD
Tomemos dos placas de superficie S situadas a una distancia h una
de la otra, y asumamos que la placa superior se mueve con
velocidad vo y la inferior permanece en reposo.
vo
h
F
-F
S

26. vo
h
F
-F
S
La fuerza con la cual la placa inferior se opone al movimiento será
(por módulo) proporcional a la velocidad relativa de desplazamiento
vo, la superficie de las placas S, e inversamente propocional a la
distancia h entre ambas. Esto fué establecido experimentalmente por
Newton.

27. Es decir:
h
v
S
F o


Coeficiente de
Rozamiento
interno
Y si ambas placas se mueven con
velocidades colineales v1 y v2:
h
v
v
S
h
v
S
F rel 1
2 

 

Nótese que
aparece una
dependencia
de la
velocidad
respecto a la
distancia entre
placas

28. Sea:
y
h 

y
v
S
F



Podemos reescribir la expresión anterior como
Y en el límite, cuando y  0:
dy
dv
S
dy
dv
S
F x

 

La velocidad longitudinal varía respecto al eje perpendicular OY
(altura)

29. Tomemos un tubo recto donde la corriente es estacionaria:
P(x) P(x + dx)
R
dx
S
En este caso, tanto la superficie transversal  como la lateral S
serán funciones de r, y la velocidad también.
)
(
),
(
),
( r
v
v
r
S
S
r 





30. La fuerza elemental de rozamiento (viscosidad) actuante en función
de r será:
dr
dv
rdx
dF 
 2

Superficie lateral S del cilindro
Y entre las bases del cilindro actuará una fuerza elemental neta:
 
dx
dx
dP
r
dF
dx
x
P
x
P
dF
²
.
)
(
)
(








31. Como la corriente es estacionaria, quiere decir que F = 0, entonces:
dx
dP
r
dr
dv
dx
dx
dP
r
dx
dr
dv
r








2
²
2
Además,
l
P
P
dx
dP 1
2 

en virtud de que la corriente
analizada es estacionaria, y como
consecuencia el comportamiento
de la presión es lineal respecto a
x. Aquí l es la longitud del tubo.

32. Llegamos a la ecuación diferencial:
rdr
l
P
P
dv

2
2
1 

Integrando con los límites
respectivos:
 
 
²
²
4
)
(
²
²
4
)
(
2
1
2
2
1
0
r
R
l
P
r
v
r
R
l
P
P
r
v
rdr
l
P
P
dv
R
r
v







 




1. La velocidad máxima se
alcanza en r = 0, en el eje
longitudinal .
²
4
max R
l
P
v



2. La distribución de velocidades
respeto a r es parabólica:
R
-R
X
r

33. En cuanto al “gasto” de líquido, es decir, masa de líquido que atraviesa
la superficie S en una unidad de tiempo:
4
0
8
²)
²
(
4
2
2
²
,
R
l
P
Q
rdr
r
R
l
P
Q
rdr
v
dQ
r
S
v
dS
dQ
R



















Ley de Poiselle
Analice los
límites del
sistema
circulatorio
a la luz de la
relación
encontrada.
Eje
Borde
externo

34. Número de Reynolds
Una corriente puede ser laminar, si las líneas de velocidad de las
partículas no se cruzan, o turbulentas en caso contrario.
El tipo de carácter de la corriente
está determinado por el valor del
Número de Reynolds.
Si Re  2000 o mayor, la corriente es
turbulenta


vD
Re 
Diámetro
del tubo

35. Sistema circulatorio – Efecto Fahraeus - Linqdvist
 En vasos delgados, la sangre se comporta como si
fuera solamente plasma.
 Los eritrocitos se acumulan hacia el eje, por lo que la viscosidad se
incrementa hacia el centro
 La gradiente de velocidad se invierte, moviéndose el líquido más rápido
cerca de las paredes
 Al “reducirse” la viscosidad, la diferencia de presión necesaria para
mantener el flujo es menor.

36. Sistema circulatorio – Efecto Fahraeus - Linqdvist
 En vasos más pequeños (5 - 7m):
 Los eritrocitos copan el vaso
deformándolo, el movimiento se
produce como una oruga.

37. Comparación entre el comportamiento de un líquido
ideal y la sangre
 Si bien los capilares son delgados, están agrupados en
paralelo, lo que hace que su sección total sea mayor. Por
Ley de Bernoulli:
const
gh
v
P 

 
 ²
2
1
Velocidad (cm/s)
Presión (mm Hg)
50
40
30
20
10
0
120
80
40
Curva
Teórica
Curva
real

38. En forma más detallada:

40. Capilaridad
Tomemos una superficie a la cual trataremos de manetener estirada, evitando
que tome su forma natural (esférica). Para ello aplicaremos una fuerza f
tangente a la superficie y perpendicular a la línea de separación del medio (de
longitud l):
f
l
l
f 

Coeficiente de Tensión
superficial
 =  ( T )
Tensión Superficial

41. El trabajo elemental a realizar para expandir (sin incremento de
temperatura) el área en una longitud dx será:
l
dx
f dS
ldx
fdx
dA





Pero dA se va completamente en incrementar la energía de la película
en dE:
dS
dE
dS
dE




Energía libre (parte de la energía que puede
transformarse en trabajo por vía
isotérmica)

42. Ejemplo: Tomemos n gotas de 2.10-3 mm de radio (r) y
formemos una sola gota de R = 2mm.
 
 





2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
.
4
)
(
4
.
4
R
n
r
S
S
S
S
A
R
S
n
r
S











Pero Volumen 1 = Volumen 2
3
3
3
3
3
4
3
4
r
R
n
R
n
r

 
 Trabajo de
compresión, S2 < S1

 







 1
²
4
r
R
R
E
Para el agua  = 73
dinas/cm.
J
E 3
10
.
5
.
3 



43. Presión debida a la curvatura de una superficie libre:
En un campo gravitacional, toda superficie tiende a ser plana. En caso
de encontrar un límite físico (p.e. las paredes de un vaso) al tender a
ser plana puede ocurrir cualquiera de las siguientes situaciones:
Superficie convexa
La superficie presiona
sobre las capas
inferiores, sobrepresión
positiva
Superficie cóncava
La sobrepresión es
negativa, pues la capa
superior “tira” de las capas
inferiores

44. Veamos cuál es la magnitud de esta sobrepresión para una superficie
esférica, para lo cual analizaremos un casquete de superficie S:
df df
R
R
r


dl
Para la figura:
dl
df 

Pero es df la que
ejerce la presión
sobre el líquido
dl
df
df



sin
sin




45. Entonces, para todo el contorno:
R
r
f
R
r
pero
r
f
dl
df
f
L L
2
2
sin
:
2
sin
sin
















  
La presión actuante será:
R
r
R
r
P
r
f
S
f
P





2
2
2
2
2



 

La presión es inversamente proporcional
al radio de la esfera. A menor radio,
mayor presión actuante para un mismo


46. ¿En qué dirección cree que fluirá el aire?
En este caso, guiarse por el radio es mala idea. El aire fluye de
donde hay mayor presión a donde hay menor presión.
¿Por qué tenemos bronquiolos y alveolos pulmonares en lugar
de tener solamente el pulmón como un sistema de fuelle?

47. Para una superficie
cualquiera, la
sobrepresión es:
R1
R2
1
2










2
1
1
1
R
R
P 
Para un clindro:
R
P


¿Qué pasa en los capilares?

48. Una vez analizado el líquido, veamos que ocurre cuando el líquido está
en contacto con un cuerpo sólido (las paredes del recipiente).
En este caso extstirán dos tipos de fuerzas:
1. Entre las moléculas del mismo líquido
2. Entre las moléculas del líquido y el sólido
Posibilidades
1) La fuerza actuante entre las
moléculas del líquido es mayor que la
fuerza actuante entre ambos cuerpos
2) Las fuerzas intermoleculares dentro
del líquido son menores que las fuerzas
que actúan entre ambos cuerpos.

49. Caso 1: El líquido NO moja el sólido. La fuerza resultante
está dirigida HACIA el líquido
 
Esto ocurre cuando , el ángulo de contacto, es mayor o igual a
 /2. Si  = , el líquido no moja en absoluto.

50. Caso 2: Las fuerzas de cohesión (entre las moléculas del líquido)
son menores que las de adherencia (entre el líquido y sólido). En
este caso el líquido moja al sólido. La fuerza resultante está dirigida
hacia afuera del líquido.


Cuando el águlo de contacto  es menor a  /2, el líquido
moja al sólido.

51. h
R
r

Calculemos a qué altura se elevará una columna de líquido que moja
un tubo.
R
P

2

Y la presión de la columna:
gh
P 

En equilibrio:
gr
h
gh
r
r
R
gh
R









cos
2
cos
2
cos
,
2





52. ¿Y en este caso, ¿cuál será la altura?
En este caso:
0
0
cos


h


53. Dicho todo esto:
¿Cuánto trabajo realiza el corazón? Es decir, ¿cuál es su
potencia?
Bajo condiciones normales el corazón late aprox. 75 veces por minuto. Al
hacerlo entrega 5 litros por minuto al sistema. La presión máxima en el
corazón es cerca de 1/6 de Atm, desarrollando ente 1.3 y 2W de potencia
mecánica.
Ejemplo:
Potencia = Presión x Flujo (Volumen por unidad de tiempo)
Si tenemos 6 litros de sangre que circulan cada minuto, el flujo será
100cm3/s. La presión media es 133,000 dinas /cm². La potencia media
entregada es 13,300,000 erg/s o 1.33 Watts.
Si el día tiene 86,400 segundos,  el trabajo realizado es
aproximadamente 115,000 J, lo que equivale a la energía cinética de uan
persona de 70 kg luego de caer desde 550 pisos!!!!!

54. Si embargo, la eficiencia del corazón es solamente 20%. ¿Por qué
entonces ha sido la solución al problema?
Energía
Química
Energía
Mecánica
Calor
Factores que condicionan la eficiencia:
1. Tensión muscular durante la contracción
2. Fracción de tiempo durante el que se mantiene la tensión
3. Tasa de contracción del músculo mientras se mantiene la tensión

55. P
V
C 


Contracción del corazón:
La capacidad de una
cámara o vaso de variar
su volumen ante una
variación de presión es
cuantificada mediante el
coeficiente de distensión :
La curva
correspondiente no es
lineal.
A menor variación de presión,
mayor variación de volumen.
A mayor variación de presión,
menor variación de volumen.

56. CICLO CARDIACO –
GRAFICOS PV
El término “isovolumétrico”
se refiere al volumen
constante de sangre en el
ventrículo

57. ¿Qué factores limitan este ciclo?
La “dureza”
(stiffness) del
ventrículo. Es
igual a
siendo su
gráfica la
recíproca de C
V
P
C 


1
La
Contractibilidad
del ventrículo
(inotropía). Este
punto marca la
presión máxima
a la que se
puede llegar.

59. Inotropía y la Familia de Curvas de Frank - Starling
Menor inotropía
Mayor
inotropía

60. Siendo éste un diagrama PV, recordemos
que:


S
PV
d
A )
(
Por lo tanto, la gráfica expresa
el trabajo total realizado por el
ventrículo en un ciclo.
Definición: El área
encerrada bajo la curva
cuantifica el trabajo
realizado en un diagrama
PV.

61. La variación de volumen es
igual para ambos ventrículos,
sin embargo el ventrículo
izquierdo realiza más trabajo.