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MECÁNICA DE FLUIDOS
Ecuación de continuidad. Ecuación de Bernoulli. Aplicaciones:
teorema de Torricelli, Teorema de Venturi. Tubo de Pitot. Efecto
Magnus. Viscosidad. Teorema de Poisseuille
¿POR QUÉ LA VELOCIDAD DEL RÍO DISMINUYE
COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA?
• Un fluido ideal es Incompresible
y no tiene fricción interna
(viscosidad). El camino de una
partícula individual en un fluido
en movimiento se llama línea de
flujo. Si el patrón del flujo no
cambia con el tiempo, el flujo es
estable.
• El flujo puede ser:
• Laminar, en el que las capas
adyacentes de fluido se deslizan
suavemente unas sobre otras.
• Turbulento, donde el flujo es
irregular y caótico.
FLUJO DE FLUIDOS
Línea de flujo
Tubo de flujo
• El producto de la rapidez del fluido
ideal por el área que atraviesa es
constante en todos los puntos.
• Para un fluido incompresible y en
flujo estable
• De donde se deduce la ecuación de
continuidad,
𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2
• El producto Av es la razón del flujo
de volumen o la rapidez con que el
volumen cruza una sección del tubo,
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 𝐴. 𝑣
• También el producto 𝐴𝑣 se conoce
como gasto o caudal y se mide en el
SI en 𝑚3
/𝑠.
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2
𝜌𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝜌𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡
• La ecuación de Bernoulli
relaciona la presión p, la rapidez
de flujo 𝑣 y la altura 𝑦 de dos
puntos 1 y 2 cualesquiera,
suponiendo que el trabajo
realizado por las fuerzas
producidas por la presión
producen un cambio en las
energías cinética y potencial del
fluido.
TEOREMA DE BERNOULLI
𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 +
1
2
𝜌𝑣1
2 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 +
1
2
𝜌𝑣2
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EC. CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
EC. DE CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
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¿CÓMO EXPLICAR LA VELA ROTATORIA?
SUSTENTACIÓN DEL ALA DE UN AVIÓN
• Los tornados y los huracanes
suelen levantar el techo de las
casas. Explique por qué
sucede basándose en la
ecuación de Bernoulli.
¿POR QUÉ AGREGAR ESTE DISPOSITIVO AL MÓVIL?
• Presión de agua en el hogar.
Entra agua en una casa por
tubo con diámetro interior de
2,0 𝑐𝑚 a una presión absoluta
de 4,0105 𝑃𝑎 (unas 4 𝑎𝑡𝑚 ).
Un tubo de 1,0 cm de
diámetro va al cuarto del
del segundo piso, 5,0 𝑚 más
arriba. La rapidez de flujo en
tubo de entrada es de
1,5 𝑚/𝑠 . Calcule la rapidez de
flujo, presión y razón de flujo
de volumen en el cuarto de
baño.
EJERCICIO
Al segundo piso
(tubo de 1,0 cm)
Medidor de
agua
Tanque de agua
caliente
Del suministro de
agua (tubo de 2,0
cm)
• Si el tanque está cerrado • Si el tanque está abierto
TEOREMA DE TORRICELLI
𝑃 𝑎
𝒗 𝟐
𝑃0
𝐴2
𝑣1
𝐴1
h
𝑃 𝑎
𝒗 𝟐
𝑃 𝑎
𝐴2
𝑣1
A1
h
𝑣2 = 2
𝑝0 − 𝑝 𝑎
𝜌
+ 2𝑔 ℎ 𝑣2 = 2𝑔 ℎ
MEDIDOR DE VENTURI I
• Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (𝑦1 = 𝑦2),
• Y como
𝑣1 =
2𝑔 ℎ
𝐴1 𝐴2
2 − 1
𝑝1 +
1
2
𝜌 𝑣1
2
= 𝑝2 +
1
2
𝜌 𝑣2
2
𝑣2 = 𝐴1 𝑣1 𝐴2 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑔ℎ
TUBO DE PITOT
𝑝2 +
1
2
𝜌 𝑔𝑎𝑠 𝑣2
= 𝑝1
𝑣 =
2𝜌 𝑔𝑎𝑠 𝑔ℎ
𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
• La viscosidad es el rozamiento
interno entre las capas de
fluido. A causa de la
viscosidad, es necesario
ejercer una fuerza para obligar
a una capa de fluido a
deslizarse sobre la otra.
FLUJO VISCOSO
Diferentes niveles de viscosidad en el fluido
• Entre dos capas de fluido que
están separadas por una
distancia dx habrá una
diferencia de velocidad igual
a:
• La fuerza por unidad de área que
hay que aplicar es proporcional al
gradiente de velocidad.
• La constante de proporcionalidad
se denomina viscosidad (𝜇).
𝐹 = −𝐴𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Unidad
• 𝜇 = 𝑃𝑎. 𝑠
• 𝜇 = 𝑃(𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒) = 0,1 𝑃𝑎. 𝑠
FLUJO VISCOSO
VISCOSIDAD DE ALGUNOS FLUIDOS
Fluido μ (Pa.s)
Agua 8,91×10-4
Aire 17,4×10-6
Argón 22,9×10-6
Benceno 6,04×10-4
Brea 2,3×108
Etanol (alcohol etílico) 1,074×10-3
Glicerina (glicerol) 1,5
Helio 19,9×10-6
Hidrógeno 8,4×10-6
Mercurio 1,526×10-3
Metano 11,2×10-6
Metanol 5,44×10-4
Nitrobenceno 1,863×10-3
Nitrógeno líquido 1,58×10-4
Propanol 1,945×10-3
Sangre humana 3×10-3 - 4×10-3
Xenón 21,2×10-6
(𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2
2𝜋𝑟𝐿
= −𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟
LEY DE POISEUILLE
• Un fluido viscoso circula en régimen laminar por una
tubería de radio interior R, y de longitud L, por la
diferencia de presión existente en los extremos del tubo.
𝑟
𝑝1 𝜋 𝑟2 𝑝2 𝜋 𝑟2
𝐿
𝑅
El signo negativo se debe a que v
disminuye al aumentar r.
el área lateral de un cilindro de
longitud L y radio r.
𝐹 = (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2
𝐹 = −𝐴𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟
𝐹 = −2𝜋𝑟𝐿𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟
• Integrando la ecuación (de r a
R y de v a 0) se obtiene el
perfil de velocidades en
función de la distancia radial,
al eje del tubo.
• Se obtiene:
que corresponde a un perfil
parabólico.
• La velocidad máxima en el
centro del tubo ( 𝑟 = 0).
• La velocidad mínima se da en
los bordes del tubo ( 𝑟 = 𝑅).
LEY DE POISEUILLE: PERFIL DE VELOCIDADES
(𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2
2𝜋𝑟𝐿
= −𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑟
𝑣 𝑟 =
(𝑃1 − 𝑃2) (𝑅2 − 𝑟2)
4𝜇𝐿
• El caudal de fluido 𝑑𝑄 que
circula por el anillo de radio r
y espesor 𝑑𝑟 es:
𝑑𝑄 = 𝑣 𝑟 𝑑𝐴 = 𝑣 𝑟 2𝜋𝑟𝑑𝑟
• El caudal total se obtiene
tomando en cuenta la
expresión para la velocidad
• Esta ley relaciona la causa, la
diferencia de presiones ∆𝑃, con el
caudal.
LEY DE POISEUILLE: CAUDAL O GASTO
𝑅
r𝑟 + 𝑑𝑟
𝑄 =
0
𝑅
∆𝑃 (𝑅2 − 𝑟2)
4𝜇𝐿
2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝑄 =
𝜋𝑅4
8𝜇𝐿
∆𝑃
• Un bloque de 10 𝑘𝑔 se desliza
por un plano inclinado. Calcular
la velocidad terminal del bloque
si se mueve sobre una película de
aceite de 0,10 𝑚𝑚 de espesor.
Considere que la viscosidad del
aceite es 0,021 𝑃𝑎. 𝑠 . Considere
que la distribución de
velocidades es lineal y que la
superficie de contacto del bloque
con el aceite es de 0,10 𝑚2.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
20°0,10 𝑚𝑚
𝑣
• Una capa de agua fluye cuesta
abajo por un plano inclinado con
un perfil de velocidades que se
muestra en la figura. Determine
la magnitud y dirección del
esfuerzo de corte que el agua
ejerce sobre la superficie del
plano. Considere que 𝑈 =
3,0 𝑚/𝑠 y ℎ = 0,30 𝑐𝑚 . La
viscosidad del agua es 𝜇 = 1,21 ×
10−3 𝑃𝑎. 𝑠
EJERCICIO
EJERCICIO
• El espacio entre dos cilindros concéntricos de 6 in de
largo está lleno de glicerina. El cilindro interior tiene un
radio de 3 in y la separación ente cilindros es de 0,10 in .
Calcule el torque y la potencia requerida para rotar el
cilindro interior. Considere que la distribución de las
velocidades es lineal.
• La expresión
• La resistencia hidrodinámica
es mayor cuanto mayor es la
viscosidad del fluido, y mayor
cuanto más largo y más
estrecho es el conducto.
• ¿Cuál es la resistencia al agua
de una aguja hipodérmica de
20,0 cm de longitud y 0,060 cm
de radio interno?
• Solución:
• Reemplazamos valores:
LEY DE POISEUILLE
h 4
8 L
R
R



Resistencia
hidrodinámica h 4
8 L
R
R



 
 
3
H 42
8 1,0 10 0,20
R
0,060 10


 

 
9
h 5
Ns
R 3,93 10
m
 
• El número de Reynolds es una
magnitud adimensional que
sirve para determinar si el
flujo es laminar o turbulento.
• El número de Reynolds para
un flujo de fluido de radio R
se define como:
• Si Re > 1 500, el flujo es
turbulento
• Si Re < 1 000, el flujo es
laminar
• La velocidad media de la
sangre en la aorta (r=1,19
cm) durante la parte
estacionaria del latido del
corazón es de unos 35,0
cm/s . ¿Es laminar o
turbulento el flujo? La
viscosidad de la sangre es
2,08 x 10-3 Pa.s
• Solución:
NÚMERO DE REYNOLDS
e
vR
R


    3 2 2
e 3
1,1 10 35,0 10 1,19 10
R
2,08 10
 

  


2 203eR 
Flujo
turbulento
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WARU WARU
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería.
7° edición. Ed.Cengage Learning. Pág. 403-406.
2. J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson
Educación. Pág. 322-324.
3. Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición.
Pearson Educación. Pág. 470-472.

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EC. CONTINUIDAD Y BERNOULLI

  • 1. MECÁNICA DE FLUIDOS Ecuación de continuidad. Ecuación de Bernoulli. Aplicaciones: teorema de Torricelli, Teorema de Venturi. Tubo de Pitot. Efecto Magnus. Viscosidad. Teorema de Poisseuille
  • 2. ¿POR QUÉ LA VELOCIDAD DEL RÍO DISMINUYE COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA?
  • 3. • Un fluido ideal es Incompresible y no tiene fricción interna (viscosidad). El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de flujo. Si el patrón del flujo no cambia con el tiempo, el flujo es estable. • El flujo puede ser: • Laminar, en el que las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente unas sobre otras. • Turbulento, donde el flujo es irregular y caótico. FLUJO DE FLUIDOS Línea de flujo Tubo de flujo
  • 4. • El producto de la rapidez del fluido ideal por el área que atraviesa es constante en todos los puntos. • Para un fluido incompresible y en flujo estable • De donde se deduce la ecuación de continuidad, 𝐴1 𝑣1 = 𝐴2 𝑣2 • El producto Av es la razón del flujo de volumen o la rapidez con que el volumen cruza una sección del tubo, 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝐴. 𝑣 • También el producto 𝐴𝑣 se conoce como gasto o caudal y se mide en el SI en 𝑚3 /𝑠. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2 𝜌𝐴1 𝑣1 𝑑𝑡 = 𝜌𝐴2 𝑣2 𝑑𝑡
  • 5. • La ecuación de Bernoulli relaciona la presión p, la rapidez de flujo 𝑣 y la altura 𝑦 de dos puntos 1 y 2 cualesquiera, suponiendo que el trabajo realizado por las fuerzas producidas por la presión producen un cambio en las energías cinética y potencial del fluido. TEOREMA DE BERNOULLI 𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 + 1 2 𝜌𝑣1 2 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 + 1 2 𝜌𝑣2 2
  • 6. EC. CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
  • 7. EC. DE CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
  • 8. EC. DE CONTINUIDAD O EC. BERNOULLI
  • 9. ¿CÓMO EXPLICAR LA VELA ROTATORIA?
  • 10. SUSTENTACIÓN DEL ALA DE UN AVIÓN • Los tornados y los huracanes suelen levantar el techo de las casas. Explique por qué sucede basándose en la ecuación de Bernoulli.
  • 11. ¿POR QUÉ AGREGAR ESTE DISPOSITIVO AL MÓVIL?
  • 12. • Presión de agua en el hogar. Entra agua en una casa por tubo con diámetro interior de 2,0 𝑐𝑚 a una presión absoluta de 4,0105 𝑃𝑎 (unas 4 𝑎𝑡𝑚 ). Un tubo de 1,0 cm de diámetro va al cuarto del del segundo piso, 5,0 𝑚 más arriba. La rapidez de flujo en tubo de entrada es de 1,5 𝑚/𝑠 . Calcule la rapidez de flujo, presión y razón de flujo de volumen en el cuarto de baño. EJERCICIO Al segundo piso (tubo de 1,0 cm) Medidor de agua Tanque de agua caliente Del suministro de agua (tubo de 2,0 cm)
  • 13. • Si el tanque está cerrado • Si el tanque está abierto TEOREMA DE TORRICELLI 𝑃 𝑎 𝒗 𝟐 𝑃0 𝐴2 𝑣1 𝐴1 h 𝑃 𝑎 𝒗 𝟐 𝑃 𝑎 𝐴2 𝑣1 A1 h 𝑣2 = 2 𝑝0 − 𝑝 𝑎 𝜌 + 2𝑔 ℎ 𝑣2 = 2𝑔 ℎ
  • 14. MEDIDOR DE VENTURI I • Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 (𝑦1 = 𝑦2), • Y como 𝑣1 = 2𝑔 ℎ 𝐴1 𝐴2 2 − 1 𝑝1 + 1 2 𝜌 𝑣1 2 = 𝑝2 + 1 2 𝜌 𝑣2 2 𝑣2 = 𝐴1 𝑣1 𝐴2 𝑝1 − 𝑝2 = 𝜌𝑔ℎ
  • 15. TUBO DE PITOT 𝑝2 + 1 2 𝜌 𝑔𝑎𝑠 𝑣2 = 𝑝1 𝑣 = 2𝜌 𝑔𝑎𝑠 𝑔ℎ 𝜌𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜
  • 16. • La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizarse sobre la otra. FLUJO VISCOSO Diferentes niveles de viscosidad en el fluido
  • 17. • Entre dos capas de fluido que están separadas por una distancia dx habrá una diferencia de velocidad igual a: • La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es proporcional al gradiente de velocidad. • La constante de proporcionalidad se denomina viscosidad (𝜇). 𝐹 = −𝐴𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑥 Unidad • 𝜇 = 𝑃𝑎. 𝑠 • 𝜇 = 𝑃(𝑝𝑜𝑖𝑠𝑒) = 0,1 𝑃𝑎. 𝑠 FLUJO VISCOSO
  • 18. VISCOSIDAD DE ALGUNOS FLUIDOS Fluido μ (Pa.s) Agua 8,91×10-4 Aire 17,4×10-6 Argón 22,9×10-6 Benceno 6,04×10-4 Brea 2,3×108 Etanol (alcohol etílico) 1,074×10-3 Glicerina (glicerol) 1,5 Helio 19,9×10-6 Hidrógeno 8,4×10-6 Mercurio 1,526×10-3 Metano 11,2×10-6 Metanol 5,44×10-4 Nitrobenceno 1,863×10-3 Nitrógeno líquido 1,58×10-4 Propanol 1,945×10-3 Sangre humana 3×10-3 - 4×10-3 Xenón 21,2×10-6
  • 19. (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2 2𝜋𝑟𝐿 = −𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟 LEY DE POISEUILLE • Un fluido viscoso circula en régimen laminar por una tubería de radio interior R, y de longitud L, por la diferencia de presión existente en los extremos del tubo. 𝑟 𝑝1 𝜋 𝑟2 𝑝2 𝜋 𝑟2 𝐿 𝑅 El signo negativo se debe a que v disminuye al aumentar r. el área lateral de un cilindro de longitud L y radio r. 𝐹 = (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2 𝐹 = −𝐴𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝐹 = −2𝜋𝑟𝐿𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟
  • 20. • Integrando la ecuación (de r a R y de v a 0) se obtiene el perfil de velocidades en función de la distancia radial, al eje del tubo. • Se obtiene: que corresponde a un perfil parabólico. • La velocidad máxima en el centro del tubo ( 𝑟 = 0). • La velocidad mínima se da en los bordes del tubo ( 𝑟 = 𝑅). LEY DE POISEUILLE: PERFIL DE VELOCIDADES (𝑃1 − 𝑃2)𝜋𝑟2 2𝜋𝑟𝐿 = −𝜇 𝑑𝑣 𝑑𝑟 𝑣 𝑟 = (𝑃1 − 𝑃2) (𝑅2 − 𝑟2) 4𝜇𝐿
  • 21. • El caudal de fluido 𝑑𝑄 que circula por el anillo de radio r y espesor 𝑑𝑟 es: 𝑑𝑄 = 𝑣 𝑟 𝑑𝐴 = 𝑣 𝑟 2𝜋𝑟𝑑𝑟 • El caudal total se obtiene tomando en cuenta la expresión para la velocidad • Esta ley relaciona la causa, la diferencia de presiones ∆𝑃, con el caudal. LEY DE POISEUILLE: CAUDAL O GASTO 𝑅 r𝑟 + 𝑑𝑟 𝑄 = 0 𝑅 ∆𝑃 (𝑅2 − 𝑟2) 4𝜇𝐿 2𝜋𝑟𝑑𝑟 𝑄 = 𝜋𝑅4 8𝜇𝐿 ∆𝑃
  • 22. • Un bloque de 10 𝑘𝑔 se desliza por un plano inclinado. Calcular la velocidad terminal del bloque si se mueve sobre una película de aceite de 0,10 𝑚𝑚 de espesor. Considere que la viscosidad del aceite es 0,021 𝑃𝑎. 𝑠 . Considere que la distribución de velocidades es lineal y que la superficie de contacto del bloque con el aceite es de 0,10 𝑚2. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 20°0,10 𝑚𝑚 𝑣
  • 23. • Una capa de agua fluye cuesta abajo por un plano inclinado con un perfil de velocidades que se muestra en la figura. Determine la magnitud y dirección del esfuerzo de corte que el agua ejerce sobre la superficie del plano. Considere que 𝑈 = 3,0 𝑚/𝑠 y ℎ = 0,30 𝑐𝑚 . La viscosidad del agua es 𝜇 = 1,21 × 10−3 𝑃𝑎. 𝑠 EJERCICIO
  • 24. EJERCICIO • El espacio entre dos cilindros concéntricos de 6 in de largo está lleno de glicerina. El cilindro interior tiene un radio de 3 in y la separación ente cilindros es de 0,10 in . Calcule el torque y la potencia requerida para rotar el cilindro interior. Considere que la distribución de las velocidades es lineal.
  • 25. • La expresión • La resistencia hidrodinámica es mayor cuanto mayor es la viscosidad del fluido, y mayor cuanto más largo y más estrecho es el conducto. • ¿Cuál es la resistencia al agua de una aguja hipodérmica de 20,0 cm de longitud y 0,060 cm de radio interno? • Solución: • Reemplazamos valores: LEY DE POISEUILLE h 4 8 L R R    Resistencia hidrodinámica h 4 8 L R R        3 H 42 8 1,0 10 0,20 R 0,060 10        9 h 5 Ns R 3,93 10 m  
  • 26. • El número de Reynolds es una magnitud adimensional que sirve para determinar si el flujo es laminar o turbulento. • El número de Reynolds para un flujo de fluido de radio R se define como: • Si Re > 1 500, el flujo es turbulento • Si Re < 1 000, el flujo es laminar • La velocidad media de la sangre en la aorta (r=1,19 cm) durante la parte estacionaria del latido del corazón es de unos 35,0 cm/s . ¿Es laminar o turbulento el flujo? La viscosidad de la sangre es 2,08 x 10-3 Pa.s • Solución: NÚMERO DE REYNOLDS e vR R       3 2 2 e 3 1,1 10 35,0 10 1,19 10 R 2,08 10         2 203eR  Flujo turbulento
  • 32. BARRERAS DEL RIO TÁMESIS
  • 35. TRASVASE DEL RIO TOCANTIS AL SAN FRANCISCO
  • 37. EL GRAN RIO ARTIFICIAL DE LIBIA
  • 39.
  • 40. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería. 7° edición. Ed.Cengage Learning. Pág. 403-406. 2. J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 322-324. 3. Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición. Pearson Educación. Pág. 470-472.

Notas del editor

  1. 11/09/2016
  2. 11/09/2016
  3. 11/09/2016
  4. 11/09/2016
  5. 11/09/2016
  6. 11/09/2016
  7. 11/09/2016
  8. 11/09/2016