De dónde vienen los términos de generación de moméntum y qué representan.

1. Generación de moméntum
En los primeros problemas del curso, se “generaba” una cantidad de movimiento al desplazar un sólido
(lámina, placa) respecto a un fluido. En la práctica industrial los fluidos se mueven por ductos gracias a
una diferencia de presiones en los extremos o una diferencia de nivel, o ambos.
La diferencia de presiones, es un gradiente de presiones. En un sistema unidireccional cartesiano o
cilíndrico es:
∇𝑃 =
𝑑𝑃
𝑑𝑧
Cuando tenemos un fluido estable en el tiempo, sabemos que empíricamente es una constante.
𝑑𝑃
𝑑𝑧
= 𝑘
Al integrarlo,
∫ 𝑑𝑃 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑧
𝐿
0
𝑃2
𝑃1
𝑃2 − 𝑃1 = 𝑘𝐿
y 𝑘 =
𝑃2−𝑃1
𝐿
P1 P2
vz
0 L
Considerando la dirección que se colocó para la velocidad en z, lo lógico es que en realidad P2 < P1, por lo
que en realidad a esa diferencia de presiones le llamamos “caída de presión” y se le coloca el signo menos:
-ΔP.
Por otro lado, la presión es la fuerza aplicada sobre el área perpendicular de la fuerza:
𝑃 =
𝐹𝑧
𝐴 𝑧
Y la fuerza que origina el movimiento del fluido deriva en la transferencia de cantidad de movimiento,
representado:
𝐹𝑧 = 𝜏 𝑟𝑧 𝐴 𝑟
en sentido radial, esta área es (también le llamamos área envolvente del cilindro):
𝐴 𝑟 = 2𝜋𝑟𝐿

2. Considerando que a lo largo del ducto se transfiere la cantidad de movimiento, la caída de presión la
origina esa transferencia.
𝐹𝑧 = 𝐴 𝑧(−∆𝑃)
Igualando ambas fuerzas:
𝜏 𝑟𝑧 𝐴 𝑟 = 𝐴 𝑧(−∆𝑃)
Así es como conceptualmente se define el término de la generación de moméntum:
(𝑝 𝑣̇ )𝑉 = 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝐴 𝑧(−∆𝑃)
Para nuestro ducto circular
𝑉 = 𝜋𝑟2
𝐿 = 𝐴 𝑧 𝐿
Regresando a la definición de generación:
(𝑝 𝑣̇ )(𝐴 𝑧 𝐿) = 𝐴 𝑧(−∆𝑃)
(𝑝 𝑣̇ ) =
(−∆𝑃)
𝐿
Cuando el flujo es generado por una diferencia de niveles, tiene como fuerza motriz la gravedad. Si el
ducto lo consideramos vertical (pero el flujo axial sigue siendo en sentido z):
𝐹𝑧 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 𝑧 = 𝜌𝑉𝑔 𝑧
Si tenemos ambos factores motrices, gravedad y diferencia de presiones:
𝐹𝑧 = 𝐴 𝑧(−∆𝑃) + 𝜌𝑉𝑔 𝑧
Sustituyendo el volumen:
𝐹𝑧 = 𝐴 𝑧(−∆𝑃) + 𝜌𝐴 𝑧 𝐿𝑔 𝑧
Por lo que en este caso, el término de generación sería:
(𝑝 𝑣̇ )(𝐴 𝑧 𝐿) = 𝐴 𝑧(−∆𝑃) + 𝜌𝐴 𝑧 𝐿𝑔 𝑧
Y finalmente,
(𝑝 𝑣̇ ) =
(−∆𝑃)
𝐿
+ 𝜌𝑔 𝑧
Que para tres dimensiones se generaliza:
(𝑝 𝑣̇ ) = −∇𝑃 + 𝜌𝑔̅