Este documento presenta 8 problemas métricos con sus respectivas soluciones. Los problemas incluyen cálculos de ángulos, lados y áreas de triángulos, así como cálculos de alturas, distancias y áreas para diferentes figuras geométricas como triángulos, trapecios y polígonos regulares.

1. 6. PROBLEMAS METRICOS
1
Si la inclinación en un tramo de carretera es del 8%, ¿cuánto vale el ángulo de inclinación en dicho tramo? ¿Cuánto
sube la carretera en 100 m?
Solución:
tgAˆ = 0,08 ⇒ Aˆ = arctg 0,08 = 4,5739º = 4º 34' 26' '.
Al ser la pendiente del 8%, cada 100 m en horizontal recorre 8 m en vertical.
2
Calcula los restantes elementos de un triángulo ABC, rectángulo en C, si conocemos el cateto a = 10 cm y el cateto b = 9
cm.
Solución:
ˆA = a = 10 ⇒ Aˆ = arctg10 = 48,0128º =
c = a + b ⇒ c = 10 + 9 = 181 = 13,454 cm ; tg
b9 9
ˆB = b = 9 = 0,9 ⇒ Bˆ = arctg0,9 = 41,9872º = 41º 59' 14' '.
= 48º 46'' ; tg
a 10
2 2 2
3
2 2
Averigua la altura de la torre de una iglesia si a una distancia de 80 m, y medido con un teodolito de altura 1,60 m, el
ángulo de elevación del pararrayos que está en lo alto de la torre es de 23º.
Solución:
tg 23º =
4
h
⇒ h = 80 ⋅ tg 23º = 33,96 m ; H Torre = h+ h teo = h+ 1,60 = 35,56 m .
80
¿Cuál es el ángulo de inclinación de los rayos solares en el momento en que un bloque de pisos de 25 m de altura
proyecta una sombra de 10 m de longitud?
Solución:
ˆ = 25 ⇒ A = arctg 2,5 = 68,1986º = 68º 11' 55' '.
ˆ
tgA
10
5
El hilo de una cometa totalmente extendido mide 150 m, y forma un ángulo con el suelo de 40º mientras lo sujeto a 1,5 m
del suelo. ¿A qué altura del suelo está la cometa?
Solución:
sen 40º =
6
h
⇒ x = 150·sen 40º = 150·0,6428 = 96,42 m ⇒ h = x + 1,5 = 97,92 m
150
Halla la altura y el área de un triángulo isósceles cuya base mide 20 cm y cuyo ángulo desigual vale 26º.
Solución:
26º
= 13º = 13º ;
2
base
20
10
10
b⋅ h
20 ⋅ 43,315
=
= 10 ⇒ tg 13º =
⇒h =
= 43,315 cm ; Área =
=
⇒
2
2
h
tg 13º
2
2
Área = 433,15 cm 2 .
7
Halla el área de un dodecágono regular de lado 16 cm.

2. Solución:
lado
perímetro⋅ apotema
2 ⇒ ap = 8
; tg 15º =
= 29,856 cm ⇒
2
ap
tg 15º
12 ⋅ 16 ⋅ 29,856
⇒ Área =
= 2866,215 cm 2 .
2
Área =
8
Un cateto de un triángulo rectángulo mide el doble que el otro. ¿Cuánto valen los ángulos agudos de dicho triángulo?
Solución:
2x
= 2 ⇒ A = arctg 2 = 63,4349º = 63º 26' 6' '
x
B = 90º −63º 26' 6' ' = 26º 33' 54' '
Cateto1 = x, cateto2 = 2x ⇒ tgA =
1
Dos focos situados en el suelo a una distancia de 250 m iluminan a la vez un helicóptero en vuelo. El primero emite luz
con un ángulo de 32º con la horizontal y el segundo con un ángulo de 48º. ¿A qué altura está el helicóptero?
Solución:
Si h es la altura y x es la distancia de la proyección del helicóptero con el primer foco, tenemos:
h  x= h

t g32º=  tg32º
250tg48º
 x 
 ⇒  ⇒ h= tg48º = 9 ,97m
h  h 
 tg48º=  250−  tg48º= h 1+
 250− x   tg32º tg32º
 
.
2
Un camión de mudanzas debe transportar un listón de 4,5 m de largo. Si la parte destinada a la carga tiene forma de
ortoedro cerrado de dimensiones 3,5 x 2,5 x 2 m, ¿se podrá transportar el listón?
Solución:
Hay que calcular la diagonal x del ortoedro: x 2 = 3,5 2 + 2,5 2 + 22 ⇒ x = 22,5 = 4,74 m .
Por tanto, sí entra el listón de 4,5 m.
3
Determinar el área de un terreno triangular cuyos lados miden 70, 60 y 45 m.
Solución:
70 + 60 + 45
= 87,5 m , el área es
2
A = 87,5·(87,5 −70 )··(87,5 −60 )··(87,5 − 45 ) = 1337,78 m2 .
Por la fórmula de Herón, como el semiperímetro es
4
Resuelve un triángulo sabiendo que dos lados miden 5 y 7 m y su ángulo comprendido 37º.
Solución:
El
lado
calcula
aplicando
el
teorema
del
coseno:
a = 5 + 7 − 2·5·7 cos 37º ⇒ a = 18,09 = 4,25 m .
El ángulo B opuesto al lado de 5 m se calcula aplicando el teorema del seno:
2
2
2
a
que
falta
se

3. 5
4,25
 5 sen 37º 
=
⇒ B = arcsen
 = 45º4'26' ' .
senB sen 37º
 4,25 
El ángulo que falta es: C = 180º - 37º - 45º4'26'' = 97º55'34''.
5
En un triángulo A = 62º, B = 85º y a = 12 m. Calcula empleando el teorema del seno la medida de b. ¿Cuánto mide c? ¿Y
el área?
Solución:
b
12
12 sen 85º
=
⇒b=
= 13,54 m .
sen 85º sen 62º
sen 62º
Como C = 180º - 62º - 85º = 33º, entonces:
c
12
12 sen 33º
=
⇒c=
= 7,40 m .
sen 33º sen 62º
sen 62º
La altura h sobre el lado c es: sen 85º =
6
h
7,40·11,95
⇒ h = 12 sen 85º = 11,95 m , y el área es A =
= 44,215 m2 .
12
2
En un triángulo B = 72º12'46'' y dos de sus lados miden a = 12 m, c = 7 m . Calcula el área del triángulo sin determinar
más elementos del triángulo. Después usa el teorema del coseno para calcular b.
Solución:
La altura h se calcula así: sen 72º12'46' ' =
A=
h
⇒ h = 12 sen 72º12'46' ' , por lo que el área es
12
7·12 sen 72º12'46' '
= 33,99 m2 .
2
b 2 = 122 + 7 2 − 2·12·7 cos 72º12'46' ' ⇒b = 141,68 = 11,90 m .
7
Desde un pico se ven dos pueblos A y B. Sabiendo que la distancia que los separa es 1400 m y las visuales desde la
cumbre son las del dibujo, determina la altura del pico.
Solución:
Llamando h a la altura del pico y x a la distancia de A a la proyección de la cumbre:
 h
 h x=
 tg27º35'= x  tg27º35' 140 tg15º
 ⇒  ⇒ h= tg15º = 7 0,13m
 tg15º= h   140 + h  tg15º= h 1−
 140 + x   tg27º35' tg27º35'
 
.

4. 8
Calcula el área del siguiente triángulo:
Solución:
Llamando h a la altura y x a la distancia entre A y el pie de la altura, tenemos:
 h  x= h
 tg50º= x  tg50º 72tg46º
 ⇒  ⇒ h = tg46º = 39,38cm
 tg46º= h   72− h  tg46º= h 1+
 72− x   tg50º tg50º
 
1
, por lo que el área es A =
72·39,38
= 1417,68 cm2 .
2
¿A qué precio estará el metro cuadrado en una parcela triangular cuyos lados miden 44, 55 y 66 metros, si el valor total
asciende a 350000 euros?
Solución:
Aplicando la fórmula de Herón:
A PARCELA =
( 44 + 55 + 66) ⋅ ( − 44 + 55 + 66) ⋅ ( 44 − 55 + 66 ) ⋅ ( 44 + 55 − 66)
4
El precio del metro cuadrado será:
2
350000 €
1200,5 m 2
= 291,55 €
=
165 ⋅ 77 ⋅ 55 ⋅ 33
= 1200 m 2
4
m2
Un agricultor quiere comprar un terreno a 135 euros el metro cuadrado. Calcula el precio del terreno sabiendo que
tiene, en metros, las dimensiones siguientes:
40
100
60
75
Solución:

5. Se trata de un triángulo y un trapecio coincidentes en la base mayor.
B⋅ h1 100 ⋅ 40
=
= 2000 m 2
2
2
( B+ b) ⋅ h 2 (100 + 75 ) ⋅ 60
A TRAPECIO =
=
= 5250 m 2
2
2
A TOTAL = A TRIÁNGULO + A TRAPECIO = 2000 + 5250 = 7250 m 2
A TRIÁNGULO =
El precio del terreno será: 7250 m
3
2
⋅135 €
m2
=978750 €
Hallar la superficie de un terreno cuadrangular cuyas medidas en cm son las que se muestran en la figura siguiente:
220
m
300
m
375
m
250
m
400
m
Solución:
Utilizando la fórmula de Herón para cada triángulo:
( 220 + 375 + 300 ) ⋅ ( − 220 + 375 + 300 ) ⋅ ( 220 − 375 + 300 ) ⋅ ( 220 + 375 − 300 )
A1 =
4
( 250 + 375 + 400 ) ⋅ ( − 250 + 375 + 400 ) ⋅ ( 250 − 375 + 400 ) ⋅ ( 250 + 375 − 400 )
A2 =
A TOTAL
4
4
= A 1 + A 2 = 32995,3 + 45618,3 = 78613,6 m 2
= 32995,3 m 2
= 45618,3 m 2
Manolo quiere fabricar una cometa con las dimensiones de la figura, ¿qué cantidad de papel necesitará?
49,5cm
35cm
60cm
Solución:
Puede aplicarse la fórmula de Herón o la del área, indistintamente:
A1 =
A2 =
5
b⋅ h 70 ⋅ 35
=
= 1225 cm 2
2
2
( 70 + 60 + 60) ⋅ ( − 70 + 60 + 60) ⋅ ( 70 − 60 + 60) ⋅ ( 70 + 60 − 60 )
4
=
190 ⋅ 50 ⋅ 70 ⋅ 70
= 1705,7 cm 2
4
En un plano dado a escala 1:1.200.000, cuatro ciudades A, B, C y D aparecen situadas de la forma que aparece en la
figura. Calcula la superficie real que ocupa la zona formada por las cuatro ciudades.

6. B
22cm
30cm
A
C
37cm
25cm
40cm
D
Solución:
Calculamos el área por la fórmula de Herón:
AB = 22 cm⋅ 1.200.000 = 26.400.000 cm = 264.000 m = 264 km
BC = 30 cm⋅ 1.200.000 = 36.000.000 cm = 360.000 m = 360 km
CD = 40 cm⋅ 1.200.000 = 48.000.000 cm = 480.000 m = 480 km
DA = 25 cm⋅ 1.200.000 = 30.000.000 cm = 300.000 m = 300 km
AC = 37 cm⋅ 1.200.000 = 44.400.000 cm = 444.000 m = 444 km
( 264 + 360 + 444 ) ⋅ ( − 264 + 360 + 444 ) ⋅ ( 264 − 360 + 444 ) ⋅ ( 264 + 360 − 444 )
A ABC =
4
( 480 + 300 + 444 ) ⋅ ( − 480 + 300 + 444 ) ⋅ ( 480 − 300 + 444 ) ⋅ ( 480 + 300 − 444 )
A ACD =
A TOTAL = A ABC + A ACD
6
4
= 47516,9 + 65072 = 112588,9 km 2
= 47516,9 km 2
= 65072 km 2
Un campesino desea comprar una parcela triangular cuyos vértices son equidistantes. Si el metro cuadrado cuesta 175
euros y el campesino se gasta 600000 euros, ¿qué medidas tendrá la parcela?
Solución:
Se calcula el área de la finca:
A ABC =
600000 €
= 3428,6 m 2
175 € 2
m
Aplicando la fórmula de Herón:
( a+ a+ a ) ⋅ ( − a+ a+ a ) ⋅ ( a− a+ a ) ⋅ ( a+ a− a )
A ABC =
a=
7
4
4 ⋅ A ABC
3
=
4 ⋅ 3428,6
3
=
3 a⋅ a⋅ a⋅ a
=
4
3 a4
a2 3
=
4
4
= 88,9 m
Hallar los metros que separan dos puntos A y B de un terreno en el que se conocen las medidas que muestra la figura
siguiente; así como, el área total de dicho terreno.
11m
6m
A
15m
A1=84m2
B
A2
13m
20m
Solución:
Utilizamos la fórmula de la base para el triángulo 1
A ⋅ 2 84 ⋅ 2
b⋅ h AB ⋅ h
A1 =
=
⇒ AB = 1 =
= 28 m
2
2
h
6

7. Utilizamos la fórmula de Herón para el triángulo 2:
A2 =
( 28 + 13 + 20 ) ⋅ ( − 28 + 13 + 20 ) ⋅ ( 28 − 13 + 20 ) ⋅ ( 28 + 13 − 20)
4
=
61 ⋅ 5 ⋅ 35 ⋅ 21
=
4
224175
= 118,4 m 2 Suma
4
mos las áreas:
A TOTAL = A 1 + A 2 = 84 + 118,4 = 202,4 m 2
8
En una ciudad, tres edificios importantes(A, B y C) se encuentran, en el plano, a 6 cm, 6,2 cm y 8,3 cm. ¿Qué superficie
abarcarán, si el plano está a escala 1:3000?
Solución:
Calculamos el área por la fórmula de Herón:
AB = 6 cm⋅ 3000 = 18000 cm = 180 m
BC = 8,3 cm⋅ 3000 = 24900 cm = 249 m
AC = 6,2 cm⋅ 3000 = 18600 cm = 186 m
(180 + 249 + 186 ) ⋅ ( − 180 + 249 + 186 ) ⋅ (180 − 249 + 186 ) ⋅ (180 + 249 − 186 )
A ABC =
=
615 ⋅ 255 ⋅ 117 ⋅ 243
= 16693,36 m 2
4
=
1
4
Calcula el volumen de una pirámide recta cuya base es un cuadrado de lado 20 cm y cuyas aristas laterales miden 30 cm.
Solución:
A BASE = 20 ⋅ 20 = 400 cm 2
Las caras laterales son triángulos isósceles. Para conocer su área es necesario conocer la altura.
Se aplica el teorema de Pitágoras:
h = 30 2 − 10 2 = 28,3 cm
A LATERAL =
20 ⋅ 28,3
= 283 cm 2
2
A TOTAL = A BASE + 4 ⋅ A LATERAL = 400 + 4 ⋅ 283 = 1532 cm 2
Para calcular el volumen de la pirámide es necesario conocer la altura.
Se aplica el teorema de Pitágoras:
h' =
V=
2
( 28,3 ) 2
− 10 2 = 26,5 cm
1
1
⋅ A BASE ⋅ h' = ⋅ 400 ⋅ 26,5 = 3533,3 cm 3
3
3
Calcular el grosor (altura) de una zona esférica que tiene una superficie de 500 cm 2 y un radio de 30 cm.
Solución:
A = 2 ⋅ π⋅ r⋅ h ⇒ h =
3
A
500
=
= 2,65 cm
2 ⋅ π⋅ r 2 ⋅ π⋅ 30
Calcula el área de la siguiente figura.
12cm
15cm
Solución:

8. A BASE = π⋅ r 2 = π⋅ 12 2 = 144 ⋅ π cm 2
A LATERAL = π⋅ g⋅ r = π⋅ 15 ⋅ 12 = 180 ⋅ π cm 2
A CONO = A BASE + A LATERAL = 144 ⋅ π + 180 ⋅ π = 324 ⋅ π cm 2
4
Calcula el volumen de la siguiente figura utilizando las medidas, en milímetros, que se indican.
b=2
a=5
c=1
Solución:
Se trata de cuatro ortoedros (cuyos lados son a, b y c) y de un cubo regular de lado a:
VORTOEDRO = a⋅ b⋅ c = 5 ⋅ 2 ⋅ 1 = 10 mm 3
VCUBO = a⋅ a⋅ a = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 mm 3
Volumen de la figura: VTOTAL = VCUBO + 4 ⋅ VORTOEDRO = 125 + 4 ⋅ 10 = 165 mm 3
5
Un cubo de 15 cm de arista está lleno de agua. Se introduce una bola de acero de 15 cm de diámetro. ¿Qué cantidad de
agua queda en el recipiente?
Solución:
Volumen del cubo: VCUBO = 15 3 = 3375 cm 3
Volumen de la esfera: VESFERA =
4
4
3
⋅ π⋅ r 3 = ⋅ π⋅ ( 7,5 ) = 1767,14 cm 3
3
3
Volumen de agua restante: VCUBO − VESFERA = 3375 − 1767,14 = 1607,86 cm 3
6
Un esquimal de 170 cm de estatura construye un iglú semiesférico. ¿Cuál será la mínima superficie interna para que
dicho esquimal pueda ponerse de pié dentro del iglú?
Solución:
La superficie a calcular es la de una semiesfera de radio 170 cm:
A SEMIESFERA =
7
(
)
1
⋅ 4 ⋅ π⋅ r 2 = 2 ⋅ π⋅ 170 2 = 181584 cm 2
2
Las aristas de dos cubos difieren en 1 cm y sus volúmenes en 100 cm3. Halla el valor de las aristas y de los volúmenes.
Solución:
Arista del cubo menor = x
Arista del cubo mayor = x + 1
(
)
Vcubo mayor − Vcubo menor = 100 ⇒ ( x + 1) − x 3 = 100 ⇒ x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 - x 3 = 100;
3
3 x 2 + 3 x + 1 = 100 ⇒ 3 x 2 + 3 x- 99 = 0 ⇒ x 1 = 5,26; x 2 = −6,21
La solución negativa no e válida. Por tanto, las medidas de las aristas son:
Arista del cubo menor = x = 5,26 cm
Arista del cubo mayor = x + 1 = 6,26 cm
Los volúmenes son:
3
Vcubo menor = x 3 = ( 5,26 ) = 145,53 cm 3
Vcubo mayor = ( x + 1) 3 = ( 6,26 ) 3 = 245,53 cm 3
8
Se quiere construir una torre cilíndrica cuyo perímetro sea 94,25 metros y cuya altura sea 23 m, ¿qué superficie y qué
volumen tendrá dicha torre?
Solución:
Perímetro de la base:

9. L = 2 ⋅ π⋅ r ⇒ 94,25 = 2 ⋅ π⋅ r ⇒ r =
94,25
= 15 m
2⋅π
A BASE = π⋅ r 2 = π⋅ 15 2 = 706,87 m 2
El área de la superficie curva es el área de un rectángulo:
A LATERAL = b RECTÁNGULO ⋅ h RECTÁNGULO = 2 πr⋅ h = 94,25 ⋅ 23 = 2167,75 m 2
A TOTAL = A LATERAL + 2 ⋅ A BASE = 2167,75 + 2 ⋅ 706,87 = 3581,5 m 2
Volumen de la torre: VCILINDRO = A BASE ⋅ h = 706,87 ⋅ 23 ≈ 16258 m 3

10. L = 2 ⋅ π⋅ r ⇒ 94,25 = 2 ⋅ π⋅ r ⇒ r =
94,25
= 15 m
2⋅π
A BASE = π⋅ r 2 = π⋅ 15 2 = 706,87 m 2
El área de la superficie curva es el área de un rectángulo:
A LATERAL = b RECTÁNGULO ⋅ h RECTÁNGULO = 2 πr⋅ h = 94,25 ⋅ 23 = 2167,75 m 2
A TOTAL = A LATERAL + 2 ⋅ A BASE = 2167,75 + 2 ⋅ 706,87 = 3581,5 m 2
Volumen de la torre: VCILINDRO = A BASE ⋅ h = 706,87 ⋅ 23 ≈ 16258 m 3