Este documento presenta información sobre trigonometría, incluyendo: (1) relaciones trigonométricas para ángulos notables como 45°, 30° y 60°; (2) cómo calcular relaciones trigonométricas para triángulos rectángulos aproximados; y (3) ejercicios resueltos sobre aplicaciones de las relaciones trigonométricas.

1. Semana 6
Trigonometría

2. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
• ABCD es un cuadrado.
A
B C
D
45°45°
45°45°
a
a
• ABC es un triángulo equilátero.
A H
B
C
60°60°60°
30° 30°30°
2n 2n
n n
¡Tenga en cuenta que...!
45°
1
1
45°/2
45°/2
45°
2
2
tan
45
2
1
2 1
2 1
2 1
°


 =
+
×
−
−
tan
45
2
2 1
°


 = −
Observación
semana
06
Razones trigonométricas de ángulos agudos
notables
Un triángulo rectángulo es notable cuando se puede establecer la
proporción en la que se encuentran sus lados conociendo las me-
didas de sus ángulos agudos.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO NOTABLE DE 45°
a
a
a
2
45°
45°
• sen45
2
2
° =
• tan45°=1
• sec45 2° =
TRIÁNGULO RECTÁNGULO NOTABLE DE 30° Y 60°
n
n 2n
30°
60°
3
• sen30
1
2
° =
• tan60 3° =
• csc30°=2
TRIÁNGULO RECTÁNGULO APROXIMADO DE 37° Y 53°
53°
37°
5k
3k
4k
• sen37
3
5
° =
• tan53
4
3
° =
• sec53
5
3
° =

3. Material DidácticoAcademia ADUNI
Si los lados de un triángulo rectángulo
están en progresión aritmética, entonces
se trata del triángulo rectángulo aproxi-
mado de 37° y 53°.
53°
37°
a+r
a–r
a
¡Sabía que...!
sen45
2
2
1
2
1
4
1
2
1
4
° = =



 =




Observación
Problemas resueltos
1. Del gráfico, halle tanq.
θ
A
B
C
120°2 4
Resolución
Se construye convenientemente el 30° – 60°.
θ
A
B
H
C
120°
60°
30°
2
2
4
2 3
En el AHC, tanθ = =
2 3
4
3
2
2. Según el gráfico, calcule secq si AB=BC.
A
B
CO D
37°
θ
Resolución
Sea AB=BC=5.
A
B
CO D
37°
37°
53°
33
5
5
8
4
2H
θ
Por Pitágoras, en el BHD, (BD)2
=42
+52
.
→ BD = 41
En el BHD, secθ =
41
5
.

4. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
30° 37° 45° 53° 60°
sen 1/2 3/5 2 2 4/5 3 2
cos 3 2 4/5 2 2 3/5 1/2
tan 3 3 3/4 1 4/3 3
cot 3 4/3 1 3/4 3 3
sec 2 3 3 5/4 2 5/3 2
csc 2 5/3 2 5/4 2 3 3
Observación
Si cot
sen tan
cos
θ =
° + °
°
30 45
37
,
q ∈ 〈0°; 90°〉
calcule secq – tanq.
Resolución
Por dato
cot cotθ θ=
+
→ =
1
2
1
4
5
15
8
Por teorema de Pitágoras
θ
15
8
x
x2
=(15)2
+(8)2
→ x=17
Luego
sec tanθ θ− = − =
17
15
8
15
9
15
∴ sec tanθ θ− =
3
5
Aplicación
3. Si BM=MC, calcule tanq.
θ
M
B
A C
60°
Resolución
3
θ
M
N
B
A C
60°
60°
2
2
1
4
∴ tanθ =
3
5
4. Del gráfico, calcule cotq si AB=3 y MC=2.
θ
45°
M
C
BA
Resolución
θ 23
2
2
45°
45°
M
N
C
B3
3
2
A
En el ANC
cotθ =
+3 2 2
2
cotθ =
4 2
2
cotq=4

5. Academia ADUNI Material Didáctico
Práctica dirigida
1. Una escalera para acceder a un túnel tiene la
forma y las dimensiones del gráfico. Calcule a
qué profundidad se encuentra el punto B res-
pecto del punto A.
A
B
53°
30° 10 m
20 m
30 m
A) 58 m B) 65 m C) 67 m D) 34 m
2. Una escalera recta apoyada en una planta de
coco forma un ángulo 30° con la horizontal del
suelo. La escalera mide 4 m de largo y se ve-
rifica que del extremo superior de la escalera
aún falta 3 metros para llegar al primer fruto
del coco. ¿Cuál es la distancia que hay desde
el suelo hasta el punto donde se encuentra el
primer coco?
A) 2 m B) 3 m C) 4 m D) 5 m
3. En el gráfico se observa el perfil (o sección por
un plano vertical) de un monumento de gran
tamaño, donde cada cara tiene una anchura
de 10 m y están a 30°; 45° y 60°, respectiva-
mente con la horizontal. ¿Qué altura tiene la
edificación?
10 m x
y
z
10 m
10 m
60°60°
45°
30°
h
A) 5 3 2 1+ +( ) m
B) 5 3 2 1+ −( ) m
C) 10 3 2 1+ +( ) m
D) 10 3 2+( ) m
4. Para determinar la altura de una montaña,
Sophie midió los ángulos α, β y la distancia
d. Calcule h, sabiendo que a=30°, b=45° y
d=200 m.
β α
h
d
A) 100 3 1+( ) m
B) 100 3 1−( ) m
C) 10 3 1+( ) m
D) 10 3 m
Práctica domiciliaria
1. Cuando los rayos del sol forman 37° con el sue-
lo, la sombra de un árbol mide 20 m. ¿Cuál es
su altura?
37°
A) 10 m B) 12 m C) 15 m D) 20 m

6. Anual Virtual ADUNI Trigonometría
2. Luis piensa en un ángulo agudo, lo divide entre
2, calcula el coseno del cociente, eleva al cua-
drado el resultado y, finalmente, lo multiplica
por 8. Si la respuesta final es 6, ¿cuántos grados
sexagesimales mide el ángulo que pensó Luis?
A) 30° B) 45°
C) 60° D) 75°
3. Geraldine compró un terreno en forma triangu-
lar cuyas dimensiones son las que se muestran
en el gráfico. Calcule la medida del ángulo q.
B
CA
56 m 120 m127°
θ
A) 30° B) 37°
C) 45° D) 53°
4. Dos antenas de radio de altura 100 m y 72 m
están sujetas al suelo por cables tal como indi-
ca el gráfico. Calcule la distancia AC.
60° 30° 45° 53°
AA BB CC
A)
400 3
3
144+



 m
B) 200 3 144+( ) m
C)
400 3
3
126+



 m
D)
200 3
3
126+



 m
5. Jean Piero está en un concurso de billar en el
cual realiza un tiro desde el punto P para que
ingrese a una buchaca de la esquina. Sabiendo
que la relación entre la distancia de T hacia P
y T hacia Q están en la relación de 1 a 3, ¿cuál
será la relación entre x e y?
37°37° 37°37°
Q
T
P
x
y
A) 2 B)
1
2
C) 3 D) 1
6. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero,
calcule tanq.
B
A C
N
2
8
θ
M
A)
3
5
B)
2 3
5
C)
3
7
D)
2 3
7
7. Del gráfico, calcule 13 3cos tanα α+ .
22
α
1
135°
A) 3 B) 2 C) 5 D)
9
2

7. Academia ADUNI Material Didáctico
01 - C
02 - C
03 - B
04 - C
05 - A
06 - D
07 - C
08 - A
09 - A
10 - B
8. Los autos están estacionados en ángulo a la
calle. El diagrama muestra un espacio de esta-
cionamiento. ¿Cuál es la longitud del segmen-
to BD?
BA
C
E
D
60°
6,4 m
2,8 m
A) 8 m B) 7 m C) 6 m D) 5 m
9. Del gráfico, calcule 1 - cosq si CM = 3, AM=2
y AB=BC.
C B
M
30°
θ
N
A
A) 2/13 B) 11/13
C) 11/12 D) 2/5
10. En el gráfico, se muestra una escalera de lon-
gitud a unidades apoyada sobre un muro ver-
tical y forma con el piso un ángulo de 30°. Si
queremos que la escalera forme un ángulo de
45° con el piso, h aumentará en x unidades y m
disminuirá en y unidades. Halle el valor de x+y
en las mismas unidades.
h
m
a
30°30°
A)
3 1
2
−


 a
B)
3 1
2
−


 a
C)
3 1
2
+


 a
D)
3
2
a
UNMSM 2015 - I