Introducción al calculo teórico de reactores nucleares

1. Introducción a la Física de
Reactores Nucleares
Ricardo Ramos – Carla Notari
1

2. Índice
Capítulo 1: Interacción de neutrones con la materia 3
Capítulo 2: Moderación de neutrones 12
Capítulo 3: El factor de multiplicación 17
Capítulo 4: Balance de neutrones 22
Capítulo 5: Quemado y productos de fisión 32
2

3. Capítulo 1: Interacción de neutrones con la materia
1.1 Reacciones neutrón- núcleo
Al no poseer carga eléctrica, los neutrones interactúan con los núcleos atómicos (“no ven” a los
electrones). Las reacciones entre los neutrones y los núcleos se clafifican en dos grandes grupos:
• Reacciones de dispersión (o scattering): después de la colisión sigue existiendo el neutrón libre.
• Reacciones de absorción: después de la colisión el neutrón desaparece del sistema formando
nuevas partículas.
Las reacciones de scattering se dividen en dos grupos:
I. Scattering elástico: el sistema neutrón y núcleo conserva cantidad de movimiento y energía cinética.
II. Scattering inelástico: el sistema neutrón y núcleo conserva cantidad de movimiento, pero no energía
cinética.
Las reacciones de absorción se dividen en tres grupos:
I. Captura radiativa: el neutrón es absorbido por el núcleo, pasando a un estado excitado, del que
regresa al fundamental emitiendo radiación γ.
II. Absorción con emisión de partículas: el neutrón es absorbido y como resultado se forma un núcleo
que emite partículas cargadas (electrón, positrón, protón, alfa) o dos o más neutrones.
III. Fisión: el neutrón es absorbido y el núcleo que se forma se divide, emitiendo neutrones, radiación γ
y partículas cargadas.
1.2 Sección eficaz microscópica
Se considera un haz de neutrones monoenergéticos que incide perpendicularmente sobre una placa de
área A y espesor dx, como se muestra en la Figura 1.1.
Si el haz tiene una densidad neutrónica “n” (
neutrones
cm
3
), y siendo “v” la velocidad de tales
neutrones, se define la intensidad del haz como I=n.v . La intensidad tiene unidades de
neutrones
cm
2
seg
.
Se considera además que el material tiene una densidad atómica N, con unidades de
átomos
cm
3
.
3

4. Figura 1.1: Placa de espedor dx y área A.
Si se define como C (
reacciones
seg
) a la velocidad de reacción entre neutrones y núcleos, esta
magnitud será proporcional a:
• la cantidad de neutrones que llegan a la placa por unidad de tiempo, es decir: I.A;
• la densidad superficial de la placa: N.dx.
Es decir: C I.A.N.
∝ dx
Si llamamos σ a la constante de proporcionalidad, la ecuación anterior queda:
C=σ.I.A.N.dx
A σ se la denomina sección eficaz microscópica y tiene unidades de área. Como las secciones eficaces
microscópicas comúnmente están comprendidas en intervalos que van de 10
−22
a 10
−26
cm
2
se
las expresa en barns, donde 1barn=10
−24
cm² .
La sección eficaz microscópica de un material puede interpretarse como la sección efectiva que ofrece
cada núcleo a la interacción con los neutrones. Si bien no es una probabilidad, es una variable asociada
a la probabilidad de interacción.
Para cada isótopo, cada tipo de reacción tiene asociada una sección eficaz. Así, la sección eficaz total es
igual a la suma de la sección eficaz de scattering más la sección eficaz de absorción: σt=σa+σs .
También, la sección eficaz de scattering será la suma de las secciones eficacez de scattering elástico e
inelástico, y la de absorción será la suma de las secciones eficaces de fisión, captura y otro tipo de
4

5. reacción que experimente dicho isótopo.
1.3 Sección eficaz macroscópica
Se define a la sección eficaz macroscópica (∑) como el producto N. σ y tiene unidades de cm
−1
. Es
equivalente a la sección eficaz total por unidad de volumen.
Si bien se pueden sumar las secciones eficaces microscópicas de un mismo isótopo, no pueden sumarse
las secciones eficaces microscópicas de diferentes isótopos.
Cuando el sistema es una sustancia compuesta, la sección eficaz macroscópica se calcula como la suma
de las secciones eficaces macroscópicas de cada isótopo que componen la mezcla. Por ejemplo, si se
quiere calcular la sección eficaz macroscópica del agua, se deben sumar las secciones eficaces
macroscópicas de hidrógeno y de oxígeno:
ΣH2 O=ΣH +ΣH=NH. σH+NO. σO
donde NH es la densidad atómica del hidrógeno en el agua y NO es la densidad atómica del
oxígeno en el agua.
1.4 Atenuación de un haz de neutrones. Camino libre medio.
Se considera en x=0 un haz de neutrones monoenergéticos de intensidad I0 , que inciden en forma
perpendicular sobre la placa de espesor Δx. Se comprueba que la intensidad del haz luego de una
distancia x, está dada por : I( x)=I0 .e
−Σ. x
, donde Σ es la sección eficaz macroscópica del material.
Por lo tanto la cantidad de neutrones que llegan a x sin colisionar está dada por I( x)=I0 .e
−Σ. x
, y su
probabilidad de interacción en el espesor dx será: P(x)dx=I0 .e
−Σ. x
. Σ.dx .
La distancia media que recorre un neutrón para sufrir una interacción, denominada camino libre medio
(λ), se calcula como: λ=
∫
0
∞
x.P(x)dx
∫
0
∞
P(x)dx
=
1
Σ .
El camino libre medio tiene unidades de longitud.
1.5 Dependencia de las secciones eficaces con la energía.
De acuerdo a su energía los neutrones se clasifican en:
Térmicos: energías menores a 1 eV.
Epitérmicos: energías mayores a 1 eV y menores a 0.01 MeV.
Rápidos: energías mayores a 0.01 MeV.
5

6. Sección eficaz de absorción: ( a
σ ) para casi todos los elementos tiene un comportamiento
E
1
para
bajas energías (menores que 1 eV). Dentro de estos limites y conociendo la sección eficaz para una
energía de 0.025 ev, es posible calcular σ a (E) para otras energías con la expresión
( ) ( ) E
ev
E a
a 025
,
0
025
,
0 ⋅
= σ
σ
Para la mayoría de los elementos livianos este comportamiento se mantiene hasta altas energías, pero
para núcleos intermedios y pesados, para energías superiores a unos pocos ev. aparecen picos muy
pronunciados que se corresponden con niveles excitados del núcleo compuesto. Estos picos se
denominan resonancias.
La particularidad de las secciones eficaces resonantes es que dependen fuertemente de la temperatura
por efecto del movimiento térmico de los núcleos. Al aumentar la temperatura del medio, el efecto en
σ a muestra que la resonancia se "achata" y se "ensancha". El resultado es que el núcleo (típicamente el
U238) captura más neutrones. Este efecto se conoce como efecto Doppler y constituye una característica
de seguridad muy importante en los reactores debido a que si por algún motivo la temperatura del
combustible aumenta, la mayor absorción de neutrones resultante tenderá a disminuir el ritmo de
fisiones, la liberación de calor y por ende la temperatura del medio, introduciendo una deseada
realimentación negativa.
A energías más altas (cientos de kev) las resonancias se hacen bajas y anchas llegando a superponerse,
de modo que es imposible distinguirlas como resonancias individuales. Esta es la región de resonancias
"no resueltas". En la Figura 1.2 se muestra la sección eficaz de fisión para uranio 235.
Figura 1.2: Sección eficaz de fisión para Uranio 235.
6

7. Sección eficaz de scattering:(σ s) en casi todos los elementos, particularmente los livianos, muestra un
comportamiento constante con la energía (excepto a energías muy bajas); además el valor de σ s se
mantiene pequeño (<10b). En estos casos la sección eficaz de dispersión es elástica.
Un comportamiento diferente ocurre con elementos pesados. En este caso σ s también presenta
resonancias.
Cuando los núcleos que interactúan con el neutrón no están libres, sino ligados en una molécula o red
cristalina, la dispersión de neutrones de baja energía es inelástica; el neutrón puede transferir parte de
su energía a la molécula excitando modos de vibración, rotación, o traslación. Esto ocurre con los
moderadores más usuales: H20, D20. En estos casos σ s tiene una dependencia complicada con la
energía y es también función de la temperatura. Otra característica distintiva de estos procesos de
scattering inelástico a baja energía es que el neutrón puede ganar energía en una colisión (up-
scattering).
En un reactor térmico, los procesos de moderación y difusión constituyen etapas en la “vida” del
neutrón en las cuales el neutrón de fisión pierde dramáticamente su energía cinética original (aprox. 2
Mev.) por colisiones elásticas con los átomos del moderador (moderación). Las colisiones inelásticas
juegan aquí un papel secundario. Por debajo de aproximadamente 1 ev. Entran en juego las colisiones
inelásticas con el moderador que posibilitan a la población neutrónica alcanzar el equilibrio térmico
con los átomos del moderador (difusión).
1.6 Ritmo de reacción y flujo escalar de neutrones.
Se define el ritmo de reacciones (o densidad de colisiones), F, para un haz de neutrones
monoenergéticos como el producto: F=Σ .I . F tiene unidades de
reacciones
cm
3
.seg
y se interpreta
como la velocidad de reacciones por unidad de volumen.
Si en lugar de tener un único haz de neutrones, se tienen diferentes haces, el ritmo total de reacciones
estará dado por la suma de los ritmos de reacción debidos a cada haz: F=Σ .(I1+I2+I3+...) .
Generalizando para haces incidiendo desde todas las direcciones, se obtiene:
F(⃗
r ,t ,v)=∫
4π
n(⃗
r , ⃗
Ω,t ,v).v .d ⃗
Ω=Σ.φ(⃗
r ,t ,v) .
Donde φ(⃗
r ,t ,v) se define como el flujo escalar de neutrones de velocidad v, en la posición r, en el
tiempo t.
7

8. 1.7 La Fisión nuclear
La fisión nuclear es el proceso por el cual un núcleo se divide en dos o más fragmentos, liberándose
energía y radiaciones. Las fisiones pueden ser espontáneas o inducidas. La fisión tiene lugar debido a
que los núcleos pesados tienen un menor defecto de masa por nucleón que los núcleos intermedios, y
su división tiende a hacer más estable al sistema.
Figura 1.3: Esquema de una fisión inducida
1.7.1 Descripción de una fisión inducida
El proceso de fisión inducida consta de las siguientes etapas:
1- Colisión del neutrón con el núcleo
2- Formación y decaimiento del núcleo compuesto
3- Separación del núcleo en 2 o 3 fragmentos, emisión de neutrones instantáneos o “prompts”, emisión
de gammas instantáneos o “prompts”.
4- Frenado de los productos de fisión.
5- Emisión de neutrones, gammas y betas retardados (hasta varios segundos después de la fisión).
1.7.2 Isótopos físiles, fisionables y fértiles
Isótopos físiles: capaces de producir fisión con neutrones de baja energía. Ejemplos: U
235
, Pu
239
y U
233
.
Isótopos fisionables: capaces de producir fisión con neutrones que superan una energía umbral.
Ejemplos: U
238
y Pu
240
.
Isótopos fértiles: capaces de producir isótopos físiles por captura neutrónica luego de sucesivos
decaimientos. Ejemplo: U
238
y Th
232
. En la Figura 1.4 se presentan los decaimientos que llevan a
estos isótopos a producir isótopos físiles.
8

9. Figura 1.4: Producción de isótopos físiles.
1.7.3 Los productos de fisión
Los productos de fisión son en general dos isótopos radioactivos de masas diferentes, ya que la
probabilidad de ocurrencia de una fisión en tres isótopos es del orden de 0.0001.
A medida que aumenta la energía del neutrón, crece la probabilidad de una fisión en iguales masas.
En la Figura 1.5 se muestra la gráfica de la probabilidad de ocurrencia de un dado A para uranio 235,
conocida como rendimiento de fisión.
9
t½: 2, 35 d
t½: 23 m
t½: 20 m
t½: 27,4 d

10. Figura 1.5: Rendimiento de una fisión.
1.7.4 Emisión de neutrones
Los isótopos pesados estables tienen una relación N/Z mayor que los isótopos intermedios. Los
productos de fisión tienen exceso de neutrones.
La fisión está acompañada por la emisión de neutrones (2 o 3; ν en promedio):
- Con neutrones térmicos, ν = 2,42 para 235U
- Con neutrones de 1 MeV, ν= 2,83 para 238U.
Una fracción β de neutrones (neutrones retardados) es emitida por fragmentos que decaen con t½= 0,2 -
55 s ( β = 0,65% en 235U). Aproximadamente 20 fragmentos de fisión, en general clasificados en 6
grupos, emiten neutrones retardados.
10

11. 1.7.5 Espectro de los neutrones instantáneos
La fracción de neutrones emitidos entre E y E+dE es simbolizada por χ(E)dE . La función
χ(E) es llamada “espectro de fisión” y es una densidad de probabilidad.
χ(E) es débilmente dependiente del isótopo que fisionó y además es poco sensible a la energía del
neutrón que fisionó .
χ(E) se extiende desde 100 KeV a 10 MeV con un máximo algo más arriba de 1 MeV y un valor
medio en 2 MeV.
1.7.6 Energía liberada en la fisión
En promedio por cada fisión de uranio 235 por neutrones térmicos se liberan 203 MeV repartidos de la
siguiente forma:
• Energía cinética de los productos de fisión: 166 MeV.
• Energía de los gamma prompt: 8 MeV.
• Energía de los gamma retardados: 7 MeV.
• Energía de los beta: 5 MeV.
• Energía cinética de los neutrones: 5 MeV.
• Energía de los antineutrinos: 10 MeV.
Los productos de fisión se frenan completamente en el combustible, depositando allí toda su energía
por fricción coulombiana. Los neutrones (cuya energía promedio es de 2 MeV) pasan de 2 MeV a
0.0025 MeV, perdiendo su energía fundamentalmente en el agua. Los rayos gamma pierden su energía
en todo el reactor. Las partículas beta pierden su energía en el combustible. Los antineutrinos pierden
su energía en el universo lejano. Si bien los gamma de captura no forman parte del proceso de fisión,
en el balance energético deben ser tenidos en cuenta y en promedio totalizan 9 MeV. La energía total
recuperada por fisión para el Uranio 235 es 202 MeV.
11

12. Capítulo 2: Moderación de neutrones
2.1 Moderación de neutrones
En un reactor térmico, el mayor porcentaje de las fisiones son producidas por neutrones térmicos (de
energías menores a los 0,5 eV). Por otro lado, los neutrones producidos por las fisiones pertenecen al
rango rápido, es decir, tienen mucha energía.
Es necesario bajarle la energía a estos neutrones para que puedan producir nuevas fisiones.
En la Figura 2.1 se esquematiza esta situación.
Figura 2.1: Energía de los neutrones de fisión y de los que producen fisiones.
Por tal motivo, los reactores térmicos cuentan con un material denominado moderador. El objetivo del
moderador es bajar la energía de los neutrones de fisión sin producir captura parasitaria. Es decir, hay
que tratar que mediante reacciones de scattering con los átomos del moderador los neutrones pierdan
energía, minimizando las pérdidas por absorciones. Este porceso es el denominado MODERACIÓN.
Antes de realizar un análisis cuantitativo, es posible deducir, que un material empleado como
moderador deberá tener alta sección eficaz macroscópica de scattering y baja sección eficaz
macroscópica de absorción.
2.2 Pérdida de energía en las colisiones de scattering
En la Figura 2.2 se esquematiza la reacción de scattering entre un neutrón de masa m y un núcleo de
masa MA. Este último es conocido como núcleo de retroceso. El neutrón incide con una velocidad v y
luego de la colisión sale con una velocidad v´ formando un ángulo θ con la horizontal. El núcleo de
retroceso inicialmente está en reposo y finalmente tiene una velocidad vA formando un ángulo Ф con la
horizontal.
12

13. Figura 2.2: Colisión elástica entre un neutrón y un núcleo.
Dado que la mayoría de colisiones son de scattering elástico, en este curso, estudiaremos dicho caso. El
objetivo de este estudio es conocer cuál es la máxima energía que puede perder un neutrón al realizar
una reacción de scattering elástico con un núcleo de masa MA.
Planteando conservación de momento y energía:
E=E´+ EA
⃗
p=⃗
p´+⃗
PA
Energía: E=
1
2
mv
2
; E´=
1
2
mv ´
2
y EA=
1
2
MA vA
2
Cantidad de movimiento: ⃗
p=m ⃗
v ; ⃗
p´=m⃗
v ´ y ⃗
PA=M A ⃗
vA
Por lo tanto, es posible escribir el módulo del vector cantidad de movimiento en función de la energía:
p=√2mE
De la conservación de la cantidad de movimiento se tiene que:
PA
2
=p
2
+ p´
2
−2pp´ cosθ
Dado que la masa del neutrón es aproximadamente 1 uma, es válida la aproximación:
M A
m
=A ,
donde A es el número másico del núcleo de retroceso.
Entonces, usando esta aproximación y despejando la cantidad de movimiento en función de la energía,
la conservación de la cantidad de movimiento se transforma en:
13

14. EA=
E+E´−2√EE´ cosθ
A
Luego, teniendo en cuenta la conservación de la energía :
E=E´+
E+E´−2√EE ´ cosθ
A
O lo que es lo mismo:
E
E´
=
A+1
A−1
−
2
A−1 √ E
E´
cosθ
Analizando esta última ecuación, se observa que el cociente
E
E´
es máximo cuando el coseno el
ángulo θ es igual a -1. Esto significa que la mayor pérdida de energía, se va a dar cuando el ángulo θ
sea de 180º.
En la moderación se pretende que el neutrón pierda la mayor cantidad de energía posible en cada
choque. Entonces, para el casa en que el neutrón rebota hacia atrás, la relación entre E y E´ queda:
E
E´
=
A+1
A−1
+
2
A−1 √ E
E´
Resolviendo la ecuación cuadrática correspondiente para este caso, se obtiene que:
√ E
E´
=
A+1
A−1
Si el neutrón venía con energía E y salió con energía E´ en la dirección opuesta a la de incidencia, la
pérdida de energía fue máxima e igual a:
E−E´=∆EMAX =E
(1−(A−1
A+1 )
2
)
Donde el término (A−1
A+1 )
2
se denomina factor α.
La pérdida máxima de energía que sufre un neutrón en una colisión con un material de número másico
A está dada por: ∆ EMAX=E(1−α ) .
El factor α depende únicamente del número másico del material, por lo tanto, se observa que cuanto
menor sea α, mayor será la pérdida de energía.
14

15. Que α sea menor, significa que el cociente
A−1
A+1
sea menor. Esto se logra cuando A es chico ya que
a medida que A aumenta, el cociente
A−1
A+1
tiende a 1, y la pérdida máxima de energía tiende a 0.
Esto significa que cuanto más pequeño sea el núcleo de retroceso, mayor va a ser la probabilidad de
que el neutrón pierda gran porcentaje de su energía.
En conclusión de este análisis, se observa, que los materiales livianos (A chico) serán mejores
moderadores.
2.3 Letargía y decremento logarítmoco medio
La física de la moderación se describe más fácil en términos de la letargía (µ), la cual se define como:
μ=ln
EM
E
,
donde EM es la máxima energía del sistema (es una constante) y E es la energía del neutrón (la
variable).
Se observa que cuando E aumenta, la letargía µ disminuye.
Cuando un neutrón pasa de energía E a E´, la variación de letargía correspondiente a E´-E, está dada
por:
∆ μ=µ´−µ=ln
EM
E´
−ln
EM
E
∆ μ=ln
E
E´
En el caso de la pérdida máxima de energía (cuando el neutrón sale en dirección opuesta a la incidente),
E´=Eα y para este caso, la variación máxima de letargía se transeforma en
∆ μmax=ln
1
α
.
Se define el decremento logarítmico medio como: ́
Δ μ=ξ=1−
( A−1)2
2A
ln( A+1
A−1) .
Si un neutrón debe reducir su energía de 1 MeV a 0.025 ev, la ganancia de letargía es igual a:
∆ μ=ln
E
E´
=ln
10
6
0.025
=17.5
15

16. Por otro lado, para un cambio en letargía dado, es posible calcular el número promedio de colisiones
que debe realizar el neutrón para producir dicho salto en letargía:
Ncol=
Δ μ
ξ
.
Por lo tanto, en esta ultima ecuación, si se deja Δ μ fijo, se observa que a medida que ξ aumenta,
Ncol disminuye, lo que hace que sean necesarias menos colisiones para producir el cambio Δ μ .
2.4 Poder de moderación
De los expuesto hasta el momento, un buen moderador debe tener alto ξ , alta Σs y baja Σa.
Por lo tanto se define el poder de moderación: PM=
Σs ξ
Σ a
Moderador ξ Ncol PM
C 0.158 115 160
H2O 0.927 20 60
D2O 0.510 36 5500
Tabla 2.1: Poder de moderación de diferentes isótopos.
2.5 Espectros característicos.
En un reactor nuclear los neutrones nacen de fisión como neutrones rápidos. Luego, van perdiendo
energía cinética por choques con el medio. Finalmente alcanzan el equilibrio térmico con el medio, es
decir, el valor de su energía cinética coincide con los valores medios de las energías de los átomos y
moléculas presentes en el medio. Estos neutrones cuyas energías son menores al eV son los neutrones
térmicos. Si se trabaja a tres grupos de energía, en un reactor térmico se tendrá:
• Espectro Rápido: Tiene un máximo para 1 MeV y una energía media de 2 MeV. Uno de los
modelos analíticos que lo describe se conoce como Espectro de Watt.
• Espestro Epitérmico: Toma una forma funcional 1/E. Los neutrones se moderan.
• Espectro Térmico: Debajo de 1 eV la energía térmica del medio es comparable con la energía
cinética de los neutrones. Si el sistema se halla a temperatura ambiente, T = 293 K,
E=kb.T=0.0253 eV. Los neutrones pueden ganar o perder energía. El modelo analítico que lo
representa es el Espectro de Maxwell.
16

17. Capítulo 3: El factor de multiplicación.
3.1 La reacción en cadena
El hecho de que un neutrón de baja energía que colisiona con un átomo de U235 pueda fisionarlo,
liberando en promedio 2,5 neutrones rápidos, permite imaginar la situación de que uno o más de estos
neutrones de fisión puedan utilizarse para fisionar otro átomo de U235. La repetición indefinida de este
proceso es lo ya denominamos reacción en cadena autosostenida.
Figura. 3.1 – Sección eficaz macroscópica para uranio natural.
La Figura 3.1 muestra las secciones eficaces macroscópicas del uranio natural en el rango de energías
de los neutrones en un reactor nuclear térmico. En ella se ilustra sobre la probabilidad de ocurrencia de
las diferentes reacciones.
Los neutrones de fisión con energías próximas a 2 Mev pueden producir fisión en U238 (umbral en ~1
Mev), sufrir dispersión elástica (n, n) ó inelástica (n, n'). En este rango las probabilidades de
interacción con U235 son mucho menores. La dispersión inelástica tiene umbral en aproximadamente
100 kev y produce una considerable pérdida de energía del neutrón. En cambio la dispersión elástica
disminuye muy lentamente la energía del neutrón. No obstante ambos procesos permiten que el neutrón
pierda energía, llegando a una región "intermedia" donde domina la sección eficaz de captura (n, γ ) de
U238. En esta región de energías las secciones eficaces de U235 y U238 presentan picos muy agudos. Es lo
que se llama la región resonante. Es aquí donde se produce la mayor pérdida de neutrones por captura
(n,γ ) en U238.
Los neutrones que escapan a este proceso y llegan a energías inferiores a 1 ev tienen alta probabilidad
de producir fisión en U235.
Si pudiéramos cuantificar el proceso descripto en el uranio natural veríamos que es imposible mantener
17

18. la reacción en cadena debido principalmente a la captura resonante en U238. Este fenómeno puede
disminuirse en parte mezclando con el uranio un material moderador. Este material tiene la propiedad
de disminuir drásticamente la energía del neutrón por colisiones de dispersión y de ser poco absorbente
de neutrones.
La mezcla de uranio natural con moderador disminuye la captura resonante pero no es suficiente para
conseguir una reacción en cadena autosostenida. Esto se consigue, como veremos, utilizando una
disposición heterogénea de los materiales, es decir separando físicamente combustible y moderador.
3.2 Factor de multiplicación. Fórmula de los 4 factores.
Se define el factor de multiplicación, k, como el cociente entre el número de neutrones que producen
fisión en dos generaciones sucesivas.
En un reactor que opera a una potencia constante el número de fisiones que ocurre en la unidad de
tiempo es constante y la multiplicación del sistema es unitaria. En estas condiciones se dice que el
reactor está crítico.
Si la multiplicación es menor que 1, el número de fisiones irá decreciendo con el tiempo; el reactor se
irá "apagando", su estado es subcrítico.
Si la multiplicación es mayor que 1, el número de fisiones aumentará con el tiempo, la potencia crecerá
y el sistema está supercrítico.
Comenzamos con N neutrones en nuestro reactor. Llamaremos f (utilización térmica) a la fracción de
estos neutrones que se absorben en el combustible. La porción (1-f) se pierde por absorción en otros
materiales.
De los f.N neutrones absorbidos por el combustible una fracción a produce fisiones en U235; el resto se
pierde por captura radiactiva.
Como cada fisión produce ν neutrones rápidos, resultan νafN neutrones rápidos. Llamaremos η=νa
Una fracción de estos neutrones rápidos puede producir fisión rápida en U238 lo cual incrementa el
número de neutrones disponibles en el factor ε (factor de fisiones rápidas). Es decir, en este punto
tenemos εηfN neutrones rápidos en el sistema.
Estos neutrones llegan a energías resonantes y una fracción p (probabilidad de escape a las
resonancias) elude la captura radiactiva resonante llegando a energías térmicas. O sea tenemos pεηfN
neutrones.
Dividiendo por el número inicial N, obtenemos el factor de multiplicación como producto de los 4
factores
18

19. k= pεηf
En realidad esta expresión representa la situación de un sistema infinito, k∞, porque no hemos
considerado la probabilidad de fugas. Si llamamos F
Λ a la probabilidad de "no fuga" de los neutrones
rápidos y T
Λ a la análoga para neutrones térmicos, se tiene la expresión de k para un sistema finito,
que llamaremos k-efectivo
keff=k∞ F
Λ T
Λ
La condición de criticidad para este sistema es:
keff=k∞ F
Λ T
Λ =1
3.3 Sistemas homogéneos y heterogéneos.
En principio puede decirse que un reactor es homogéneo cuando combustible y moderador están
íntimamente mezclados y heterogéneo cuando están físicamente separados.
Sistema homogéneo
El número de neutrones producido por cada neutrón térmico capturado en el combustible, η, es una
cantidad que depende de la composición del combustible. Si se trata de uranio:
( ) 28
a
25
a
25
f
28
a
25
a
25
f
σ
R
1
σ
R
σ
R
ν
Σ
Σ
Σ
ν
η
−
+
=
+
=
R: es la concentración relativa de U235 28
25
25
N
N
N
R
+
=
Considerando uranio natural y los valores de tabla 3.1 correspondientes a 2200 m/sec, resulta η=1.335.
σ a σ f α η ν
U233
579 531 0.0899 2.287 2.492
U235
681 582 0.169 2.068 2,418
Natural Uranium 7.59 4.19 0.811 1.335 2.418
Pu239
1011 743 0.362 2.108 2.871
Pu241
1377 1009 0.365 2.145 2.927
Tabla 3.1: propiedades neutrónicas para diferentes isótopos.
19

20. Un sistema infinito de estas características requiere para criticidad: 1
k =
∞ . Si se considera que ε es
prácticamente unitario, en un medio homogéneo, debe ser (f p)>~0.75
Observando la tabla 3.2 donde se resumen algunos valores de f y p para una mezcla de uranio natural y
grafito, se concluye que es imposible lograr criticidad en un sistema de este tipo. El resultado es
análogo si en vez de utilizar grafito como moderador, se lo reemplaza por H2O, D2O, o Berilio.
La única alternativa es enriquecer el uranio, lo cual aumenta η y permite, factores de multiplicación
adecuados.
En un medio homogéneo de uranio (u) y un moderador (m) , la utilización térmica se expresa:
u
m
m
u
u
N
N
σ
σ
σ
f
+
=
Aquí puede verse porqué en la tabla el aumento de Nm/Nu produce una disminución de f; en cambio p
aumenta porque hay más colisiones que termalizan a los neutrones escapando a la captura resonante.
Nm/Nu P f pf k∞
200 0.579 0.889 0.515 0.683
300 0.643 0.842 0.541 0.718
400 0.682 0.800 0.546 0.725
500 0.693 0.762 0.528 0.701
Tabla 3.2: Factores de multiplicación en función de de la relación combustible/moderador.
Sistema heterogéneo
El arreglo heterogéneo del combustible y moderador permite aumentar drásticamente la multiplicación
y obtener reactores críticos con uranio natural.
Veamos cómo cambian los cuatro factores al pasar de un sistema homogéneo a uno heterogéneo.
η: no cambia porque depende únicamente del material combustible.
ε : aumenta un poco (~1.03) dado que los neutrones rápidos generados en el combustible efectúan
colisiones con uranio antes de pasar al moderador e inducen fisiones rápidas en U238.
20

21. f: Dado que en un sistema heterogéneo el flujo en moderador y combustible no es igual, se tiene:
f=
m
u
u
m
m
u
u
m
m
m
U
U
U
U
U
U
σ
Φ
Ν
Φ
Ν
σ
σ
Ν
σ
Φ
σ
Ν
Φ
σ
Ν
Φ
+
=
+
El cociente
u
m
Φ
Φ
se llama factor de desventaja. Es mayor que uno en un sistema heterogéneo lo cual
determina una disminución de la utilización térmica.
p: este factor es el que más varía. Aumenta principalmente por dos razones. Al moderarse el
neutrón en un medio que prácticamente no absorbe y en ausencia de uranio tiene mayor chance
de "saltear" las resonancias de captura de U238. Por otro lado los neutrones que llegan al
combustible con energías resonantes se absorben prácticamente en la superficie porque a estas
energías el camino libre medio es muy pequeño. Es decir el U238 en el interior del combustible
no interviene prácticamente en este proceso.
21

22. Capítulo 4: Balance de neutrones
4.1 Ecuación de balance para un medio homogéneo e infinito
En un reactor nuclear, un neutrón podrá desaparecer del sistema por fuga o por absorción en algún
material. Si el neutrón fue absorbido por un material físil, existe la posibilidad de que aparezcan
nuevos neutrones. Es decir, en el reactor nuclear constantemente se producen y se pierden neutrones.
Si se estudia la densidad neutrónica n(⃗
r , E,t) , se observa que su variación con el tiempo es igual a
las producciones menos las pérdidas de neutrones de energía E en el punto ⃗
r y en el tiempo t.
Es decir:
Variaciones Temporales de n(⃗
r , E,t) = Producciones en (⃗
r , E,t ) – Pérdidas en (⃗
r , E,t )
Al estudiar el balance en un medio homogéneo e infinito no se tendrá en cuenta la dependencia espacial
del flujo neutrónico debido a que no es posible tomar un eje de referencia. Se estudiará entonces
n(E ,t) .
Se analizarán para cada valor de energía E los diferentes mecanismos por los cuales pueden aparecer o
desaparecer neutrones en esa energía. Para que esto sea más claro, se tomará la energía E que se indica
en la Figura 4.1, cuya densidad neutrónica correspondiente es n(E,t).
Figura 4.1: Eje de energía.
Las variaciones temporales de la variable n(E,t) se escriben como:
∂n(E,t)
∂t
y teniendo en cuenta
que la densidad neutrónica se relaciona con el flujo neutrónico φ(E,t) :
∂n(E,t)
∂t
=
1
v
∂φ(E,t)
∂t
.
Las producciones de neutrones se darán por los mecanismos que se enumeran a continuación:
a) Aparición de neutrones por fuente externa: puede existir una fuente externa que incorpore
S(E,t) neutrones de energía E al sistema por unidad de tiempo.
22

23. b) Aparición de neutrones por fisiones: Si un neutrón de energía E´ produce una fisión, es
probable que aparezcan neutrones de energía E, como se muestra en la Figura 4.2.
Figura 4.2: Aparición de neutrones por fuente de fisión.
El producto Σf (E') ϕ(E' ,t) representa el ritmo de reacciones de fisión. Es decir, la cantidad de
fisiones que se producen por neutrones de energía E´ en el tiempo.
Si a este producto se lo multiplica por ν(E´) se obtiene la cantidad de neutrones producidos debido
a las fisiones que fueron inducidas por neutrones de energía E´. Dado que E´ puede ser cualquier valor
entre 0 e infinito, el número total de neutrones producidos por fisiones estará dado por:
∫
0
∞
ν(E')Σf (E')ϕ(E' ,t)dE' .
Para conocer de todos estos neutrones cuantos son los que tienen energía E, se debe multiplicar por el
espectro χ(E) .
La aparición de neutrones de energía E estará dada por: χ(E)∫
0
∞
ν(E') Σf (E' )ϕ(E' ,t)dE' .
c) Aparición de neutrones por scattering desde otras energías:
Si un neutrón de energía E´ interactúa con un átomo del medio en una colisión de scattering, puede
ocurrir que pase de energía E´ a energía E. Este hecho se esquematiza en la Figura 4.3.
Figura 4.3: Scattering de E´a E.
23

24. El ritmo de reacciones de scattering de la energía E´ a la energía E, estará dado por:
Σs(E´ → E)ϕ(E´ ,t) .
Dado que E´ puede variar entre 0 e infinito, el total de aportes a la energía E será:
∫
0
∞
Σs(E' → E)ϕ(E' ,t)dE' .
Las pérdidas de neutrones se darán por los siguientes mecanismos:
a) Desapariciones por absorciones: El ritmo de reacciones de absorción en la energía E, estará
dado por: Σa(E)ϕ(E,t) .
b) Desapariciones por scattering hacia otras energías: El ritmo de reacciones de scattering de la
energía E a cualquier otra energía estará dado por: Σs(E)ϕ(E,t) .
Finalmente, la ecuación de balance quedará:
Debido a que el balance se hizo para un medio homogéneo e infinito, no se tuvieron en cuenta ni las
perdidas ni las ganancias de neutrones por las fronteras del medio.
4.2 Corriente de neutrones y fugas en un medio finito
Si el medio no es infinito, el flujo dependerá de la posición y en la ecuanción de balance será necesario
tener en cuenta la pérdida o ganancia de neutrones a través de la superficie.
Dada una superficie, se define la corriente de neutrones ⃗
J como el número neto de neutrones que
pasan por unidad de tiempo y unidad de área.
⃗
J es un vector y tiene unidades de
neutrones
segcm
2 .
No se deben confundir los conceptos de Flujo neutrónico y Corriente de neutrones. Si
bien tienen las mismas unidades, la corriente es un vector y el flujo un escalar.
Para computar la pérdida o ganancia neta de neutrones se debe integrar la corriente neta en el área A
que encierra un volumen V, como se indica en la Figura 4.4.
24
1
v
∂φ(E,t)
∂t
=S(E,t)+ χ(E)∫
0
∞
ν( E' )Σf (E')ϕ(E' ,t)dE'+∫
0
∞
Σs(E' → E)ϕ(E' ,t)dE'−Σa(E)ϕ(E,t)−Σs(E)ϕ(E,t)

25. Figura 4.4: Volumen V, de área A, atravesada por la corriente ⃗
J .
En este caso es necesario integrar el vector corriente proyectado en el versor ⃗
n , normal a un
elemento diferencial de superficie dA.
Tasa de ganancia o pérdida por la superficie = ∫
A
⃗
J .⃗
ndA
Por tanto, la ecuación de balance para un volumen V queda:
∫
VOL
1
v
∂φ(⃗
r , E,t)
∂t
dV = ∫
VOL
S(⃗
r ,E ,t)dV + ∫
VOL
χ(E)∫
0
∞
ν(E')Σf (⃗
r , E')φ(⃗
r ,E' ,t)dE ' dV+...
+ ∫
VOL
∫
0
∞
Σs(⃗
r ,E' → E)ϕ(⃗
r E' ,t )dE' dV−∫
VOL
Σt (⃗
r ,E) ϕ(⃗
r ,E,t)dV −∫
A
⃗
J . ⃗
ndA .
Esta ecuación es la ecuación de transporte de neutrones (sin incluir la dependencia angular del flujo).
En esta ecuación aparecen flujo y corriente como variables, e integrales en volumen y en superficie.
Será necesario realizar alguna aproximación para simplificar la resolución de dicha ecuación.
4.3 Ecuación de difusión
Solución aproximada a la ecuación de transporte. Válida y muy usada en reactores de agua liviana y
pesada.
Se basa en suponer un tratamiento espacial para el transporte de neutrones, análogo a la Ley de Fick
usada para la difusión química.
Difusión química: Si existen dos regiones con distintas concentraciones, la concentración difunde con
un flujo que es proporcional a menos el gradiente de la concentración. La constante de
proporcionalidad se denomina coeficiente de difusión.
25

26. Si se lleva esta aproximación a neutrones, para un flujo que varía con x (ver Figura 4.5), la corriente en
esa dirección será proporcional a menos el gradiente del flujo neutrónico en x:
J (x)=−D
d φ(x)
dx
La constante D llamada coeficiente de difusión tiene unidades de longitud.
Figura 4.5: Flujo neutrónico que varía en la dirección x.
Para el caso de más de una dimensión, la aproximación de difusión consiste en tomar:
⃗
J (⃗
r)=−D(⃗
r)⃗
∇ φ(⃗
r) → Ley de Fick.
En la ecuación de balance se quiere evaluar el término ∫
A
⃗
J .⃗
ndA , que por el teorema de la
divergencia :
∫
A
⃗
J .⃗
ndA=∫
VOL
⃗
∇ .⃗
J dV =∫
VOL
−⃗
∇ .(D(⃗
r)⃗
∇ φ(⃗
r))dV donde ⃗
∇. es el operador divergencia.
Entonces la ecuación de balance con fugas quedará:
∫
VOL
1
v
∂φ(⃗
r , E,t)
∂t
dV = ∫
VOL
S(⃗
r ,E ,t)dV + ∫
VOL
χ(E)∫
0
∞
ν(E')Σf (⃗
r , E')φ(⃗
r ,E' ,t)dE ' dV+...
+ ∫
VOL
∫
0
∞
Σs(⃗
r ,E' → E)ϕ(⃗
r ,E' ,t )dE' dV−∫
VOL
Σt (E)ϕ(⃗
r , E,t)dV−∫
VOL
−⃗
∇ .(D(⃗
r , E)⃗
∇ ϕ(⃗
r , E,t))dV
Si se hace tender el volumen a 0, se tendrá la ecuación para un punto:
1
v
∂φ(⃗
r ,E ,t )
∂t
=S(⃗
r ,E ,t )+ χ(E)∫
0
∞
ν(E')Σf (⃗
r , E')φ(⃗
r ,E' ,t)dE'+...
+∫
0
∞
Σs(⃗
r , E' →E) ϕ(⃗
r ,E' ,t)dE'−Σt(E) ϕ(⃗
r ,E,t)+⃗
∇ .(D(⃗
r , E)⃗
∇ ϕ(⃗
r , E,t))
26

27. Esta última es la ecuación de difusión.
4.4 Ecuación de difusión a un grupo de energía en un medio homogéneo
Para un grupo de energía, la ecuación anterior se transforma en:
1
v
∂ϕ(⃗
r ,t)
∂t
=S(⃗
r,t)+ν Σf ϕ(⃗
r ,t)−Σa ϕ(⃗
r ,t )+⃗
∇ .(D ⃗
∇ ϕ(⃗
r ,t)) .
Como D es constante ya que el medio es homogéneo,
⃗
∇.(D ⃗
∇ ϕ(⃗
r ,t))=D ⃗
∇ .(⃗
∇ ϕ(⃗
r ,t))=D ∇
2
ϕ(⃗
r ,t) , donde ∇
2
es el operador Laplaciano.
Entonces, la ecuación a resolver en este problema es:
1
v
∂ϕ(⃗
r ,t)
∂t
=S(⃗
r,t)+ν Σf ϕ(⃗
r ,t)−Σa ϕ(⃗
r ,t )+D ∇2
ϕ(⃗
r ,t)
Se resolverá dicha ecuación para un reactor homogéneo desnudo tipo placa (SLAB) de espesor 2a,
como se muestra en la Figura 4.6.
Figura 4.6: Slab de espesor 2a.
Se quiere conocer la forma del flujo dentro del slab. En estado estacionario y sin fuente externa (reactor
crítico),
∂ϕ(⃗
r ,t)
∂t
=0 y S(⃗
r ,t)=0 .
Por otro lado, para este slab que es infinito en dos de las direcciones, solo interesará la dirección x, por
lo tanto: 0=ν Σf ϕ (x)−Σa ϕ (x)+D ∇
2
ϕ(x) .
27

28. Para este caso: D ∇
2
ϕ(x)=D
d
2
ϕ(x)
d x
2
.
Por lo tanto, la ecuación se transforma en: 0=ν Σf ϕ(x)−Σa ϕ(x)+ D
d
2
ϕ(x)
d x
2
.
Se define el Buckling material Bm
2
como: Bm
2
=
ν Σf −Σa
D
.
Entonces, la ecuación a resolver en este problema será:
d
2
ϕ(x)
d x
2
=−Bm
2
ϕ(x) .
La solución general de esta ecuación está dada por: ϕ(x)=Mcos(Bm x)+Nsen(Bm x) .
Para resolver esta ecuación es necesario conocer las condiciones de contorno del problema:
- Por simetría J(0) = 0, es decir:
d ϕ(0)
dx
=0 .Imponiendo esta condición en la ecuación anterior:
d ∅(0)
dx
=M Bm sen(Bm 0)+N Bm cos(Bm 0)=0 → N Bm=0 → N=0.
Se tendrá entonces: ϕ(x)=Mcos(Bm x) .
- Frontera libre (condición de contorno vacío): se considera la condición de corriente entrante nula, es
decir, si los neutrones salen del sistema no podrán regresar porque en el exterior hay vacío. Si bien esta
condicón es exacta, no se usa (porque involucra flujos y derivadas de flujos) y se reemplaza por otra
denominada flujo nulo en la distancia extrapolada. Esta aproximación consiste en anular el flujo en una
distancia δ del borde del slab.
Entonces, la condición de contorno, que se esquematiza en la Figura 4.7, se transforma en:
ϕ(a+δ)=0 y ϕ(−a−δ)=0 .
28

29. Figura 4.7: Distancia extrapolada.
Si bien esta condición no es exacta, es válida para sistemas grandes en los que el peso relativo de la
distacia extrapolada es bajo con respecto a las dimensiones del sistema, por ejemplo en el caso del
núcleo completo de un reactor nuclear. Cálculos de transporte y difusión indican que el valor de
δ=2.1312D da resultados precisos, donde D es el coeficiente de difusión.
Definiendo a+δ=a´ , la condición de contorno se transforma en: ϕ(±a´)=0 . Por lo tanto:
ϕ(a')=M cos(Bm a')=0 .
El coseno se debe anular para que exista solución distinta de la nula. Se tienen entonces que:
Bm=
π
2a´
.
Se define el Buckling geométrico para el SLAB como: Bg
2
=(
π
2a´
)
2
.
Y si a ≫ δ , se puede aproximar a´ ≅a ,entonces: Bg
2
=(
π
2a
)
2
. Esta función depende
únicamente de la geometría del sistema.
En la ecuación se había llegado a que el buckling material debía ser igual al bucling geométrico para
que existiese solución de la ecuación del reactor crítico, entonces: Bg
2
=Bm
2
.
Esta condición se conoce como CONDICIÓN CRÍTICA.
Resumiendo, con esta condición de contorno no se despejó M, pero se obtuvo una condición para que
exista la solución del reactor crítico.
Es necesaria otra condición de contorno para obtener M.
- Potencia del reactor
La potencia térmica (P) que genera el reactor, se puede calcular como el producto del ritmo de fisiones
29

30. por la energía liberada en cada fisión integradas en todo el volumen del reactor.
P=∫
−a
a
F Σf ϕ(x)dx=MF Σf ∫
−a
a
cos(
πx
2a
)dx=
4aF Σf M
π
, donde F es la cantidad de MeV liberados
por fisión.
Despejando:v M=
πP
4 aF Σf
Finalmente, la solución para la ecuación de difusión en el SLAB es la siguiente:
ϕ(x)=
πP
4 aF Σf
cos(
πx
2a
) .
4.5 Buckling Geométrico de los cuerpos más comunes
En la Tabla 4.1 se presentan las ecuaciones para el Buckling geométrico de algunos cuerpos.
Forma Dimensiones Bg
2
Esfera Radio R
(
π
R
)
2
Placa Espesor H
(
π
H
)
2
Paralelepípedo Espesores a, b, c
(
π
a
)
2
+(
π
b
)
2
+(
π
c
)
2
Cilindro Radio R, Altura H
(
2,405
H
)
2
+(
π
R
)
2
Tabla 4.1: Buckling geométrico de algunos cuerpos
Mediante la condición crítica para un reactor desnudo Bg
2
=Bm
2
es posible obtener el tamaño crítico
o la masa crítica de un sistema determinado.
4.6 El reflector
La fuga de neutrones puede disminuirse aumentando el tamaño del reactor y optimizando su forma.
También puede lograrse el mismo efecto rodeando al núcleo del reactor con material dispersor que
“devuelve” al núcleo parte de los neutrones que escapan. Este material se llama reflector. Un beneficio
adicional del reflector es que produce un aplanamiento de la distribución de flujo y por lo tanto mejora
la utilización del combustible.
Es evidente que al disminuir el reflector las fugas, aumenta el número de neutrones disponibles para
la fisión. Por lo tanto el tamaño del núcleo -o cantidad de combustible- necesario para obtener
criticidad es menor. En otras palabras, el tamaño crítico de un reactor reflejado es menor que el del
30

31. mismo reactor desnudo. También puede decirse que manteniendo el tamaño, el agregado de reflector
permite aumentar el quemado del combustible reduciendo los correspondientes costos.
Propiedades del Reflector
Un material para ser considerado efectivo desde el punto de vista de la reflexión de neutrnes debe tener
elevada sección eficaz macrizcópica de scattering y baja sección eficaz micorscópica de absorción.
Para los reactores térmicos el reflector es un material liviano de modo que casi todos los
neutronesrápidos que llegan a él son devueltos al núcleo como neutrones térmicos o epitérmicos. En
muchos casos el reflector es simplemente una extensión del moderador, lo cual simplifica el diseño y
evita circuitos auxiliares para el reflector. En el caso de reactores rápidos el reflector debe ser un
material pesado, porque como se dijo, se trata de evitar elementos livianos que moderan los neutrones.
El reflector de este tipo se llama “blanket” y se trata en general de uranio o torio. En el blanket se
produce material físil a partir del fértil y este es el principio del reactor reproductor.
Efectos de colocar Reflector
1) El flujo térmico se achata, es decir la relación flujo medio a flujo máximo aumenta. Este efecto se
debe a los máximos relativos de flujo que se producen en el reflector donde los neutrones rápidos que
se escapan del núcleo se termalizan.
2) Debido al aumento de flujo en las regiones periféricas del núcleo hay una mejor utilización de este
combustible que contribuye más a la producción de potencia.
3) Los neutrones devueltos al núcleo por el reflector están ahora disponibles para la fisión. Se reduce el
tamaño crítico. Si se mantiene el tamaño hay más reactividad disponible para quemar combustible.
31

32. Capítulo 5: Quemado y productos de fisión
5.1 Destrucción y producción de nucleidos
El flujo neutrónico produce en un reactor cambios en la composición del combustible que están
asociados con la destrucción de material fisil, producción de nuevos isótopos, la aparición de los
productos de fisión y el consecuente decaimiento, etc. Estos cambios alteran la forma del flujo en
espacio y energía, pero lo hacen lentamente, de modo que el flujo puede recalcularse en ciertos
intervalos de tiempo como una sucesión de estados estacionarios
Lógicamente estos cálculos requieren conocer la composición del combustible. Para ello partiendo de
una determinada solución para el flujo Φ (t0) que se supone constante durante un intervalo de tiempo
Δ t, se resuelven las ecuaciones que describen la evolución temporal de los nucleídos involucrados en
el proceso de quemado. Al tiempo (t0+ Δ t) se repite un cálculo estático del flujo con la nueva
composición del combustible y así sucesivamente.
La destrucción de núcleos de un isótopo j puede expresarse como
( )
t
t
,
r
nj
∂
∂
= -nj
(r,t) ( )
∫
∞
σ
0
j
a E Φ ( )dE
rEt 5.1
La solución de esta ecuación es de la forma:
j
n (r,t)=nj
(r,t0)exp ( ) ( ) ( )




 −
=
− ∫ ∫
∫
∞
0
j
a
j
0
j
a
t
0
t
....
.
σ
exp
n
dE
´
t
,
E
,
r
Φ
E
σ
´
dt
´
j
a
σ es una sección eficaz promedio del nucleido a un grupo de energía.
La cantidad ( )
∫ ∫
∞
t
0
t 0
dE
rEt
Φ
´
dt se llama "fluencia" ó "irradiación" y da idea de la magnitud de
exposición al flujo neutrónico de todas las energías que sufre el material j entre t0 y t. Las unidades de
exposición son neutrones/cm2
.
La cantidad que suele utilizarse para expresar el quemado del combustible mide la energía extraída por
unidad de masa: (Mwdía/ton); a una dada exposición corresponde una energía total de fisión liberada.
Ambas magnitudes tienen un cierto grado de ambigüedad.
Al respecto puede decirse que aún teniendo la misma exposición ( ∫ dtdE
Φ ) en dos posiciones
diferentes, pueden tenerse ( )
E
σa distintos debido a diferencias en el espectro neutrónico.También hay
que señalar que no hay una correspondencia unívoca entre exposición y energía de fisión liberada. Esta
depende de la especie fisil, es decir de la composición del combustible.
32

33. Si la reacción de los núcleos j con neutrones conduce a la creación de otro isótopo j+1 el cual a su vez
es radiactivo y puede absorber neutrones, la ecuación que gobierna la concentración de nj+1
es:
( )
t
t
,
r
n 1
j
∂
∂ +
= ( ) ( )
∫
∞
0
j
γ
j
dE
t
,
E
,
r
Φ
σ
t
,
r
n ( ) ( ) ( ) 




 +
− ∫
∞
+
+
+
0
1
j
1
j
a
1
j
λ
dE
t
,
E
,
r
Φ
E
σ
t
,
r
n 5.2
j
γ
j
σ
,
λ cte de decaimiento y sección eficaz de captura del nucleído j.
Conociendo el flujo Φ es posible resolver 5.1 y 5.2 para obtener nj+1
(r,t).
Si la absorción en el isótopo j+1 conduce a la creación del j+2 que puede eventualmente ser radiactivo
y absorbente de neutrones, puede escribirse para él una ecuación formalmente idéntica a 5.2
reemplazando j por j+1.
Si bien la cantidad de isótopos que aparecen como resultado de este proceso son muchos, sólo unos
pocos deben ser tenidos en cuenta en detalle, en cuanto afectan apreciablemente la multiplicación del
sistema.
Las ecuaciones para cada uno de ellos son de la forma genérica de 5.2 agregando en algunos casos un
término de producción debido al decaimiento radiactivo de un isótopo de otro elemento. Si definimos
flujos y secciones eficaces a un grupo de la siguiente manera:
( )
t
,
r
Φ = ( )
∫
∞
0
dE
t
,
E
,
r
Φ
( )
( ) ( )
( )
t
,
r
Φ
dE
rEt
Φ
E
σ
t
,
r
σ 0
j
x
j
x
∫
∞
=
podemos escribir las ecuaciones más importantes en el proceso antes descripto de destrucción y
producción de los isótopos: U234, U235, U236, U238, U239, Np239, Pu239, Pu240, Pu241, Pu242 : Para identificar
los nucleídos utilizamos dos dígitos: el último del número atómico y el último de número de masa (por
ejemplo para 92
U235 se utiliza 28).
t
n24
∂
∂
=
24
24
a n
Φ
σ
−
t
n25
∂
∂
=
25
25
a
24
24
γ n
Φ
σ
n
Φ
σ − muy enriquecido
t
n26
∂
∂
=
26
26
a
25
25
γ n
Φ
σ
n
Φ
σ −
33

34. t
n28
∂
∂
= -
28
28
a n
Φ
σ
t
n29
∂
∂
= ( ) 29
29
29
a
28
28
γ n
λ
Φ
σ
n
Φ
σ +
−
t
n39
∂
∂
= ( ) 39
39
39
a
29
29
n
λ
Φ
σ
n
λ +
−
t
n49
∂
∂
=
49
49
a
39
39
n
Φ
σ
n
λ −
t
n40
∂
∂
=
40
40
a
49
49
γ n
Φ
σ
n
Φ
σ −
t
n41
∂
∂
= ( ) 41
41
41
a
40
40
γ n
λ
Φ
σ
n
Φ
σ +
−
t
n42
∂
∂
=
42
42
a
41
41
γ n
Φ
σ
n
Φ
σ −
Según se trate de reactores con combustible muy o poco enriquecido en U235 pueden despreciarse
diferentes ecuaciones del conjunto anterior.
Si el combustible es muy enriquecido en U235, solo interesan las tres primeras ecuaciones y además el
efecto de U234 suele ser despreciable.
En combustible natural o poco enriquecido la cadena del U238 y los plutonios asociados deben ser
tenidas en cuenta.
La Figura 5.1 muestra la variación de la concentración isotópica relativa de uranios y plutonios en
función del quemado expresado en Mwdía/ton. Se muestran dos tipos de reactores:
(a): uranio levemente enriquecido-H20
(b): uranio natural-D20
El rango de abscisas se corresponde con el quemado máximo alcanzable en cada tipo de reactor. La
forma de las curvas es característica, hay una fuerte disminución del U235 y las concentraciones del
plutonio son crecientes, solo el Pu239 alcanza un valor de equilibrio en el rango de quemados que nos
interesa.
La Figura 5.2 muestra para un reactor de uranio natural-D20, la variación de la multiplicación en
función del quemado (reactividad).
En este caso, la reactividad sufre un incremento en las etapas iniciales de quemado, llegando a un
34

35. máximo debido a que el Pu239 generado inicialmente por captura neutrónica en U238 reemplaza
favorablemente al U235 que se consume. Luego, la acumulación de los isótopos posteriores del plutonio,
particularmente el Pu240 que es un fuerte veneno neutrónico y los productos de fisión, producen una
disminución monótona de la multiplicación. En este caso puede verse que para quemados próximos de
4500 Mwd/ton , el combustible empieza a actuar como un "veneno neutrónico” introduciendo
reactividad negativa en el sistema.
Figura 5.1: variación de la concentración isotópica relativa de uranios y plutonios en función del
quemado expresado en Mwdía/ton.
35

36. Figura 5.2: variación de la multiplicación en función del quemado (reactividad).
5.2 Productos de fisión
La fisión produce fragmentos radiactivos que decaen en una cadena de isótopos, muchos de los cuales
son fuertes absorbentes neutrónicos y por ende es importante conocer su concentración en función del
tiempo ya que ésta afecta entre otras cosas la multiplicación del sistema. La concentración de estos
isótopos responde a la ecuación general:
t
)
t
,
r
(
nj
∂
∂
= ( ) ( ) ( )
∫ ∑
∞
+
0 f
K
K
j
t
,
r
n
λ
dE
t
,
E
,
r
Φ
t
,
E
,
r
γ -[ ( ) ( ) ] ( )
t
,
r
n
dE
t
,
E
,
r
Φ
E
σ
λ j
0
j
a
j
∫
∞
+
En un reactor se tienen cientos de estos fragmentos. No obstante en los programas de celda se resuelven
estas ecuaciones para un número pequeño de isótopos (20-30) y el efecto de los restantes se resume en
uno o varios isótopos ficticios que se "inventan" para que tengan un efecto neutrónico equivalente.
Los que se tratan explícitamente se seleccionan entre los que tienen valores de
j
a
j
σ
γ grandes.
Entre los productos de fisión se destacan el Xe135
y Sm149
porque tienen captura neutrónica térmica muy
importante y su producción en el reactor es significativa. Una diferencia importante entre ellos es que
el Xe135
es radiactivo y el Sm149
es estable.
36

37. Cadena de Sm149
La cadena correspondiente es:
El decaimiento −
β de Nd a Pm con una vida media de 2 horas, suele despreciarse frente una vida
media del Pm de 54 hs; y se supone que el Pm149
es un producto directo de fisión.
Si P(t) y S(t) indican las concentraciones de los dos últimos nucleidos resulta:
( ) ( ) ( ) ( )
t
P
λ
dE
rEt
Φ
t
,
E
,
r
Σ
γ
t
t
P Pm
0
f
Nd
∫
∞
−
=
∂
∂
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫
∞
−
=
∂
∂
0
Sm
a
Pm
dE
rEt
Φ
E
σ
t
S
t
P
λ
t
t
S
Se adoptan para i
σ ,Φ los valores a un grupo de energía y constantes en el tiempo.
Las concentraciones de P y S arrancan de cero cuando Φ =0 y luego de un cierto tiempo de operación
alcanzan valores de equilibrio que resultan de anular las expresiones anteriores para las derivadas:
P∞= Pm
f
Nd
λ
Φ
Σ
γ
S∞= Sm
a
f
Nd
Sm
a
Pm
σ
Σ
γ
Φ
σ
P
λ
=
∞
Las soluciones completas para S(t) y P(t) contienen exponenciales de la forma: exp(- t
.
σSm
a ) y exp(-
t
λPm
) .Tomando para
Sm
a
σ el valor 40.800b, para: m
P
λ 3.56x10-6
/sec y para Φ 5x1013
neutrones/cm2
sec,
se ve que las exponenciales prácticamente se anulan después de aproximadamente 300 horas
alcanzándose en este lapso los valores de concentraciones de equilibrio. Para reactores de bajo flujo, las
concentraciones de equilibrio pueden no alcanzarse a lo largo de la vida del reactor.
Es decir que para un reactor que opera a estas altas potencias (flujos), se alcanza en pocos días la
37

38. concentración de equilibrio Sm que, por otro lado, es independiente del flujo Φ . Si después de
alcanzadas las condiciones de equilibrio el reactor se detiene, el Pm decae en Sm y la concentración de
éste comienza a aumentar (no hay neutrones y además el Sm no decae).
Esto significa que se alcanza una nueva concentración de equilibrio que, ahora si, depende del flujo al
cual estuvo operando el reactor porque la concentración de equilibrio de Pm existente en el momento de
la parada depende de Φ .
Sólo para Φ mayor ó igual a 1014
, la concentración inicial de Sm (que era la de equilibrio en el
momento de la parada) se ve aumentada significativamente respecto del valor inicial. Si se vuelve a
arrancar al mismo nivel de flujo anterior a la parada, el Sm "extra" empieza a desaparecer por captura y
se recupera el valor de equilibrio del primer periodo.
Cadena de Xe135
La cadena de Xe es la siguiente:
Por las características de esta cadena ( γ y σ ) el Xe es el producto de fisión más importante para la
criticidad y el control del reactor.
La única a
σ , importante de la cadena es la del Xe135
.
Te
λ es muy grande y cs
λ muy pequeña de modo que podemos acortar la cadena suponiendo que I135
es
un producto directo de fisión con γ =0.064 y que el Cs135
es estable. Llamando X(t), I(t) a las
dependencias temporales de las concentraciones de I135
y Xe135
resulta:
( )
( )
t
t
I
∂
∂
= ( ) ( )
t
I
λ
t
Φ
Σ
γ I
f
I
−
( )
t
t
X
∂
∂
= ( ) ( ) ( )
[ ] ( )
t
X
λ
t
Φ
σ
t
I
λ
t
Φ
Σ
γ Xe
Xe
a
I
f
Xe
+
−
+
38

39. De aquí pueden obtenerse las concentraciones de equilibrio de I135
y Xe135
I∞= I
f
I
λ
Φ
Σ
γ
X∞=
( )
Φ
σ
λ
Φ
Σ
γ
Xe
a
Xe
f
+
Xe
I
γ
γ
γ +
=
Las soluciones explícitas de I(t), X(t) muestran que el tiempo al cual se alcanza la concentración de
equilibrio es independiente de Φ a diferencia de lo que ocurre en el caso del Sm y es del orden de 30
horas. La razón de la diferencia es el decaimiento radiactivo del Xe que hace aparecer en X(t) términos
del tipo exp( )
Xe
Xe
a λ
Φ
σ −
− t exp( )
t
λI
− ; como los λ son relativamente grandes, aún para flujos
pequeños, en tiempos del orden de 105
sec (~30 horas) se alcanza la concentración de equilibrio. Otra
diferencia importante es que la concentración de equilibrio de Xe135
depende de Φ . Las soluciones
explícitas de I(t) X(t) muestran que si después de haber operado el reactor durante un tiempo se lo para,
las concentraciones de ambos tienden a cero. No obstante, evaluando
t
x
∂
∂
en el momento de la parada
se ve que para valores de Φ suficientemente altos ésta es positiva, es decir la concentración de Xe
crece antes de decaer a cero (Figura 5.3).
Figura 5.3: concentración de Xe.
39

40. Este hecho trae consecuencias importantes para la operación del reactor. La reactividad negativa que
produce este incremento del xenón después de la parada y que alcanza un valor máximo varias horas
después de producida la misma, hace que el reactor no pueda ponerse en marcha si no se dispone de
una reactividad de reserva suficiente para compensar este efecto. En ese caso es necesario esperar
varias horas más para que baje naturalmente la concentración de xenón por desintegración radioactiva.
Estos fenómenos son muy notorios en las paradas y arranques del reactor; sin embargo en menor
medida se producen siempre que hay variaciones del nivel de potencia.
Oscilaciones espaciales de xenón:
Si un reactor es suficientemente grande pueden ocurrir inestabilidades del flujo debidas al xenón, a
través del siguiente proceso:
1) En una región A del reactor el flujo aumenta ligeramente (por ejemplo debido a movimiento de un
mecanismo de reactividad). Allí se quemará más rápidamente el xenón por captura neutrónica
conduciendo así a aumentar aún más el flujo local.
2) En el resto del reactor el flujo va a disminuir para compensar el aumento en A (operando a potencia
constante). Esta disminución local del flujo, aumenta momentáneamente la concentración de xenón
porque desaparece menos por captura neutrónica.
3) Después de un tiempo, las concentraciones de xenón terminarán aumentando en la zona de alto flujo
(A) por la mayor producción local de iodo (I) y posterior decaimiento, y disminuyendo en el resto del
reactor. Esto produce una oscilación espacial que es necesario contrarrestar con una buena distribución
espacial de barras u otros absorbentes.
Valor en reactividad de Xe y Sm
Utilizando la descripción sencilla de la multiplicación como producto de los cuatro factores, se ve que
la presencia del Xe afecta principalmente la utilización térmica restando neutrones disponibles para ser
absorbidos en el combustible. Se define el factor de envenenamiento P, como el número de neutrones
absorbidos en el Xe con respecto a los que se absorben en el combustible.
PXe
=
comb
Xe
Xe
Σ
N
σ
=
Φ
σ
λ
Σ
/
Σ
γ
σ
Xe
Xe
comb
f
Xe
+
Para reactores de muy alto flujo esto tiende al valor:
xe
P∞ =0.035 (Se tomó la relación
comb
f
Σ
Σ
=0.54 del UO2 natural).
Este resultado significa que 35 de cada 1000 neutrones absorbidos en el combustible se absorben en el
xenón. En el caso del Sm el envenenamiento resulta independiente del flujo:
40

41. PSm
=
comb
f
Nd
Σ
Σ
γ
=0.0055
Si definimos la utilización térmica como:
f=
m
comb
comb
Σ
Σ
Σ
+
donde m
Σ representa la absorción en los otros materiales excluyendo al combustible, la presencia de un
veneno, (como xenón o samario), producirá una disminución de f:
f´=
p
m
comb
comb
Σ
Σ
Σ
Σ
+
+
y el efecto en reactividad será:
f
·
P
f
f
Δ
k
k
Δ
−
=
=
Esto significa que para los valores de P hallados anteriormente, y en un reactor con una utilización
térmica de f=0.9 el efecto en reactividad de Xe y Sm en equilibrio corresponden a los valores de 3500
pcm y 550 pcm respectivamente.
41

42. BIBLIOGRAFÍA
Lamarsh J., “Introduction to Nuclear Engineering”. 2nd
ed., Addison Wesley, 1983.
Bell G.I., Glasstone S., “Nuclear reactor Theory”. Van Nostrand Reinhold, 1970
Stammbler R., Abbate M., “Methods of Steady State reactor Physics in Nuclear Design”. Academic
Press, 1983.
42