El documento describe las ondas electromagnéticas y sus ecuaciones. Explica que las ecuaciones de Maxwell se transforman en ecuaciones de onda en medios isotrópicos. Presenta soluciones para ondas planas en coordenadas cartesianas y para medios parcialmente conductores, donde la atenuación y diferencia de fase dependen de la conductividad. Finalmente, plantea problemas sobre dibujar ondas viajeras.

1. Ondas Electromagnéticas
Clase 12
18-Julio-2014

2. Ondas Electromagnéticas
 Como la mayoría de las regiones de interés son libres de carga, se supone que 𝜌 =
0. Por otro lado, hay que suponer, materiales lineales isotrópicos de tal manera que
𝐷 = 𝜖𝐸, 𝐵 = 𝜇𝐻 𝑦 𝐽 𝐶 = 𝜎𝐸.
 Isotrópico quiere decir que no depende de la elección de los ejes. no importa para
que lado estés midiendo cierta propiedad o magnitud física siempre va a medir lo
mismo.
 Un ejemplo sencillo, se asume al espacio isotrópico, es decir, medir un metro hacia
arriba, es lo mismo que medirlo de lado, diagonal, etc. Un ejemplo en donde no se
cumple la isotropía, si tu tienes un material, y es mas difícil estirarlo de izquierda a
derecha que de arriba abajo, pues se dice que dicha propiedad de estirarlo
(rigidez) es anisotropía.

3. Ondas Electromagnéticas
 En electromagnetismo algunas de las propiedades que puedes medir son:
conductividad, susceptibilidad magnética, susceptibilidad eléctrica, resistividad, etc.
Si esas propiedades no dependen de la dirección (u orientación de los ejes) se dice
que el cuerpo es isotrópico.
 Por ejemplo si tu cuerpo tiene igual valor de conductividad cuando la corriente lo
atraviesa de arriba a abajo, que de izquierda a derecha (y en general de todas las
posibles direcciones) se dice que ese es un cuerpo isotrópico con respecto a la
conductividad.

4. Ecuaciones de Onda
 Con base en los principios anteriores y suponiendo que tanto 𝐸 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐻 son
dependientes del tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡, las ecuaciones de Maxwell se transforman en:
 Ahora aplicamos la identidad vectorial
𝛻 × 𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝐸 1
𝛻 × 𝐸 = −𝑗𝜔𝜇𝐻 2
𝛻 ∙ 𝐸 = 0 3
𝛻 ∙ 𝐻 = 0 (4)
𝛻 × 𝛻 × 𝐴 ≡ 𝛻 𝛻 ∙ 𝐴 − 𝛻2 𝐴

5. Ecuaciones de Onda
 Donde, tan solo en coordenadas cartesianas
 Tomando el rotacional de (1) y (2), y utilizando (3) y (4)
 Ahora sustituyendo 𝛻 × 𝐸 𝑦 𝛻 × 𝐻 de (2) y (1), se obtienen las ecuaciones
vectoriales
𝛻2 𝐴 = 𝛻2 𝐴 𝑥 𝑎 𝑥 + 𝛻2 𝐴 𝑦 𝑎 𝑦+ 𝛻2 𝐴 𝑧 𝑎 𝑧
𝛻2
𝐻 = 𝛾2
𝐻 𝛻2
𝐸 = 𝛾2
𝐸
−𝛻2 𝐻 = 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 𝛻 × 𝐸
−𝛻2
𝐸 = −𝑗𝜔𝜇 𝛻 × 𝐻

6. Ecuaciones de Onda
 Donde 𝛾2
= 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 . La constante de propagación, 𝛾, es la raíz cuadrada de
𝛾2 cuyas partes real e imaginaria son positivas:
 con
γ = 𝛼 + 𝑗𝐵
𝛼 = 𝜔
𝜇𝜖
2
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
− 1
𝛽 = 𝜔
𝜇𝜖
2
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
+ 1

7. Ecuaciones de Onda
 La constante 𝛼 se llama factor de atenuación y 𝛽 se llama constante de crecimiento
de fase. 𝛾 (Gamma) tiene unidades 𝑚−1 , sin embargo, es costumbre dar
𝛼 𝑦 𝛽 𝑒𝑛
𝑁𝑝
𝑚
𝑦
𝑟𝑎𝑑
𝑚
, respectivamente, donde el neper (Np) es una unidad
adimensional como el radián.

8. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
 La familiar ecuación escalar de onda en una dimensión
 Tiene soluciones de la forma 𝐹 = 𝑓 𝑧 − 𝑈𝑡 𝑦 𝐹 = 𝑔 𝑧 + 𝑈𝑡 , donde 𝑓 𝑦 𝑔 son
funciones arbitrarias. Estas representan ondas que viajan con velocidad 𝑈 en las
direcciones +𝑧 𝑦 − 𝑧, respectivamente, de acuerdo a la siguiente figura.
𝜕2
𝐹
𝜕𝑧2
=
1
𝑈2
𝜕2
𝐹
𝜕𝑡2

9. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
𝑓 𝑧 𝑜
𝑈𝑡1
𝑓 𝑧1 − 𝑈1 𝑡1
𝑡 = 𝑡1𝑡 = 0

10. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
 En particular, si se supone una variación armónica de tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡
, la ecuación de
onda se convierte en
 Con soluciones (incluyendo el factor temporal) de la forma
 O en las partes real o imaginaria de estas.
𝜕2
𝐹
𝜕𝑧2
= −𝛽2 𝐹 𝛽 =
𝜔
𝑈
𝐹 = 𝐶𝑒 𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧 𝐹 = 𝐷𝑒 𝑗 𝜔𝑡+𝛽𝑧

11. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
𝐶
𝑡 = 0
𝑡 =
𝜋
2𝜔
𝑑
𝐹
𝑧
𝐹𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎 2

12. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
 La figura 2 muestra una de estas soluciones, 𝐹 = 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 , 𝑒𝑛 𝑡 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 =
𝜋
2𝜔
;
durante este intervalo de tiempo la onda se ha movido una distancia 𝑑 =
𝑈
𝜋
2𝜔
= 𝜋/2𝛽 a
la derecha. Para cualquier 𝑡 fijo, la forma de onda se repite cuando 𝑧 cambia a 2𝜋/𝛽. La
distancia
 Se llama longitud de onda. De esta manera en la figura 2, la onda avanzado un cuarto
de longitud de onda a la derecha. La longitud de onda y la frecuencia 𝑓 = 𝜔/2𝜋,
guardan entre si la relación conocida
 También, 𝜆 = 𝑇𝑈 donde 𝑇 =
1
𝑓
= 2𝜋/𝜔 es el periodo
𝜆 =
2𝜋
𝛽
𝜆𝑓 = 𝑈

13. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
 Las ecuaciones vectoriales de onda tienen soluciones similares a las ya discutidas
anteriormente. Como los vectores unidad 𝑎 𝑥, 𝑎 𝑦 𝑦 𝑎 𝑧 en coordenadas cartesianas
tienen direcciones fijas, la ecuación de onda para 𝐻 puede reescribirse bajo la
forma
 De especial interés son las soluciones (ondas planas) que dependen solo de una
coordenada espacial, digamos 𝑧.
𝜕2
𝐻
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝐻
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝐻
𝜕𝑧2
= 𝛾2 𝐻

14. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
 La ecuación se convierte entonces en
 Dando
 Las soluciones correspondientes para el campo eléctrico son
𝑑2
𝐻
𝑑𝑧2
= 𝛾2 𝐻
𝐻 = 𝐻 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑎 𝐻 ó 𝐻 𝑧, 𝑡 = 𝐻 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑎 𝐻
𝐸 = 𝐸 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑎 𝐸 ó 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑒±𝑦𝑧
𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑎 𝐸

15. Soluciones en Coordenadas Cartesianas
 Aquí 𝑎 𝐻 𝑦 𝑎 𝐸 son vectores unitarios. La cantidad compleja 𝛾 se definió anteriormente
 Se demuestra que
 Es decir que ningún campo tienen componente en la dirección de propagación.
 Siendo esto así se pueden rotar siempre los ejes para colocar uno de los campos,
digamos 𝐸 a lo largo del eje 𝑥. Entonces se demuestra que 𝐻 yace a lo largo del eje 𝑦.
 La solución de onda plana que se acaba de obtener depende, vía 𝛾, de las propiedades
del medio 𝜇, 𝜖 𝑦 𝜎
𝑎 𝐻 ∙ 𝑎 𝑧 = 𝑎 𝐸 ∙ 𝑎 𝑧 = 0

16. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Para una región de poca conductividad (ej.: suelo húmedo, agua de mar), la
solución de la ecuación de onda E es
 La razón 𝐸/𝐻 es característica del medio (también dependen de la frecuencia). Mas
específicamente, para ondas 𝐸 = 𝐸 𝑥 𝑎 𝑥 , 𝐻 = 𝐻 𝑦 𝑎 𝑦 que se propaga en la dirección
+ 𝑧, la impedancia intrínseca, 𝜂, del medio se define por:
 De esta manera
𝐸 = 𝐸 𝑜 𝑒−𝛾𝑧
𝑎 𝑥
𝜂 =
𝐸 𝑥
𝐻 𝑦
𝜂 =
𝑗𝜔𝜇
𝜎 + 𝑗𝜔𝜖

17. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Donde la raíz cuadrada puede escribirse en forma polar 𝜂 ∠𝜃 con
 (Si la onda se propaga en la dirección −𝑧,
𝐸 𝑥
𝐻 𝑦
= −𝜂. En efecto, 𝛾 se reemplaza por
− 𝛾 y se usa la otra raíz cuadrada).
𝜂 =
𝜇/𝜖
4
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
𝑡𝑎𝑛2𝜃 =
𝜎
𝜔𝜖
𝑦 0 𝑜
< 𝜃 < 45 𝑜

18. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 Al introducer el factor tiempo 𝑒 𝑗𝜔𝑡 y al escribir 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 se obtiene las siguientes
ecuaciones para campos en una región parcialmente conductora:
 El factor 𝑒−𝛼𝑧
atenúa las magnitudes de 𝐸 𝑦 𝐻 cuando se propagan en dirección +𝑧. La
expresión para 𝛼,esto demuestra que existe atenuación a menos que la conductividad 𝜎
sea cero, lo que solo es el caso de dieléctricos perfectos o de espacio vacío.
𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑒−𝛼𝑧 𝑒 𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃 𝑎 𝑥 o 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑥
𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑒−𝛼𝑧
𝑒 𝑗 𝜔𝑡−𝛽𝑧+𝜃
𝑎 𝑦 o 𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑦

19. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 De la misma manera, la diferencia de fase temporal 𝜃, 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻(𝑧, 𝑡)
desaparece solo cuando 𝜎 es cero. La velocidad de propagación y la longitud de
onda están dadas por:
 Si se conoce la velocidad de propagación 𝜆𝑓 = 𝑈 puede usarse para determinar la
longitud de onda 𝜆.
𝑈 =
𝜔
𝛽
=
1
𝜇𝜖
2
1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
+ 1
𝜆 =
2𝜋
𝛽
=
2𝜋
𝜔 1 +
𝜎
𝜔𝜖
2
+ 1

20. Soluciones para medios parcialmente
conductores
 El termino 𝜎/𝜔𝜖 2
reduce tanto el valor de la velocidad como el de la longitud de
onda, de lo que serían en el espacio vacío o dieléctricos perfectos, donde 𝜎 = 0.
Obsérvese que el medio es dispersivo, es decir, ondas con frecuencias diferentes 𝜔
tienen diferentes velocidades 𝑈.

21. Problemas
 Problema 1
 Una onda viajera está descrita por 𝑦 = 10𝑠𝑒𝑛 𝛽𝑧 − 𝜔𝑡 . Dibuje en 𝑡 = 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑡 = 𝑡1
cuando ha avanzado
𝜆
8
, si la velocidad es de 3 × 108 𝑚/𝑠 y la frecuencia angular es
𝜔 = 106 𝑟𝑎𝑑
𝑠
, 𝑏)𝜔 = 2 × 106 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y el mismo 𝑡1

22. Problemas
 Solución Inciso a
 La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que
 𝑡1 =
𝑇
8
=
2𝜋/𝜔
8
=
𝜋
4𝜔

𝜆
8
= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋
4 106 = 236m
𝑡 = 0
𝑡 = 𝑡1
10
𝜔 = 106
𝑧
𝑦
𝜆/2 𝜆
236𝑚

23. Problemas
 Solución inciso b
 La onda avanza 𝜆 en un periodo, 𝑇 = 2𝜋/𝜔. Por tanto tenemos que
 𝑡1 =
𝑇
8
=
2𝜋/𝜔
8
=
𝜋
4𝜔

𝜆
8
= 𝑐𝑡1 = 3 × 108 𝜋
4 2×106 = 118m
𝑡 = 0
𝑡 = 𝑡1
10
𝜔 = 2 × 106
𝑧
𝑦
𝜆/2 𝜆
118𝑚

24. Soluciones para dieléctricos perfectos
 Para un dieléctrico perfecto, 𝜎 = 0 y así
 Como ∝= 0 no hay atenuación de las ondas 𝐸 𝑦 𝐻. El angula cero sobre 𝜂 produce
un 𝐻 que esta en fase temporal con 𝐸 en cada localización fija. Suponiendo 𝐸 en
𝑎 𝑥 y la propagación en 𝑎 𝑧, las ecuaciones de campo pueden obtenerse como
limites, como se denota a continuación:
𝛼 = 0 𝛽 = 𝜔 𝜇𝜖 𝜂 =
𝜇
𝜖
∠00
𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)
𝑎 𝑥
𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑒 𝑗(𝜔𝑡−𝛽𝑧)
𝑎 𝑦

25. Soluciones para dieléctricos perfectos
 La velocidad de la onda y la longitud de la onda son:
 Para espacio vacío
𝑈 =
𝜔
𝛽
= 4𝜋 × 10−7
𝐻
𝑚
𝜖 = 𝜖 𝑜 = 8.854 ×
10−12
𝐹
𝑚
≈
10−9
36𝜋
𝐹/𝑚
𝜂 = 𝜂 𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑦 𝑈 = 𝑐 ≈ 3 × 108 𝑚/𝑠

26. Problemas
 Problema 2
 En el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦 (𝑉/𝑚). Obtenga 𝐻(𝑧, 𝑡)

27. Problemas
 Solución
 Un examen de la fase, 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧, revela que la dirección de la propagación es +𝑧, 𝐻
debe tener dirección −𝑎 𝑥. Por tanto
𝐸 𝑦
−𝐻𝑧
= 𝜂 𝑜 = 120𝜋 Ω ó 𝐻 𝑥 = −
103
120𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 𝐴/𝑚
𝑦 𝐻𝑧 𝑧, 𝑡 = −
103
120𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑥 𝐴/𝑚

28. Problemas
 Problema 3
 Sea la onda, en el espacio vacío, 𝐸 𝑧, 𝑡 = 103
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 𝑎 𝑦 (𝑉/𝑚). Determine la
constante de propagación 𝛾 sabiendo que la frecuencia es que la frecuencia es 𝑓 =
95.5𝑀ℎ𝑧

29. Problemas
 Solucion
 En general, 𝛾 = 𝑗𝜔𝜇 𝜎 + 𝑗𝜔𝜖 En el espacio vacío, 𝜎 = 0, así que:
 𝛾 = 𝑗𝜔 𝜇0 𝜖0 = 𝑗 2𝜋𝑓/𝑐 = 𝑗
2𝜋 95.5×106
3×108 = −𝑗2𝑚−1
 Obsérvese que este resultado demuestra que el factor de atenuación es 𝛼 = 0 y la
constante de defasaje es 𝛽 = 2 𝑟𝑎𝑑/𝑚

30. Problemas
 Problema 4
 El campo eléctrico de una onda plana de 1MHz que viaja en la dirección +𝑧 en aire
apunta en la dirección 𝑥. Si el valor pico de 𝐸 es de 1.2𝜋
𝑚𝑉
𝑚
y 𝐸 es máximo
cuando 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚, obtenga expresiones para 𝐸 𝑧, 𝑡 𝑦 𝐻 𝑧, 𝑡 y luego trace
una grafica de estas variaciones en función de 𝑧 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0.

31. Problemas
 Solución
 Con 𝑓 = 1𝑀𝐻𝑧, la longitud de onda en el aire es:
 𝜆 =
𝑐
𝑓
=
3×108
1×106 = 300 𝑚
 Y el numero de onda correspondiente es 𝛽 =
2𝜋
𝜆
=
2𝜋
300
𝑟𝑎𝑑/𝑚. La expresión general
para un campo eléctrico dirigido hacia 𝑥 que viaja en la dirección de +𝑧 aparece en
la ecuación como
 𝐸 𝑧, 𝑡 = 𝐸 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑥 ⇒ 𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106 𝑡 −
2𝜋
300
𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑥
𝑚𝑉
𝑚
 El campo 𝐸 𝑧, 𝑡 es máximo cuando el argumento de la función coseno es igual a
cero o a múltiplos de 2𝜋. Con 𝑡 = 0 𝑦 𝑧 = 50𝑚, esta condición es

32. Problemas
 Solución
 −
2𝜋×50
300
+ 𝜃 = 0 𝑜 𝜃 =
𝜋
3
 𝐸 𝑧, 𝑡 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106 𝑡 −
2𝜋
300
𝑧 +
𝜋
3
𝑎 𝑥
𝑚𝑉
𝑚
 Y de acuerdo con
 𝐻 𝑧, 𝑡 =
𝐸 𝑜
𝜂
𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝛽𝑧 + 𝜃 𝑎 𝑦 ⟹
 𝐻 𝑧, 𝑡 =
1.2𝜋×10−3
120𝜋
𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106
𝑡 −
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑦 𝜇𝐴/𝑚
 𝐻 𝑧, 𝑡 = 10𝑐𝑜𝑠 2𝜋 × 106
𝑡 −
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑦 𝜇𝐴/𝑚
 Donde se utilizo la aproximación 𝜂 𝑜 ≈ 120𝜋 Ω 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 tenemos que

33. Problemas
 Solución
 𝐸 𝑧, 0 = 1.2𝜋𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑥 𝑚𝑉/𝑚
 𝐸 𝑧, 0 = 10𝑐𝑜𝑠
2𝜋𝑧
300
−
𝜋
3
𝑎 𝑦 𝑚𝑉/𝑚
Variaciones espaciales de
𝐸 𝑦 𝐻 𝑐𝑜𝑛 𝑡 = 0 para la onda
Plana del ejemplo