APORTES A LA ARQUITECTURA DE WALTER GROPIUS Y FRANK LLOYD WRIGHT
Semana 11 - Sesion 21 y 22 Intervalo de confianza.pptx
1. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA
MEDIA POBLACIONAL Y PROPORCIÓN
POBLACIONAL
“LO QUE ESCUCHO LO OLVIDO. LO QUE VEO LO RECUERDO. PERO LO QUE HAGO, LO ENTIENDO.”
2. Inicio
• Motivación.
• Competencias
• Conocimientos
previos.
Construcción
Intervalo de confianza para la
media poblacional (µ):
• Cuando la varianza
poblacional es conocida
(σ2 ).
• Cuando las varianza
poblacional es desconocida
( σ2 ).
• Intervalo de confianza para
la proporción poblacional
(π ).
Cierre
• Retroalimentación.
• Autoevaluación
Plan de clases: 1ra semana
“LO QUE ESCUCHO LO OLVIDO. LO QUE VEO LO RECUERDO. PERO LO QUE HAGO, LO ENTIENDO.”
4. Construye e interpreta
intervalo de confianza
para la proporción y la
media cuando la varianza
es conocida-desconocida
con la finalidad para la
toma de decisiones.
Diferencia entre
estimación puntual
e intervalar
Calcula e
interpreta
intervalo de
confianza para la
media poblacional
(μ).
Calcula e
interpreta intervalo
de confianza para la
proporción
poblacional (π).
Usa software
estadístico e
interpreta los
resultados
obtenidos.
COMPETENCIAS
5. Conocimientos previos
PARÁMETROS
Medida de una característica de una
POBLACIÓN.
Se representa con letras griegas.
VALOR FIJO para una población dada.
ESTADÍGRAFO O ESTADÍSTICO
Medida de una característica de una
MUESTRA, usada para estimar parámetros
poblacionales.
Se representa con letras latinas.
7. ESTIMADOR
Es una función de las
observaciones muestrales.
Por ejemplo:
ESTIMACIÓN
Es el valor numérico.
Por ejemplo:
x = f(x1,x2,........xn)
x =
i=1
n
xi
n
x =
i=1
n
xi
n
x =
2 + 3 + 4 + 5 + 6
5
x = 4
9. INFERENCIA ESTADÍSTICA
Prueba de hipótesis
Estimación de Parámetros
• Estimación puntual
• Estimación por intervalo
Se ocupa de los procesos de estimación con el propósito de
llegar a conclusiones que brinden una adecuada base científica
para la toma de decisiones tomando como base la información
captada por la MUESTRA.
10. Estimación de parámetros
• Para obtenerlo se requiere:
Una muestra aleatoria
Definir el nivel de confianza, los más utilizados: 90%, 95%, 98%, etc.
Conocer la distribución muestral del estadístico (Distribución Normal)
Es un estadístico calculado a partir de la
muestra para estimar el parámetro poblacional
desconocido.
Es un conjunto de valores formado a partir de
la muestra aleatoria de tal forma que exista la
posibilidad de que el parámetro poblacional
ocurra dentro de dicho conjunto con una
probabilidad especifica.
Estimación puntual
Estimación por intervalos
11. INTERVALO DE CONFIANZA PARA μ
Supuestos: * La variable se distribuye como una normal y
* La muestra debe ser aleatoria
Los factores que determinan el ancho del intervalo de confianza son:
1.El tamaño de la muestra, n.
2.La varianza de la población, usualmente σ es estimada por s.
3.El nivel deseado de confianza
El Error Estándar de la Media viene a ser una medida de dispersión del
estimador respecto a su media, se denota con 𝑆𝐸𝑿 y está dado por:
o
desconocid
σ
n
S
conocido
σ
n
σ
S.E
media
estándar
Error x
12. El margen de error se
denota por E y está dado por:
n
S
Z
E
n
σ
Z
E
α/2
1
α/2
1
El ancho del intervalo se calcula como:
Límite Superior – Límite Inferior
E
L
2
n
σ
Z
2 α/2
1
13. La distribución Normal es una de las distribuciones de probabilidades más
importantes y una de las más utilizadas en la Estadística Inferencial.
Propiedades de la curva de la
distribución Normal
-Tiene forma acampanada.
-Está determinada por dos
parámetros: la media poblacional (μ)
y la varianza poblacional (σ2
).
-Es simétrica con respecto a la
media.
-El punto más alto de la curva se
encuentra sobre el promedio, el cual
coincide con la mediana y la moda.
-Se hace más plana a medida que la
varianza crece.
Distribución Normal
14.
15. William S. Gosset, se interesó en hacer inferencias acerca de la media cuando se
desconoce la varianza poblacional (2).
Distribución t-Student
Gráfica de la distribución T-Student
La gráfica de la distribución T-Student tiene forma acampanada y es simétrica con
respecto a cero.
Propiedades de la distribución T-Student
La gráfica de una variable con distribución T-
Student presenta más dispersión que la gráfica
de una variable con distribución Normal
Estándar.
Si r →+∞, la varianza de una variable con
distribución T-Student tiende a uno.
Si una variable aleatoria continua X sigue una
distribución T-Student con r grados de libertad
(r>30), la distribución de esta variable se
aproxima a una Normal Estándar.
16.
17. INTERVALO DE CONFIANZA PARA μ
Supuesto Intervalo de confianza Distribución
1.- σ conocido Normal: Z
2.-σ desconocido
n ≤ 30
T - Student
n
Z
x
C
I
2
/
1
)
.(
.
n
S
t
x
C
I n
2
/
1
;
1
)
.(
.
3.- σ desconocido
n > 30
Normal: Z
n
S
Z
x
C
I
2
/
1
)
.(
.
18. ¿Qué significa que la variable se distribuye como una normal?
i.- Aplicando estadística descriptiva
Ejemplo 1. El gerente del banco “Préstamo”, estudia la relación entre las
variables: ingresos mensuales(X) y ahorros mensuales (Y) de sus clientes.
Una muestra aleatoria de sus clientes reveló los siguientes datos en dólares:
Verifique si la variables ingresos y ahorros se distribuyen como una normal.
Solución
En estadística I, se dijo que la variable es simétrica si las medidas de
tendencia central son aproximadamente iguales. Es decir:
Ingresos 350 400 450 500 950 850 700 900 600
Ahorros 100 110 130 160 350 350 250 320 130
Mo
Me
X
19. ii.- Mediante gráfico (histograma)
El histograma muestra: La forma de la distribución de los datos y revela la
presencia o no de simetría de los datos
De acuerdo a los resultados obtenido, podemos afirmar que ambas
variables no presentan normalidad, ya que las medidas de tendencia central
son diferentes.
Resultados obtenido a partir del software MINITAB:
20. A partir del software Minitab: Ruta a seguir:
Estadísticas > Estadísticas básicas > Resumen gráfico
Tanto la variable Ingresos como Ahorros, no presenta normalidad, y se
observa además datos outliers (atípicos).
21. En un estudio realizado de la empresa de viajes “Americana” se
encontró que las familias estaban dispuestas a gastar en promedio
$650 durante las vacaciones de fin de año . Suponga que en el estudio
participaron 600 familias y por datos históricos se sabe que la
desviación estándar (σ) es de $175 (significa conocido). Además, el
gasto de las familias sigue una distribución normal.
a.- ¿Con 95% de confianza, ¿ cuál es el margen de error?
b.- ¿Cuál es el intervalo de confianza al 95% para estimar el gasto
promedio (μ) durante las vacaciones de fin de año?
c.- El año anterior, el gasto medio (μ) por familia fue de $632. Analice
la variación en el gasto en las vacaciones de fin de año en este período
de un año.
Ejemplo 2:
22. Solución:
Defina previamente lo siguiente:
Elemento: Una familia dispuesta a viajar en vacaciones.
Población:
Total de Familias dispuestas a viajar en
vacaciones.
Muestra:
600 familias dispuestas a viajar en
vacaciones.
Variable de estudio:
Gasto en dólares durante las vacaciones de
fin de año.
Tipo de variable: Cuantitativa continua.
Parámetro a estimar:
μ (Gasto promedio en dólares durante las
vacaciones de fin de año (lo que se quiere
conocer).
23. Datos:
Desviación estándar poblacional: σ = $ 175 conocido.
Muestra: n = 600,
Media muestral:
Nivel de confianza: 1 - α = 0.95
1- α = 0.95 α =0.05 α /2 = 0.025
Z1 - α /2 = Z 0.975 = ±1.96, en tabla de distribución normal.
650
$
x
a.- El margen de error ( E ) se calcula de la forma siguiente:
0029
.
14
600
175
96
.
1
2
/
1
n
Z
E
24. b.- El Intervalo de confianza (I.C) al 95% se calcula mediante:
𝐼. 𝐶. (𝜇) = 𝑥 ± 𝑍1−𝛼/2 ×
𝜎
𝑛
= 650 ± 1.96 ×
175
600
𝐼. 𝐶. (𝜇) = 650 ± 14.0029
𝐼. 𝐶. (𝜇) = 635.9971; 664.0029
c.- Para el presente año, se pretende gastar más que el año anterior.
25. Un inspector de alimentos, examina 12 frascos de cierta marca que
mantequilla de maní con la finalidad de conocer los pesos (en
gramos) exactos para verificar si cumplen con lo especificado en la
etiqueta. Luego de examinar los frascos, se obtuvo los siguientes
resultados:
Se asume que los pesos están normalmente distribuidas, construya
un intervalo de confianza del 99% de peso promedio en esta marca
de mantequilla de maní.
Ejemplo 3:
230.9 245.7 250.2 240.8 230.6 250.1
240.0 243.4 241.3 248.5 250.0 249.4
26. Defina los siguientes términos:
Solución
Elemento: Un frasco de mantequilla de maní.
Población:
Total de frascos de mantequilla de
maní.
Muestra: 12 frascos de mantequilla de maní.
Variable de estudio:
Peso (en gramos) de los frascos de
mantequilla de maní.
Tipo de variable: Cuantitativa continua.
Parámetro a
estimar:
: μ porcentaje de impureza promedio
(lo que se quiere conocer)
27. Datos:
1°Se debe calcular la media muestral y la desviación estándar
muestral (σ desconocido), a partir de los datos de la muestra.
𝑖=1
12
𝑥𝑖 = 230.9 + 245.7 + 250.2 + ⋯ + 250.0 + 249.4 = 2920.9
⇒ 𝑥 =
𝑖=1
12
𝑥𝑖
𝑛
=
2920.9
12
= 243.4083
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
= 230. 92
+ 245. 72
+ ⋯ + 250. 02
+ 249. 42
= 711516.21
𝑆 = 𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
2
− 𝑛𝑥
2
𝑛 − 1
=
711516.21 − 12 243.4083 2
12 − 1
= 7.0389
Hallando la media muestral:
Hallando la desviación estándar muestral:
28. 3597
.
290
;
4569
.
196
)
.(
.
0320
.
2
106
.
3
4083
.
243
)
.(
. 2
/
1
;
1
C
I
n
S
t
x
C
I n
0320
.
2
12
0389
.
7
.
n
S
E
S
El error estándar de la
media está dado por:
y el intervalo de confianza al 99% de confianza está dado por:
Nivel de confianza:
1- α = 0.99 α =0.01 α /2 = 0.005
tn-1,1 - α /2 = t11,0.995 = ±3.106, en tabla de distribución T - Student.
29. Un funcionario del Ministerio de Transporte quiere conocer el promedio de la
distancia recorrida (en kilómetros) por los taxistas de Lima Metropolitana. Para ello,
el funcionario selecciona una muestra de 100 taxistas y obtiene una media muestral
(𝐱) de 15.2 km. y una desviación estándar (S) igual a 2.25 km. (porque se calculan
de los datos de la muestra)
a) Calcule el error estándar de la media.
b) Halle el intervalo de confianza al 99% de confianza.
Ejemplo 4:
Elemento: Un taxista de Lima Metropolitana.
Población: Todos los taxistas de Lima Metropolitana.
Muestra: 100 taxistas de Lima Metropolitana.
Variable de estudio: Distancia recorrida en kilómetros.
Tipo de variable: Cuantitativa continua.
Parámetro a estimar:
: μ (promedio de los kilómetros recorridos (lo que se desea
conocer)
Defina previamente los siguientes términos:
30. Datos:
Muestra: n = 100 taxistas (n>30)
Media muestral:
Desviación estándar muestral: (σ no se conoce)
2
.
15
x
a. El error estándar de la media : 225
.
0
100
25
.
2
n
S
E
7805
.
15
;
6195
.
14
)
.(
.
225
.
0
58
.
2
2
.
15
)
.(
. 2
/
1
C
I
n
S
Z
x
C
I
b. Intervalo de confianza:
25
.
2
S
Nivel de significancia: 1- α = 0.99 α =0.01 α /2 = 0.005
Zα /2 = Z0.995 = ±2.58, en tabla de distribución Norma: Z.
32. INTERVALO DE CONFIANZA DE UNA PROPORCIÓN (π)
Un Intervalo de confianza aproximado del 100(1- α)%
para la proporción poblacional () será:
n
P
P
Z
P
C
I
)
1
(
)
.(
. 2
/
1
Nota:
Si np y n(1-p) son mayores o iguales a cinco (5), la
distribución binomial se aproxima a la distribución normal.
Donde: P: Proporción muestral
33. Una empresa quiere introducir un nuevo producto al mercado
local, por tanto quiere estimar la proporción de clientes
dispuestos a adquirir el producto al precio que se ofrece. Para
ello, se entrevistó a 200 clientes, de los cuales 68 estaban
dispuestos a adquirir el nuevo producto.
a) Realice la estimación correspondiente con un 98% de
confianza.
b) Si se estima que hay 10,000 personas en la localidad,
cuántos clientes se espera que estén dispuestos a adquirir
el producto?
Ejemplo 5:
34. Solución:
Defina los siguientes términos:
Elemento: Un cliente.
Población: Todos los clientes.
Muestra: 200 clientes.
Variable de estudio:
Tipo de variable: Cualitativa
Parámetro a estimar:
: π (proporción de clientes que estén dispuestos a
adquirir el nuevo producto)
producto
el
adquiere
No
producto
el
adquiere
compra
Intención
0
1
35. Datos: Muestra: n = 200;
N° clientes podrían adquirir el
producto: x= 68
34
.
0
200
68
n
x
P
El error estándar de la
proporción esta dado por:
Luego:
0335
.
0
200
)
34
.
0
1
(
34
.
0
)
1
(
n
P
P
SE
a) Realice la estimación correspondiente con un 98% de confianza.
0335
.
0
33
.
2
34
.
0
)
1
(
*
*
)
( 2
/
1
n
P
P
Z
P
IC
4181
.
0
;
2619
.
0
)
(
IC
Nivel de significancia: 1- α = 0.98 α =0.02 α /2 = 0.01
Zα /2 = Z0.99 = ±2.33
36. b) Si se estima que hay 10000 personas en la localidad, ¿cuántos
clientes se espera que estén dispuestos a adquirir el producto?
N=10,000 tamaño de la población.
n
P
P
Z
P
N
A
IC
)
1
(
)
( 2
/
1
4181
;
2619
4181
.
0
;
2619
.
0
*
10000
)
(
A
IC
Se espera que los clientes estén dispuestos a adquirir el
producto se encuentre entre 2619 a 4181.
37. 1- Se desea estimar el ingreso promedio de los jefes de familia de Lima
Metropolitana. Según la Encuesta realizada por una Institución
encuentra que:
y
4572
1
4
.
5439308
i
i
x
4572
1
2
7031092703
i
i
x
a.- Halle una estimación puntual de µ y σ
b.- Halle una estimación por intervalo del 95% para μ
c.- Se puede afirmar al 95% de confianza que el ingreso promedio de los
jefes de familia supera los 1200 soles.
Preguntas de autoexamen
38. 2- Un especialista en investigación de mercado recibió la tarea de la
empresa “Limpia Todo”, de conocer sobre la preferencia que tiene
el consumidor hacia su producto “Clean-Fast”. Para ello, el
especialista seleccionó una muestra aleatoria de 40 personas y
obtuvo los siguiente resultados:
0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
0
donde: (1: significa prefiere producto) y (0: significa no prefiere el
producto)
a.- Calcule la proporción de consumidores que prefieren el producto.
b.- Calcule la probabilidad de que el error máximo de estimación
(margen de error) de esta proporción no sea mayor de 0.05.
c.- Calcule el error máximo permitido para una confianza de 97.5%.
d.- Calcule el intervalo de confianza e interprete su resultado al 97.5%
de confianza.
39. Supongamos que se tienen dos
poblaciones normales
𝑁 𝜇1, 𝜎1 𝑦 𝑁 𝜇2,𝜎2 . Vamos a estudiar
como se puede determinar un intervalo de
confianza para la diferencia de medias
(𝜇1 − 𝜇2)a partir de muestras aleatorias
independientes de tamaños 𝑛1𝑦 𝑛2
extraídas de cada población
respectivamente. Distinguiremos diferentes
casos
Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias.
40. Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias.
Varianzas 𝝈𝟏
𝟐
𝒚 𝝈𝟐
𝟐
supuestas conocidas
Sean 𝑥1 𝑦 𝑥2, las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños
𝑛1 𝑦 𝑛2 seleccionadas respectivamente de dos poblaciones con medias 𝜇1 − 𝜇2 Y varianzas
𝝈𝟏
𝟐
𝒚 𝝈𝟐
𝟐
supuestas conocidas.
Un estimador puntual de la diferencia de medias 𝜇1 − 𝜇2, es la estadística 𝑥1− 𝑥2 cuyo valor
𝑥1− 𝑥2 es la estimación puntual. Si las dos poblaciones son normales, entonces, 𝑥1 𝑦 𝑥2 tienen
distribuciones
Respectivas normal 𝑁 𝜇1, 𝝈𝟏
𝟐
∕ 𝑛1 𝑦 N(𝜇2 , 𝝈𝟐
𝟐
∕ 𝑛2)
(Para 𝑛1 ≥ 2 𝑦 𝑛2 ≥ 2). En Consecuencia, la estadística 𝑥1− 𝑥2 tiene distribución normal
𝑁 𝜇1 − 𝜇2 , 𝝈𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝝈𝟐
𝟐
∕ 𝑛2 .
Si las dos poblaciones no son normales, pero 𝑛1 𝑦 𝑛2, son suficientemente grandes (𝑛1 ≥
30 𝑦 𝑛2 ≥ 30), entonces la estadística 𝑥1− 𝑥2 𝑒𝑠 aproximadamente normal
𝑁 𝜇1 − 𝜇2 , 𝝈𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝝈𝟐
𝟐
∕ 𝑛2
Por tanto, según sea el caso, la variable aleatoria:
𝑧 =
𝑥1− 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝝈𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝝈𝟐
𝟐
∕ 𝑛2
42. consideremos una caja con tarjetas, cada una con un numero. Supongamos
que la población tiene µ=10 y σ=4. extraemos muestras de tamaño n=9.
Primera muestra: 4, 13, 8, 12, 8, 15, 14, 7, 8. Media 𝑋 = 9.9.
Segunda muestra: 17, 14, 2, 12, 12, 6, 5, 11, 5. Media 𝑋 = 9.3
Determinar el intervalo de confianza para la diferencia de medias de las dos
primeras muestras .suponer la varianza poblacional conocida.
SOLUCION.
𝑋1 = 9.9 𝑛1 = 9 𝜎1 = 4
𝑋2 = 9.3 𝑛2 = 9 𝜎2 = 4
[ 𝑥1− 𝑥2 = ∓ 𝑍𝛼/2 𝝈𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝝈𝟐
𝟐
∕ 𝑛2 ]
= [(9.9 − 9.3) ∓ 1.96
16
9
+
16
9
] = [0.6 ∓ 3.7]
El intervalo de confianza es (-3.1,4.3).
43. 𝝈𝟏
𝟐
𝒚 𝝈𝟐
𝟐
Si la población
no es normal
Si la población
es normal
Si 𝑥1 𝑦 𝑥2 son los valores de las medias de dos muestras
aleatorias independientes de tamaños 𝑛1 𝑦 𝑛2
seleccionadas respectivamente de dos poblaciones cuyas
distribuciones son no normales con varianzas 𝝈𝟏
𝟐
𝒚 𝝈𝟐
𝟐
supuestas desconocidas, entonces, siempre que los
tamaños de las muestras sean grandes(𝑛1 ≥ 30 𝑦 𝑛2 ≥
30), los parámetros 𝜎1 𝑦 𝜎2 se estiman puntualmente por
𝑠1
2
𝑌 𝑠1
2
. El intervalo de confianza del 1 − 𝛼 𝑥 100% para
𝜇1 − 𝜇2 es entonces.
(𝑥1− 𝑥2) − 𝑧0 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
∕ 𝑛2 ≤ 𝜇1 − 𝜇2
≤ (𝑥1− 𝑥2) + 𝑧0 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
∕ 𝑛2
Sean 𝑥1 𝑦 𝑥2 las medias y 𝑠1
2
𝑌 𝑠1
2
las varianzas
de dos muestras aleatorias independientes de
tamaños 𝑛1 𝑦 𝑛2 respectivamente
seleccionadas de dos poblaciones normales con
varianzas 𝝈𝟏
𝟐
𝒚 𝝈𝟐
𝟐
supuestas desconocidas.
44. Varianzas
supuestas iguales:
𝜎1
2
= 𝜎2
2
= 𝜎2
En este caso, las variables aleatorias,
𝑧 =
𝑥1− 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝜎 1
𝑛1
+ 1/𝑛2
, 𝑦 𝑉 =
𝑛1 − 1 𝒔𝟏
𝟐
+ 𝑛2 − 1 𝒔𝟐
𝟐
𝜎2
Tiene respectivamente distribución normal 𝑁 0,1 , y chi-cuadrado con grados de libertad: 𝑛1 +
𝑛2 − 2 . Además, se comprueba que ambas U y V son independientes. Entonces, la variable
aleatoria:
𝑇 =
𝑈
𝑉/ 𝑛1+ 𝑛2 − 2
=
𝑥1− 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2)
(𝑛1−1)𝑆1
2
+(𝑛2 −1)𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2 = (
1
𝑛1
+
1
𝑛2
)
=
𝑥1− 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑆𝑐
2
/𝑛1 + 𝑆𝑐
2
/𝑛2
distribución 𝑡 𝑛1 + 𝑛2 − 2 se puede encontrar el valor 𝑡0 = 𝑡1−
𝛼
2
.𝑛1+ 𝑛2−2
(figura 2.), tal que
𝑃 −𝑡0 ≤ 𝑇 ≤ 𝑡0 = 1 − 𝛼
Tiene distribución t-student con 𝑛1 + 𝑛2 − 2 grados de libertad.
La varianza común 𝑆𝑐
2
definida por:
𝑆𝑐
2
=
(𝑛1−1)𝑆1
2+(𝑛2−1)𝑆2
2
𝑛1+ 𝑛2−2
Es un estimador insesgado de la varianza común 𝜎2
Dado el grado de confianza 1 − 𝛼 en la
46. Luego,
Si 𝑥1 𝑦 𝑥2 son las medias que resultan de dos muestras independientes
de tamaños 𝑛1 𝑦 𝑛2 escogidas respectivamente de dos poblaciones
normales con varianzas 𝝈𝟏
𝟐
𝒚 𝝈𝟐
𝟐
supuestas desconocidas e guales,
entonces, el intervalo de confianza del 1 − 𝛼 𝑥100% 𝑑𝑒 𝜇1 −𝜇2 es:
(𝑥1− 𝑥2) − 𝑡0 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
∕ 𝑛2 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ (𝑥1− 𝑥2) +
𝑡0 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
∕ 𝑛2
El valor 𝑡0 = 𝑡1−
𝛼
2
.𝑛1+ 𝑛2−2
se encuentra en la tabla t-student con 𝑛1 +
𝑛2 − 2
Grados de libertad tal que 𝑃 𝑇 ≤ 𝑡1−
𝛼
2
.𝑛1+ 𝑛2−2
= 1 −
𝛼
2
Las ilustraciones es la figura2, donde
a = 𝑥1− 𝑥2 − 𝑡0 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
𝑛2 𝑦 𝑏
= (𝑥1− 𝑥2) + 𝑡0 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
∕ 𝑛2
Son los límites de confianza 𝜇1 −𝜇2 de inferior y superior
respectivamente.
47. Un agente de compras de una compañía está tratando de decidir si
comparar la marca A o la maraca B de cierto tipo de focos ahorradores
de energía. Para estimar la diferencia entre las dos marcas se lleva a
cabo un experimento con dos muestras aleatorias independientes de
10 focos de cada marca resultando las medias de vida útil respectivas
de 1,230 horas y 1,190 horas Estimar la verdadera diferencia de las dos
medias de vida útil, mediante un intervalo de confianza del 95%. ¿Es
acertada la decisión del agente si adquiere cualquiera de las dos
marcas? Suponga que las dos poblaciones tienen distribución normal
con desviaciones estándares respectivas de 120 y 60 horas
48. La estimación puntual de 𝜇1 − 𝜇2 es la diferencia de las medias muéstrales
𝑥1 𝑦 𝑥2 =1230-1190 = 40.
Error estándar 𝜎𝑥1−𝑥2
= 𝝈𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝝈𝟐
𝟐
∕ 𝑛2 =
120 2
10
+
60 2
10
= 42.43
Para el grado de confianza del 95% se encuentra 𝑍0 = 𝑍𝐼−𝛼/2 = 𝑧0.975 = 1.96
Los límites de confianza inferior y superior respectivamente de 𝜇1 − 𝜇2 son
𝑥1− 𝑥2 ∓ 𝑧0𝜎𝑥1−𝑥2
= 40 ∓ 1.96 42.43 = 40 ∓ 83.1628
Luego, el intervalo de confianza aproximado del 95% para es 𝜇1 − 𝜇2 es
−43.16 < 𝜇1 − 𝜇2 < 123.16.
Dado que 𝜇1 − 𝜇2 = 0 ∈ −43.16,123.16 , se concluye 𝑞𝑢𝑒 𝜇1 = 𝜇2 y que no hay
diferencias significativas entre las medias de las vidas útiles de los objetos
de marcas A y B. Por tanto, el agente de compras puede adquirir cualquiera
de las dos.
49. Varianza
supuestas
distintas:
𝝈𝟏
𝟐
𝒚 𝝈𝟐
𝟐
El intervalo de confianza del 1 − 𝛼 𝑥100% 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜇1 − 𝜇2 es
𝑥1− 𝑥2 − 𝑡1−
𝛼
2
,𝑟 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
𝑛2 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑥1− 𝑥2 +
𝑡1−
𝛼
2
,𝑟 𝒔𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝒔𝟐
𝟐
∕ 𝑛2
En este caso, la estadística.
𝑇 =
(𝑥1− 𝑥2) − (𝜇1 − 𝜇2)
𝑺𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝑺𝟐
𝟐
∕ 𝑛2
Tiene distribución t-student con r grados de libertad, siendo
𝑟 =
[
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠2
2
𝑛2
]2
𝑠1
2
𝑛1
2
𝑛1 − 1
+
𝑠2
2
𝑛2
2
𝑛2 − 1
Dado que r rara vez es un entero, se redondea al entero más cercano
50. El encargado de compras de una cadena de restaurantes tiene que
escoger entre dos variedades de arroz A y B. Selecciona dos muestras
aleatorias independientes de 10 bolsas de arroz de un kilo de cada tipo
de arroz y encuentra los siguientes porcentajes de granos quebrados
por kilo:
A: 6, 5, 6, 7, 4, 7. 6, 4, 3, 6.
B: 7, 6, 7, 9.5, 8, 7, 6, 10, 8.
Estimar mediante un intervalo de confianza del 95% la diferencia
promedio de porcentajes de granos quebrados por kilos de arroz de las
dos variedades. ¿Se puede aceptar que no hay diferencias significativas
entre las dos medias poblacionales? Suponga que los porcentajes de
granos quebrados por kilo en cada variedad se distribuyen
normalmente con la misma varianza.
51. Sean 𝑋1 𝑦 𝑋2 las poblaciones de porcentajes de granos quebrados por kilo. Se supone que
las poblaciones son normales con varianzas desconocidas supuestas iguales. De las
muestras (utilizando el paquete MCEST) se obtiene:
𝑛1 = 10, 𝑥1 = 5.4, 𝑠2 = 1.35, 𝑛2 = 10, 𝑥2 = 7.3, 𝑠2 = 1.49,
𝑠𝑐
2
=
(𝑛1−1)𝑆1
2
+(𝑛2 −1)𝑆2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
=
9(1.35)2
+ 9(1.49)2
10 + 10 − 2
= 2.0213
El error estándar de la diferencia de la media es.
𝜎𝑥1− 𝑥2
=
𝑠𝑐
2
𝑛1
+
𝑠𝑐
2
𝑛2
=
2.0213
10
+
2.0213
10
= 0.6358
Para 1 − 𝛼 = 0.95 𝑦 18 grados de libertad se halla.𝑡0.975.18 = 2.101.
Los límites de confianza inferior y superior del 95% para 𝜇2 − 𝜇1 son:
𝑥1− 𝑥2 ∓ 𝑡1−
𝛼
2
.𝑛1+ 𝑛2−2
𝜎𝑥1− 𝑥2
= 7.3 − 5.4 ∓ 2.101 0.6358 = 1.9 ∓ 1.336
Luego, el intervalo de confianza del 95% para 𝜇2 − 𝜇1 es.
0.564 < 𝜇2 − 𝜇1 < 3.236
Dado que 𝜇2 − 𝜇1 = 0 no pertenece al intervalo de confianza, no se debe aceptar que 𝜇2 = 𝜇1.
52. Se están utilizando normalmente en una granja avícola dos tipos de piensos compuestos A y B.
Queriendo comparar la media de engorde con ambos piensos, para un nivel de confianza 0.9, se
alimentan a 100 aves durante cierto tiempo con el pienso A obteniéndose una ganancia media de
peso de 0.5 Kg por ave con una cuasi varianza de 0.08. Simultáneamente a otras 120 aves se les
alimenta con el pienso B y se obtiene un engorde medio de 0.2 Kg con una cuasi varianza de 0.09.
Estimar la diferencia de engorde medio.
SOLUCION.
(𝑥1− 𝑥2)±𝑍𝛼
2
𝑺𝟏
𝟐
𝑛1 + 𝑺𝟐
𝟐
𝑛2
𝑛1 = 100, 𝑥1 = 0.5, 𝑺𝟏
𝟐
= 0.08,
𝑛2 = 120, 𝑥2 = 0.2, 𝑺𝟐
𝟐
= 0.09
1 − 𝛼 = 0.90; 𝛼 = 0.10;
𝛼
2
= 0.05 →
𝑧𝛼
2
= 𝑧0.05 = 1.645
54. En un estudio del efecto de tasa de enfriamiento en la dureza de uniones soldados, se enfriaron 50
soldaduras a tasa de 10c°/s que tenían un promedio de dureza de 91.1 de desviación estándar de
6.23, y se infriaron40 soldaduras a tasa de 30c° que tenían una media de 90.7 y desviación
estándar de 4.34.
Determine un intervalo de confianza de 95 % para la diferencia en la dureza entre las soldaduras
enfriadas a las tasas diferentes.
b) Alguien dice quela tasa de enfriamiento no tiene ningún efecto sobre la dureza. ¿estos datos
contradicen dicha afirmación ?
2) para determinar el rendimiento anual de ciertos valores, en grupo de inversionistas tomo una
muestra aleatoria de 49 de tales valores encontrado una media de 8.71% y una desviación
estándar 2.1%.
Estime el verdadero rendimiento anual promedio de tales valores mediante un intervalo de
confianza del 96%.
Calcule el riesgo αsi el rendimiento anual promedio de todos los valores se estima entre 7.96% y
9.46%.
EJERCICIOS
55. se realizo un análisis de tensión en muestras aleatorias de uniones pegadas con
resina epoxidica de dos clases de madera una muestra aleatoria de 120 uniones de
clase A tuvo una media de tensión de corte de 1250 psi y una desviación estándar de
350psi, y una muestra aleatoria de 90 uniones de la clase B tuvo una media de tensión
de corte de 1400psi una desviación estándar 98% para la diferencia en las medias de la
tensión de corte de las dos clases.
4) un fabricante produce focos cuya duración tiene distribución normal. Si una
muestra aleatoria de 9 focos de las siguiente vidas útiles en horas
775, 780, 800, 795, 790, 785, 795, 780,810.
Estime la duración mediante de todos los focos de fabricante mediante un intervalo de
confianza del 95%.
Si la media poblacional se estima en 790 horas con una confianzas del 98%.¿cuanto es
el error máximo de la estimación si se quiere una confianza del 98%.
56. 1. ¿Qué entiendes por una estimación puntual?
2. ¿Qué inconvenientes podrías señalar de una estimación puntual?
3. ¿Por qué es conveniente construir intervalos de confianza?
4. ¿Qué es un intervalo de confianza?
5. ¿Cómo puede ayudarte la distribución en el muestreo de los
estadísticos que estudiaste en estadística I para construir
intervalos de confianza?
6. ¿Los intervalos de confianza se construyen para los parámetros
desconocidos o para los estimadores?
Preguntas de autoevaluación
57. 1.- Anderson, S. (2010) Estadística para Administración y
Economía. Cengage Learning 8va. Edición. México.
2.- Mendehall, W. (2008) Introducción a la Probabilidad y
Estadística. Thomson 12° Edición. México.
3.- Alvarado, J., Obagi, J. (2008) Fundamentos de la
Inferencia Estadística. Ed. Pontificia Universidad Javeriana
1ra. Edición. Colombia.
Bibliografía:
Notas del editor
N Mean SE Mean 99% CI
100 15.200 0.225 (14.620, 15.780)
