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FactorizacióN De Polinomios

E
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  6
  1       DE LA UNIDAD

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Página 95

PRACTICA

Factor común e identidades notables

 1 Saca factor común:
     a) 9x 2 + 6x – 3                            b) 2x 3 – 6x 2 + 4x
     c) 10x 3 – 5x 2                             d) x 4 – x 3 + x 2 – x

     a) 9x 2 + 6x – 3 = 3(3x 2 + 2x – 1)
     b) 2x 3 – 6x 2 + 4x = 2x(x 2 – 3x + 2)
     c) 10x 3 – 5x 2 = 5x 2 (2x – 1)
     d) x 4 – x 3 + x 2 – x = x(x 3 – x 2 + x – 1)

 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio:
     a) x 2 + 12x + 36 = (x + I ) 2
     b) 4x 2 – 20x + 25 = ( I – 5) 2
     c) 49 + 14x + x 2

     d) x 2 – x + 1
                  4
     a) x 2 + 12x + 36 = (x + 6) 2               b) 4x 2 – 20x + 25 = (2x – 5) 2

     c) 49 + 14x + x 2 = (7 + x) 2
                                                              4    ( )
                                                 d) x 2 – x + 1 = x – 1
                                                                      2
                                                                          2




 3 Expresa como suma por diferencia los siguientes polinomios:
     a) x 2 – 16 = (x + I ) (x – I )
     b) x 2 – 1
     c) 9 – x 2
     d) 4x 2 – 1
     e) 4x 2 – 9

     a) x 2 – 16 = (x + 4)(x – 4)
     b) x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1)
     c) 9 – x 2 = (3 + x)(3 – x)
     d) 4x 2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)
     e) 4x 2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3)

Unidad 6. Factorización de polinomios
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
  6
  1       DE LA UNIDAD

                                                                                              Pág. 2



 4 Expresa como un cuadrado o como producto de dos binomios cada uno de
     los siguientes polinomios:
     a) 25x 2 + 40x + 16
     b) 64x 2 – 160x + 100
     c) 4x 2 – 25

     a) 25x 2 + 40x + 16 = (5x) 2 + 2 · 5x · 4 + 4 2 = (5x + 4) 2
     b) 64x 2 – 160x + 100 = (8x) 2 – 2 · 8x · 10 + 10 2 = (8x – 10) 2
     c) 4x 2 – 25 = (2x) 2 – 5 2 = (2x + 5)(2x – 5)

 5 Saca factor común y utiliza los productos notables para descomponer en fac-
     tores los siguientes polinomios:
     a) x 3 – 6x 2 + 9x                          b) x 3 – x
     c) 4x 4 – 81 x 2                            d) x 3 + 2x 2 + x
     e) 3x 3 – 27x                               f) 3x 2 + 30x + 75

     a) x 3 – 6x 2 + 9x = x(x 2 – 6x + 9) = x(x – 3) 2
     b) x 3 – x = x(x 2 – 1) = x(x – 1)(x + 1)
     c) 4x 4 – 81x 2 = x 2 (4x 2 – 81) = x 2 (2x + 9)(2x – 9)
     d) x 3 + 2x 2 + x = x(x 2 + 2x + 1) = x(x + 1) 2
     e) 3x 3 – 27x = 3x(x 2 – 9) = 3x(x + 3)(x – 3)
     f ) 3x 2 + 30x + 75 = 3(x 2 + 10x + 25) = 3(x + 5) 2


Divisibilidad por                   x – a.       Te o r e m a d e l r e s t o y r a í c e s
de un polinomio

 6 a) Explica, sin hacer la división, por qué el polinomio P (x) = x 3 + x 2 + x + 1
        no puede ser divisible por x – 2 ni por x + 3.
     b) Indica qué expresiones del tipo x – a podríamos considerar como posi-
        bles divisores de P (x).
     c) Comprueba, haciendo la división con la regla de Ruffini, cuáles de las ex-
        presiones consideradas en el apartado b) son divisores de P (x).

     a) En las expresiones x – 2 y x + 3, a = 2 y a = –3, respectivamente, y no
        son divisores del término independiente de P(x), 1.
     b) Los divisores de 1 son 1, –1. Podríamos considerar, como posibles divisores
        de P(x), las expresiones x – 1 y x + 1.

Unidad 6. Factorización de polinomios
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
  6
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                                                                                        Pág. 3



     c) P(x) = x 3 + x 2 + x + 1



                                                       
                   1     1      1       1                   1    1    1     1
           1             1      2       3         –1            –1    0    –1
                   1     2      3       4                   1    0    1     0

        1 no es ráiz de P(x).                     –1 sí es raíz de P(x).
        La expresión x + 1 es divisor de P(x), mientras que x – 1 no lo es.

 7 Utiliza la regla de Ruffini para calcular P (–2), P (3) y P (5), en los casos si-
     guientes:
     a) P (x) = x 4 – 3x 3 – x 2 + 7x – 2            b) P (x) = 2x 3 – 7x 2 – 16x + 5
     c) P (x) = 2x 4 – 4x 3 – 3x 2 + 9x

     a) P(x) = x 4 – 3x 3 – x 2 + 7x – 2



                                                       
                   1   –3      –1   7        –2             1   –3   –1     7    –2
         –2            –2      10 –18        22     3            3    0    –3    12
                   1   –5       9 –11        20             1    0   –1     4    10
        P(–2) = 20                                P(3) = 10



               
                   1   –3      –1        7 –2
           5            5      10       45 260
                   1    2       9       52 258
        P(5) = 258

     b) P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 16x + 5



                                                       
                   2  –7 –16  5                             2   –7 –16   5
         –2           –4 22 –12                     3            6 –3 –57
                   2 –11   6 –7                             2   –1 –19 –52
        P(–2) = –7                                P(3) = –52



               
                   2   –7 –16            5
           5           10 15            –5
                   2    3 –1             0
        P(5) = 0

     c) P(x) = 2x 4 – 4x 3 – 3x 2 + 9x



                                                       
                   2   –4      –3   9         0             2   –4   –3     9     0
         –2            –4      16 –26        34     3            6    6     9    54
                   2   –8      13 –17        34             2    2    3    18    54
        P(–2) = 34                                P(3) = 54

Unidad 6. Factorización de polinomios
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
  6
  1       DE LA UNIDAD

                                                                                      Pág. 4




               
                   2   –4      –3   9   0
           5           10      30 135 720
                   2    6      27 144 720
        P(5) = 720

 8 Halla, para x = –3 y para x = 4, el valor de los siguientes polinomios:
     P (x) = 2x 3 – 3x 2 + 5x – 1
     Q(x) = 2x 4 – 2x 3 + 2x 2
     R (x) = x 3 – 3x 2 – x + 3

     P(x) = 2x 3 – 3x 2 + 5x – 1
     P(–3) = 2(–3) 3 – 3(–3) 2 + 5(–3) – 1 = –54 – 27 – 15 – 1 = –97
     P(4) = 2 · 4 3 + 3 · 4 2 + 5 · 4 – 1 = 128 – 48 + 20 – 1 = 99

     Q(x) = 2x 4 – 2x 3 + 2x 2 = 2(x 4 – x 3 + x 2)
     Q (–3) = 2[(–3) 4 – (–3) 3 + (–3) 2] = 2 · (81 + 27 + 9) = 2 · 117 = 234
     Q (4) = 2(4 4 – 4 3 + 4 2) = 2(256 – 64 + 16) = 2 · 208 = 416

     R(x) = x 3 – 3x 2 – x + 3
     R(–3) = (–3) 3 – 3(–3) 2 – (–3) + 3 = –27 – 27 + 3 + 3 = –48
     R (4) = 4 3 – 3 · 4 2 – 4 + 3 = 64 – 48 – 4 + 3 = 15

 9 Averigua cuáles de los números 0, 1, –1, 2, –2, 3 y –3 son raíces de los polino-
     mios siguientes:
     P (x) = x 3 – 7x – 6
     Q (x) = x 3 – 6x 2 – 4x + 24
     R (x) = x 4 – 2x 3 – 11x 2 + 12x
     ☛ Recuerda que a es raíz de P (x) si P (a) = 0.

     P(x) = x 3 – 7x – 6
     Calculamos el valor numérico de P(x) en cada uno de los números dados:
     P(0) = –6; P(1) = 1 – 7 – 6 = –12; P(–1) = –1 + 7 – 6 = 0;
     P(2) = 8 – 14 – 6 = –12; P(–2) = –8 + 14 – 6 = 0; P(3) = 27 – 21 – 6 = 0;
     P(–3) = –27 + 21 – 6 = –12
     Las raíces de P(x) son –1, –2 y 3.

Unidad 6. Factorización de polinomios
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
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  1        DE LA UNIDAD

                                                                                       Pág. 5



     Q(x) = x 3 – 6x 2 – 4x + 24
     Q (0) = 24; Q (1) = 1 – 6 – 4 + 24 = 15; Q(–1) = –1 – 6 + 4 + 24 = 21;
     Q (2) = 8 – 24 – 8 + 24 = 0; Q(–2) = –8 – 24 + 8 + 24 = 0;
     Q(3) = 27 – 54 – 12 + 24 = –15; Q(–3) = –27 – 54 + 12 + 24 = –45
     Las raíces de Q (x) son 2 y –2.

     R (x) = x 4 – 2x 3 – 11x 2 + 12x
     R(0) = 0; R(1) = 1 – 2 – 11 + 12 = 0; R(–1) = 1 + 2 – 11 – 12 = –20;
     R(2) = 2 4 – 2 · 2 3 – 11 · 2 2 + 12 · 2 = 16 – 16 – 44 + 24 = –20
     R(–2) = 16 + 16 – 44 – 24 = –36; R(3) = 81 – 54 – 99 + 36 = –36
     R(–3) = 81 + 54 – 99 – 36 = 0
     Las raíces de R (x) son 0, 1 y –3.


10 Aplica la regla de Ruffini para calcular el valor del polinomio:
                                        P (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 8
     para x = 2, x = 1 y x = –2.
     P(x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 8



           
               2    –7       5 –8
       2             4      –6 –2
               2    –3      –1 –10         → P(2) = –10




           
               2    –7       5     –8
       1             2      –5      0
               2    –5       0     –8      → P(1) = –8




           
               2  –7         5 –8
      –2          –4        22 –54
               2 –11        27 –62         → P(–2) = –62


11 a) Si la división P (x) : (x – 2) es exacta, ¿qué puedes afirmar del valor P (2)?
     b) Si –5 es raíz del polinomio P (x), ¿qué puedes afirmar de la división
        P (x) : (x + 5)?

     a) Si la división es exacta, el resto es 0, luego P(2) = 0.
     b) La división P(x) : (x + 5) es exacta, el resto es 0.

Unidad 6. Factorización de polinomios
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
  6
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                                                                                            Pág. 6



Página 96

P I E N S A Y R E S U E LV E

Factorización de polinomios

12 Expresa como cuadrado de un binomio o como suma por diferencia de bino-
     mios cada uno de los siguientes polinomios:
     a) x 4 + 4x 2 + 4                  b) x 2 – 16                  c) 9x 2 – 6x 3 + x 4
     a) x 4 + 4x 2 + 4 = (x 2) 2 + 2 · 2 · x 2 + 2 2 = (x 2 + 2) 2
     b) x 2 – 16 = (x – 4)(x + 4)
     c) 9x 2 – 6x 3 + x 4 = (3x) 2 – 2 · 3x · x 2 + (x 2) 2 = (3x – x 2) 2

13 Descompón en factores utilizando los productos notables y sacando factor
     común cuando se pueda:
     a) x 2 – 25                                   b) x 2 + 4x + 4
     c) 9 – x 2                                    d) x 3 – 2x 2
     e) x 3 + 4x                                   f) x 4 – 1
     g) x 2 – 12x + 36                             h) x 4 – 9x 2
     a) x 2 – 25 = (x – 5)(x + 5)
     b) x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2
     c) 9 – x 2 = (3 – x)(3 + x)
     d) x 3 – 2x 2 = x 2 (x – 2)
     e) x 3 + 4x = x(x 2 + 4)
     f ) x 4 – 1 = (x 2 – 1)(x 2 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x 2 + 1)
     g) x 2 – 12x + 36 = (x – 6) 2
     h) x 4 – 9x 2 = x 2 (x 2 – 9) = x 2 (x – 3)(x + 3)

14 Saca factor común e identifica productos notables en cada caso:
     a) 12x 3 – 3x                                 b) 2x 4 + 12x 3 + 18x 2
     c) 45x 2 – 120x + 80                          d) 12x 3 + 12x 2 + 3x
     a) 12x 3 – 3x = 3x(4x 2 – 1) = 3x(2x – 1)(2x + 1)
     b) 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 = 2x 2 (x 2 + 6x + 9) = 2x 2 (x + 3) 2
     c) 45x 2 – 120x + 80 = 5(9x 2 – 24x + 16) = 5(3x – 4) 2
     d) 12x 3 + 12x 2 + 3x = 3x(4x 2 + 4x + 1) = 3x(2x + 1) 2

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FactorizacióN De Polinomios

  • 1. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 1 Página 95 PRACTICA Factor común e identidades notables 1 Saca factor común: a) 9x 2 + 6x – 3 b) 2x 3 – 6x 2 + 4x c) 10x 3 – 5x 2 d) x 4 – x 3 + x 2 – x a) 9x 2 + 6x – 3 = 3(3x 2 + 2x – 1) b) 2x 3 – 6x 2 + 4x = 2x(x 2 – 3x + 2) c) 10x 3 – 5x 2 = 5x 2 (2x – 1) d) x 4 – x 3 + x 2 – x = x(x 3 – x 2 + x – 1) 2 Expresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio: a) x 2 + 12x + 36 = (x + I ) 2 b) 4x 2 – 20x + 25 = ( I – 5) 2 c) 49 + 14x + x 2 d) x 2 – x + 1 4 a) x 2 + 12x + 36 = (x + 6) 2 b) 4x 2 – 20x + 25 = (2x – 5) 2 c) 49 + 14x + x 2 = (7 + x) 2 4 ( ) d) x 2 – x + 1 = x – 1 2 2 3 Expresa como suma por diferencia los siguientes polinomios: a) x 2 – 16 = (x + I ) (x – I ) b) x 2 – 1 c) 9 – x 2 d) 4x 2 – 1 e) 4x 2 – 9 a) x 2 – 16 = (x + 4)(x – 4) b) x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1) c) 9 – x 2 = (3 + x)(3 – x) d) 4x 2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1) e) 4x 2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3) Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 2. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 2 4 Expresa como un cuadrado o como producto de dos binomios cada uno de los siguientes polinomios: a) 25x 2 + 40x + 16 b) 64x 2 – 160x + 100 c) 4x 2 – 25 a) 25x 2 + 40x + 16 = (5x) 2 + 2 · 5x · 4 + 4 2 = (5x + 4) 2 b) 64x 2 – 160x + 100 = (8x) 2 – 2 · 8x · 10 + 10 2 = (8x – 10) 2 c) 4x 2 – 25 = (2x) 2 – 5 2 = (2x + 5)(2x – 5) 5 Saca factor común y utiliza los productos notables para descomponer en fac- tores los siguientes polinomios: a) x 3 – 6x 2 + 9x b) x 3 – x c) 4x 4 – 81 x 2 d) x 3 + 2x 2 + x e) 3x 3 – 27x f) 3x 2 + 30x + 75 a) x 3 – 6x 2 + 9x = x(x 2 – 6x + 9) = x(x – 3) 2 b) x 3 – x = x(x 2 – 1) = x(x – 1)(x + 1) c) 4x 4 – 81x 2 = x 2 (4x 2 – 81) = x 2 (2x + 9)(2x – 9) d) x 3 + 2x 2 + x = x(x 2 + 2x + 1) = x(x + 1) 2 e) 3x 3 – 27x = 3x(x 2 – 9) = 3x(x + 3)(x – 3) f ) 3x 2 + 30x + 75 = 3(x 2 + 10x + 25) = 3(x + 5) 2 Divisibilidad por x – a. Te o r e m a d e l r e s t o y r a í c e s de un polinomio 6 a) Explica, sin hacer la división, por qué el polinomio P (x) = x 3 + x 2 + x + 1 no puede ser divisible por x – 2 ni por x + 3. b) Indica qué expresiones del tipo x – a podríamos considerar como posi- bles divisores de P (x). c) Comprueba, haciendo la división con la regla de Ruffini, cuáles de las ex- presiones consideradas en el apartado b) son divisores de P (x). a) En las expresiones x – 2 y x + 3, a = 2 y a = –3, respectivamente, y no son divisores del término independiente de P(x), 1. b) Los divisores de 1 son 1, –1. Podríamos considerar, como posibles divisores de P(x), las expresiones x – 1 y x + 1. Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 3. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 3 c) P(x) = x 3 + x 2 + x + 1   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 –1 –1 0 –1 1 2 3 4 1 0 1 0 1 no es ráiz de P(x). –1 sí es raíz de P(x). La expresión x + 1 es divisor de P(x), mientras que x – 1 no lo es. 7 Utiliza la regla de Ruffini para calcular P (–2), P (3) y P (5), en los casos si- guientes: a) P (x) = x 4 – 3x 3 – x 2 + 7x – 2 b) P (x) = 2x 3 – 7x 2 – 16x + 5 c) P (x) = 2x 4 – 4x 3 – 3x 2 + 9x a) P(x) = x 4 – 3x 3 – x 2 + 7x – 2   1 –3 –1 7 –2 1 –3 –1 7 –2 –2 –2 10 –18 22 3 3 0 –3 12 1 –5 9 –11 20 1 0 –1 4 10 P(–2) = 20 P(3) = 10  1 –3 –1 7 –2 5 5 10 45 260 1 2 9 52 258 P(5) = 258 b) P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 16x + 5   2 –7 –16 5 2 –7 –16 5 –2 –4 22 –12 3 6 –3 –57 2 –11 6 –7 2 –1 –19 –52 P(–2) = –7 P(3) = –52  2 –7 –16 5 5 10 15 –5 2 3 –1 0 P(5) = 0 c) P(x) = 2x 4 – 4x 3 – 3x 2 + 9x   2 –4 –3 9 0 2 –4 –3 9 0 –2 –4 16 –26 34 3 6 6 9 54 2 –8 13 –17 34 2 2 3 18 54 P(–2) = 34 P(3) = 54 Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 4. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 4  2 –4 –3 9 0 5 10 30 135 720 2 6 27 144 720 P(5) = 720 8 Halla, para x = –3 y para x = 4, el valor de los siguientes polinomios: P (x) = 2x 3 – 3x 2 + 5x – 1 Q(x) = 2x 4 – 2x 3 + 2x 2 R (x) = x 3 – 3x 2 – x + 3 P(x) = 2x 3 – 3x 2 + 5x – 1 P(–3) = 2(–3) 3 – 3(–3) 2 + 5(–3) – 1 = –54 – 27 – 15 – 1 = –97 P(4) = 2 · 4 3 + 3 · 4 2 + 5 · 4 – 1 = 128 – 48 + 20 – 1 = 99 Q(x) = 2x 4 – 2x 3 + 2x 2 = 2(x 4 – x 3 + x 2) Q (–3) = 2[(–3) 4 – (–3) 3 + (–3) 2] = 2 · (81 + 27 + 9) = 2 · 117 = 234 Q (4) = 2(4 4 – 4 3 + 4 2) = 2(256 – 64 + 16) = 2 · 208 = 416 R(x) = x 3 – 3x 2 – x + 3 R(–3) = (–3) 3 – 3(–3) 2 – (–3) + 3 = –27 – 27 + 3 + 3 = –48 R (4) = 4 3 – 3 · 4 2 – 4 + 3 = 64 – 48 – 4 + 3 = 15 9 Averigua cuáles de los números 0, 1, –1, 2, –2, 3 y –3 son raíces de los polino- mios siguientes: P (x) = x 3 – 7x – 6 Q (x) = x 3 – 6x 2 – 4x + 24 R (x) = x 4 – 2x 3 – 11x 2 + 12x ☛ Recuerda que a es raíz de P (x) si P (a) = 0. P(x) = x 3 – 7x – 6 Calculamos el valor numérico de P(x) en cada uno de los números dados: P(0) = –6; P(1) = 1 – 7 – 6 = –12; P(–1) = –1 + 7 – 6 = 0; P(2) = 8 – 14 – 6 = –12; P(–2) = –8 + 14 – 6 = 0; P(3) = 27 – 21 – 6 = 0; P(–3) = –27 + 21 – 6 = –12 Las raíces de P(x) son –1, –2 y 3. Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 5. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 5 Q(x) = x 3 – 6x 2 – 4x + 24 Q (0) = 24; Q (1) = 1 – 6 – 4 + 24 = 15; Q(–1) = –1 – 6 + 4 + 24 = 21; Q (2) = 8 – 24 – 8 + 24 = 0; Q(–2) = –8 – 24 + 8 + 24 = 0; Q(3) = 27 – 54 – 12 + 24 = –15; Q(–3) = –27 – 54 + 12 + 24 = –45 Las raíces de Q (x) son 2 y –2. R (x) = x 4 – 2x 3 – 11x 2 + 12x R(0) = 0; R(1) = 1 – 2 – 11 + 12 = 0; R(–1) = 1 + 2 – 11 – 12 = –20; R(2) = 2 4 – 2 · 2 3 – 11 · 2 2 + 12 · 2 = 16 – 16 – 44 + 24 = –20 R(–2) = 16 + 16 – 44 – 24 = –36; R(3) = 81 – 54 – 99 + 36 = –36 R(–3) = 81 + 54 – 99 – 36 = 0 Las raíces de R (x) son 0, 1 y –3. 10 Aplica la regla de Ruffini para calcular el valor del polinomio: P (x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 8 para x = 2, x = 1 y x = –2. P(x) = 2x 3 – 7x 2 + 5x – 8  2 –7 5 –8 2 4 –6 –2 2 –3 –1 –10 → P(2) = –10  2 –7 5 –8 1 2 –5 0 2 –5 0 –8 → P(1) = –8  2 –7 5 –8 –2 –4 22 –54 2 –11 27 –62 → P(–2) = –62 11 a) Si la división P (x) : (x – 2) es exacta, ¿qué puedes afirmar del valor P (2)? b) Si –5 es raíz del polinomio P (x), ¿qué puedes afirmar de la división P (x) : (x + 5)? a) Si la división es exacta, el resto es 0, luego P(2) = 0. b) La división P(x) : (x + 5) es exacta, el resto es 0. Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 6. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 6 Página 96 P I E N S A Y R E S U E LV E Factorización de polinomios 12 Expresa como cuadrado de un binomio o como suma por diferencia de bino- mios cada uno de los siguientes polinomios: a) x 4 + 4x 2 + 4 b) x 2 – 16 c) 9x 2 – 6x 3 + x 4 a) x 4 + 4x 2 + 4 = (x 2) 2 + 2 · 2 · x 2 + 2 2 = (x 2 + 2) 2 b) x 2 – 16 = (x – 4)(x + 4) c) 9x 2 – 6x 3 + x 4 = (3x) 2 – 2 · 3x · x 2 + (x 2) 2 = (3x – x 2) 2 13 Descompón en factores utilizando los productos notables y sacando factor común cuando se pueda: a) x 2 – 25 b) x 2 + 4x + 4 c) 9 – x 2 d) x 3 – 2x 2 e) x 3 + 4x f) x 4 – 1 g) x 2 – 12x + 36 h) x 4 – 9x 2 a) x 2 – 25 = (x – 5)(x + 5) b) x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 c) 9 – x 2 = (3 – x)(3 + x) d) x 3 – 2x 2 = x 2 (x – 2) e) x 3 + 4x = x(x 2 + 4) f ) x 4 – 1 = (x 2 – 1)(x 2 + 1) = (x – 1)(x + 1)(x 2 + 1) g) x 2 – 12x + 36 = (x – 6) 2 h) x 4 – 9x 2 = x 2 (x 2 – 9) = x 2 (x – 3)(x + 3) 14 Saca factor común e identifica productos notables en cada caso: a) 12x 3 – 3x b) 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 c) 45x 2 – 120x + 80 d) 12x 3 + 12x 2 + 3x a) 12x 3 – 3x = 3x(4x 2 – 1) = 3x(2x – 1)(2x + 1) b) 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 = 2x 2 (x 2 + 6x + 9) = 2x 2 (x + 3) 2 c) 45x 2 – 120x + 80 = 5(9x 2 – 24x + 16) = 5(3x – 4) 2 d) 12x 3 + 12x 2 + 3x = 3x(4x 2 + 4x + 1) = 3x(2x + 1) 2 Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 7. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 7 15 ( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) . 16 Descompón en factores los siguientes polinomios y di cuáles son sus raíces: a) x 2 + 8x – 9 b) x 3 – x 2 + 9x – 9 c) x 4 + x 2 – 20 d) x 3 + x 2 – 5x – 5 e) x 4 – x 3 – 9x 2 + 3x + 18 f) x 4 – 81 a) x 2 + 8x – 9  1 8 –9 x 2 + 8x – 9 = (x – 1)(x + 9) 1 1 9 Raíces: 1 y –9 1 9 0 b) x 3 – x 2 + 9x – 9  1 –1 9 –9 x 3 – x 2 + 9x – 9 = (x – 1)(x 2 + 9) 1 1 0 9 Raíz: 1 1 0 9 0 x 2 + 9 es irreducible. c) x 4 + x 2 – 20  1 0 1 0 –20 2 2 4 10 20  1 2 5 10 0 –2 –2 0 –10 1 0 5 0 El polinomio x 2 + 5 no se puede descomponer más. x 4 + x 2 – 20 = (x – 2)(x + 2)(x 2 + 5); raíces: 2, –2 d) x 3 + x 2 – 5x – 5  1 1 –5 –5 –1 –1 0 5 — — 1 0 –5 0 → x 2 – 5 = (x – √ 5)(x + √ 5) Así: x 3 + x 2 – 5x – 5 = (x + 1)(x – √5 )(x + √5 ) Raíces: –1, √5 , –√5 Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 8. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 8 e) x 4 – x 3 – 9x 2 + 3x + 18  1 –1 –9 3 18 –2 –2 6 6 –18  1 –3 –3 9 0 3 3 0 –9 — — 1 0 –3 0 → x 2 – 3 = (x – √ 3)(x + √ 3) x 4 – x 3 – 9x 2 + 3x + 18 = (x + 2)(x – 3)(x – √3 )(x + √3 ) Raíces: –2, 3, √3 , – √3 f ) x 4 – 81 = (x 2 – 9)(x 2 + 9) = (x – 3)(x + 3)(x 2 + 9) Raíces: 3, –3 17 ( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) . 18 Descompón en factores: a) x 4 – x 2 b) x 3 + 3x 2 + 4x + 12 c) 2x 3 – 3x 2 d) x 3 – x 2 – 12x e) x 3 – 7x 2 + 14x – 8 f) x 4 – 4x 3 + 4x 2 – 4x + 3 a) x 4 – x 2 = x 2 (x 2 – 1) = x 2 (x – 1)(x + 1) b) x 3 + 3x 2 + 4x + 12  1 3 4 12 –3 –3 0 –12 1 0 4 0 → x 2 + 4 no tiene raíces reales. Luego: x 3 + 3x 2 + 4x + 12 = (x + 3)(x 2 + 4) c) 2x 3 – 3x 2 = x 2 (2x – 3) d) x 3 – x 2 – 12x = x(x 2 – x – 12) Buscamos las raíces de x 2 – x – 12 entre los divisores de –12:  1 –1 –12 4 4 12 1 3 0 → x 2 – x – 12 = (x – 4)(x + 3) x 3 – x 2 – 12x = x(x – 4)(x + 3) Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 9. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 9 e) x 3 – 7x 2 + 14x – 8  1 –7 14 –8 1 1 –6 8  1 –6 8 0 2 2 –8 1 –4 0 x 3 – 7x 2 + 14x – 8 = (x – 1)(x – 2)(x – 4) f ) x 4 – 4x 3 + 4x 2 – 4x + 3  1 –4 4 –4 3 1 1 –3 1 –3  1 –3 1 –3 0 3 3 0 3 1 0 1 0 → x 2 + 1 no tiene raíces reales. x 4 – 4x 3 + 4x 2 – 4x + 3 = (x – 1)(x – 3)(x 2 + 1) 19 Factoriza los siguientes polinomios: a) x 2 – 6x – 7 b) x 2 + 12x + 35 c) 4x 2 + 8x – 12 d) 2x 3 + 2x 2 – 24x e) x 4 + 9x 3 – 10x 2 f) 3x 3 – 9x 2 – 30x a) x 2 – 6x – 7  1 –6 –7 –1 –1 7 1 –7 0 → x 2 – 6x – 7 = (x + 1)(x – 7) b) x 2 + 12x + 35  1 12 35 –5 –5 –35 1 7 0 → x 2 + 12x + 35 = (x – 5)(x + 7) c) 4x 2 + 8x – 12 = 4(x 2 + 2x – 3) Factorizamos x 2 + 2x – 3:  1 2 –3 1 1 3 1 3 0 → x 2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3) Así: 4x2 + 8x – 12 = 4(x – 1)(x + 3) Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 10. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 10 d) 2x 3 + 2x 2 – 24x = 2x(x 2 + x – 12) Factorizamos x 2 + x – 12:  1 1 –12 3 3 12 1 4 0 → x 2 + x – 12 = (x – 3)(x + 4) Por tanto: 2x 3 + 2x 2 – 24x = 2x(x – 3)(x + 4) e) x 4 + 9x 3 – 10x 2 = x 2 (x 2 + 9x – 10) Factorizamos x 2 + 9x – 10:  1 9 –10 1 1 10 1 10 0 → x 2 + 9x – 10 = (x – 1)(x + 10) Así: x 4 + 9x 3 – 10x 2 = x 2 (x – 1)(x + 10) f ) 3x 3 – 9x 2 – 30x = 3x(x 2 – 3x – 10) Factorizamos x 2 – 3x – 10:  1 –3 –10 –2 –2 10 1 –5 0 → x 2 – 3x – 10 = (x + 2)(x – 5) Así: 3x 3 – 9x 2 – 30x = 3x(x + 2)(x – 5) Página 97 20 Factoriza los polinomios siguientes: a) 3x 2 + 2x – 8 b) 4x 2 + 17x + 15 c) 2x 2 – 9x – 5 d) –x 2 + 17x – 72 a) 3x 2 + 2x – 8  3 2 –8 –2 –6 8 3 –4 0 → 3x 2 + 2x – 8 = (x + 2)(3x – 4) b) 4x 2 + 17x + 15  4 17 15 –3 –12 –15 4 5 0 → 4x 2 + 17x + 15 = (x + 3)(4x + 5) Unidad 6. Factorización de polinomios
  • 11. SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS 6 1 DE LA UNIDAD Pág. 11 c) 2x 2 – 9x – 5  2 –9 –5 5 10 5 2 1 0 → 2x 2 – 9x – 5 = (x – 5)(2x + 1) d) –x 2 + 17x – 72  –1 17 –72 9 –9 72 –1 8 0 → –x 2 + 17x – 72 = (x – 9)(–x + 8) 21 Descompón en factores: a) x 3 – x 2 + 4x – 4 b) x 3 – x – 6 c) 3x 4 + 15x 2 d) x 4 – 16 a) x 3 – x 2 + 4x – 4  1 –1 4 –4 1 1 0 4 1 0 4 0 → x 2 + 4 no tiene raíces reales. x 3 – x 2 + 4x – 4 = (x – 1)(x 2 + 4) b) x 3 – x – 6  1 0 –1 –6 2 2 4 6 1 2 3 0 El polinomio x 2 + 2x + 3 no tiene raíces reales, luego: x 3 – x – 6 = (x – 2)(x 2 + 2x + 3) c) 3x 4 + 15x 2 = 3x 2 (x 2 + 5) d) x 4 – 16 = (x 2 – 4) · (x 2 + 4) = (x – 2)(x + 2)(x 2 + 4) Unidad 6. Factorización de polinomios