Este documento presenta información sobre los números reales (R). Explica que R está formado por la unión de los números racionales (Q) e irracionales (I). También describe cómo los números reales pueden representarse en una recta numérica de forma ordenada, densa y completa. Finalmente, ofrece ejemplos de cómo comparar y ordenar números reales.

1. GUÍA DE APRENDIZAJE Nº 01
Conociendo el conjunto de números reales (R)
I. Datos informativos
1. Área/subárea/
2. Ciclo
: Matemática
: III
3. Duración : 4 horas
4. Formador : Juan Carlos Rivero Altuna
II. Indicador específico
Indicador específico
Técnica/
Instrumento
Producto/
evidencia
Identifica las principales características de los números reales y sus
operaciones yresuelve situaciones problemáticas en una ficha de ejercicios.
Observación/
Escala de
estimación
Cuadro de
secuencias
didácticas de
aprendizaje
III. Desarrollo (actividades de estudio y de evaluación)
3.1. Comprende
 Lee la siguiente información:
Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero,
un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la
recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1.
La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los
números enteros.
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a.
C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se
dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron
ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco
después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII
Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las
consideraba irreales.
En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición
concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg
Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener
amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la
construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes
matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg
Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis
matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind)
 Reflexiona:
¿Cómo se puede expresar un número real?
¿Quiénes utilizaron por primera vez las fracciones?

2. ¿Cuál es tu opinión acerca de los números negativos?
¿Qué entiendes por número real? Brinda algunos ejemplos.
3.2. Analiza
1. Lee la siguiente información:
FORMACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS REALES (ℝ)
La unión de los conjuntos de números racionales e
irracionales recibe el nombre de conjunto de
números reales.
Al conjuntode los númerosrealesse representa
así: ℝ
Es decir ℚ  I = ℝ:
Gráficamente
Citemos algunos elementos del conjunto R:
R = 0,4; 2 ; 1,57; 3 ; 1 ; 5
 ; ; e;
3
2
 ;
0,45; 0; 3
8
 ; -2,56;
4
7
; ...
 NOTAS
I. Aún existe números que no están dentro de R
como, por ejemplo:
3
8
 = ? (no tiene solución en R)
3
8
 = ? (no tiene solución en R)
3
25
 = ? (no tiene solución en R)
En general
n
a = ? (no tiene solución en R)
donde: n : par a : número negativo
LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA
El CONJUNTODELOSNÚMEROS REALESestá
dado por la unión del CONJUNTO DE LOS
NÚMEROS RACIONALES con el CONJUNTO
DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES. Es decir:
R = Q  I
Cada uno de estos conjuntos pueden ser
representados en la recta numérica.
Para los números naturales (N):
Para los números enteros (Z):
Para los números racionales (Q):
Si en la recta numérica donde hemos
ubicadoa losnúmerosracionales,ubicamos
también a los números irracionales (con
aproximación al décimo), tendremos
entonces representados a los NÚMEROS
REALES EN LA RECTA NUMÉRICA.
ℕ
ℤ
ℚ
I
ℝ
0 1 2 3 4 5 ...
0
-1
-2
-3
-4
-5 +
1
+
2
+3 +
4
+5
... ...
0
-
1
-2
-3
-4
-5 +
1
+2 +
3
+
4
+5
.....
..
.....
..
10/3
3/2
0,5
-5/2

3. Así:
Comentarios alrededor de la RECTA NUMÉRICA
para ℝ:
 Si sólo ubicamos a los NATURALES o a los
ENTEROSenlaRECTA NUMÉRICA,noatodos
los puntos les corresponde un número ℕ o
ℤ.
 Si ubicamos a los RACIONALES o a los
IRRACIONALES o a los REALES en la RECTA
NUMÉRICA,cada uno de susinfinitospuntos
estánasociadosconcadaunode losinfinitos
números ℚ, I o ℝ.
 Los números ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ situados a la
derecha del CERO siempre son POSITIVOS.
Los que se sitúan a la izquierda del CERO
siempre son NEGATIVOS.
Así:Si a esunnúmeroreal a> 0, significaque
el númeroa espositivo. a < 0, significaque
el número a es negativo.
 Los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, I, ℝ representados
en la recta numérica están ordenados de
menor a mayor de izquierda a derecha, a lo
largo de toda la recta. Por esodecimosque
el conjunto R es ORDENADO. Es decir:
 Entre dosnúmerosreales,pormáscercaque
se encuentren el uno del otro en la recta
numérica, siempre hay otro número real.
Esto nos permite afirmar que entre dos
números reales existen otros infinitos
númerosreales;porlotanto decimosque el
conjunto R es DENSO.
 Todo númeroreal tiene unpuntoasociadoa
él enlarecta numérica;poresodecimosque
el conjunto R es COMPLETO.
 COMPARACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
Si tenemos dos números reales, siempre es
posible saber cuál de ellos es mayor. Para esto
bastará con ubicarlos en la recta numérica y
tomar el de la izquierda como el menor de ambos
números.
Así:
Si no los ubicamos en la recta numérica, es
posible comparar dos números reales
considerando lo siguiente:
 Si los dos números reales son de signo
distinto, será mayor el de signo positivo.
Ejemplos: (1) -1,5404 < 2
(2) 7 > 11

 Si los dos números reales son del mismo
signo, será conveniente expresarlos como
decimales, para establecer el número real
mayor, para ello deberá obtenerse una
mismacantidadde cifrasenlaparte decimal
y luego ignorando la coma decimal se les
compara como si fueran números enteros.
Ejemplos:
(1) 5 > 3 porque 2,2360679... >
1,7320508
(2) Comparar
3
7
 y 5
Escribiendoendecimales:
3
7
 =-2,3333...
5 = -2,6457513
Entonces –2,333... > -2,6457513...,
ya que : -2,3 > -2,6
0
-1
-2
-3
-4
-5 +
1
+2 +
3
+
4
+5
.....
..
.....
..
0,5
-
5/2 3/2 10/3
0
-1/2
-6 +1
a
0
b
a < b

4. 2. Demuestra tu comprensión de la información:
Resuelve los siguientes ejercicios.
 Completa los siguientes cuadros
con >, < o = según corresponda
Número
real a
> ó <
Número
real b
2 5
 10
0,3
0,33
-7,55 -7,56
20,05 20,5
2
2
0,70
3,2 -3,2
0,42356 0,42456
Número
real a
> ó <
Número
real b
-7,563 -7,463
– 2 2
0,72
0,7272
-6,1515
-6,15
4,5 4,51
-5,21 -5,2
1/3 – 0,33
0,25 1/4
3.3. Comprueba
Resuelve los siguientes ejercicios
A. Ubicar aproximadamente los siguientes números reales en la recta numérica.
1.  ; 5,2 ; 7,1 ; -6,2
2. 7/2 ; 1/5 ; 0,5 ; 3,1 ; -1,6
3. 4,2 ; -0,1 ; -1 ; 0 ; -3
4. 1,6 ; 13 ; 3
 ; 1,4 ; -8
B. Resuelve los siguientes problemas
4. El número real que le sigue a 1 es:
a) 1,1 b) 1,00001 c) 2 d) 1,01 e) Indeterminable

5. 5. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto?
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Sólo IV e) I y IV
6. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?
a) –72
es número entero
b) –0,0775 es número real
c) 3,7 es número racional
d) 51/2
es racional
e) 2 : 2 tiene como resultado irracional
7. ¿Cuál es el número real que antecede a 6?
a) 5 b) 5,9 c) 5,99 d) 5,999 e) Indeterminable
IV.Lecturas complementarias
Lecturas obligatorias:
Rivero, Juan (2021). Separa de Matemática guía 1.
Información de apoyo
https://www.youtube.com/watch?v=Rv-ySOwReZQ
V. Recomendaciones
Todas las evidencias trabajadas, sube a la plataforma o al WhatsApp en un documento Word
A4, considerando:
a) La presentación de la evidencia es individual para las respuestas y el diagrama.
b) El registro del nombre del archivo: Guía1_Evidencias_NOMBRE_APELLIDO.
Por ejemplo: Guía 2_Evidencias_PEDRO_LAZO.
ℕ ℤ ℤ ℚ
ℤ ℚ ℝ
ℚ I
IV
III
I II

6. ANEXOS
Autoevalúa tus evidencias
Escala de estimación para evaluar las secuencias didácticas
Nombres y apellidos:_____________________________________________
Carrera:_____________________________________________
Ciclo:____________________ Fecha: _______________
1 2 3 4
Insuficiente Regular Bien Excelente
Secuencias didácticas de aprendizaje Valoración
(1 - 4)
Indicadores
Indica la actividad y el propósito a lograr
Describe brevemente la estrategia a aplicar en la secuencia didáctica.
Existe orden en los procedimientos indicados de la secuencia según la estrategia
La estrategia aplicada está en coherenciacon el propósito de la actividad e incorporaelementos
del enfoque intercultural
Incluye el uso de materiales de su contexto en la planificación de la secuencia
Total