Progresiones 2

1. 2023 © Todos los derechos reservados
Dr. Alejandro Javier Díaz Barriga Casales, Director del proyecto
Mat. Andrés Alonso Flores Marín, COSFAC
M. en C. Alma Violeta García López, Coordinadora académica / Dr. Óscar Alberto Garrido Jiménez, Diseño académico
Mtro. Luis Felipe de Jesús Malacara Preciado, Diseño académico / Lic. Carolina Chávez Muñoz, Diseño instruccional
Progresión 3
ALEATORIA II
MENSAJERÍA

2. PROGRESIÓN 3:
Identi ca la equiprobabilidad como una
hipótesis que, en caso de que se pueda
asumir, facilita el estudio de la
probabilidad y observa que cuando se
incrementa el número de repeticiones
de una simulación, la frecuencia del
evento estudiado tiende a su
probabilidad teórica (C1M1, C3M1, C4M1).
C1M1: Ejecuta cálculos y algoritmos para
resolver problemas matemáticos y de
otras áreas del conocimiento.
C3M1: Selecciona un modelo matemático
por la pertinencia de sus variables y
relaciones para explicar el fenómeno
estudiado en la solución de un problema.
C4M1: Esquematiza situaciones para su
solución mediante el uso de datos
numéricos, representación simbólica y
conceptos matemáticos para dar un
signi cado acorde con el contexto.
Se sugiere continuar con el uso de tecnología
cuando esto sea factible, además de acompañar la
discusión de este tema desde una perspectiva
histórica y humanista sobre los orígenes de la
probabilidad.
Si el grupo lo requiere, es posible aprovechar este
elemento de la progresión para revisar con las y los
estudiantes aprendizajes de trayectoria relativos a la
ubicación de los números reales en la recta,
proporciones, porcentajes y fracciones, de tal forma
que se revisan dichos conceptos dentro de un
contexto que los vuelve signi cativos para el
estudiantado.
Es importante hacer énfasis en la hipótesis de
equiprobabilidad para el cálculo de probabilidades
simples.
Anotaciones didácticas:

3. Veamos un ejemplo que servirá para desarrollar
en las y los estudiantes intuición acerca de la
aleatoriedad y la comprensión de que diferentes
eventos (aleatorios) pueden ocurrir con distinta
frecuencia.
Es importante mencionar que en esta progresión
no nos interesa emplear la probabilidad clásica
para entender la aleatoriedad de los eventos, sino
que buscamos construir una primera
aproximación a la probabilidad a través del
estudio de frecuencias (este evento es más
frecuente que aquel, este evento no ocurre, etc.)
para sólo posteriormente introducir nociones
más teóricas.
Por otro lado, este mismo ejemplo nos permitirá
presentar un ambiente ideal para abordar
diversas situaciones a lo largo del curso. Se trata
de una isla remota llamada Isla Viva, que
consta de 5 pequeños municipios: Doyoacán,
Repachula, Mitzingo, Fatitlán, Solzintla. Cada
uno de ellos con su propio Centro de Salud.

4. Anteriormente mencionábamos que era importante trabajar
ordenadamente, ahora veremos un ejemplo claro de ello. Nuestra clase
puede empezar explicando cómo podemos enlistar todas esas posibles
asignaciones.
Observa que en cualquier asignación solo hay tres posibilidades. Que la
Caja 1 sea entregada a Doyoacán, que la Caja 1 sea entregada a Repachula
o que la Caja 1 sea entregada a Mitzingo y no hay otra posibilidad, pues
¿de qué otra forma se entregaría la Caja 1?
Considera primero que la Caja 1 sea entregada a Doyoacán, ¿cuántas
asignaciones cumplen esa condición?
Una vez que hemos estipulado que la Caja 1 se entregará a Doyoacán,
tenemos solamente dos posibles asignaciones, a saber:
y

5. Podemos preguntar si hay otra posible
asignación de las cajas que cumpla con la
condición de que la Caja 1 se entrega a
Doyoacán. Usualmente, nuestros alumnos se
suelen quedar callados y dudosos. La
respuesta es no, no hay otra, sólo son esas dos.
Listemos ahora todas las posibles
asignaciones que cumplan que la Caja 1 se
entrega a Repachula, ¿cuántas de éstas hay?
¿Cómo podemos completar el siguiente
diagrama?
Solamente de dos formas:

6. Y no hay más asignaciones que
cumplan con la condición de enviar
la Caja 1 al municipio de Repachula.
Nos falta considerar ahora todas las
asignaciones que repartan la Caja 1
al municipio de Mitzingo, son las
siguientes:
Y no hay más: observa que en cualquier repartición hay
tres p y sólo posibilidades y sólo tres:
La Caja 1 se reparte a Doyoacán.
La Caja 1 se reparte a Repachula.
La Caja 1 se reparte a Mitzingo.
No es posible entregar la Caja 1 de otra manera.
Observamos arriba que cada uno de éstas se puede dar
de dos formas distintas y sólo de dos formas. Por lo
tanto, en total hay 6 =3x2 formas de asignar las tres
cajas, de hecho ya listamos todas.
y

7. Actividad
Enlista cada una de esas 24 asignaciones.
Esta actividad también se la puedes plantear
a tus estudiantes.

8. NOTA DIDÁCTICA: Observa cómo somos cuidadosos al hablar
cuando decimos que cada una de esas cajas es asignada a uno y
sólo uno de esos municipios. No estamos considerando que una
caja, por ejemplo, no se entregue o que en un municipio se
entreguen dos cajas, ni mucho menos que una caja se divida en
dos para ser repartida a dos municipios. En clase es también muy
importante ir reforzando el cuidado del lenguaje, esto es la
categoría de Interacción y Lenguaje Matemático. Por otro lado, si
observas, de fondo estamos dando un primer acercamiento a ese
concepto que iremos desarrollando en nuestros estudiantes a lo
largo de los tres semestres: el concepto de función.
Un problema retador que podemos dejar en el
aula es el siguiente: encuentra una fórmula que
te indique de cuántas formas puedes repartir n
cajas entre n municipios de tal forma que cada
caja sea asignada a uno y sólo uno de estos
municipios. Puedes intentar primero n = 5 y n = 6.
¡Los números crecen rapidísimo! Para n = 5, hay
120 formas distintas, no pidamos enlistarlas
porque resultar ser muy tedioso.
Pero volvamos al caso de repartir 3 cajas entre
3 municipios de tal forma que cada caja sea
asignada a uno y sólo uno de esos municipios.
NOTA DIDÁCTICA: Sobre la categoría de
Interacción y Lenguaje Matemático: Con el n de
que un alumno responda nuestras preguntas,
podemos permitirle hablar de forma no correcta,
y debemos prestar mucha atención para
entender a lo que se re ere y después debemos
mostrarle cómo decir con precisión sus ideas.
Pero nosotros como docentes debemos tener
siempre, desde el inicio, mucho cuidado en la
forma en que nos expresamos, esto con el n de
no crear más confusiones.

9. Como decíamos, hay 6 posibles asignaciones.
¿Alguna de ellas sucede con
mayor frecuencia que las otras?

10. Hay una estrecha relación entre la forma en que se
reparten estas 3 cajas a los 3 municipios con las
simetrías de un triángulo equilátero, pero dejaremos
esto anotado tan sólo para los curiosos que lo quieran
explorar, ¿sabes a lo que nos referimos? De hecho, en
las progresiones de segundo semestre podríamos
hablar un poco de ello.
Podemos asumir como hipótesis de que todas estas
asignaciones, si se realizan aleatoriamente, tienen la
misma probabilidad de ocurrir. Como veremos a
continuación, esta hipótesis, por lo demás razonable,
nos ayuda a simpli car sobremanera la forma en que
comprendemos el fenómeno aleatorio.

11. Incidentalmente, podemos diseñar de una forma muy fácil una simulación para el
caso del reparto de tres cajas entre tres municipios. Ya que hay solo seis posibles
asignaciones, podemos numerar cada una de ellas como se muestra:

12. La hipótesis de que el dado no esté cargado o la
hipótesis de que cada una de las 6 posibles
asignaciones aleatorias al repartir 3 cajas entre 3
municipios son igualmente probables es
conocida como equiprobabilidad.
A continuación, te compartimos un simulador
que encontramos en la red en el que se describe
la tirada de un dado:
Observa cómo, a la larga, la frecuencia con la que
cae el 1, es casi la misma frecuencia que aquella
con la que cae el 2, el 3 o cualquier otro número
entre 1 y 6, a saber, muy cercana a 1/6.
Dale clic para ir al enlace
Y utilizar un dado para simular el fenómeno
aleatorio. ¿Cómo? Lo lanzamos y si cae en, por
ejemplo, 5, estaremos diciendo que la asignación
que se obtuvo aleatoriamente es
Un dado se dice que es justo si no está cargado, es
decir si existe la misma probabilidad de que caiga
cualquiera de sus caras. ¿Cómo probarías tú que un
dado no está cargado usando simulaciones?

13. Conocer que los posibles resultados de un fenómeno
aleatorio son equiprobables es de una ayuda tremenda
para realizar cálculos, pues una vez que sabemos esto ya
no es indispensable hacer una simulación (aunque
didácticamente siempre podemos hacerlo para reforzar
nuestra argumentación). Por ejemplo, supongamos ahora
que la asignación correcta al repartir las tres cajas es

14. Y que nos preguntamos por qué tan probable es que ocurra el evento en
donde se entrega exactamente una caja bien. Nos basta analizar de entre
todas las posibles asignaciones aquellos casos en los que se da que se entrega
exactamente una de estas cajas correctamente, en este caso son:
1 2 3
4 5 6

15. 3 de 6. La proporción entre casos en los que se da
el evento aleatorio estudiado con el total de
casos posibles es 3/6 = ½.
Si haces una simulación y calculas la frecuencia
con la que ocurren las asignaciones 2, 3 o 4. Verás
que conforme aumentes el número de tiradas,
esta frecuencia se aproximará a 0.5.
Lo anterior no es una prueba, pero esperamos
que con ello sea razonable que aceptes la
de nición de probabilidad teórica que en unos
momentos te presentaremos. Pero antes de ello,
te compartimos una serie de de niciones, las
cuales sugerimos no presentar de golpe a tus
estudiantes, sino a lo largo de estas actividades:
CONTENIDO MATEMÁTICO: Un
fenómeno aleatorio es aquel tipo de
fenómeno cuyo comportamiento no se
puede predecir con exactitud; un
fenómeno determinista, por el contrario,
es aquel cuya evolución puede
predecirse con total certidumbre. Al
pensamiento probabilístico le interesan
los fenómenos aleatorios. El espacio
muestral de un fenómeno aleatorio
consiste en todos los posibles resultados
en los que éste puede suceder. Un
evento es un subconjunto del espacio
muestral (en nuestro ejemplo de la
repartición de las tres cajas, un evento
podría ser: se entrega exactamente una
caja de forma correcta). A los resultados
del espacio muestral también se les
conoce como casos. Dado un evento,
decimos que un resultado es un caso
favorable si pertenece a dicho evento
(en nuestro ejemplo anterior la
asignación 4 es un caso favorable para el
evento se entrega exactamente una
caja de forma correcta).

16. Cuando todos los posibles resultados del espacio muestral son
equiprobables podemos calcular la probabilidad de que un evento
ocurra como
Probabilidad del evento = Número de
casos favorables / Número total de casos
Volvamos al ejemplo de la repartición de las cuatro cajas. Si
resolviste la última actividad propuesta, sabes que el espacio
muestral de dicho fenómeno aleatorio consiste de 24 posibles
resultados. Identi ca todos los casos favorables al evento “entrega
las 4 cajas correctamente” y calcula la probabilidad de dicho
evento. Haz lo análogo para el evento “entrega exactamente 2
cajas correctamente”. Estos son ejercicios que corresponden a la
categoría Procedural.
Por último, en clase compara los resultados de los ejercicios
anteriores con los resultados obtenidos de la simulación que
hicieron en la progresión 2.
En la siguiente progresión, veremos que en ocasiones es necesario
utilizar técnicas generales de conteo para poder realizar estos
cálculos y que, de hecho, contar no es tan trivial como podría
parecer a primera vista.

17. CONTINUA CON EL
SIGUIENTE RECURSO