1. Serie
Desarrollo del pensamiento matemático
Nº 6
3
a
Potenciación
Martín Andonegui Zabala
1

2. 372.7
And.
Multiplicación
Federación Internacional Fe y Alegría, 2005.
30 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 980-6418-72-7
Matemáticas, potenciación.
2

3. El aprendizaje es el proceso cognitivo
por excelencia que hace avanzar
el desarrollo de la inteligencia. En cada
edad, el ser humano está genéticamente
preparado para desarrollar nuevas
capacidades intelectuales. El educador debe
ofrecer el contexto y la estimulación
adecuados para lograr el desarrollo
de esas capacidades”.
Gabriela Alejandra Fairsten
y Silvana Gyssels
3

4. A modo de
Equipo editorial
María Bethencourt
Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático
Serie: Potenciación, número 6
Autor: Martín Andonegui Zabala
Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la prác-
tica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su
publicación se realizó en el marco del Programa Internacional
de Formación de Educadores Populares desarrollado por la
Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001.
Diseño y diagramación: Juan Bravo
Portada e ilustraciones: Juan Bravo
Corrección de textos: María Bethencourt, Margarita Arribas
Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría.
Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia,
Caracas 1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212) 5645624 / 5645013 / 5632048
Fax (58) (212) 5646159
web: www.feyalegria.org
© Federación Internacional Fe y Alegría
Depósito Legal: lf 603 2005 510 28 68
Caracas, octubre 2005
Publicación realizada con el apoyo de:
Centro Magis
Instituto Internacional para la Educación Superior
en América Latina y el Caribe (IESALC) - Corporación Andina
de Fomento (CAF)
4

5. introducción
y para desperezarnos un poco, ahí ¿Cómo puede escribirse 1 millón Bien, ya tenemos nuestras respues-
van unas cuestiones sencillas para en- como potencia de base 10? tas, que iremos contrastando con las
trar en materia y en calor. Tratemos de indicaciones y ejercicios que planteare-
resolverlas antes de seguir adelante. ¿Qué número sigue en la secuencia: 0 , mos a lo largo de las líneas que siguen.
1 , 2 , 5 , 26 , …?
¿Cuál es la cifra de las unidades en el Y un segundo recordatorio:
desarrollo de la potencia 8.642123? ¿Cuántas cifras diferentes se necesitan
para escribir el desarrollo de la poten- La sugerencia que proponíamos en
Halle el número de dos cifras cuyo cia 102.005? ¿Y para el desarrollo de la el Cuaderno Nº 1 y que siempre pre-
valor es igual al cuadrado de la suma potencia 0,01315? sidirá los demás Cuadernos: Vamos a
de dichas cifras. estudiar matemática, pero no lo vamos
¿Es posible que el cubo de un número a hacer como si fuéramos simplemente
¿Es par o impar la diferencia entre los natural termine en 2? unos alumnos que posteriormente van
cuadrados de dos números naturales a ser evaluados, y ya. No. Nosotros
consecutivos? ¿Cuál es el número natural cuyo somos docentes –docentes de mate-
cubo puede expresarse de la forma mática en su momento– y este rasgo
¿Qué potencia de base 3 es igual a la 29 x 36? debe caracterizar la forma de construir
tercera parte de 32.004? nuestro pensamiento matemático. ¿Qué
¿Qué números naturales del 1 al 10 pue- significa esto?
Exprese el número 17 como suma de den expresarse como la diferencia de los
los cuadrados de tres números enteros, cuadrados de dos números naturales? • La presencia constante de la meta
no necesariamente diferentes. Haga lo última de nuestro estudio: alcanzar unos
mismo con el número 36. E igualmente ¿Puede ser par alguna de las potencias niveles de conocimiento tecnológico y
con el número 98. de un número impar? reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio
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6. hacia la búsqueda de aplicaciones de Y ahora, vamos al tema de este Cua- acertada duplicamos los puntos obteni-
lo aprendido, hacia el análisis de los derno, la potenciación. dos anteriormente.
sistemas que dan forma a nuestra vida
y utilizan ese conocimiento matemático,
y hacia criterios sociales y éticos para 1. ¿Qué es la potenciación
juzgarlos. de números naturales? Sí No
Veamos estos ejemplos. El área de
• Construir el conocer de cada tópico un cuadrado cuyo lado mide 3 metros se
matemático pensando en cómo lo ense- obtiene multiplicando esa medida por sí
ñamos en el aula, además de reflexionar misma: área = 3 m x 3 m = (3 x 3) m2.
acerca de cómo nuestro conocer limita
y condiciona nuestro trabajo docente.
De esta forma, integrar nuestra práctica
3m
docente en nuestro estudio.
• Como complemento de lo anterior,
construir el conocer de cada tópico 3m
matemático pensando en cómo lo po- Si la puntuación inicial es 1 y un
demos llevar al aula. Para ello, tomar Si disponemos ahora de un cubo cuya participante falla en su sexta pregun-
conciencia del proceso que seguimos arista mide 6 cm y queremos calcular su ta, se retirará con 2 x 2 x 2 x 2 x 2
para su construcción, paso a paso, así volumen, sabemos que éste se obtiene puntos, fruto de sus cinco respuestas
como de los elementos –cognitivos, multiplicando la medida de esta arista correctas.
actitudinales, emocionales– que se por sí misma tres veces: volumen = 6 cm
presenten en dicho proceso. Porque x 6 cm x 6 cm = (6 x 6 x 6) cm3.
a partir de esta experiencia reflexiva
como estudiantes, podremos enten-
der y evaluar mejor el desempeño de Sí No
6 cm
nuestros alumnos –a su nivel– ante los
mismos temas.
• En definitiva, entender que la
6 cm cm
matemática es la base de su didáctica: 6
la forma en que se construye el cono-
cimiento matemático es una fuente Supongamos, finalmente, que esta-
imprescindible a la hora de planificar y mos participando en un juego de co-
desarrollar su enseñanza. nocimientos y que con cada respuesta
6

7. Las tres multiplicaciones mostra- tiene su forma peculiar de escribirse. ciones geométricas expuestas en
das (3 x 3; 6 x 6 x 6; 2 x 2 x 2 x 2 Así, 6 x 6 x 6 se escribe 63. Los elemen- los ejemplos del comienzo del punto
x 2) son singulares: en cada una de tos que intervienen en esa expresión anterior: el área de un cuadrado se
ellas se repite el factor. La operación tienen su propia nomenclatura: calcula mediante la potencia a 2 (a:
que consiste en multiplicar un factor longitud del lado) y el volumen de un
reiteradamente se denomina poten- 6 se denomina base de la potencia; cubo, mediante la potencia a3 (a: lon-
ciación. Como puede observarse, no es el factor que se reitera. gitud de la arista). De donde se sigue
se trata realmente de una operación 3 se denomina exponente de la po- la asociación de los exponentes 2 y
nueva en sentido estricto, sino de un tencia; indica el número de ve- 3 con los términos cuadrado y cubo,
caso particular de la multiplicación ces que se repite la base como respectivamente.
de números naturales, así que todo factor.
lo dicho al respecto en el Cuaderno 6 se denomina potencia de base
3
Agreguemos que suele denominar-
anterior sigue conservando ahora su 6 y exponente 3; 63 = 6 x 6 x 6 se “primera potencia de un número”
validez. = 216. al propio número. Así, la primera
potencia de 7 es 7. Simbólicamente,
Pero, como veremos a lo largo de Existen otras formas habituales de 71 = 7 (sobre esto volveremos poste-
este Cuaderno, vale la pena dete- referirse a una potencia. Por ejemplo, 25 riormente).
nernos en el estudio particular de la se puede leer: 2 elevado a la quinta; 2 a
operación (así la consideraremos en la quinta; la quinta potencia de 2. Lo de
adelante) de potenciación en virtud de “elevado” hace referencia a que el expo- 3. Las regularidades presentes
sus singularidades, por la posibilidad nente se escribe más alto que la base… en las potencias
que nos ofrece de ampliar las formas En cambio, no resulta acertado expresar Pudiera pensarse que no hay mu-
de representación de los números y “2 elevado a la quinta potencia”, ya que chas más cosas que decir acerca de
potenciar nuestra capacidad de cál- el término “potencia” aparece ahí como las potencias y que bastaría con saber
culo mental, por las propiedades que redundante. “leerlas” y calcular su valor, es decir, que
le son inherentes, por la variedad de si se nos aparece 25, debemos saber
problemas que nos permite plantear Cuando se trata de los exponentes que su valor es 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.
y resolver, por el esfuerzo de obser- 2 y 3 la lectura varía. Así, 32 se puede Y así en los demás casos. Sin embargo,
vación que nos exige permanente- leer “la segunda potencia de 3”, “3 una de las primeras cosas que debemos
mente… elevado al cuadrado”, o simplemente, hacer es habituarnos a proceder en
“el cuadrado de 3” o “3 al cuadrado”. sentido inverso, esto es, a identificar
Análogamente, 6 3 se puede leer “la las potencias cuando éstas se nos pre-
2. La representación tercera potencia de 6”, “el cubo de sentan desarrolladas. Por ejemplo, en el
de una potencia 6”, “6 elevado al cubo”, o “6 al cubo”. caso anterior, saber que 32 es la quinta
Cada multiplicación de factores rei- El uso de los términos “cuadrado” y potencia de 2.
terados recibe el nombre de potencia y “cubo” hace referencia a las situa-
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8. Para ello, resulta fundamental tener
a la vista la tabla de las primeras poten- Halle el número de dos cifras cuyo valor Exprese el número 17 como suma de los
cias de los 10 primeros números enteros es igual al cuadrado de la suma de dichas cuadrados de tres números enteros, no
significativos: cifras. necesariamente diferentes. Haga lo mismo
Del enunciado se desprende que el con el número 36. E igualmente con el
Número Cuadrado Cubo número de dos cifras coincide con un número 98.
1 1 1 cuadrado. Su determinación se reduce a) 17 = 16 + 1 + 0; 17 = 9 + 4 + 4
2 4 8 a buscar la lista de los primeros cuadra- b) 36 = 36 + 0 + 0; 36 = 16 + 16 + 4
3 9 27 dos con dos cifras –específicamente del c) 98 = 49 + 49 + 0; 98 = 64 + 25 + 9;
4 16 64 16 al 81– sumar sus dos dígitos, elevar 98 = 81 + 16 + 1
5 25 125 esta suma al cuadrado, y observar si el
6 36 216 resultado coincide con el número dado. Como puede observarse, este ejercicio se
7 49 343 El ensayo nos lleva al número 81: (8 + 1)2 resuelve con soltura si se manejan, también
8 64 512 = 92 = 81. En rigor, este ejercicio puede con soltura, los cuadrados de los dígitos.
9 81 729 resolverse mentalmente y sólo requiere
10 100 1.000 recordar los cuadrados de los primeros ¿Qué número sigue en la secuencia: 0, 1,
números enteros. 2, 5, 26, …?
3.1. La presencia de cuadrados ¿Es par o impar la diferencia entre los Este es un ejercicio de observación, cuya
y de cubos cuadrados de dos números naturales meta es descubrir el patrón o regla que se
Hay muchas regularidades pre- consecutivos? aplica a cada número (o a varios números
sentes en esta tabla y en otras que Todos los números naturales terminan en anteriores) para obtener el siguiente. Si
iremos elaborando, regularidades que una de las cifras del 0 al 9. Para calcular si se procede aditivamente, vemos que los
nos llaman a un ejercicio permanente la diferencia entre los cuadrados de dos números que se van añadiendo de cada tér-
de observación. Los buenos profeso- números naturales consecutivos es par o mino al siguiente son, progresivamente: 1, 1,
res de aritmética suelen recomendar, impar, basta con conocer las últimas cifras 3, 21; no se observa ningún patrón fijo. Por la
incluso, memorizar esta tabla, particu- de ambos cuadrados. Y como podemos vía multiplicativa, tampoco aparece un factor
larmente la columna de los cuadrados. observar en la tabla anterior, los cuadrados único que, al multiplicar a cada término, nos
Estos son números especiales, cuyo de números pares son pares, y los de los dé como resultado el siguiente.
reconocimiento puede ayudarnos en impares, son impares a su vez. De modo
más de una oportunidad. Por ejem- que la diferencia buscada será siempre Pero una lectura más atenta y una fami-
plo, a abordar y resolver algunos de impar (más tarde trabajaremos sobre estas liaridad con los cuadrados nos hace ver,
los ejercicios propuestos al inicio del diferencias…). finalmente, que 02 + 1 = 1; 12 + 1 = 2; 22 + 1
Cuaderno: = 5; 52 +1 = 26. De modo que el patrón pre-
8

9. Observe que los pares de posibili-
sente para obtener cada término sucesivo Y así, vemos: dades en cada caso (1 y 9, 2 y 8, 3 y 7,
es “elevar al cuadrado el anterior, y agregar 4 y 6) suman siempre 10 (1 + 9 = 10,
una unidad”. Así, el término siguiente será 1=1–0 etc.). ¿Puras coincidencias? ¿O todo
262 + 1 = 676 + 1 = 677. 3=4–1 esto responde a alguna razón? Aquí
4=4–0 tiene vía libre para su curiosidad… Lo
¿Es posible que el cubo de un número 5=9–4 cierto es que sólo los cuadrados que
natural termine en 2? 7 = 16 – 9 terminan en 0 ó en 5 remiten a una
La primera impresión es que el ejercicio 8=9–1 sola posibilidad: que el número que se
no puede resolverse, por cuanto habría 9 = 25 – 16 = 9 – 0 elevó al cuadrado termine en 0 ó en 5,
que elevar al cubo todos los números na- respectiva y exclusivamente.
turales para poder responder con certeza.
Pero afortunadamente no se precisa de tal ¿Y en qué cifras pueden terminar
búsqueda exhaustiva porque, como se dijo 3.2. La última cifra del los cubos de los números enteros? La
anteriormente, todos los números naturales desarrollo de una potencia consulta de la tabla anterior nos ofrece
terminan en una de las cifras del 0 al 9.Y la Después de resolver estos ejercicios una respuesta quizá sorprendente, a la
última cifra del cubo de cualquier número quizá –ojalá sea así…– se nos está acre- vista del último resultado: los cubos de
natural sólo depende de la última cifra de centando la curiosidad acerca de los los números enteros sí pueden termi-
este último. cuadrados y de los cubos. Por ejemplo, nar en cualquier dígito. Y además, la
podemos preguntarnos en cuáles dígitos lectura de ese dígito nos remite a una
Tales cifras finales de los cubos están en la terminan –y en cuáles no– los cuadrados sola posible cifra final del número que
tabla anterior. Y el 2 sí aparece como última de los números naturales. Y la respuesta se elevó al cubo.
cifra de un cubo: el de 8 (512). Por consi- está ahí: pueden terminar en 0, 1, 4, 5,
guiente, la pregunta tiene una respuesta 6 ó 9. Pero el cuadrado de un número ¿Y qué pasará con las últimas
afirmativa: el cubo de todo número entero entero nunca puede terminar en 2, 3, 7 cifras de las demás potencias…? La
que acaba en 8 (y sólo el de estos números), u 8. Más aún: respuesta a esta pregunta nos puede
termina en 2. llevar a una indagación cuyo resulta-
• si el cuadrado termina en 1, el nú- do se presenta en la siguiente tabla
¿Qué números naturales del 1 al 10 pue- mero puede terminar en 1 ó en 9 referida a los últimos dígitos de un
den expresarse como la diferencia de los • si el cuadrado termina en 4, el nú- número (presentados en la 1ª fila) y
cuadrados de dos números naturales? mero puede terminar en 2 ó en 8 de sus respectivas potencias, a partir
Todo lo que hay que hacer es observar • si el cuadrado termina en 9, el nú- de la 1ª (restantes filas hasta la 10ª,
de nuevo la columna de los primeros cua- mero puede terminar en 3 ó en 7 aunque podrían prolongarse indefini-
drados y ensayar las alternativas posibles. • si el cuadrado termina en 6, el nú- damente):
mero puede terminar en 4 ó en 6
9

10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1. Todas las potencias de 1, 5, 6 y 0
1ª 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 terminan en las mismas cifras, respec-
2ª 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 tivamente.
3ª 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0
2. Las potencias de 2, 3, 7 y 8 pue-
4ª 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0 den terminar en 4 cifras posibles en cada
5ª 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 caso. Así, las de 2 y 8 pueden terminar
6ª 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 sólo en 2, 4, 6 u 8. Y las de 3 y 7, sólo
7ª 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0 en 1, 3, 7 ó 9.
8ª 1 6 1 6 5 6 1 6 1 0
3. Las potencias de 4 y 9 pueden
9ª 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 terminar en 2 cifras posibles en cada
10ª 1 4 9 6 5 6 9 4 1 0 caso. Así, las de 4 pueden terminar sólo
en 4 ó 6. Y las de 9, sólo en 1 ó 9.
Los dígitos que se encuentran en mismo número), la 2ª en 9 (última cifra
cada casilla del interior de la tabla re- de 7 x 7 = 49), la 3ª en 3 (última cifra 4. Resumiendo lo anterior, las últimas
presentan, pues, la última cifra de la de 9 x 7 = 63), la 4ª en 1 (última cifra cifras de todas las potencias de los dígitos
potencia indicada a la izquierda de la de 3 x 7 = 21), etc. se repiten cíclicamente para cada dígito,
fila y correspondiente al dígito que se y estos ciclos tienen una extensión de 1,
halla en la parte superior de la columna Ahora vamos a “bucear” en esa tabla. 2 ó 4 veces, según los casos expuestos
correspondiente. Así, la cifra 1 destaca- Vamos a observar con cuidado las filas y en los tres puntos anteriores.
da en la casilla interior de la 4ª fila y 3ª las columnas, una por una y en conjunto,
columna, nos indica que el último dígito con el fin de anotar las regularidades que Así, por ejemplo en el caso de las
de 34 es 1: efectivamente, 34 = 81, cuya percibamos. Sólo después de este ejerci- potencias de 2, las últimas cifras son,
última cifra es 1. cio personal y colectivo, proseguiremos progresivamente, 2, 4, 8 y 6. Este ciclo
con la lectura. se repite de nuevo e indefinidamente, de
Pero, en realidad, no es preciso 4 en 4 potencias: la 5ª termina en 2, la 6ª
hacer este cálculo completo de cada en 4, etc. Visto de otra forma, en 2 termi-
potencia para obtener esa última cifra. PARADA nan las potencias 1ª, 5ª, 9ª, 13ª, etc. Es
En rigor, este dígito se obtiene simple- OBLIGATORIA decir, todas aquellas cuyo exponentes
mente multiplicando la cifra de la casilla son múltiplos de 4 (productos exactos
superior por el dígito que figura como de 4) más 1 unidad. Dicho de otro modo,
base de las potencias, y quedándonos ¿Qué regularidades hemos descu- las potencias que al dividirse entre 4
con la última cifra de ese producto. Así, bierto? Veamos algunas (esperemos que nos dan 1 como resto. Por ejemplo, 241
si por ejemplo tomamos las sucesivas con las mismas u otras palabras, estén termina en 2, pues se comporta como
potencias de 7, la 1ª termina en 7 (es el las que hemos hallado): 21 (el resto de 41 : 4 es 1).
10

11. Completando esta observación acer-
ca de las últimas cifras de las potencias
de números que acaban en 2, terminan Ahora estamos en capacidad de responder ¿Cuáles son las cifras de las unidades en
en 4 las potencias cuyo exponente, al algunos otros de los ejercicios propuestos los desarrollos de las potencias:
dividirse entre 4, den de resto 2. En 8, al inicio del Cuaderno: a) 2.004165 b) 106605 c) 393100 d)
las que den de resto 3. Y en 6, las que 789642?
den como resto 0 (los múltiplos de 4). ¿Cuál es la cifra de las unidades en el de- a) El ciclo del dígito 4 como última cifra de
De modo que podemos saber en qué sarrollo de la potencia 8.642123? la base de una potencia está formado por
cifra termina cualquier potencia de Como acabamos de ver, la cifra solicitada dos cifras: el 4 para los exponentes impares,
cualquier número que termina en 2. Y sólo depende de la cifra final de la base de y el 6 para los pares (véase la tabla anterior).
así, con todos los demás dígitos finales, la potencia (2) y de su exponente (123). Por consiguiente, por ser 165 impar, 2.004165
de acuerdo con la información presente Como los dígitos finales de las sucesivas termina en 4.
en la última tabla. potencias de 2 se repiten de 4 en 4, vamos
a averiguar en qué lugar de este ciclo de 4 b) Cuando el último dígito de la base es 6,
Probablemente hemos descubierto “cae” el exponente 123. Para ello buscamos todas las potencias terminan en 6. De modo
otras regularidades o curiosidades: el resto de dividir 123 : 4, que es 3 (123 = que 106605 termina en 6.
que cada 4 filas se repite todo el bloque 4 x 30 + 3). Por consiguiente, 2123 posee
de contenidos de las casillas; que las como última cifra la misma que 23, es decir, c) Como los dígitos finales de las sucesivas
columnas del 3 y del 7 (3 + 7 = 10) com- 8. Así pues, 8.642123 termina en 8. potencias de 3 se repiten de 4 en 4 (véase
parten los mismos dígitos aunque en la tabla anterior), vamos a averiguar en qué
distinto orden; que lo mismo les ocurre ¿Puede ser par alguna de las potencias de lugar de este ciclo de 4 “cae” el exponente
a las columnas del 2 y del 8 (2 + 8 = 10); un número impar? 100. Para ello buscamos el resto de dividir
y ojalá que algunas otras más. Si observamos en la tabla anterior las 100 : 4, que es 0 (100 = 4 x 25). Por con-
columnas correspondientes a los dígitos siguiente, 3100 posee como última cifra la
impares –basta con observar los cuatro misma que 34, es decir, 1. Así pues, 393100
primeros elementos de esas columnas– nos termina en 1.
percatamos de que las últimas cifras siempre
son impares. En conclusión, las potencias d) Como en el caso del 4, el ciclo del
de un número impar nunca pueden ser dígito 9 como última cifra de la base de
pares. una potencia está formado por dos cifras:
el 9 para los exponentes impares, y el 1
Y de plantearnos y resolver otros similares para los pares (véase la tabla anterior).
(inténtelo por su cuenta, antes de revisar Por consiguiente, por ser 642 par, 789642
las soluciones que se proponen): termina en 1.
11

12. 3.3. Relaciones Si observamos con atención los
entre cuadrados datos anteriores podemos percibir que,
Veamos ahora otro tipo de regulari- por ejemplo: ¿Cuál es la diferencia de la resta 2.0042
dades referentes a los cuadrados y, en – 2.0032?
particular, a las diferencias entre los 7 = 16 – 9; o, lo que es lo mismo: 3 Podemos obtener ambos cuadrados y luego
cuadrados consecutivos, es decir, entre + 4 = 42 – 32 restarlos; pero, por lo que hemos visto, no
los cuadrados de números naturales 13 = 49 – 36; o, lo que es lo mismo: 6 es preciso este esfuerzo. Como las bases
consecutivos: + 7 = 72 – 62; etc. de ambos cuadrados son números conse-
cutivos, por analogía con los resultados an-
Números: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ….. Es decir, hay una teriores podemos deducir inmediatamente:
Cuadrados: 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ….. correspondencia 2.0042 – 2.0032 = 2.003 + 2.004 = 4.007.
Diferencias: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ….. entre cada número Puede verificarlo con la calculadora.
impar (6 + 7) y las
Como puede apreciarse, cada dife- bases de los cuadrados que se restan Exprese el número 793 como diferencia
rencia se obtiene a partir de los cuadra- para obtener dicho número impar (72 de dos cuadrados.
dos de la segunda línea: el minuendo se – 62). Esta regularidad puede extenderse Todo el problema consiste en expresar 793
encuentra a la derecha de la diferencia, ahora a cualquier otro caso. Así, si es- como suma de dos números consecutivos, lo
y el sustraendo a su izquierda. Así, 7 = cribimos como n + 1 el número natural cual siempre es posible. Para ello basta encon-
16 – 9; 13 = 49 – 36, etc. que sigue a n, tenemos: trar “la mitad de dicho número menos 1”, es
decir, de 792: la mitad de 700 es 350, la de 90
Nuestro primer descubrimiento es (n + 1)2 – n2 = n + (n + 1) es 45, y la de 2 es 1. De donde, la mitad de 792
que el conjunto de las diferencias es, es 396 (350 + 45 + 1). Por consiguiente, 793 =
precisamente, el conjunto de los núme- regularidad cuya lectura nos dice que 396 + 397. Y finalmente: 793 = 3972 – 3962.
ros impares. Es decir, todo número im- “la diferencia de los cuadrados de dos Puede verificarlo con la calculadora.
par puede expresarse como la diferencia números naturales consecutivos es igual
de dos cuadrados consecutivos. Para a la suma de dichos números consecu-
que este resultado nos permita ampliar tivos”. Es fácil darse cuenta de que a Aún podemos ampliar el campo de
nuestra capacidad de cálculo, vamos a partir de aquí podemos resolver dos regularidades relativas a los cuadrados
presentarlo de otra manera: tipos de preguntas al respecto: de los números. Por ejemplo, el último
ejercicio nos permite escribir el resulta-
do de esta otra forma:
Números: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …..
Cuadrados: 02 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 ….. 3972 – 3962 = 396 + 397 = 396 + 396 + 1
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 ….. = 2 x 396 + 1
Diferencias: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 ….. es decir: 3972 – 3962 = 2 x 396 + 1
0+1 1+2 2+3 3+4 4+5 5+6 6+7 7+8 8+9 9+10 ….. de donde: 3972 = 3962 + 2 x 396 + 1
12

13. Y esto se observa en cualquier caso. el cardinal del conjunto de puntos pre-
Por ejemplo: 92 = 82 + 2 x 8 + 1. Efecti- sentes en la forma cuadrada:
vamente, 81 = 64 + 16 + 1. Si el cuadrado de 140 es 19.600, ¿cuál es
el cuadrado de 141? • • •
Es decir, tenemos en la mano un Sencillo: 1412 = 1402 + 2 x 140 + 1 = 19.600 • • •
procedimiento para ir obteniendo pro- + 280 + 1 = 19.881 • • •
gresivamente (y mentalmente) los cua-
drados de todos los números naturales a Obtenga el cuadrado de 52. A partir de esta representación
partir de uno dado. Basta añadir a este Una forma de hacerlo puede ser multipli- podemos construir la de 42 –que es (3
cuadrado el doble de su base y agregar cando 52 por sí mismo. Otra forma, mental, + 1)2– agregando elementos a la figura
1, para llegar a tener el cuadrado del puede ser procediendo a partir del cuadra- anterior:
siguiente número natural. En términos do de 50 –que es 2.500– para llegar al de
simbólicos (n representa cualquier 51, y de ahí al de 52: • • • •
número natural; 2n debe interpretarse • • • •
como 2 x n): 512 = 502 + 100 + 1 = 2.601 • • • •
522 = 512 + 102 + 1 = 2.601 + 102 + 1 • • • •
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1 = 2.704
Como puede visualizarse, 42 = 32
Así podemos ir construyendo (há- (los •) + 2 x (3 x 1) (los dos bloques
galo mentalmente) los cuadrados de los de ) + 1 (el ), resultado que ya co-
números 11 en adelante: Si la curiosidad nos sigue picando, nocíamos. Vamos a proceder de una
quizás algún(a) lector(a) se pregunte forma análoga para 52 –que es (3 + 2)2-,
112 = 102 + 2 x 10 +1 = 100 + 20 + 1 por la posibilidad de, por ejemplo, lle- a partir de 32:
= 121 gar directamente al cuadrado de 52 a
122 = 112 + 2 x 11 +1 = 121 + 22 + 1 partir del de 50, sin tener que dar pasos • • • • •
= 144 intermedios. Es decir, por la posibilidad • • • • •
132 = 122 + 2 x 12 +1 = 144 + 24 + 1 de hallar una regularidad que pueda • • • • •
= 169 aplicarse al caso de (n + 2)2, (n + 3)2 • • • • •
142 = 132 + 2 x 13 +1 = 169 + 26 + 1 y, en general, de (n + m)2, siendo n y • • • • •
= 196; etc. m la representación de dos números
naturales cualesquiera. Como podemos visualizar ahora, 52
Y también de cualquier otro número: = 32 (los •) + 2 x (3 x 2) (los dos blo-
todo lo que necesitamos es un cuadrado Con el fin de descubrir esa regulari- ques de ) + 22 (los ). Análogamente
en el que “apoyarnos”, sea inmediato o dad vamos a presentar unos ejemplos podemos proceder para 72 –que es (4 +
un poco más lejano… gráficos. En el dibujo siguiente se 3)2–, a partir de 42:
muestra una representación de 32, como
13

14. • • • • • • • cuadrados de ambos números y de su Pero cualquiera puede observar que
• • • • • • • doble producto”. Fijémonos en que se 98 está muy cerca de 100 (cuyo cua-
• • • • • • • trata de tres sumandos, y no de sólo drado es muy fácil de calcular, 10.000),
• • • • • • • dos (n2 y m2). por lo que cabe preguntarse si 982 pue-
• • • • • • • de inferirse a partir de 1002. Es decir,
• • • • • • • Así, por ejemplo, 152 = (10 + 5)2 = si el cuadrado de un número puede
• • • • • • • 10 + 2 x 10 x 5 + 52 = 100 + 100 + 25 =
2
obtenerse a partir del cuadrado de un
225. Lo importante aquí reside en saber número mayor. Veamos esta posibilidad
Ahora la visualización lleva a: 72 “disociar” convenientemente la base tomando como referencia el último de
= (4 + 3)2 = 42 (los •) + 2 x (4 x 3) que se eleva al cuadrado. Obsérvese los ejemplos gráficos presentados:
(los dos bloques de ) + 32 (los ). también que la regularidad previa: (n +
A partir de todos estos resultados po- 1)2 = n2 + 2n + 1, es un caso particular • • • • • • •
demos generalizar la regularidad (n y de la última, cuando m = 1. • • • • • • •
m representan dos números naturales • • • • • • •
cualesquiera; 2nm debe interpretarse A partir de aquí es posible, pues, cal- • • • • • • •
como 2 x n x m): cular el cuadrado de cualquier número • • • • • • •
natural, sin necesidad de conocer el del • • • • • • •
(n + m)2 = n2 + 2nm +m2 número anterior, sino simplemente el de • • • • • • •
dos números más sencillos cuya suma
A este mismo resultado llegamos si sea el número inicial. ¿Cómo llegar a 4 2 partiendo de
partimos de la idea de la potencia como 7 ? Es decir, ¿cómo llegar a (7 – 3)2
2
producto de un número por sí mismo. Calcule mentalmente los cuadrados de desde 72? Evidentemente, si partimos
Por ejemplo, 72 = 7 x 7 = (4 + 3) x (4 + los siguientes números: de 49, tenemos que restarle “algo” a
3) = 4 x (4 + 3) + 3 x (4 + 3) = (4 x 4) este número para llegar a 16. Vamos
+ (4 x 3) + (3 x 4) + (3 x 3) = 42 + 2 x 21 34 45 52 73 105 a tratar de visualizar lo que hay que
(4 x 3) + 32. Que fácilmente se puede 120 109 350 504 33 25 restar. En primer lugar, puedo restar
generalizar al caso de (n + m)2. 68 805 91 el bloque formado por las tres prime-
ras filas completas: 7 x 3 elementos
Esta regularidad se expresa así: “El Pero hay todavía más en cuanto a “blancos” (72 – 7 x 3 = 49 – 21 = 28).
cuadrado de la suma de dos números regularidades que relacionan los cua- Y ahora, atención. Si a esta diferencia
es igual al cuadrado del primero, más drados de los números. Por ejemplo, si le vuelvo a restar el bloque formado por
el cuadrado del segundo, más el doble estamos interesados en obtener men- las tres últimas columnas completas
del producto de ambos números”. O talmente el cuadrado de 98, podemos (otros 7 x 3 elementos “blancos”), me
también, de una forma algo más re- proceder por la vía de disociar 98 como estaría “pasando” en lo que hay que
sumida: “El cuadrado de la suma de 90 + 8 y seguir con la fórmula que recoge restar (28 – 7 x 3 = 28 – 21 = 7): en
dos números es igual a la suma de los la regularidad anterior. realidad estaría quitando de la distri-
14

15. bución original “dos veces el cuadrado Así, por ejemplo, 152 = (20 – 5)2 • 7 x 5 = 35; es decir: (6 + 1) x (6 – 1) =
de los ”, una vez con el bloque de las = 202 – 2 x 20 x 5 + 52 = 400 – 200 35 = 36 – 1 = 62 – 12
tres primeras filas completas, y otra + 25 = 225. Lo importante, aquí tam- • 8 x 4 = 32; es decir: (6 + 2) x (6 – 2) =
vez con el bloque de las tres últimas bién, reside en saber “disociar” con- 32 = 36 – 4 = 62 – 22
columnas completas. Luego, para venientemente la base que se eleva al • 9 x 3 = 27; es decir: (6 + 3) x (6 – 3) =
quitar lo justo, tengo que “devolver” cuadrado. Disponemos, pues, de otra 27 = 36 – 9 = 62 – 32
una vez ese cuadrado (7 + 9 = 16) a lo estrategia adicional para calcular el • 10 x 2 = 20; es decir: (6 + 4) x (6 – 4) =
que queda después de las dos restas cuadrado de cualquier número natural, 20 = 36 – 16 = 62 – 42
efectuadas. simplemente a partir de los cuadrados
de dos números cuya diferencia sea el • 8 x 10 = 80; es decir: (9 – 1) x (9 + 1) =
En resumen: 42 = (7 – 3)2 = 72 – 7 número inicial. 80 = 81 – 1 = 92 – 12
x 3 – 7 x 3 + 32. Es decir: (7 – 3)2 = • 7 x 11 = 77; es decir: (9 – 2) x (9 + 2) =
72 – 2 x (7 x 3) + 32. Y desde esta Calcule mentalmente los cuadrados de 77 = 81 – 4 = 92 – 22
visualización podemos generalizar la los siguientes números. Hágalo por las • 6 x 12 = 72; es decir: (9 – 3) x (9 + 3) =
regularidad (n y m representan dos vías que estime oportunas: 72 = 81 – 9 = 92 – 32
números naturales cualesquiera, tales • 5 x 13 = 65; es decir: (9 – 4) x (9 + 4) =
que n > m; 2nm debe interpretarse 29 38 45 19 77 95 65 = 81 – 16 = 92 – 42
como 2 x n x m): 118 109 350 495 392 25
68 805 197 Resumiendo algunos de los resulta-
(n – m) = n – 2nm +m
2 2 2
dos anteriores, destacamos la regulari-
Como el(la) lector(a) avispado(a) dad presente:
Esta regularidad se expresa así: habrá observado, todas estas regu-
“El cuadrado de la diferencia de dos laridades referentes a los cuadrados (6 + 1) x (6 – 1) = 62 – 12
números es igual al cuadrado del pri- tienen como destino inmediato fa- (6 + 3) x (6 – 3) = 62 – 32
mero, más el cuadrado del segundo, cilitar algunos cálculos aritméticos (9 – 2) x (9 + 2) = 92 – 22
menos el doble del producto de ambos mentales. ¿Es posible extender estas (9 – 4) x (9 + 4) = 92 – 42
números”. O también, de una forma facilidades a otros casos con otros
algo más resumida: “El cuadrado de formatos? Es decir, ¿podemos hallar A partir de esta visualización, la
la suma de dos números es igual a otras regularidades relacionadas con regularidad puede generalizarse de
la suma de los cuadrados de ambos cuadrados? esta forma (n y m representan a dos
números, menos su doble producto”. números naturales cualesquiera, tales
Fijémonos en que se trata de tres La respuesta es positiva. Veamos que n > m):
términos –dos que se suman y uno otra situación al respecto. Vamos a plan-
que se resta– y no de sólo dos que se tear una serie de productos y a observar (n + m) x (n – m) = n2 – m2
restan (n2 y m2), error también muy lo que acontece, con el fin de descubrir o bien:
frecuente. las regularidades presentes: n – m = (n + m) x (n – m)
2 2
15

16. y leerse así: “El producto de dos números La segunda interpretación nos per-
–que se obtienen, respectivamente, a mite encarar y resolver mentalmente
partir de la suma y de la diferencia de ejercicios como los siguientes:
otros dos números ‘previos’– es igual a la
diferencia de los cuadrados de estos dos
números previos”. O también: “La dife- Calcule mentalmente las siguientes diferencias: 252 – 152; 632 – 372; 992 – 982
rencia de los cuadrados de dos números
naturales es igual al producto de la suma 25 2 – 15 2 = (25 + 15) x (25 – 15) = 40 x 10 = 400
de ambos números por su diferencia”. 63 2 – 37 2 = (63 + 37) x (63 – 37) = 100 x 26 = 2.600
99 2 – 98 2 = (99 – 98) x (99 + 98) = 1 x 197 = 197
Para poder aplicar la transformación
sugerida en la primera lectura de la re-
gularidad todo lo que se requiere es que Obsérvese que el último de estos alejan de la simple realización de las
la diferencia entre los factores (números ejercicios representa la diferencia de operaciones de suma, resta y multipli-
naturales) sea par: así se puede obtener los cuadrados de dos números con- cación. Y todo ello basándonos en unas
ese número intermedio al que se sumará secutivos –99 y 98–, resultado que regularidades que estaban ahí, esperan-
y restará la misma cantidad para llegar podíamos haber obtenido aplicando do que las descubriéramos.
a ambos factores. Por ejemplo, si los la primera de las regularidades que
factores son 13 y 17, su semisuma (13 destacamos más arriba: (n + 1)2 – n2 Como vemos, la matemática de
+ 17)/2 = 15 es el “pivote” buscado, ya = n + (n + 1). Es decir, 992 – 982 = 98 los números es algo más y algo muy
que 17 = 15 + 2 y 13 = 15 – 2. También + 99. De modo que esta primera regu- diferente del mero hacer operaciones:
se puede llegar a ese número interme- laridad se nos aparece ahora como un hay espacio para la curiosidad, para la
dio dividiendo entre 2 la diferencia caso particular de la última que hemos observación, para el descubrimiento,
entre ambos factores (17 – 13)/2 = 2 descubierto. para la aplicación; para sentirnos bien,
y agregando este valor al menor de los en una palabra. Y si nos sentimos así,
factores: 13 + 2 = 15. De esta forma: Quizás estemos empezando a asom- vamos bien. Porque de esto se trata:
brarnos de nuestra capacidad de poder de percibirnos a nosotros mismos, a la
13 x 17 = (15 – 2) x (15 + 2) = 152 – 22 =
efectuar cálculos por unas vías que se matemática, y a nuestra relación con
225 – 4 = 221
ella, de otra forma más cercana, más
comprensible, más confiada.
Calcule mentalmente los siguientes productos: 23 x 17; 56 x 44; 95 x 105
He aquí, pues, en resumen y en
23 x 17 = (20 + 3) x (20 – 3) = 20 2 – 3 2 = 400 – 9 = 391
forma simbólica, las regularidades
56 x 44 = (50 + 6) x (50 – 6) = 50 2 – 6 2 = 2.500 – 36 = 2.464
que hemos descubierto hasta ahora,
95 x 105 = (100 – 5) x (100 + 5) = 100 2 – 5 2 = 10.000 – 25 = 9.975
referentes a los cuadrados de los nú-
meros:
16

17. He aquí una regularidad que liga motores –no
(n + 1)2 = n2 + 2n + 1 la suma de los cubos de los primeros los únicos,
(n + m)2 = n2 + 2nm +m2 números con el cuadrado de la suma porque tam-
(n – m)2 = n2 – 2nm +m2 de esos números, y que pudiera gene- bién cuenta
(n + m) x (n – m) = n2 – m2 ralizarse así: la aventura
intelectual
de construir
13 + 23 + 33 + 43 + 53 + … + n3 = (1 + 2 un edificio de
3.4. Otras regularidades + 3 + 4 + 5 + … + n)2 saberes tan �
referentes a potencias singulares, �
No buscamos ser exhaustivos en la así como la
relación de todas las regularidades que ¿Utilidad de esta regularidad? Pues resolución de los problemas de la vida
pueden hallarse en el estudio de las por de pronto nos permite obtener por diaria y de otras disciplinas científi-
potencias. Son muchas. Pero sí esta- una vía breve la suma, por ejemplo, de cas– que han impulsado –y lo siguen
mos propiciando el descubrimiento de los 15 primeros cubos (no tenemos que haciendo– la construcción y el avance
algunas, con la esperanza de que nos calcular 15 cubos y luego sumarlos, sino de la matemática.
sintamos espoleados para buscar otras tan sólo sumar 15 números y obtener el
por nuestra cuenta. cuadrado de esta suma): Lo grandioso es que estos mismos
motores pueden estar a nuestro alcance
Por ejemplo, coloquemos la secuen- 13 + 23 + 33 + … + 153 = (1 + 2 + 3 + … –y al de nuestros alumnos– en estos te-
cia de los cubos de los primeros números + 15)2 = 1202 = 14.400 mas sencillos de la matemática escolar,
naturales significativos: en los que también nos está permitido
Como se ve, la utilidad de esta re- aventurarnos, observar y descubrir
1 8 27 64 125 216 gularidad es quizá menor que la de las regularidades, y complacernos en su
343 512 729 1.000 …. regularidades descubiertas anterior- visión… Esto también forma parte, y
mente, pero ¿no nos llama la atención muy importante, de la matemática, de
Y procedamos a hacer sumas parcia- la singularidad de este resultado, su su aprendizaje y de su enseñanza.
les, cada vez con un sumando más: armonía, en una palabra, su belleza?
1 = 12 Porque también la matemática está Veamos otra regularidad. Pierre Fer-
1 + 8 = 9 = 32 = (1 + 2)2 abierta a la belleza, y no sólo a la de las mat (1601-65) fue un abogado francés
1 + 8 + 27 = 36 = 62 = (1 + 2 + 3)2 figuras geométricas, sino también a la aficionado a la matemática, a la que
1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102 = (1 + 2 de los números. dedicaba parte de su tiempo libre. Esta
+ 3 + 4)2 dedicación, aunque escasa en el tiempo,
1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 = 152 = (1 La curiosidad y la búsqueda de la be- fue realmente fructífera: basado en su
+ 2 + 3 + 4 + 5)2 lleza (la armonía, la simetría, la regulari- curiosidad, en su intuición y en su capa-
etc. dad, la simplicidad…) han sido dos de los cidad de observación, formuló una gran
17

18. cantidad de regula- La relación funciona cuando n = 2, operación, para que no nos agarren
ridades (teoremas) y constituye lo que conocemos como la despistados…
que afectaban a los relación pitagórica: x2 + y2 = z2 (nombre
números enteros, que se deriva del enunciado del llamado ¿Es conmutativa la potenciación?
aunque rara vez las teorema de Pitágoras, que establece que Esto implica preguntarse si nm = mn para
demostró formal- en un triángulo rectángulo, el cuadrado cualquier par de números naturales n y m.
mente, trabajo que de la longitud de la hipotenusa es igual Como se ve, la respuesta es negativa; por
recayó en matemá- a la suma de los cuadrados de las lon- ejemplo, 25 = 52. Ojo: no se deje sorpren-
ticos posteriores (Kline, 1992). gitudes de los catetos). Evidentemente, der si le dicen que 24 = 42, lo cual es cierto,
no cualquier terna de números verifica la pero no permite una generalización para
He aquí una de sus propuestas: relación anterior, pero sí hay ternas que cualquier par de números naturales…
“Todo número entero positivo es suma lo hacen; entre las más conocidas que sí
de 4 cuadrados enteros –diferentes o la verifican están: 5, 4, 3 (32 + 42 = 52); ¿Es asociativa la potenciación?
repetidos–, incluyendo el 0” (Gentile, 5, 12, 13 (52 + 122+ = 132); etc. Una respuesta afirmativa significaría
1985). Por ejemplo, 78 = 64 + 9 + 4 + que, tomados tres números naturales
1; o también: 78 = 49 + 25 + 4 + 0; y cualesquiera, no importaría la forma de
además: 78 = 36 + 25 + 16 + 1. seleccionar los dos primeros de ellos
para operarlos como base y exponente, y
Escriba cada uno de los números siguien- luego tomar este resultado parcial como
tes como suma de 4 cuadrados enteros: base y aplicarle como exponente el ter-
33; 97; 59; 167; 215 cero de los números: siempre se debería
obtener el mismo resultado final.
Algunas regularidades se refieren
también a relaciones que no se cum- Tomemos, por ejemplo, los números
plen jamás o sólo condicionalmente. 2, 3 y 5 y veamos:
Entre ellas quizá la más famosa es la
que se conoce como “el último teore- Halle otras cuatro (23)5 = 85 = 32.768;
ma de Fermat”, cuyo enunciado dice: ternas pitagóricas. (35)2 = 2432 = 59.049;
“No existen valores x, y, z tales que (52)3 = 253 = 15.625; etc.
verifiquen la relación xn + yn = zn (en
la que x, y, z, n son números enteros Como puede apreciarse, no se obtie-
positivos) si n > 2”. Es decir, un cubo 4. Las propiedades que no ne el mismo resultado. Por consiguiente,
no puede expresarse como la suma de posee la potenciación la potenciación no es asociativa.
dos cubos, ni una cuarta potencia como Aunque pueda sorprender un poco
la suma de dos cuartas potencias, y así este párrafo, comenzamos por desta- Tampoco posee elemento neutro,
sucesivamente. car las propiedades que no posee esta porque sólo “funciona” por la derecha,
18

19. como exponente. En efecto, cualquier No es, pues, difícil generalizar la propie- etc. Nuevamente, hay que saber mane-
número elevado a 1 reproduce el mismo dad: El producto de dos potencias de jar la propiedad en ambos sentidos.
número: n1 = n. Pero no hay ningún igual base es otra potencia de la misma
número natural m que haga lo mismo base y cuyo exponente es la suma de Ahora queda justificada la identidad
por la izquierda, como base; es decir, los exponentes de las potencias que se apuntada anteriormente: a1 = a. En
que mn = n, para cualquier n. multiplican. Simbólicamente (a, n y m efecto, si se toma un ejemplo similar
son números naturales): a los anteriores, 53 : 52 representa la
¿Es distributiva la potenciación con división 125 : 25, cuyo cociente es 5.
respecto a la suma o la resta de números an x am = an+m Pero si se maneja la misma división en
naturales? De ser afirmativa la respues- términos de potencias, ya hemos visto
ta significaría que, por ejemplo, dan el Así, por ejemplo: 133 x 132 = 132 + 3 que 53 : 52 = 53 – 2 = 51. De donde, por
mismo resultado 25+3 y 25 + 23. Pero esto = 135; 134 x 13 = 134 + 1 = 135; 13 x 13 igualdad de resultados, tiene sentido la
no es así: 25+3 = 28 = 256, mientras que = 131 + 1 = 132. Pero también: 136 = 13 identificación 51 = 5.
25 + 23 = 32 + 8 = 40. Lo mismo ocu- x 135 = 132 x 134 = 133 x 133. Es decir,
rre en el caso de la distributividad con hay que saber manejar la propiedad en ¿Qué pasa si n = m? Tal sería el caso
respecto a la resta. De donde se sigue ambos sentidos. de, por ejemplo, 34 : 34. De hecho, esta-
que la potenciación no es distributiva mos dividiendo 81 : 81, cuyo cociente es
con respecto a la suma y a la resta de • Cociente de potencias de igual 1. Pero si aplicamos el criterio anterior,
números naturales. base. Al dividir, por ejemplo, 25 : 23 se 34 : 34 = 34 – 4 = 30. Como ambos resulta-
obtiene: (2 x 2 x 2 x 2 x 2) : (2 x 2 x 2) = dos deben coincidir, tenemos: 30 = 1. Es
2 x 2 = 22. Análogamente, se comprueba fácil visualizar que este resultado puede
5. Algunas propiedades de las que 76 : 72 =74. Y así con cualquier otro generalizarse para cualquier caso: a0 =
operaciones con potencias ejemplo. No es tampoco difícil genera- 1, siempre con la base a = 0.
Donde sí aparecen ciertas regulari- lizar la propiedad: El cociente de dos
dades es en el campo de las operaciones potencias de igual base es otra potencia Estos dos últimos resultados, a1 = a
con potencias. El conocimiento y la de la misma base y cuyo exponente es la y a0 = 1, nos ayudan a superar la falsa
aplicación de estas propiedades nos diferencia de los exponentes de las po- creencia de que toda potencia de un
permiten manejar esas operaciones con tencias que se dividen. Simbólicamente número natural debe ser mayor que
mayor soltura. Veamos algunas. (a, n y m son números naturales, con a dicho número.
= 0, n > m inicialmente):
• Producto de potencias de igual • Potencia de una potencia. Pode-
base. Al multiplicar, por ejemplo, 25 x 23 an : am = an-m mos tener el caso de una potencia cuya
se obtiene: (2 x 2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x base sea, a su vez, una potencia. Por
2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 28. Así, por ejemplo: 133 : 132 = 133 - 2 = ejemplo, (35)2. Esta operación remite a
Análogamente, se comprueba que 52 x 13; 134 : 13 = 134 - 1 = 133. Pero también: 35 x 35 = 35+5 = 32x5 = 310. Análogamente
54 = 56. Y así con cualquier otro ejemplo. 132 = 137 : 135 = 134 : 132 = 133 x 13, podemos verificar que (23)4 = 23 x 23 x 23
19

20. x 23 = 23+3+3+3 = 23x4 = 212. Y así con cual- (an x bm)p = anxp x bmxp escribir una misma expresión (diversi-
quier otro ejemplo. Lo que nos permite dad en la representación numérica…),
generalizar la propiedad: La potencia Por ejemplo, (42 x 53)2 = 42x2 x 53x2 pero indudablemente aportan también
de una potencia es otra potencia que = 44 x 56; (3 x 22 x 56)4 = 34 x 28 x ciertas facilidades a la hora de efectuar
tiene la misma base y cuyo exponente 524. Pero también, 26 x 39 x 515 = (22 los cálculos solicitados, sobre todo a
es el producto de los dos exponentes. x 33 x 55)3; 74 x 38 x 16 = 74 x 38 x nivel mental. Por otro lado, la forma
Simbólicamente (a, n y m son números 24 = (7 x 32 x 2)4. Es decir, hay que generalizada en que se presentan (uso
naturales): saber manejar la propiedad en ambos de letras que representan números
sentidos. Obsérvese que en estos dos naturales) empieza a tender un puente
(an)m = anxm últimos ejemplos se trata de sacar el hacia el álgebra, entendida como arit-
factor común presente en el grupo de mética generalizada, como se verá en
Así, por ejemplo, (52)4 = 52x4 = 58; exponentes. Así, para los exponentes su momento.
(6 ) = 63x0 = 60 = 1; (113)2 = 113x2 = 116;
3 0
6, 9 y 15 el factor común es 3; y para
322 = (25)2 = 25x2 = 210. Pero también, 74 4, 8 y 4 el factor común es 4. Recuér- Volvamos ahora a un detalle que
= (72)2; 36 = (32)3 = (33)2; 28 = (22)4 = (24)2 dese que esta operación de “sacar el puede ampliar el campo de aplicación
= 162. De nuevo, hay que saber manejar factor común” es una de las lecturas de estas propiedades. En el último
la propiedad en ambos sentidos. posibles de la propiedad distributiva ejemplo aparecía el factor 16 (en 74 x
de la multiplicación con respecto a la 38 x 16), que no se presenta en forma
• Potencia de una multiplicación de suma y a la resta, tal como se planteó de potencia, pero que sí lo es (24). Esta
potencias. Por ejemplo, podemos tener en el Cuaderno anterior. transformación de la representación
la siguiente situación: (23 x 52)4. Esta numérica permite manejar con mayor
operación remite a (23 x 52) x (23 x 52) He aquí resumidas las propiedades soltura las operaciones que se solici-
x (23 x 52) x (23 x 52), que en razón de de las operaciones con potencias revi- ten; pero es una transformación que
la conmutatividad y asociatividad del sadas aquí: sólo es posible si se pone en juego la
producto nos lleva a (23 x 23 x 23 x 23) capacidad de observación y, en par-
x (52 x 52 x 52 x 52) = (23)4 x (52)4 = 23x4 ticular, la de reconocer potencias en
x 52x4 = 212 x 58. Y de un modo análogo an x am = an+m los números dados. En este sentido,
en cualquier otro caso. Llegamos así a : a = an-m [a = 0, n > m]
n m
conviene familiarizarse con algunas
a la generalización de la propiedad: a1 = a series de potencias, como las corres-
La potencia de una multiplicación de a = 1 [a = 0]
0
pondientes a 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,
potencias es otra multiplicación de po- (an)m = anxm 256, 512, 1.024, …) y a 3 (3, 9, 27,
tencias, cada una de las cuales tiene la (a x bm)p = anxp x bmxp
n
81, 243, 729, …). Y para ver de qué
misma base inicial y como exponente, somos capaces, intentemos resolver
el respectivo producto de exponentes. por nuestra cuenta los siguientes ejer-
Simbólicamente (a, b, n y m son núme- Como puede apreciarse, en princi- cicios antes de ver las soluciones que
ros naturales): pio se trata de formas equivalentes de después se proponen:
20

21. como 16 unidades de mil; 1,6 decenas
de mil; 0,016 millones; 1.600 decenas;
Exprese como potencias o como operaciones g) 1.600 = 16 x 100 = 24 x 102 = 24 x (2
160 centenas; 1.600.000 centésimas;
con potencias las siguientes expresiones: x 5)2 = 24 x 22 x 52 = 26 x 52.
etc. Esta puntualización no pierde nun-
h) 62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102 = (2 x
ca su validez.
a) 8 x 32 b) 82 c) 27 x 9 5)2 = 22 x 52.
d) 36 x 3 x 4 e) 32 x 10 f) 1.000
Pero con frecuencia y en razón de
g) 1.600 h) 62 + 82 También podemos resolver alguno de
las aplicaciones de la aritmética a la
los ejercicios propuestos al comienzo del
vida diaria y a otras disciplinas (física,
Veamos algunas soluciones: Cuaderno:
química, economía, etc.), resulta muy
útil tomar las “unidades” como unidad
a) 8 x 32 = 23 x 25 = 28; también puede ¿Qué potencia de base 3 es igual a la tercera
de referencia habitual, mientras no se
efectuarse la multiplicación y luego reducir- parte de 32.004?
diga lo contrario. En este caso particular
se a potencia: 8 x 32 = 256 = 28. Obtener la tercera parte de 32.004 equivale a
resulta de interés el uso de la notación
b) 82 = (23)2 = 26; también puede efectuarse dividir tal potencia entre 3. La respuesta so-
potencial para referir las diversas unida-
la primera potencia y luego reducirse a la licitada es, pues: 32.004 : 3 = 32.004-1 = 32.003.
des del sistema de numeración decimal
potencia definitiva: 82 = 64 = 26.
a “unidades”. Así, tenemos el siguiente
c) 27 x 9 = 33 x 32 = 35; o también: 27 x ¿Cuál es el número natural cuyo cubo puede
cuadro de equivalencias (lógicamente
9 = 243 = 35. expresarse de la forma 29 x 36?
incompleto):
d) 36 x 3 x 4 = 62 x 3 x 4 = (2 x 3)2 x 3 Lo que se nos pide es que hallemos el
x 22 = 22 x 32 x 3 x 22 = (22 x 22) x (32 x número cuyo cubo es 29 x 36. Ahora bien,
3) = 24 x 33. 29 x 36 es igual a (23 x 32)3, de donde se Unidades del SND Expresión potencial
e) 32 x 10 = 25 x 2 x 5 = 26 x 5. sigue que el número solicitado es 23 x 32 en “unidades”
f) 1.000 = 103 = (2 x 5)3 = 23 x 53. = 8 x 9 = 72. 1 millón 1.000.000 = 106
1 centena de mil 100.000 = 105
1 decena de mil 10.000 = 104
A modo de resumen de estos últimos 6. La potenciación 1 unidad de mil 1.000 = 103
párrafos podemos reiterar que el uso de en el sistema 1 centena 100 = 102
las propiedades indicadas nos permite de numeración decimal 1 decena 10 = 101
conseguir representaciones alternativas En Cuadernos anteriores hemos 1 unidad 1 = 100
de los números y de las operaciones en- hablado de la “democracia” existente
tre números, situación que potencia el dentro del sistema de numeración deci- [Omitimos de momento las expre-
cálculo mental. Posteriormente veremos mal, en el sentido de que cualquier can- siones potenciales correspondientes a
la utilidad adicional de todo lo expuesto tidad puede expresarse en términos de las unidades de los decimales –décimas,
al entrar en el tema de la divisibilidad cualquiera de las unidades del mismo. centésimas, etc.–, no porque no existan
entre números enteros. Así, el número 16.000 puede expresarse tales expresiones, sino porque ellas re-
21

22. quieren el uso de números negativos, de la notación potencial a la cantidad Ahora podemos ofrecer otra inter-
situación que nos obligaría a salir del “completa”. Por ejemplo: pretación adicional (no sustitutiva) en
conjunto de los números naturales para términos de potencias:
acceder al de los enteros. Este estudio 2,48 x 102 = 2,48 centenas
se hará posteriormente, con lo que se al- = 248 unidades Multiplicación Producto
canzará una visión integral del tema]. 0,75 x 106 = 0,75 millones
10 x 100 10 x 100 = 10 x 102 = 103
= 750.000 unidades
Este cuadro de expresiones alterna- 13,2 x 103 = 13,2 unidades de mil 100 x 100 100 x 100 = 102 x 102 = 104
tivas nos permite ampliar el modo de = 13.200 unidades 1.000 x 100 1.000 x 100 = 103 x 102 = 105
representación de las cantidades. Así, 0,048 x 105 = 0,048 centenas de mil 10 x 1 10 x 1 = 101 x 100 = 101
volviendo al ejemplo anterior, 16.000 = 4.800 unidades 10 x 10 10 x 10 = 101 x 101 = 102
puede expresarse (siempre en “unida- 326 x 104 = 326 decenas de mil 10.000 x 10 10.000 x 10 = 104 x 101 = 105
des”) como: = 3.260.000 unidades
0,0305 x 103 = 0,0305 unidades de mil Todo esto puede verse como una forma
16 unidades de mil = 16 x 103 = 30,5 unidades de facilitar ciertos cálculos mentales. Por
1,6 decenas de mil = 1,6 x 104 ejemplo, si se desea multiplicar 1.500
0,016 millones = 0,016 x 106 Estas nuevas posibilidades de repre- x 26.000, la operación puede verse
1.600 decenas = 1.600 x 10 sentación de los números pueden ser como: 1.500 x 26.000 = (15 x 102) x
160 centenas = 160 x 102 útiles también a la hora de efectuar ope- (26 x 103) = (15 x 26) x (102 x 103) =
etc. raciones de multiplicación. Recuérdese [(10 + 5) x 26] x 105 = (260 + 130) x
que en el Cuaderno anterior incluíamos 105 = 390 x 105 = 39 x 10 x 105 = 39
La selección de la forma más ade- esta tabla, destinada a dotar de interpre- x 106 = 39 millones (todo este cálculo
cuada se hará en función de la situación tación a cada producto indicado: puede efectuarse mentalmente). Ob-
particular en estudio. Con la introduc-
ción de estas formas de expresión se da Multiplicación Interpretación Resultado Producto
paso a las llamadas “notaciones científi-
10 x 100 10 centenas 1 unidad de mil 10 x 100 = 1.000
cas”, tan comunes en física, por ejemplo,
100 x 100 100 centenas 1 decena de mil 100 x 100 = 10.000
y que aparecen ya en numerosas calcu-
ladoras. Pero 1.000 x 100 1.000 centenas 1 centena de mil 1.000 x 100 = 100.000
también hay 10 x 1 10 unidades 1 decena 10 x 1 = 10
que ejercitar 10 x 10 10 decenas 1 centena 10 x 10 = 100
las destrezas 10.000 x 10 10.000 decenas 1 centena de mil 10.000 x 10 = 100.000
en sentido
contrario,
es decir, en
saber pasar
22

23. sérvese que el “separar” inicialmente a) ¿Cuál es la cifra de las unidades del h) Tome una calcula-
las potencias de 10 presentes reduce el desarrollo de la siguiente expresión: 7 x dora de las corrien-
campo de números a multiplicar, y que 5199 + 3? tes. Halle 332, 3332,
el “reintegro” posterior de la potencia 3.333 2 y observe
final permite ubicar el resultado en las b) La diferencia de los cuadrados bien los resultados
unidades correspondientes. de dos números consecutivos es 49. obtenidos. Deter-
¿Cuánto suman estos dos números? mine ahora el valor
Resuelva las siguientes multiplicaciones de 3.333.3332 (evidentemente, el
ayudándose de la representación poten- c) Existe un número de dos cifras tal que, resultado “no cabe” en la pantalla de
cial de los números: si se le agrega una unidad se consigue un la calculadora…).
cuadrado perfecto, y si se le agrega una
a) 120 x 700 b) 9.000 x 1.400 unidad a su mitad, también se consigue i) Estime si 230 es mayor que un millar-
c) 70 x 320 d) 65 x 300 un cuadrado perfecto. ¿De qué número do (mil millones). No necesita calcular
e) 40.000 x 150 f) 160 x 8.000 se trata? el valor de la potencia…
d) ¿Cuántos ceros hay al final del nú- j) Observe bien el siguiente “arreglo”
mero (102 + 103 + … + 108)2.004? de los números a partir de 1:
7. La resolución de problemas
de potenciación e) ¿Cuáles son los dos números natura- 1
En lo que llevamos escrito ya ha les menores (excluidos el 0 y el 1) cuya 2 3 4
podido observarse el carácter de los diferencia de cuadrados sea un cubo? 5 6 7 8 9
problemas o ejercicios que pueden ¿Y aquéllos cuya diferencia de cubos sea 10 11 12 13 14 15 16
tener relación con la potenciación. En un cuadrado? 17 18 ……………………………
general suelen referirse a regularidades
o características que presentan algunos f) Si n representa a un número natu- ¿Qué número ocupa el tercer lugar,
números y series de números, y a la ral cualquiera, ¿cuál de los siguientes de izquierda a derecha, en la fila 82?
posibilidad de utilizar las propiedades números es necesariamente impar: 5 ¿Dónde estará ubicado el número
y facilidades que aportan las ideas x n; n2 + 5; n3; 2 x n2 + 1? 74.126?
consideradas. Vamos a plantear algunos
de estos tipos de problemas. Lo que g) La edad de Lucía es un nú- k) Ordene, de menor a mayor, las siguien-
volvemos a sugerir a nuestros lectores mero de dos cifras que acaba tes potencias: 255, 333, 522.
es que, una vez leído el enunciado de en 3. Además, el cuadrado de
cada situación, intenten resolver el su primer dígito es igual a su Vamos, como siempre, a reportar
problema por cuenta propia, antes de edad escrita con los dígitos algunas vías de solución para poder
revisar la vía de solución que se presenta cambiados de lugar. ¿Cuántos contrastarlas con las que hemos po-
posteriormente. años tiene Lucía? dido obtener entre todos.
23

24. a) Necesitamos saber la última cifra de la 104.008. De donde se sigue que la expresión g) Podemos ensayar con to-
potencia 5199. Como la base es 5, todas sus dada termina en 4.008 ceros. dos los números de dos cifras
potencias acaban en 5. Al multiplicarse por terminados en 3, siempre que
7, la última cifra del producto sigue termi- e) Vamos con la primera pregunta. Procede- el cuadrado del primer dígito
nando en 5.Y al agregársele 3, la última cifra mos por la vía del ensayo y ajuste teniendo a la tenga también dos cifras (43, 53,
de 7 x 5199 + 3 es 8. vista los cubos de los números a partir de 2 (8, 63, etc.), pero no es necesario.
27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000, …), res- El enunciado nos dice que
b) Si la diferencia de los cuadrados de dos tando cuadrados de esos mismos números (4, este 3 es el comienzo de un
números consecutivos es 49 y como 49 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …) y observando cuadrado perfecto, y esto sólo
= 24 + 25, tal diferencia se obtiene en la si su diferencia es un cubo. Ninguna diferencia ocurre en el caso de 36, es decir, de 62. Por
resta 252 – 242. Por consiguiente, la suma de cuadrados da 8 (pudiera haber sido 9 – 1, consiguiente, la edad de Lucía es de 63 años.
de ambos números es también 49. pero el 1 quedó excluido).Al tomar 27 como
diferencia encontramos los cuadrados 36 y h) La calculadora reporta: 332 = 1.089;
c) Se trata de ensayar con números de dos 9 (36 – 9 = 27). Los números pedidos son, 3332 = 110.889; 3.3332 = 11.108.889; al
cifras para conseguir aquel que cumpla am- pues, 6 y 3. Posteriormente encontraríamos pretender calcular 33.3332, nos aparece
bas condiciones. La primera nos restringe la que también 142 – 132 = 14 + 13 = 27, pero un mensaje de error: el resultado no cabe
búsqueda hacia aquellos números que sean 6 y 3 son menores que 14 y 13. ya en la pantalla. Pero con los tres casos
iguales a un cuadrado menos 1 unidad: {15, 24, anteriores es suficiente para detectar la
35, 48, 63, 80, 99}. De este conjunto debemos En cuanto a la segunda pregunta, se procede regularidad presente. Los números llevan
excluir los impares, que no poseen una mitad de un modo análogo, para llegar finalmente una secuencia de las siguientes cifras: 1, 0, 8
entera, con lo que nos quedan: {24, 48, 80}. Si a 83 – 73 = 512 – 343 = 169 = 132. Ahora y 9. El 0 y el 9 se repiten siempre sólo una
a las mitades de estos números les añadimos 1 los números pedidos son 8 y 7. vez, mientras que el 1 y el 8 se repiten tantas
unidad obtenemos: {13, 25, 41}. De estas tres veces como cifras “tres” aparecen en la base
opciones, sólo 25 es un cuadrado perfecto. f) Examinemos cada uno de los casos: de la potencia, menos 1. Por consiguiente,
Por consiguiente, el número solicitado es 48. • 5 x n: Si n es par, este producto es par. 3.333.3332 = 11.111.108.888.889.
• n2 + 5: Si n es impar, también lo es n2; por
d) Analicemos primero la base: 102 + 103 + … lo tanto n2 + 5 será par. i) Efectivamente, no hace falta calcular el
+ 108. Se trata de la suma de potencias de 10, • n3: Si n es par, su cubo también lo será. valor de 230. Estamos comparando esta po-
desde 100 hasta 100 millones. Esta suma nos • 2 x n2 + 1: n2 puede ser par o impar, según tencia con 1 millardo, que es 109. Como 230
da el número 111.111.100. Ahora bien, (102 lo sea n; pero 2 x n2 siempre será par. = (210)3 y 109 = (103)3, la comparación puede
+ 103 + … + 108)2.004 = 111.111.1002.004 = Y por lo tanto, 2 x n2 + 1 será siempre reducirse a las bases, a si 210 es mayor o no
(1.111.111 x 100)2.004 = (1.111.111 x 102)2.004 impar. Por consiguiente, sólo esta última ex- que 103, es decir, que 1.000. Si repasamos
= 1.111.1112.004 x (102)2.004 = 1.111.1112.004 x presión es necesariamente impar, siempre. las sucesivas potencias de 2 encontramos
24

25. No podemos terminar esta parte
dedicada a los problemas de potencia-
que 210 = 1.024 > 1.000. Por consiguiente, gunta. Para ubicar el número 74.126 tenemos
ción sin reiterar la reflexión que, sobre
230 es mayor que 1 millardo. que encontrar el cuadrado perfecto inme-
la forma en que los hemos abordado y
diatamente anterior a ese número. Para ello
resuelto, hicimos en los tres Cuadernos
j) El problema nos debe llevar a observar podemos utilizar la calculadora, introducir el
anteriores. He aquí algunas conclusio-
cuidadosamente el “arreglo” o pirámide de número y pulsar la tecla de (raíz cuadrada).
nes, que seguramente compartimos
los números. Puede haber varias regularida- Esta acción nos reporta el número 272,2609,
todos:
des observables, de las cuales nos interesará lo que nos indica que el cuadrado inmedia-
la que nos permita responder las preguntas tamente anterior es 2722 = 73.984. Nuestro
1. El método de tanteo razonado
propuestas. Por ejemplo, podemos detectar número se halla en la fila 273. Para ubicarlo
(ensayo y ajuste) sigue mostrándose
que la cantidad de elementos presentes en exactamente, restamos 74.216 – 73.984 =
como eficiente. Como decíamos, es
cada fila forman la secuencia de los números (yendo del sustraendo al minuendo) 16 + 216
un método científico excelente, que
impares (1, 3, 5, 7, etc.); o que los elementos = 232: ocupa el lugar 232 en esa fila.
nos acostumbra a formular hipótesis
de la columna central aumentan, sucesiva-
razonables –ajustadas a las condiciones
mente, en 2, en 4, en 6, etc. k) No se trata de desarrollar cada una de las
de la situación– y a verificarlas en la
potencias y luego ordenarlas, aunque ésta
práctica. Todo esto refleja un proceso
Pero si ya tenemos cierta familiaridad con es una de las formas de resolver el ejercicio.
permanente de toma de decisiones,
los cuadrados, habremos observado que el Más bien, vamos a fijarnos en las potencias.
así como de control sobre la propia
número final de cada fila es un cuadrado: Para poder comparar dos de ellas sin calcu-
actividad.
lar su valor, tenemos dos criterios: si tienen
la 1ª fila termina en 1 (12) la misma base, la menor será la que tenga
2. Nunca insistiremos demasiado
la 2ª fila termina en 4 (22) el menor exponente; y si tienen el mismo
acerca del valor de la observación:
la 3ª fila termina en 9 (32) exponente, la que tenga menor base.
observar el enunciado de la situación,
la 4ª fila termina en 16 (42)
las condiciones que afectan a las varia-
etc. En nuestro caso, no tienen las mismas bases.
bles o a los datos numéricos, los casos
Tampoco los exponentes son iguales, pero
posibles, las hipótesis que formulamos,
Esta regularidad es fácil de generalizar: la hay “algo” en ellos: 55, 33, 22. En ese “algo”
los resultados parciales que vamos ob-
81ª fila termina en 6.561 (812). Por con- puede estar la solución. En efecto, 55, 33 y
teniendo…
siguiente, el número que ocupa el tercer 22 poseen un “factor común”: 11 (55 = 5 x
lugar, de izquierda a derecha, en la fila 82 11; 33 = 3 x 11; 22 = 2 x 11). De modo que
Por otro lado, resulta imprescindi-
es el número 6.564. las potencias pueden escribirse así: (25)11,
ble la consideración de los resultados
(33)11 y (52)11, ó lo que es lo mismo: 3211,
presentes en las tablas de potencias
La vía que acabamos de seguir nos sirve de 2711 y 2511. Ahora el orden es evidente: 2511
y en las propiedades y regularidades
orientación para responder la segunda pre- < 2711 < 3211. Es decir, 522 < 333 < 255
formuladas, así como la utilidad de su
memorización progresiva.
25