Aprende a desarrollar binomios al cuadrado

1. Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado
1) ( 𝑎 + 5)2
2) (8𝑚 − 3𝑛)2
3) (−6𝑥 + 3𝑦)2
4) (−7𝑔3
− 5𝑘2
)2
5) (3𝑤2
− 2ℎ + 6)2

2. Solución
El desarrollo de un binomio al cuadrado es de la siguiente manera:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Es el primero al cuadrado más o menos dos veces el primero por el
segundo más el segundo al cuadrado.
Y dependiendo de los signos de cada término a y b los signos de cada
término una vez desarrollado el binomio al cuadrado son:
a b 𝒂 𝟐 𝟐𝒂𝒃 𝒃 𝟐
+ + = + + +
+ - = + - +
- + = + - +
- - = + + +
1. Partiendo del desarrollo de un binomio al cuadrado el primer
ejemplo quedaría de la siguiente manera:
( 𝑎 + 5)2
= (𝑎)2
+ 2(𝑎)(5) + (𝑏)2
El primer término a elevado al cuadrado, siendo ambos términos
positivos todos los términos tendrán signo positivo, luego le sumamos
el producto de multiplicar 2 por el primero término a que a su vez
multiplica al segundo término 5 más el segundo término b elevado al
cuadrado. Por lo que el desarrollo de éste binomio al cuadrado es:
( 𝑎 + 5)2
= 𝑎2
+ 10𝑎 + 𝑏2

3. 2. El desarrollo del segundo ejemplo quedaría de la siguiente manera
(8𝑚 − 3𝑛)2
= (8𝑚)2
+ 2(8𝑚)(−3𝑛) + (−3𝑛)2
El primer término 8m elevado al cuadrado más el producto de
multiplicar 2 por el primer término 8m y segundo término -3n más el
segundo término -3n elevado al cuadrado.
Por lo tanto
(8𝑚 − 3𝑛)2
= 64𝑚2
− 48𝑚𝑛 + 9𝑛2
3. El desarrollo del tercer ejemplo quedaría de la siguiente manera
(−6𝑥 + 3𝑦)2
= (−6𝑥)2
+ 2(−6𝑥)(3𝑦) + (3𝑦)2
El primer término -6x elevado al cuadrado más el producto de
multiplicar 2 por el primer término -6x y segundo término 3y más el
segundo término 3y elevado al cuadrado.
Por lo tanto, desarrollando el binomio:
(−6𝑥 + 3𝑦)2
= 36𝑥2
− 36𝑥𝑦 + 9𝑦2
4. El desarrollo del cuarto ejemplo queda de la siguiente manera

4. (−7𝑔3
− 5𝑘2
)2
= (−7𝑔3
)2
+ 2(−7𝑔3)(−5𝑘2) + (−5𝑘2
)2
El primer término −𝟕𝒈 𝟑
elevado al cuadrado más el producto de
multiplicar 2 por el primer término −𝟕𝒈 𝟑
y segundo término −𝟓𝒌 𝟐
más
el segundo término −𝟓𝒌 𝟐
elevado al cuadrado.
Desarrollando el binomio:
(−7𝑔3
− 5𝑘2
)2
= 49𝑔6
+ 70𝑔3
𝑘2
+ 25𝑘4
Recordando que por leyes de exponentes, si un término que está
elevado a una potencia se le vuelve a elevar a otra potencia, las
potencias se simplifican multiplicándose.
Descripción Regla Ejemplo
Exponente 1 𝑎1
= 𝑎 51
= 5
Exponente 0 𝑎0
= 1 si 𝑎 ≠ 0 90
= 1
Multiplicación
con misma
base pero
diferente
exponente
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
36
37
= 36+7
= 313
División con
misma base
pero con
diferente
exponente
𝑎 𝑚
𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚−𝑛 84
82
= 84−2
= 82
Multiplicación
con diferente
base pero con
𝑎 𝑚
𝑏 𝑚
= (𝑎𝑏) 𝑚
23
73
= (2 × 7)3
= 143

5. el mismo
exponente
División con
diferente base
y con mismo
exponente
𝑎 𝑚
𝑏 𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑚
54
64
= (
5
6
)
4
Potencia
elevada a otra
potencia
(𝑎 𝑚
) 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
(42
)5
= 42×5
= 410
5. El desarrollo del quinto ejemplo queda de la siguiente manera
Se reacomodará el trinomio al cuadrado para que quede como un
binomio al cuadrado
(3𝑤2
− 2ℎ + 6)2
= [(3𝑤2
− 2ℎ) + 6]2
[(3𝑤2
− 2ℎ) + 6]2
= (3𝑤2
− 2ℎ)2
+ 2(3𝑤2
− 2ℎ)(6) + (6)2
El primer término ( 𝟑𝒘 𝟐
− 𝟐𝒉) elevado al cuadrado más el producto
de multiplicar 2 por el primer término ( 𝟑𝒘 𝟐
− 𝟐𝒉) y segundo término
𝟔 más el segundo término 𝟔 elevado al cuadrado.
Primero se desarrolla el binomio al cuadrado (3𝑤2
− 2ℎ)2
(3𝑤2
− 2ℎ)2
= (3𝑤2
)2
+ 2(3𝑤2)(−2ℎ) + (−2ℎ)2

6. (3𝑤2
− 2ℎ)2
= 9𝑤4
− 12ℎ𝑤2
+ 4ℎ2
Sustituimos en el binomio al cuadrado
[(3𝑤2
− 2ℎ) + 6]2
= 9𝑤4
− 12ℎ𝑤2 + 4ℎ
2
+ 2(3𝑤2
− 2ℎ)(6) + (6)2
Desarrollando
[(3𝑤2
− 2ℎ) + 6]2
= 9𝑤4
− 12ℎ𝑤2 + 4ℎ
2
+ 12(3𝑤2
− 2ℎ) + 36
[(3𝑤2
− 2ℎ) + 6]2
= 9𝑤4
− 12ℎ𝑤2 + 4ℎ
2
+ 12(3𝑤2
− 2ℎ) + 36
Finalmente
[(3𝑤2
− 2ℎ) + 6]2
= 9𝑤4
− 12ℎ𝑤2 + 4ℎ
2
+ 36𝑤2
− 24ℎ + 36