es una traducción de un documento de didáctica de las matemáticas

1. Las interacciones entre los tres dimensiones y dos dimensiones
Para utilizarconeficaciael razonamientoespacial,losniñosnecesitanaprenderlasconvencionesy
lasinterpretacionesdelasrepresentacionesen2Dde losobjetos3Dysercapaz de moverse
consolturaentre cadadimensión.representaciones2Dsoncomúnmente demaneraacrítica
dejanreposarpara el objeto3D. Este capítuloexploralasconsecuenciasde este descuido.
el razonamiento de dos y tres dimensiones
Cuando Krista (autor) estaba en un curso de campo al final de su tercer año de estudios de
licenciaturaengeología,se sentóenfrente de un afloramientode rocascreadospor una carretera
de corte. Krista estaba muy familiarizado con las representaciones en 2D de las formaciones
geológicas y estructuras en los libros de texto. Sin embargo, cuando su profesor de geología
estructural sentóa su ladoy le preguntóqué estructurasque vioen el afloramiento,ellase quedó
perplejo.Ella era incapaz de reconocer las representacionesen 2D que aprendió en clase en las
rocas situadas reales. La necesaria transición de la representación 2D a 3D era problemático.
Otros capítulosde este volumenabordanel razonamientoylastransformacionesque vivendentro
del espacio 3D o 2D dentro del espacio (o incluso el espacio unidimensional - la línea). Aquí nos
detenemos a examinar la fusión de 2D y 3D razonamiento donde la representación 2D se ha
permitidode maneraacríticaenreposodurante el objeto3D:unaconexióncríticaque se haechado
un vistazopor encima.Es común encontrarrepresentaciones2D convencionalesde objetos3D,en
libros, en las pantallas de ordenador, e incluso a vecesen los estudios de la visión.construcciones
compartidas de objetos 3D a partir de estas representaciones 2D no pueden ser asumidas, y las
maneras de que las transformaciones de objetos 3D para el razonamiento aparece en las
representaciones en 2D puede ser complicado - incluso inaccesibles. Una práctica común de
evaluaciónde razonamientoespacial esel usode pruebas2D(véase el capítulo2).Lasuposiciónde
que la fuerzaenel razonamientoespacial2Da 3D se traduce subyace enmuchasde las pruebasde
razonamiento espacial - pero ¿hay alguna evidencia de esto? Por ejemplo, considere una
modificaciónde lapruebade rotación tarjetaThurstondescritoen Ekstromet al. (1976) debajode
lacual requiere laselecciónde lasformasque sonunarotaciónde laimagende laizquierda.(Véase
el Capítulo6, para unadiscusiónde rotaciónmental comolapruebade prototipode razonamiento
espacial.) La tarea de comparación análoga para los niños sería montaje de un rompecabezas. El
niño recoge una pieza, se mueve cerca de un partido de destino, gira la pieza - luego trata de un
partidode unatraducción más.No es unarotación pura,y que se utilizanparaignorar el centrode
rotación - sólo notar el ángulo de rotación. Compárese esto con la construcción de la misma
transformación en un programa de geometría dinámica. Una rotación debe tener un centro, y es
difícil incluso para los maestros para encontrar el centro de rotación única entre la figura de la
izquierda y el siguiente - aunque es obvio que el ángulo de rotación es de 90 °. Estas pruebas
suponen que la persona va a hacer de forma automática traducciones añadidas. Podría ser una
fuente adicional de confusiónsi lapersonaconsideraunplano"flip" - unarotaciónen3Denmuchas
aulas de primaria.

2. Las tarjetas de 2D artículos de la prueba de rotación y otras medidas de rotación 2D no miden lo
bienque unniñopuedegirarobjetos3Denel espacio.Compararlamedidade rotaciónde latarjeta
con la construcciónde un robot de Lego de un folletode instruccionesconlasrepresentacionesen
2D de unobjetoenformade L 3D (véase lafigura8.2,en lapáginasiguiente).Paracolocarel objeto
enforma de L para el robotque se estáconstruyendo,el objeto3Ddebe serreconocidoapartirde
losbookletsde instruccionesde representación2Ddel objetodeseado,yel objetoreal se encuentra
encualquierorientaciónde labandejade colornaranjaque contienecasi 100 objetosdiferentes.El
constructordebe orientarseahorael objetoenformade Lconprecisiónenelespacio3-- ylopongo
encontacto. Al exigircontinuamente enmovimientoentrelasrepresentacionesconvencionales2D
y vistas reorientados de objetos 3D, la tarea de Lego se relaciona más con la complejidad de la
relaciónentre lasrepresentaciones2Dy 3D. Esto esalgo que los niñosde 6 años de edadhacen,a
partir de diseños de Lego.
El propósitode este capítuloesexaminarcómorazonamossobre losobjetos3Dconel apoyode las
representaciones2D - para llamar la atención sobre la complejidady las convenciones aprendidas
de esa relación y el razonamiento espacial requerido para estas tareas. En primer lugar, vamos a
discutir la ambigüedad de las representaciones en 2D de objetos 3D. A continuación, vamos a
recurrira ejemploscientíficosde laquímica,labiología,lageologíayproyeccionesortográficaspara
ilustrar el uso ubicuo de las representaciones 2D convencionalesde los objetos 3D y las tareas de
razonamiento que pueden apoyar. Asistimos a las convencionesy suposicionesimplícitas en las
representaciones en 2D, y las dificultades que las personas pueden causar. En particular, los
ejemplosculturalesdarunaideade cómose aprendenlasconvencionesde larepresentación2D (o
no).A continuación,seguimosadesafiarlossupuestosque 2Des unarepresentaciónadecuadadel
mundo en 3D mediante el examen de la transferencia para niños a un mundo 3D a partir de los
medios de comunicación en 2D como los libros y la televisión.
La ambigüedad de las representaciones en 2D de objetos

3. Los niños están expuestos a las formas geométricas de los primeros años. Por ejemplo, los
profesores cuelgan cartelesen las paredesdel aula que muestran formas planas y sólidas. formas
sólidasenel cartelsonrepresentacionesde figurasen3Dsobre unasuperficie2D - representaciones
que esperamos que los niños a "ver" la forma en que la Investigación en el razonamiento infantil
sobre el diagramamatemáticosugiere,sinembargo,que lasinterpretacionesinfantilesde "vemos".
tales representaciones no se hacen de una manera directa (por ejemplo, Steenpa y Steinbring,
2013). De hecho, un estudio reciente mostró que el primer grado no necesariamente interpretan
losdiagramas 2D de formas 3D en una norma,de formaconvencional (Hallowell etal.,En prensa).
Esdecir,losestudiantestuvieronunmomentodifícil"ver"loscomponentesde unaforma3Dapartir
de un diagrama 2D. Por ejemplo, cuando se muestra un diagrama 2D de una pirámide sólida,la
mayoría de estosestudiantesse diocuentade la forma triangular,peroignoró la plaza enla parte
inferior.Engeneral,losresultadosmostraronquelosniñosde primer gradoteníandificultadespara
traducir entre losdiagramas2D de lossólidosylossólidosmanipulables. Dospropiedadesclave de
las representaciones en 2D de objetos 3D son que son ambiguas e incluyen convenciones
aprendidas: creamos lo que vemos (�offman, 2000a). Por ejemplo, múltiples representaciones 2D
generanel mismoobjeto3Dyvariosobjetosen3D puedenserrepresentadosporlamismaimagen
2D. Considere ejemplo Hoffman's (2000a) de los tres siguientes 2D "representacionesde un cubo
en 3D."
SegúnHoffmanmayoría de la gente ve la fotodel mediocomo un cubo de alambre más fácil de lo
que ven las imágenes exteriores como cubos, debido a las reglas o convenciones visuales. Por lo
general,observamosobjetos3Dcon visiónestéreo,ocon un rápidomovimientode lacabezao los
ojos- la separaciónde lospuntosde paso solapadasy líneas.La convenciónde representaciónque
se superpone alaimagen2Densuperposicionessonen3D.Tengaencuentaque,geométricamente,
la imagendel mediono essiempre laforma en que el ojohumano vería un cubo,con perspectiva,
sino que están condicionados a aceptar esto. Las reglas aprendidas dictan cómo interpretamos la
profundidadde lasrepresentacionesen2D. Sostiene que lasreglasinterpretativasse adquierenal
ser expuesto a la experiencia visual y otras representaciones de la misma manera las reglas de la
gramática son adquiridas por experiencia lingüística. Hoffman (2000a, 2000b) también argumenta
que tenemosunapreferenciaporunsimple interpretación 3Dde una imagenplanaen2D, a través
de una colección más complicado de objetos 2D en un plano común.
A ambigüedad distinto es que varios objetos en 3D pueden ser representados por la misma
representación de proyección 2D. Tenga en cuenta los posibles objetos en 3D que pueden ser
atribuidos a la imagen de la derecha de la figura anterior. La forma hexagonal podría ser la vista
desde laparte superiorde unaformasimilaraga�ebo.Laciframediatambiénesambiguocomoun

4. "cubo de Necker"(Wikipedia,2014c; girar lacabeza o enla páginasi no te "vesuna segundaforma
3D," marcha atrás que se enfrenta se encuentran en la parte delantera).
Otro ejemplo es la "caja ambigua" a continuación. Las dos partes de la figura 8.4 son "lo mismo"
(unose volvióamedias-- pasarlapáginaolacabeza).Porquehemoscrecidoconuna"señal"de que
laluzviene dearriba(representadoporlaflecha),queinicialmentese "ve"lassuperficiesmásligeras
como"arriba".En A, estoconduce auna caja enlaesquinade unahabitación,lainterpretaciónmás
común. Interpretamos B como una caja con un cubo cortado de una esquina. Algunas personas
tambiénpuedenverunaterceraposibilidad:unacaja más pequeñatocaruna caja más grande a lo
largode un borde - perolasseñalesde sombreadoahorase requierendosfuentesde luzdiferentes
- uno de la parte superior y otro en la parte inferior).
En la práctica, la mayoría de nosotrosusamosla visiónestereoscópicaypequeñosmovimientosde
la cabeza,para eliminarlaambigüedadlo que vemosenunaforma 3D (enel cerebro).Somosmuy
buenos en esto y no pensamos mucho en ello, hasta que nos encontramos ante una imagen
verdaderamenteplana.Estosdosejemplosponende relieveunproblemade clase fundamental:".
Ve"loque el maestro "ve"(interpreta) puedennoserloque muchosde losestudiantesinterpretan,
y loque unestudiante "ve"esdiferentede loque otroestudiante enundebateenel aula,tenemos
que atendera diferentesinterpretacionesposiblesque losestudiantespueden estardescribiendo.
Percepcionesvisualesvaríande unacultura. Porejemplo,cuandose planteóunapersonadetermina
cómocontestaríaslailusiónde Müller-Lyeracontinuación.Losestadounidensessonmáspropensos
a encontrarla líneade fondocon lasflechasemplumadascomolamáslarga. Mientrasque lagente
del Kalahari sonmáspropensosaverlaslíneascomolamismalongitud(Watters,2013),porrazones
de dibujo de las experiencias culturales distintas.
Representaciones 2D de objetos 3D en la ciencia
La correlación entre el razonamiento espacial y el éxito en STEM(ciencia, tecnología, ingeniería y
matemáticas) estábiendocumentada(véase Stumpf y Haldimann,1997; ClementsySarama, 2011;
Benbow,2012; Sorby,2012). Esto se ve reforzadoporel usode lastareasde razonamientoespacial
en los exámenes de admisión y pruebas de detección para las profesiones de STEM.

5. Los niñosaprendenel razonamiento espacial,ylas señales,apartir de experienciasen3D, a partir
de representaciones2Dysusconvencionesasociadas(véase elcapítulo7) yde laretroalimentación
durante las interaccionescon sus compañeros y adultos. Fomentar y desarrollar estashabilidades
emergentesenlosprimerosañosesimportante paradesarrollarelrazonamientoespacial necesaria
para la comprensión de los conceptos científicos y matemáticos avanzados, y la resolución de
problemas (razonamiento) con estas representaciones de los conceptos. Los complejoscapacidad
de razonamientoespacial quesonnecesariosenmuchasdisciplinasSTEMde gradorequiereneluso
simultáneo de muchos conocimientos previos desarrollados en años anteriores, a partir de las
habilidades desarrolladas y apoyadas en los primeros años. Si losestudiantes no han desarrollado
suficientes habilidades espaciales, incluso en movimiento de ida y vuelta entre múltiples
presentacionesen2D,condiferentesconvenciones,ensuresoluciónde problemas - acontinuación,
se enfrentanaunabarreraañadidaparael éxitoenestostemas.Estaesunarazónporlaquemuchos
estudiantesluchanconestostemas.Lasiguientesecciónproporcionaejemplosde representaciones
en2D de la informaciónyde razonamientotareas3Da partirde la química,labiologíay lageología
para resaltaralgode la informaciónespacial complejase presenta en las representaciones en 2D.
Química: experiencias con moléculas
Aunque teníandiagramas2D de "átomos enlazados"yaenel siglo17, En 1864 modelosde metano
(CH4) todavía se mantuvieronestables.Comocampo,fue sólohacia 1874 que la químicacomenzó
a trabajar con la estructura3D y representacionesasociadas(Figura8.6). Hoy endía, la fluidezcon
la química estéreo requiere ser capaz de convertir imágenes 2D de los átomos y las moléculas en
objetos 3D para el razonamiento (estéreo significa 3D). Las representaciones 2D de moléculas
incluyennumerososconveniosasumidosyaprendido. Tengaencuenta lassiguientesilustraciones
del etano C2H6 molécula. El diagrama representa un conocimiento sofisticado de los bonos
electroquímicos.
En las figuras 8.6a y 8.6b, esferas oscuras representan átomos de carbono y esferas blancas
representan hidrógeno. Las líneas continuas que unen el hidrógeno y el carbono representan
enlacessencillos(el usocompartidode unelectrón)(Stull etal,2012;.. Stull etal,2013). En la figura
8.6c, un triángulorellenorepresentaunenlace haciala parte delantera,mientrasque untriángulo
sombreadorepresentaelenlace estáapuntandohaciaatrás.(VertambiénlostriángulosenlaFigura
8.7.)
A medida que las moléculas se vuelven más complicados,más anotaciones y convenciones de las
representacionesaparecen.Dosrepresentacionesde lamoléculaatisane aparecenen laFigura8.7.
Ambasilustraciones2Drepresentanlamismamolécula3D.La imagende laderechaesuna versión
ligeramente girado de la izquierda. Esta vez el vínculo que se remonta es un cuadro de líneas
discontinuas,yel cuadradoparcial enla parte superiorrepresentaunenlace alineadoconel plano
(Figura 8.7 - la convención de Fischer a partir de 1891;. Stull et al, 2012; Stull et al, 2013).. 3 Estas

6. representaciones en 2D de las moléculas, etano y atisane, ejemplifican las convenciones
complicados y matizadas de la química que deben ser aprendidas con el fin de razonar con su
estructura molecular (y para aprobar el examen MCAT para la escuela de medicina).
Reflexión en la estructura molecular 3D dicta muy diferentes propiedades químicas y
comportamientos.Laquiralidad(esdecir,usode lasmanos) se utilizaparadescribirmoléculasque
sondistintosen3D,peroque sonreflexionesdeespejo(Figura8.8;Wikipedia,2014b).Mentaverde
y alcaravea tienen la misma composición y estructura de bonos similar. Sin embargo, como
imágenesde espejoexactas,tienenunsaboryunolordiferente - enlosnivelesdeproteínanuestros
cuerposson quirales - sinsimetríasespeculares.Laquiralidadde drogaspuede serdevastador.Por
ejemplo, la talidomida es un sedante con una quiralidad y causa anomalías fetales con la otra
quiralidad (Wikipedia, 2014b). Las pruebas estándar de rotación espacial 3D dependen de los
participantesque llamanuna con su imagenespecularobjetoy Sinembargo,observe que algunas
moléculassonaquiral "diferente." - laimagendel espejose puede giraralamoléculaoriginal,como
ocurre en etano (Figura 8.6). Sorprendentemente, la quiralidad de las moléculas no aparece en
muchosprogramasde estudiosde químicaenlaescuela,olosplanesde estudioenmatemáticas,si
bien es una aplicación importante de razonamiento espacial en el mundo.
niñosen edadpreescolarreconocenactivamente esta"diferencia"entre imágenesespecularesen
lasactividadesde rotaciónmental.Nuestrasobservacionesde losniñosde3añosde edadmuestran
que saben que no pueden (rotar) un zapato izquierdo a un zapato derecho al ponérselos, pero
puedendarlavuelta(giraren3D) un recorte de unpie derechode uncorte salidaprivadode unpie
izquierdo. Enelcapítulo6,unaviñetadescribeeldesarrollodehabilidadesderazonamientoespacial
infantiles mediante la búsqueda de formas / reflexiones especulares con software de geometría
dinámica. Tenga en cuenta la utilidad de estas habilidades con el fin de comprender más tarde
moléculasquirales.Del mismomodo,el Capítulo6Cube Challenge lecciónacercade laconstrucción
de formas3D únicoscon cubitosde multilinktiene habilidadesespacialesutilizadosparaentender
cómo las moléculas se construyen e interactúan. Sin embargo,es demasiado simplista considerar

7. que las habilidades de razonamiento espacial son siempre fáciles de aplicar. Más bien son
incipientes y complejos, re�airing el uso simultáneo de muchas habilidades aprendidas
previamente.
Sin fuertes habilidades de razonamiento espacial, el razonamiento con estos diagramas y las
estructurasmolecularesseríaproblemático.El desarrollode fuerteshabilidadesespacialesatravés
de múltiples años puede ayudar a los estudiantes el acceso y entender las notaciones y las
convenciones de representaciones moleculares 2D. Conflating flip (rotación 3D) y el plano de
reflexión puede llegar a ser una barrera para razonar críticamente importante acerca de la
lateralidad (quiralidad) en estereoquímica (estéreo significa 3D). A su vez, como se señaló
anteriormente,quiralidadyespejoimágenessonuntemacentral enlabiología(nuestrasproteínas
son quirales), en el diseño de fármacos y en el razonamiento espacial más general (Wikipedia,
2014b). Razonamientoconrepresentaciones2Dde moléculasescrucial pararesolverunproblema
en la química.
Biología: la exploración del oído interno
Como la química, la biología también requiere fluidez con las convenciones 2D y 3D para la
comprensión de los objetos 3D e interacciones. Un ejemplo de tales convenciones se puede
encontrarenlosdiagramasdel oído interno.Estasestructurasbiológicas3Dtambiénseñalancómo
laevoluciónhadesarrolladounaformabiológicade combinar2Dincorporadosensoresparanuestro
razonamiento3D.El oído internonoesvisible,porloque lamayoríadel Puebloexperienciasde ver
realmente el oído interno son limitados o inexistentes. Los dos siguientes imágenes son
representacionesen2Ddel oídointernoderechodesdearribaydesde delante (anterior)(Wikipedia,
2014A).
Sin señales de que podría ser difícil de ver que los dos diagramas anteriores son dos
representaciones en 2D de la misma oreja derecha. Se ven muy diferentes y utilizan diferentes
convenciones. Las señales de etiquetado ayudan a orientar y la nomenclatura común apoya el
desarrollode unatransformacióndelobjeto3Dcompartidadentrode lasdosimágenes.Lacócleay
el vestíbulo están etiquetados en cada imagen. Observe que la cóclea está a la izquierda en la
primeraimagen yala derechaenla segundaimagen,sinembargo,lasdosimágenesrepresentanla
oreja derecha. La diferencia es la orientación del oído interno 3D está representada y la
correspondenciarequieresercapazde girarlaimagenmental.Otrasimágenesdisponiblesmuestran
la ubicación del oído interno dentro de la cabeza y secciones transversales del oído interno. La
compilación de una imagen completa de una sección transversal, incluso con contexto añadido
detrás, requiere montaje mental. La sección transversal de la figura 8.9a utiliza tonos de gris para
distinguir diferentes tipos de tejido. Una gran cantidad de aprendizaje de las convenciones es
necesaria para la comprensión de los dibujos anatómicos.

8. Un segundo aspecto en el oído interno por encima encuentra que hay tres canales de superficie
(esencialmente alineados como semicírculos como tres planos de coordenadas perpendiculares).
Estos canales dan el cerebro tres entradas de la aceleración angular 2D para generar información
inequívoca para apoyar conclusiones cognitivas en tiempo real de cómo la cabeza está en
movimiento. Estos son profundamente análogo a usar sistemas para representar y razonar acerca
de 3D de coordenadas 3D. Esta es una manera biología humana ha evolucionado para capturar
informaciónen3D con múltiplesrepresentaciones2D. De maneramás general,unagran cantidad
de imágenesmédicasutilizalageometríacomputacionalparareconstruirlosobjetos3Dy3Dapartir
de conexiones múltiples exploraciones 2D. Otras imágenes médicas y visión robótica utiliza la
geometría computacional para reconstruir objetos 3D a partir de varias proyecciones 2D.
Geología y geometría: representaciones 2D de objetos 3D
Geología también requiere razonamiento espacial considerable para la comprensión de las
representaciones en 2D de 3D. El siguiente ejercicio requiere la selección de la forma de sección
transversal producidapor un planode corte a través de una estructura cristalina,representadoen
una imagen2D. El mismotipode representaciónse produce enel estudiogeométricode poliedros
(que ocurren tanto en la geología y cristalografía - pero mucho más ampliamente para apoyar
muchas formas de razonamiento matemático acerca de los patrones).
El ejemplo en la figura 8.10 cristalina es similaral elemento de prueba de la muestracruzada
seccionar 3D discutido en el capítulo 3. Considere algunas de las convenciones que deben
ser entendidos para visualizar el objeto 3D a partir de la representación 2D.
 Tres líneas corresponden a la perpendicular horizontal (x e y) y los ejes vertical (Z)
de espacio cartesiano.
 La parte posterior se supone que es una rotación de la parte delantera.
Convenciones de la perspectiva implican los polígonos irregulares de 8 caras que
se muestran son todos congruentes con octógonos simetrías alrededor de los ejes
y los triángulos irregulares son triángulos equiláteros congruentes y.
 tonos de gris transmiten señales de sombreado o de orientación e implican una
fuente de luz en la izquierda no vista superior, frente al plano de los ejes vertical y
horizontal.
Eso genera la plaza comola respuestadeseada - siempre y cuando el tomador de la prueba
también se orienta el plano de corte paralelo a la página. Sin añadir esta convención de los
cuales plano de la representación 2D está en, el paralelogramo del punto C es la elección
más obvia.

9. Otro ejerciciocomúnengeologíaes la selecciónde laconfiguraciónapropiadade capas de tipode
roca dentro de una forma de sección transversal rectangular en diagramas de bloquesgeológicos
(Figura 8.11).
Seleccionando la respuesta adecuada en el diagrama de bloques anterior requiere teóricamente
imaginaruna rebanadaa través de capas de rocas enla tierra.La faltade contextogeológicode la
escala,la edad,el tipode roca, y los posiblesorígenes de laformaciónhacen la preguntaun tanto
ambigua. Geométricamente, requiere una respuesta más conjeturas 3D (conjeturas) sobre el
interiorde lacalle de unasolaimagenen2D,desarrolladoapartirde otrastresseccionesplanas(en
tres caras perpendiculares).
Hay objetos que se ajustan al cuadro con secciones transversales C y D. Las flechas indican una
convención aún más en el deslizamiento de los dos lados de la línea de falla que sugiere C es la
respuesta esperada. Ambosejemplos geológicos son problemáticosdebido a la suposición de que
un estudiantevaaser buenoenlamanipulaciónde objetos3Dmentalmenterepresentadasenuna
sola imagen en 2D, con múltiples convenciones. Puede ser que sean buenos en el razonamiento
espacial 3D apropiado con un modelo espacial. Como se ha descrito en el párrafo inicial, Krista
estababastante familiarizadocon(ybuenoen) lostiposde diagramastransversalesenlosartículos
de la prueba anterior en su título de la geología de pregrado. Sin embargo, ella no fue capaz de
transferir dichas representaciones 2D y el razonamiento asociado en la comprensión de las
estructuras reales de los afloramientos en 3D.
El razonamientoespacial sobreformacionesgeológicasde rocasse produce en3Dyensu contexto,
y puede ser difícil de entender a partir de imágenes 2D en los libros de texto.
Matemáticas e ingeniería: experiencias con proyecciones ortográficas
Conveniosenmatemáticasse aprenden,peroa menudose supone.proyeccionesortográficasson
representaciones de objetos paralelo a uno de los ejes de coordenadas de los objetos. Estas
proyecciones son comunes en los dibujos técnicos y arquitectónicos. Múltiples vistas ortográficas
(habitualmentetres)se utilizanconfrecuenciaparaeliminarlaambigüedadde lasproyecciones(ver
Wikipedia, 2014A). Las convenciones de dibujos de ingeniería utilizan múltiples proyecciones
análogas en tres planos perpendiculares. Estas convenciones se han incrustado en la geometría
descriptiva durante más de 200 años, ya que los ingenieros militares franceses aprendieron a
representarconprecisiónlasfortalezasenemigas,paraque la gente en un lugar distante pudieran
planificarsusataques.Aunque ampliamenteutilizado,yavecesse enseñaenlasclasesde dibujoen
la escuela secundaria, el razonamiento con estas múltiples proyecciones se asume en las pruebas
de razonamiento espacial para los ingenieros y carreras con el razonamiento espacial-mecánica.

10. Estas prácticas culturales incorporan tanto un ajuste cognitiva esencial de estas representaciones
efectivas y la artificialidad de estas convenciones culturales que necesitan ser enseñados y
aprendidos.
Sin el conocimiento de las convenciones, más proyeccionesortográficas podrían no ayudar con la
reconstrucciónde la forma 3D. Por ejemplo,volviendoavisitarrepresentaciones2DHoffman'sde
uncubo que se introdujeronal comienzodelcapítulo(yre presentaacontinuación),loque seríaun
niño vea?
¿Qué estrategias podrían ser útiles para ayudarles a ver un cubo o una pirámide hexagonal (a la
derecha)?Trabajarcon objetos3Drealesylasrepresentaciones2Dpodríaayudarlesaaprenderlas
convencionesde representación.sólidosytransparenteshuecosregularescondiferentesnivelesde
aguahan sidoutilizadosparalaobservaciónde diversasseccionestransversalesdelsólido(Mamolo,
Sinclair, y Whiteley, 2011). Dibujo las secciones transversales dentro de los prismas regulares3D
podría ser otra estrategia para desarrollar la fluidez de movimiento entre 2D y 3D espacio. La
proyecciónde sombrasdeobjetosen3Desotroejercicioespacial - todaslasestrategiasinicialmente
apoyados por la manipulación de los objetos 3D.
En la siguiente sección,ejemplosculturalesde losinuity la gente de PapuaNuevaGuineadar una
ideade cómolasexperienciasculturales,diferentesconvencionesydiferentesidiomascontribuyen
a entendimientos en 2D y 3D.
experiencias culturales
Trabajos recienteshanseñaladoque muchaspruebaspsicológicas,incluyendopruebasespaciales,
se han desarrolladoparalaspersonasenoccidental,educado,Industrial,Rich,yDemocrática(raro)
culturas (Henrich et al., 2010). Las pruebas y la enseñanza de otras culturas indica variaciones

11. importantesenloscontextos,el lenguaje yel significadode razonamientoespacial - ypor lo tanto
el rendimiento de prueba.
En muchasculturas se utilizanpatronesenlassuperficiesde trabajo(grano,tejer,etc.) que tienen
simetríade espejode dos dimensiones,rotacionese inclusotraduccioneslocales.Sinembargo,en
general estas experienciasen2Dy vocabularionosoncompatiblesconel razonamientoespacialen
3D, o transformacionesentre3Dysusrepresentacionesen2D.El mundoesrepresentacionesen3D
y 2D o incluso objetos 2D pueden ser componentes artificiales artificialmente dentro de 3D. Para
los niños que no han aprendido las convenciones en años anteriores, las representaciones 2D
comprensión puede ser difícil. experiencias culturales también influyen en el aprendizaje de las
convenciones para las representaciones en 2D de objetos 3D.
Razonamiento espacial de los niños inuit
Poirier(2007) clasificalosinuitconocimientomatemáticoydesarrolladoplanesde estudioparalos
inuit niños en edad escolar en los grados 1-3. Se observó que los niños inuit tienen fuertes
habilidadesespaciales,incluyendounsentidoexcepcional del espacioparalocalizarasí mismosen
losambientes.Puedenleerlosbancosde nieveyevaluarladirecciónde losvientos.Ellosle pueden
decir qué tan lejos están del océano / bahía por el olor salado cómo el aire es. Los inuit inukshuks
construidos (almorranas con forma humana de rocas) que se pueden ver desde lejos como
marcadorespara orientarse ensu entornoy enmensajesrelacionadosconel paisaje.Estosfueron
todos razonamiento espacial, sin papeles importantespara representaciones 2D u objetos 2D o
idioma.
Convenciones de representación 2D de las habilidades espaciales y en Papua Nueva Guinea
Obisposostiene quelasconvencionesdelasmatemáticasindustrializados(raro)nose adquierende
forma natural, pero se puedenaprender con el entrenamiento.Los análisis de sus datos de Papúa
NuevaGuinea(PNG) indicaronqueamenudolosestudiantesque habíancrecidoyse habíanasistido
a las escuelasde lacomunidadenlospueblosPNGnoeranconscientesde,yporlotantono habían
aprendido,muchasconvencionesmatemáticasestándar (Obispocomose citaenClements,2008) .
estudio Bishop (2008) de las habilidades espaciales de los estudiantes en PNG proporciona
informaciónsobre lanaturalezaculturalde lasconvencionesde lasrepresentacionesen2D.Obispo
estudió doce estudiante universitario de primer año de sexo masculino de 16 a 26 en PNG para
identificarsusfortalezasydebilidadesenel razonamientoespacial.Él recogió6 a 7 horas de datos
de prueba por individuo. Se encontró que no había falta de familiaridad con las convenciones de
diagramas de uso común en la educación industrializada:
La representación de un objeto tridimensional por medio de un diagrama de dos dimensiones exige
convencionalismo considerablequees de ninguna manera inmediatamente reconocibles por aquellos
a partir de cultivos no occidentales. (P. 110)
tareas de dibujo de relieve muchas de las convenciones industrializados que los estudiantes PNG
desconocían. Al dibujar un cubo, varios estudiantes tuvieron la plaza delante correcta, pero la
profundidad de la vista era incorrecta. Convenciones para saber cómo representar la profundidad
eran desconocidos. Otra convención desconocido era que las líneas de puntos en un dibujo de un
cubo puedenindicarbordesenlaparte posteriorque nosonvisibles.Enotra de lastareas al copiar
el dibujo de un conjunto de muestras, las escalas y ángulos variados y se alteraron las líneas y

12. curvaturas. Mientrasque algunasde las variacionespodríanatribuirse a la falta de familiaridadde
dibujo, los estudiantes PNG no se adhirieron a la convención industrializados que "copia" significa
idéntica. La precisión de la replicación tenía diferentes estándares.
El lenguaje y las habilidades espaciales en Papúa Nueva Guinea
Las diferencias en el lenguaje también es probable que contribuyeron a la comprensión y las
dificultades con las convenciones espacialesdel Papúa Nueva Guinea del alumnado. Se pidió a los
estudiantes para traducir una lista de 70 palabras en inglés a sus propios idiomas locales.
[O] ólo lassiguientespalabraspudieronsertraducidosporlosdoce estudiantes:haciaabajo,lejos,
cerca,delante,detrás,entre,segundonombre,apellido,enelfondo,alto,largo,corto,dentro,fuera
y colina.Algunasde laspalabrasque se omitieron(esdecir,difícilde traducir,oel olvido) enmásde
la mitad de los estudiantes eran: opuestas, hacia delante, línea, redondo, suave, escarpado,
superficie, tamaño, forma, imagen, modelo, pendiente, dirección , horizontal y vertical. (Bishop,
2008, p. 115)
Muchas de estas palabras se utilizan con frecuencia para describir las relaciones espaciales y
matemáticos.Poirier's(2007) ylosObispos(1988b,2008) lainvestigaciónproporcionandatossobre
cómo, y factores sociales y culturales del lenguaje pueden tener un profundo impacto en el
conocimientode lasconvencionesparala representaciónde objetos3Den2D. Este esun mensaje
importante para los profesores que están tratando de desarrollar el razonamiento espacial entre
sus estudiantes - que pueden aportar diferencias significativas en un aula extraño.
El razonamiento espacial y medios digitales: el efecto del déficit de vídeo
Una suposicióncomúnesque losniñossoncapaces de transferirinformacióndesde losmedios2D
2D en3D del mundoreal.Porejemplo,unniñovaa reconocerunkoalaenunzoológicodespuésde
veruna fotode uno enunlibrode imágenes?transferenciainfantil jovende aprendizaje entre2Dy
3D contextos es una tarea cognitiva compleja con cambios poco a poco a través de la primera
infancia(Barr,2010). Libros,televisión,pantallastáctilesyordenadoressonajustesespecíficospara
el examen de la transferencia de la representación 2D en objetos 3D. En una revisión de
investigaciones recientes, Barr (2010) resume que
los niños pueden imitar lasacciones presentadasen la televisión usando los correspondientes objetos
del mundo real,pero esta misma investigación también muestra que los niños aprenden menos de la
televisión quelo hacen a partir dedemostraciones en vivo hasta quetengan al menos 3 años de edad;
denominado el efecto déficit de vídeo. (P. 128)
efectodel déficitde vídeose refiere acómolosniñossonmenoscapacesdetransferirelaprendizaje
de la televisiónylas imágenesfijasen2D a 3D situacionesde lavida real de lo que son capacesde
transferir el aprendizaje a partir de las interacciones cara a cara. El efecto del déficit de vídeo
aparece despuésde 6mesesde edad,lospicosde alrededorde los15mesesde edadysigue siendo
persistente alos3 años se observaun ejemplodel déficitde vídeoenTroseth y DeLoach's estudio
(comose cita en Barr, 2010) cuando losniñosvieronunjuguete que se ocultaenunahabitaciónen
un televisor.Antesdel ejerciciode ocultación,losniñosse les proporcionóunaampliaorientación
a la habitación. Durante el ejercicio que oculta un adulto esconde un juguete en la sala, mientras

13. que el niñove en una sala contiguaen una pantallade televisión.Los2 años de edad no pudieron
localizar el juguete, pero los 2,5 años de edad tuvieron éxito.
Lowrie (2002) explorócómo6añosde edadtienensentidode lasimágenesbasadasenpantallasen
el equipo.Se pidióalosniñospara interpretarrepresentacionesen2D con losprogramas estáticos
ydinámicosyrelacionarlasimágenesdeobjetosen3Denel entorno.Algunosniñosnopodíanhacer
que los vínculos entre las representaciones en 2D y objetos 3D. Ellos argumentan que los niños
necesitanexperienciasendesarrollode latransferenciaentre lasrepresentaciones2Dy3D objetos
fuera de la computadora antes de enlazar en un entorno TIC.
Esto sugiere que muchos niños no aprenden todas las convenciones y habilidades para la
interpretaciónde lasrepresentacionesen2Dde objetos3Da travésde losmediosde comunicación
por sí sola. También necesitan experiencias en el mundo 3D y orientación de los padres o
educadoresparaaprenderlasconvencionesylastransiciones.Lasactividadesde lapantallatáctil y
software dinámicoquese describenenel capítulo6sonejemplosquepuedenguiaralosniñospara
interpretar representaciones 2D de 3D.
La vinculación de las ideas
En este capítulo se llamala atenciónsobre el hechode que las convencionesde representación2D
de objetos 3D se aprenden y no adquieren de forma natural. El reconocimiento del objeto 3D a
partir de su representación en 2D no se puede suponer, y ubicación espacial de los objetos 3D
requiere una reconstrucción inequívoca del objeto(al menosmentalmente). Movimiento de ida y
vuelta entre las representaciones en 2D y objetos 3D requiere aculturación a las convenciones
utilizadas, y la práctica desarrollada de cuándo y cómo moverse entre 3D y 2D. La fluidez con el
movimiento entre 2D y 3D el espacio es esencial para el razonamiento y las representaciones de
conexiónde losconceptoscientíficos.Esimportante quenonoslimitamosamovernosaunaversión
aplanadade 2Denloslibrosde textoysoftware suponiendoqueestoessuficiente parael desarrollo
de la fluidezconel razonamiento3D.Tambiénesimportante que nosrelacionamosconlarealidad
de que los niños han estado aprendiendo a la razón en 3D, a menudo sin representaciones 2D, y
hacer conexiones con sus tareas actuales que se basarán en lo que han aprendido. Los niños
comienzan con el razonamiento 3D - y lo necesitará durante décadas después.El plan de estudios
debe apoyarel desarrolloylaretencióndel razonamiento3Da través de lostemasya travésde los
años. En la topología del capítulo 2, no hay distinción entre 2D y 3D.
Tampoco hay un lugar determinado por el razonamiento se mueve entre las representacionesen
3D y 2D. Esto es algo que hay que seguir desarrollando, tanto para los pares de representaciones
estáticasydinámicasparael razonamiento.Estosmovimientossondifícilesparalossereshumanos
- y tambiénesdifícil dentrode lageometríacomputacional,yaque lascomputadorasnofuncionan
bien con la ambigüedad. la programación informática obliga al usuario a tomar decisiones que
eliminan la ambigüedad, aunque los ordenadorespueden pasar fácilmente de una representación
3D de representaciones 2D seleccionados - algo que contar.
Capítulo3 hizohincapié enlacapacidadde aprendizaje delrazonamientoespacial.Eneste capítulo
se centró en la necesidad crítica de desarrollar conveniosespecíficosque se pueden aprender y
movimientofluidoentre losobjetos3D y sus representacionesen2D.Estas habilidadesse pueden
aprenderincluyenmuchasformasdistribuidasde construcciónde sentidoespacial utilizadaporlos

14. estudiantesde laescuelasecundariaenel contextodel diseñode ingenieríayconstrucción(Ramey
y Uttal, 2014).
Capítulo 4 discute las raíces históricas de la escisión se encuentra entre el plan de estudios de
primaria y secundaria. Los ejemplos de este capítulo de la biología y la química describen
brevemente la orientación espacial de robustez suficiente para la interpretación. Los convenios
específicos de la biología y la química (y otras ciencias) se basan en anteriores convenios
fundamentales de euclidiana y las nociones cartesianas, así como sus representaciones
convencionales. Trabajar para asegurar que los niños tengan la fluidez en los convenios antes de
entrar en el sistema de enseñanza secundaria podría ayudar a superar el cisma encontrado.
A medidaque avanzamosmásallá de la enseñanzade idiomasInglés,este capítulose observóque
los niñosde las comunidadesnoindustrializadosnecesitaráninstrucciónexplícitaparaayudarlesa
aclimatarse a las convenciones de representación2D en un plan de estudios extraño. Aprender
cómo las personas de otras culturas se mueven en las convenciones industrializados de
representaciones2D puede ayudarnos a aprender más acerca de cómo apoyar el desarrollo del
razonamiento 3D. Estas reflexiones indican también fuertes razones para desarrollar un plan de
estudiosde principiosde añosque apoyael razonamiento3D,y desarrolla lasrepresentaciones2D
culturalmenterequeridosenformasreflexivas.Coxeteretal.(1967) ofrecenuntal plande estudios,
redactado por expertos con una amplia experiencia con el razonamiento espacial sobre una
variedadde temasy niveles.Se pone en marcha con 3D como el núcleo,yse desarrollaen2D más
tarde, ya que apoya y desarrolla a partir de las experiencias previas en 3D. Un enfoque similar se
incrusta en el plan de estudios de Kinder Froebel anterior y original, de manera interesante
desarrollado por un educador de la primera infancia procedentes de la cristalografía y se practica
en el razonamiento espacial (Brosterman, 1997). Aunque el software ofrece algunas ventajas que
pueden ayudar a aliviar infantil para la transición de las representaciones 2D a 3D razonamiento,
algunos de la utilización de la tecnología requiere decisiones sobre cuándo y cómo usarlo crítico
decisiónpedagógica.Porejemplo,lalecciónenel capítulo6utilizaunapantallatáctil paramanipular
representaciones2D de objetos 3D. Software con las representaciones de los cubos multilink se
utiliza en otra lección se describe en el mismo capítulo: la construcción de formas 3D únicas. La
representación2Dde objetos3D que losniñostenían experienciaspreviasconesunaherramienta
útil para desarrollar el razonamiento 3D más fluida, con el apoyo de muchas convenciones de
representación. Por ejemplo, una limitación es que el software no tiene una luz situada
consistentemente.