matematica.docx

15 EJEMPLODE ECUACIONES EXPONENCIALES.
1). 2 x = 32 8). 5 x−2 + 5x−1 = 30
5
2). 2 x − 5 = 59 9). 7 x+1 = 1
3). 4 x = 64 10). 22x − 5 · 2 x + 4 = 0
4). 3 x+1 = 81 11). 4 x − 3 · 2 x+1 + 8 = 0
5). 3 x+1 − 3 x = 18 12). 2 x + 21−x = 3
6). 3. 2 x+2 − 5 · 2 x = 56 13). 2 x−1 + 1 2 x−3 = 5
7). 2 x+3 + 2x = 72 14). 3 x+1 + 3x + 3x−1 = 39
15). 2 x+1 + 2x + 2x−1 = 28
15 EJEMPLODE ECUACIONES LOGARÍTMICAS.
1). log x + log 5 = 2 9). 2Lx − L5x = L2
2). log x + log (x + 3) = 2 log (x + 1). 10). 2 log x = 4 + log x 10
3). (x 2 − 4x + 7) log 5 + log 16 = 4 11). 2 log x = 4 + log x 10
4). log x + log 80 = 3 12). 3 log (6 − x) − log (72 − x 3) = 0
5). log (22 − x) = −1 + log x 13). log √ 3x + 1 + log 5 = 1 + log √ 2x − 3
6). 2Lx + L (x 2 + 2) = L3 14). log √3 x − log √3 4 = 1
3
7). 3 log x = 2 log x + log 3 15). Log x 100 – log x 25 = 2
8). log x 2 − log 3 = log x + log 5.

15 EJEMPLO DE ECUACIONES GEOMÉTRICA
Ejemplo 1
Para calcular el perímetro hay que sumar las longitudes de
sus lados: 17cm + 15cm + 11cm = 43cm
Ejemplo 2
Puedes calcular el perímetro de este cuadrado sumando la
longitud de cada uno de sus cuatro lados. Perímetro =
6cm + 6cm + 6cm + 6cm = 24cm2
Ejemplo 3
Para calcular el perímetro del rectángulo del ejemplo puedes
sumar la longitud de sus lados, dos 6cm y dos de 4cm.
Perímetro = 6cm + 4cm + 6cm + 4cm = 20cm.
Ejemplo 4
Cada lado mide 7cm y puedes calcular la longitud de su
contorno de la siguiente manera. Perímetro = 7cm + 7cm + 7cm
= 21cm
O de una manera más fácil. Como los tres lados son iguales
puedes multiplicar por tres la longitud del lado y el resultado no
cambia.
Perímetro = 3 x 7cm = 21cm.
Ejemplo 5
Como los cuatro lados son iguales podemos multiplicar
por cuatro la longitud del lado para obtener la medida
del perímetro. Perímetro = 4 x 5cm = 20cm
Esta regla es la misma que la de los cuadrados, porque
también tienen sus cuatro lados iguales.

Ejemplo 6
Como tiene dos lados iguales y uno diferente, para calcular el
perímetro sólo tenemos que multiplicar por 2 la longitud del lado
que se repite y sumarle la del lado diferente.
Perímetro = 5cm x 2 + 6cm = 16cm
Ejemplo 7
En este caso, hay que multiplicar la longitud de uno de
los lados oblicuos por dos y sumarle las longitudes de las
dos bases.
Perímetro = 5cm x 2 + 12cm + 6cm = 28cm
Ejemplo 8.
Así que para calcular el perímetro de cualquier polígono
escalonado podemos utilizar la misma fórmula que para el
rectángulo, porque podemos tratar la suma de las longitudes de
los lados horizontales y de los verticales como si fueran igual a la
longitud de la base y de la altura. Es como si tuviéramos repetidas
las longitudes de la base y la altura. Perímetro = 2x (6cm + 8cm)
= 28cm.
Ejemplo 9).
Como el pentágono tiene cinco lados iguales, para
hallar su perímetro se multiplica por cinco la longitud del
lado. Perímetro del pentágono = 5 x longitud lado

Ejemplo 10
Para que sea un paralelogramo los lados paralelos deben ser
de la misma longitud, por lo tanto, se debe cumplir:
y = y 2 y = 1 6 x = 4 x + 8 x = 4 y el perímetro es P = 1 + 1 +
24 + 24 = 50.
Ejemplo 11
La suma de las longitudes de los lados es igual a 58, resolviendo
la ecuación:
6 x + 2 x + 5 + 3 x + 9 + 6 x - 7 = 58, la solución es: x = 3 y los
lados tienen longitud: 18, 11, 18 y 11, respectivamente y el área
es: A = 18 11 = 198.
Ejemplo 12
Calculamos las proporciones: 21 7 =
3 , 15 5 = 3 , 27 9 = 3
las razones correspondientes son
iguales, por lo tanto, tenemos el caso
3 y se tiene: A B C A B C.
Ejemplo 13
Los dos triángulos son rectángulos, por lo tanto, tienen un ángulo
correspondiente que son de igual medida, los ángulos y son
opuestos por el vértice, por lo tanto, son de igual medida y se
cumple el caso 1 y por lo tanto se cumple:
A B D E = A C 12 = 15 10 A C 12 = 15 10 y resolviendo para A C
= 15 12 10 = 18.

Ejemplo 14).
El segmento LJ es un diámetro cuya longitud es d, por
el teorema de Pitágoras se tiene que: = 1 6 2 + 3 0 2 =
256 + 900 = 34 = 2 r r = 17.
Circunferencia: C = d = 34 106:81 unidades.
Área: A = r 2 = (17) 2 907. 92 unidades cuadradas.
Ejemplo 15)
Área del trapecio es: A = C D + A B 2 A H = C D A H +
A B A H 2 = C D A H 2 + A B A H 2
De los datos del problema el área del triángulo:
A H A B = b a s e a l t u r a 2 = A B A H 2 = 8
Sustituyendo (2) en (1) se obtiene: A = C D A H % 2 + A
B A H 2 = 24 2 + 8 = 20 m 2.
15 EJEMPLO DE INTERÉS SIMPLE.
Ejemplo 1
Calcula el interés simple de un capital de 24.000€ invertido
durante 3 años al 5% anual.
Datos:
Capital inicial 24.000€
Tiempo 3 años
Interés simple 5% anual
Solución:
Ejercicio resuelto interés simple
Si invertimos 24.000€ durante 3 años al 5% de interés simple anual, obtenemos
unos intereses de 3.600€.

Ejemplo 2
Calcula el interés simple de un capital de 29.000€ invertido
durante 89 días al 4% anual.
Datos:
Tiempo 89 días
Solución:
Este ejercicio se puede hacer de dos formas, o bien pasas los días a años o
calculas el interés simple diario.
Para pasar 89 días a años simplemente tenemos que dividir 89 entre 365 días,
lo que nos da 0,243835616 años. Una vez tengamos todos los datos expresados
en el mismo tiempo, podemos calcular el interés.
Interés simple ejercicio resuelto
Para pasar el interés simple de anual a diario hacemos lo mismo dividimos 4%
entre 365 días. Dándonos el mismo resultado.
Ejercicio resuelto interés simple interés generado
Si invertimos 29.000€ durante 89 días al 4% de interés simple anual, obtenemos
unos intereses de 282,85€.
Ejemplo3
Al cabo de un año,el banco nos ha ingresadoen nuestracuenta
de ahorro la cantidad de 870€ en concepto de intereses.Siendo
la tasa de interés del 2% anual, ¿cuál es el capital de dicha
cuenta?
Datos:
Tiempo 1 año

Interés 870€
Solución:
Interés simple fórmula capital inicial ejercicio resuelto. Si invertimos 43.500€
durante 1 año al 2% de interés anual, obtenemos unos intereses de 870€.
Ejemplo 4
Por un préstamo de 19.000€ hemos tenido que pagar 21.200€ al
cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés que nos han
cobrado?
Datos:
Tiempo 1 año
Capital final 21.200€
Interés 21.200 – 19.000 = 2.200€
Solución:
Fórmula interés simple tasa de interés ejercicio resuelto
La tasa de interés anual es de 11,58%
Ejemplo 5
Invertimos un capital de 250.000€ a una tasa de interés anual del 6%
durante un cierto tiempo, ha generado unos intereses de 10.000€ ¿cuánto
tiempo ha estado invertido?
Datos:
Interés simple 6%
Intereses 10.000€

Solución:
interés simple cálculo del tiempo ejercicios resueltos
El tiempo durante el cual ha estado invertido el capital es de 8 meses.
Ejemplo 6
Hemos invertido durante cierto tiempo un capital de 24.000€ a una tasa de
interés simple anual del 5%. Al final hemos obtenido un capital de 29.000€.
¿Durante cuánto tiempo ha estado invertido?
Datos:
Intereses 29.000 – 24.000 = 5.000€
Solución:
Interés simple ejercicio resuelto
El tiempo durante el cual ha estado invertido el capital es de 4 años y 2 meses.
Ejemplo 7
¿Cuál será el tanto por ciento de interés simple al que debemos
prestar un capital para que, pasado 30 años, los intereses
generados sean equivalentes al capital prestado?
Solución:
Tenemos que calcular el tipo de interés de un capital que invertido durante 30
años nos proporcione unos intereses iguales que el capital invertido. Es decir, el
C0 = I. Le vamos a dar el valor de 1€ al capital inicial. Puedes darle el valor que
quieras al final siempre sale el mismo tanto de interés.
Fórmula interés simple tasa de interés ejercicio resuelto
El tanto de interés simple que iguala ambos importes es de 3,33%

Ejemplo 8
¿Cuánto tiempo a de pasar paraque un capitalse triplique al4%
de interés simple?
Datos:
Tenemos que calcular cuánto tiempo tiene que estar un capital invertido al 4%
para que los intereses generados sean tres veces el capital invertido.
I = 3 x C
Solución:
Fórmula interés simple tiempo ejercicio resuelto
Ha de pasar 75 años para que un capital invertido al 4% de interés simple se
triplique.
Ejemplo 9
Invertimos durante 3 años un capital de 28.000€ al 4,5% de
interés simple, ¿cuál es el importe de interés generado?
Datos:
Tiempo 3 años
Interés simple 4,5% anual
Solución:
Calculo interés simple anual ejercicio resuelto
Si invertimos 28.000€ durante 3 años al 4,5% de interés anual, obtenemos unos
intereses de 3.780€.
Ejemplo 10S
invertimos 9.500€ durante 8 meses al 3,5% de interés simple,
¿cuál es el capital que recibimos?

Datos:
Tiempo 8 meses
Tanto de interés 3,5% anual
Solución:
Importe interés generado interés simple ejercicio resuelto
Si invertimos 9.500€ durante 8 meses al 3,5% de interés anual, obtenemos unos
intereses de 221,67€.
11- ¿Cuánto tiempo ha de invertirse un capitalde 22.000€ al5%
de interés simple para que se convierta en 29.000€?.
Datos:
Tanto de interés 5% anual
Interés generado 29.000 – 22.000 = 7.000€
Solución:
El tiempo en interés simple ejercicio resuelto
El tiempo transcurrido es de 6 años, 4 meses y 11 días.
Ejemplo 12
Halla el interés que produce en 7 años un capital de 20.000€
prestados al 9% simple anual.
Datos:
Interés 0,09 simple anual

Tiempo 7 años
Solución:
Interés generado en interés simple ejercicio resuelto
Así, 20.000€ en 7 años al 9% simple anual producen 12.600€ de interés. Cada
año, el interés que habrá que pagar al prestamista es de 1.800€.
formula interés simple
Ejemplo 13
Averigua el capital que prestamos al 8% simple anual durante 3 años, si me han
pagado de interés 3.000€.
Datos:
Tiempo 3 años
Interés 3.000€
Solución:
Capital invertido interés simple ejercicio resuelto
El capital prestado es de 12.500€.
Ejemplo 14
Halla durante cuánto tiempo, expresado en días, presté un
capital de 10.000€ al 12% anual simple, si el interés recibido ha
sido de 174,25€.
Datos:
Interés 174,25€
Solución:

Tiempo invertido en interés simple ejercicio resuelto
Ha de pasar 53 días para que un capital de 10.000€ invertido al 12% anual
generen 174,25€.
Ejemplo 15
¿Qué interés produce un capital de 40.000€ en 1 año 7 meses y
21 días, al 24% anual?
Datos:
Tiempo 1 año 7 meses 21 días
Solución:
7 meses * 30 días = 210 días + 21 días = 231 días
Pasamos los días a años 231/360 = 0,64 años + 1 año = 1,64 años.
I = 40.000 x 0,24 x (1,64) = 15.744€
Si invertimos 40.000€ durante 1 año 7 meses y 21 días al 24% de interés anual,
obtenemos unos intereses de 15.744€.

15 EJEMPLOS DE INTERÉS COMPUESTO
Ejemplo 1.
Calcular el ingreso de 30000 $ depositado para el término de 3 años bajo el 10%
de interés anual, si al final de cada año el porcentaje se sumaban al dinero
depositado.
Solución. Utilicemos la fórmula del cálculo de interés compuesto:
B = 30000(1 +
10%
)3 = 30000 · 1.13 = 39930
100%
El ingreso equivale a
39930 - 30000 = 9930
Resultado: el ingreso es 9930 $.
Ejemplo 2.
Sabiendo que la tasa de interés anual del depósito es el 12%,
calcular la tasa de interés mensual que le equivale.
Solución.
Si depositar en el banco A $ entonces dentro de un año obtendremos:
B = A(1 +
12%
)
100%
Si el interés se concedía cada mes con la tasa de interés х, entonces por la
fórmula de interés compuesto dentro de un año (12 meses)
B = A(1 +
x
)12
100%
Al equiparar estas cantidades obtendremos una ecuación cuya solución nos
dejará definir la tasa de interés mensual.

A(1 +
12%
) = A(1 +
x
)12
100% 100%
1.12 = (1 +
x
)12
100%
x = (12√
1.12
- 1)·100% ≈ 0.9488792934583046%
Resultado: la tasa de interés mensual equivale a 0.9488792934583046%.
N.B. De la solución de este problema se ve que la tasa de interés mensual no
equivale a la tasa de interés anual dividida por 12.
Ejemplo 3
Silvia deposita 1000 € en una libreta de ahorros a un 2,5% de
interés compuesto anual.
Datos:
Co= 1000 € (capital inicial)
i = 2,5% (interés anual)
r = i / 100 = 2,5 / 100 = 0,025 (rédito anual).
Ejemplo 4
a) ¿De qué cantidad dispondrá Silvia al cabo de tres años? ¿Y si la
operación fuera a interés simples? Compara los dos resultados.
Resolución:
Aplicando la fórmula del interés compuesto y sustituyendo los datos del ejercicio:
Ct = C0 (1 + r)t = 1000 (1 + 0,025)3 = 1076,89 €

Si el interés es simple:
La imposición a interés compuesto produce un mayor capital final.
Ejemplo 5
La empresa Scandina Enterprises recibió un nuevo crédito de
libre inversión por un valor de $7.800 y debe pagar intereses
compuestos con una tasa del 25% anual durante 3 años, cuya
frecuencia de capitalización es anual. ¿Cuánto es el valor que
debe pagar por concepto de intereses?
 Ic = C [(1 + i) n
– 1]
 Ic = 7.800 [(1 + 0.25) 3
– 1]
 Is = $ 7.434,38
Respuesta: el valor a pagar por concepto de interés compuesto durante 3 años
es de $ 7.434,38.
Ejemplo 6
Un capital de 100 000 € se coloca al 6,5 % durante 6 meses,
calcula el capital final producido en los diferentes periodos de
tiempo tanto a interés compuesto y determina cuál de ellos es
beneficioso según el tiempo.
6 meses interés compuesto:
Ejemplo 7

Un capital de 100 000 € se coloca al 6,5 % anual durante 1 año.
Calcula el capital final producido en los diferentes periodos de
tiempo tanto a interés simple o compuesto y determina cuál de
ellos es beneficioso según el tiempo.
año a interés compuesto:
Ejemplo 8
En el contrato de trabajo de un empleado se establece una
subida anual del 7,2 %. Si empieza ganando 900 € al mes,
¿cuántos años tienen que pasar para que gane 1700 €?
Como el tiempo es superior a un año, aplicamos la fórmula de
interés compuesto.

Ejemplo 9
Ingreso 15 000 € en un banco y se comprometen a pagarme un 3,7 % anual,
abonando los intereses semestralmente. ¿Cuánto dinero tengo al cabo de
4 años?
Como son 4 años, aplicamos la fórmula de interés compuesto,
adaptada en este caso a pagos semestrales.
Ejemplo 10
Un banco que opera por internet ofrece su cuenta azul a un 5,5
% anual de interés que se paga mensualmente. Si abro una
cuenta con 4000 € y acumulo en esa cuenta los intereses
mensuales que me pagan, ¿cuánto dinero tendré al cabo de 3
años?
Como el tiempo es superior a un año, aplicamos interés compuesto.

Ejemplo 11
Al cabo de cuánto tiempo 10 000 €, colocado al 6 % de interés
compuesto, producen un beneficio de 5000 € ?
interés compuesto
Ejemplo 12
¿Al cabo de cuánto tiempo se duplicaráun capitalcolocadoal 8
% de interés compuesto?
Llamamos c al capital inicial y como se duplica el capital, entonces el
capital final es 2 · c.
interés compuesto

Ejemplo 13
¿A qué tanto por ciento de interés compuesto se duplicará un
capital a los 15 años?
El capital final es el doble que el capital inicial, por lo que, si c es el capital
inicial, el capital final es 2 · c.
Ejemplo
14
Si 2000 € se han convertido, al 7 % de interés anual, en 3211,56
€, ¿cuánto tiempo se ha mantenido la inversión?
Como el tiempo de la inversión será superior a un año, empleamos
la fórmula del interés compuesto, ya que al ser yo quien deposito el
dinero en el banco, es beneficioso para mí.

Ejemplo 15
Un pinar tiene 18 000 m 3 de madera.Si aumentael 1,5 % al año,
¿cuánto tiempo tardará en llegar a los 40 000 m 3?

15 ejemplo de ecuaciones complejas
Ejemplo 1
Expresar en forma polar los siguientes complejos:
Ejemplo 2.
Expresar en forma polar los siguientes complejos.
Ejemplo 3
escribir en la forma trigonométrica los siguientes números complejo

Ejemplo 4
Expresar en forma binómica y con su afijo los siguientes
complejos.
Ejemplo 5
Expresar en forma polar y binómica, el conjugado y el opuesto
de cada uno de los siguientes complejos.

Ejemplo 6
Calcula el inverso de los números complejos siguientes y
representa gráficamente el resultado obtenido.

Ejemplo 7
Ejemplo 8
Ejemplo 9

Ejemplo 10
Hallar el módulo y el argumento de los siguientescomplejos.

Ejemplo 11
Hallar el módulo y el argumento de los siguientes complejos.
Ejemplo 12
Realizar las siguientes operaciones

Ejemplo 13
Ejemplo 14
Ejemplo 15

Ecuaciones resulta por igualación
Ejmplo 1
Despejamos la incógnita x de la primera y segunda ecuación
Igualamos ambas expresiones
Resolvemos la ecuación

Sustituimos el valor de , en una de las dos expresiones
en las que tenemos despejada la .
Ejemplo 2
Despejamosla incógnita de la primera y segunda
ecuación.

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que
tenemos despejada la
Ejemplo 3
Despejamos la incógnita de la primera y segunda
ecuación.
Igualamos ambas expresiones y resolvemos la ecuación

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las
que tenemos despejada la .
Ejemplo 4
Multiplicamos la segunda ecuación por 2, para simplificarla:
Ordenamos los términos.
Igualamos ambas expresionesy resolvemos la ecuación.

en las que tenemos despejada la .
Ejemplo 5
Quitamos denominadores
Ordenamos la segunda ecuación

en las que .
Ejemplo 6
Solución

Resolvemos la ecuación.
Sustituimos el valor de , en una de las dos
expresiones en las que tenemos despejada la .
Ejercicios método de sustitución.
Ejemplo 1
Solución
Despejamos la x en la segunda ecuación y se simplifica dividiendo entre 2

Sustituimos en la otra ecuación el valor de la variable x y resolvemos la
ecuación.
Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación.
Ejemplo 2
2
Solución
Despejamos la x en la segunda ecuación
Sustituimos en la otra ecuación la variable x y resolvemos la ecuación

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación.
Ejemplo 3
Solución
Quitamos denominadores en la primera ecuación y ordenamos la segunda
Despejamos la x en la segunda ecuación
Sustituimos x en la otra ecuación
(2y) + 3y = 10 5y = 10 y = 2
Sustituimos el valor de y en la x despejada
x = 2 · 2 x = 4

Ejemplo 4.
Solución
Quitamos denominadores
Operamos en la segunda ecuación
Despejamos la x en la primera ecuación
Sustituimos en la segunda ecuación y la resolvemos la ecuación
Sustituimos el valor de y en la primera ecuación

Ejemplo 5
Solución
Sustituimos el valor de x en la otra ecuación y resolvemos la ecuación
Ejmplo
Solución

Sustituimos el valor de x en la otra ecuación y resolvemos la ecuación
Para hacer los cálculos, vamos a necesitar poner todos los elementos de la
ecuación al mismo denominador (3). Para hacerlo, vamos a multiplicar el 3y por
(3/3) y le -2 por (3/3). En realidad 3/3 = 1, se trata simplemente de un truco para
facilitar el cálculo. Obtenemos:
Teniendo el mismo denominador, nos podemos deshacer de este mismo y
obtenemos:

matematica.docx

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a matematica.docx

Similar a matematica.docx (20)

Último

Último (20)

matematica.docx