Funciones

1. ALGEBRA DE FUNCIONES Y
MODELOS FUNCIONALES

2.  Identificar y realizar el álgebra de funciones de
variable real y composición de funciones.
 Resolver problemas físico y geométricos y de la
vida real que requieran la modelación de
funciones de variable real.
LOGRO DE LA SESIÓN

3. RETO

4. Algebra de Funciones
Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 cada una con 𝐷(𝑓) y 𝐷(𝑔) , sus dominios
respectivamente; entonces
Suma
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥); 𝐷(𝑓 + 𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔)
Resta
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥); 𝐷(𝑓 − 𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔)
Producto
𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥); 𝐷(𝑓. 𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔)
División
(𝑓/𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) ; 𝐷(𝑓/𝑔) = 𝐷(𝑓) ∩ 𝐷(𝑔) − 𝑥 ∈ 𝐷 𝑔 /𝑔(𝑥) = 0

7. Ejemplo
Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 1 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 5, hallar (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
Solución:
𝐷 𝑓 + 𝑔 = 𝐷 𝑓 ∩ 𝐷 𝑔 = ℝ ∩ ℝ = ℝ;
𝑓 + 𝑔 𝑥 = (𝑥 2
− 𝑥 − 1) + (𝑥3
− 4𝑥2
+ 5) = 𝑥3
− 3𝑥2
− 𝑥 + 4

8. Dadas las funciones:
𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 1, 𝑥 < 2
𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 2
𝑦 𝑔 𝑥 =
2𝑥 + 1, −4 < 𝑥 < 5
−3, 5 ≤ 𝑥 < 8
Hallar: (𝑓 + 𝑔)(𝑥), (𝑓 − 𝑔)(𝑥), (𝑓. 𝑔)(𝑥), (
𝑓
𝑔
)(𝑥)
Solución:
Ejemplo
∞
𝑥 + 2
−∞ −4
2 5 8
2𝑥 − 1
2𝑥 + 1
−3
𝑓
𝑔

9. 𝑔
𝑓
∞
𝑥 + 2
−∞ −4
2 5 8
2𝑥 − 1
2𝑥 + 1
−3
Ejemplo
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
2𝑥 − 1 + 2𝑥 + 1 , 𝑥 ∈< −4,2 >
𝑥 + 2 + 2𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ [2,5 >
𝑥 + 2 + −3 , 𝑥 ∈ [5,8 >
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =
2𝑥 − 1 − 2𝑥 + 1 , 𝑥 ∈< −4,2 >
𝑥 + 2 − 2𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ [2,5 >
𝑥 + 2 − −3 , 𝑥 ∈ [5,8 >

10. Ejemplo
𝑔
𝑓
∞
𝑥 + 2
−∞ −4
2 5 8
2𝑥 − 1
2𝑥 + 1
−3
𝑓. 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 =
2𝑥 − 1 . 2𝑥 + 1 , 𝑥 ∈< −4,2 >
𝑥 + 2 . 2𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ [2,5 >
𝑥 + 2 . −3 , 𝑥 ∈ [5,8 >
𝑓/𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 /𝑔 𝑥 =
2𝑥 − 1
2𝑥 + 1
, 𝑥 ∈] − 4,2[ −{−
1
2
}
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
, 𝑥 ∈ [2,5 >
𝑥 + 2
−3
, 𝑥 ∈ [5,8 >

11. Composición de Funciones

12. Definición.- Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 con
dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ,
respectivamente; entonces la función
compuesta de 𝑓 ∘ g (también llamada la
composición de 𝑓 y 𝑔 se define como
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
y cuyo dominio es:
𝐷(𝑓𝑜𝑔) = 𝐷(𝑔) ∩ 𝑥 / 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷(𝑓)
𝐷 𝑓 ∘ 𝑔 = {𝑥 ∕ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑔 ∧ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 }
𝑅𝑎𝑛(𝑔) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ≠ ∅
Composición de Funciones

13. Ejemplo
Composición de Funciones

14. Composición de Funciones
Ejemplo: Sean 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 6𝑥 − 4. Hallar (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
Solución
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ ∧ 6𝑥 − 4 ≥ 0 = {𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≥
2
3
}
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = [
2
3
, ∞〉
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 6𝑥 − 4 = 6𝑥 − 4
𝑔
𝑓 ∘ 𝑔

15. Ejemplo: Sean 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 y 𝑔 𝑥 = 𝑥2
. Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
Solución
a) Hallemos 𝑓 ∘ 𝑔
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑔 𝑥 ∈ ℝ = ℝ
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥2
= 𝑥2
+ 1
b)Hallemos 𝑔 ∘ 𝑓
Composición de Funciones
𝑓
𝑔
𝑓 ∘ 𝑔

16. MODELO MATEMÁTICO

17. MODELO MATEMÁTICO

18. MODELO MATEMÁTICO
Un modelo es una representación gráfica, esquemática o analítica de una realidad, que sirve
para organizar y comunicar de forma clara los elementos que la conforman y sus relaciones.
A menudo resulta aconsejable describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la
vida real, ya sea físico, sociológico e incluso económico, en términos matemáticos. La
descripción matemática de un sistema o fenómeno se denomina modelo matemático y puede
ser tan complicada como cientos de ecuaciones simultáneas o tan sencilla como una sola
función.
Un modelo matemático es una representación simplificada de la realidad a través de
ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas o de ecuaciones que representan sus
relaciones.

19. MODELO MATEMÁTICO

20. MODELO MATEMÁTICO

21. MODELO MATEMÁTICO
Ejemplo: El agua ocupa el 71 % de la superficie del planeta. Sin
embargo, es necesario comprender que no toda el agua es
adecuada para el consumo humano. Sólo el 0,8% de su volumen
es aprovechable por los seres humanos. El agua que puede beber
el hombre proviene de reservas naturales de agua dulce (como los
lagos, ríos y lagunas), reservas artificiales (diques y azudes) y
acuíferos subterráneos. La creciente escasez de aguas lleva a que
la sociedad debe concientizarse con su uso y cuidado. Si
observamos la parte central de la factura de agua que la empresa
proveedora del servicio envía a nuestro domicilio, por la provisión
del agua potable cada mes, encontraremos los siguientes
conceptos:
Con la información dada construya un modelo lineal que
represente el consumo total.
Solución
A partir del recibo de consumo podemos
observar que hay un cargo fijo de 24 soles y el
cargo variable por 𝑚3
es de 0.6045 𝑆/𝑚3
.
Luego si representamos por 𝑥 la cantidad
consumo de agua mensual y 𝐶 𝑥 el costo total,
entonces se tiene
𝐶 𝑥 = 24 + 0.6045𝑥

22. MODELO MATEMÁTICO
Ejemplo: La empresa telefónica ALÓ, proporciona una nueva oferta.
• Un pago fijo de 30 soles mensuales, que incluye 150 minutos para llamadas.
• Se cobrará 0.20 soles por cada minuto adicional a los 150 minutos incluidos en le pago de 30
soles.
Muestra una representación gráfica de la función que representa el pago (en soles) por 𝑥 minutos.
Solución:
Sea 𝑥 la cantidad de minutos disponibles para las llamadas de
los primeros 150 minutos.
Entonces 𝑓 𝑥 = 30, 0 ≤ 𝑥 ≤ 30
Para la segunda condición 𝑓 𝑥 = 30 + 𝑥 − 150 0.20 , 𝑥 >
150
𝑓 𝑥 =
30, 0 ≤ 𝑥 ≤ 150
30 + 𝑥 − 150 0.20 , 𝑥 > 150

23. MODELO MATEMÁTICO
Ejemplo: (Modelo de depreciación lineal).
Una compañía compro un lote de auto para su personal a 24 000 dólares por
auto. La compañía asegura que el valor de cada auto disminuye linealmente
durante 6.
a) Escribir una función lineal que expresa el valor 𝑉 de cada auto como función
de su tiempo de uso.
b) ¿Cuál es el valor de cada auto luego de 3 años?
c) ¿Cuándo el valor de cada auto es de 18 000 dólares?
d) Graficar la función lineal
Solución:
Sea 𝑥 la cantidad de años, 𝑉 𝑥 representa el valor de cada
auto luego de 𝑥 años transcurridos.
Como el valor de cada auto disminuye en 6 años, entonces
24000
6
= 4000 es la disminución por año-
Entonces:
a) 𝑉 𝑥 = 24000 − 4000𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 6
b) 𝑉 3 = 24000 − 4000 3 = 12000 dólares
c) Si 𝑉 𝑥 = 18000 entonces 18000 = 24000 − 4000𝑥
4000𝑥 = 24000 − 18000
𝑥 = 1.5 años.

24. MODELO MATEMÁTICO
Interés Simple y Descuento
El interés Simple 𝐼, sobre una cantidad 𝑃 de soles a un tasa de interés 𝑟 anual durante 𝑡 años es
𝐼 = 𝑃𝑟𝑡
Ejemplo: Martín Guarniz pidió un préstamo de 6000 soles a un interés del 10% por 10 meses.
¿Cuánto interés tendrá que pagar?
Solución
A partir de la fórmula 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡, con 𝑃 = 6000, 𝑟 = 0.1, 𝑡 = 10/12 (en años)
El interés total a pagar es:
𝐼 = 6000 0.1
10
12
= 500

25. MODELO MATEMÁTICO
Valor futuro o valor al vencimiento
Si un depósito de 𝑃 soles a un tasa de interés 𝑟 anual durante 𝑡 años produce un interés 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡
, entonces la suma del capital junto con el interés después de 𝑡 años es dada por
𝐹 = 𝑃 + 𝐼 = 𝑃 + 𝑃𝑟𝑡 = 𝑃(1 + 𝑟𝑡).
Es decir el valor futuro o valor al vencimiento 𝐹 de 𝑃 soles por 𝑡 años a una tasa de interés 𝑟 por
año es:
𝐹 = 𝑃(𝐼 + 𝑟𝑡)
Ejemplo: Un banco paga un interés simple de 8% por depósito anual. Si un cliente hace un
depósito de 1000 dólares y no hace retiros durante 3 años. ¿Cuál es la cantidad total que resulta
luego de tres años?¿Cuál es el interés ganado durante este tiempo?
Solución
De acuerdo a la fórmula de capital acumulado con 𝑃 = 1000, 𝑟 = 0.08, 𝑡 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠
𝐹 = 𝑃 1 + 𝑟𝑡 = 1000(1 + 0.08 3 ) = 1240 dólares
El interés ganado durante los 3 años es 𝐼 = 𝑃𝑟𝑡 = 1000 0.08 3 = 240 𝑑ó𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

26. MODELO MATEMÁTICO
Ejemplo: (Alquiler de departamentos).El administrador de un edificio
de 18 departamentos descubrió que cada incremento de 50 soles en la
renta mensual trae como consecuencia un departamento vacío. Todos
los departamentos se rentarán a 600 soles mensuales. ¿Cuántos
incrementos de 50 soles producirán un ingreso máximo mensual para el
edificio?
Solución:
Sea 𝑥 el número de incrementos de 50 soles.
El número de departamentos rentados será de 18 − 𝑥
La renta mensual será de 600 + 50𝑥
El ingreso mensual es:
𝐼 𝑥 = 18 − 𝑥 600 + 5𝑥 = 10080 + 300𝑥 − 50𝑥2
Esta ecuación determina una parábola con vértice
−𝑏
2𝑎
, 𝑓
−𝑏
2𝑎
= (3, 11250)
Respuesta. El ingreso máximo es de 11250 soles cuando se realizan 3
aumentos de 50 soles a cada departamento.

27. MODELO MATEMÁTICO
Ejemplo: (Crecimiento Exponencial). El número de bacterias en un cultivo crece exponencialmente: Si
inicialmente están presentes en un cierto cultivo 5 000 bacterias y 30 minutos después están presentes 20
000. Hallar la tasa de crecimiento por minuto y ¿cuántas bacterias estarán presentes al final de una hora?
Solución
Sea 𝑄 𝑡 el número de bacterias en el instante 𝑡. Como el número de bacterias crece exponencialmente e
inicialmente hay 5 000 bacterias entonces 𝑄 esta definida de la siguiente forma:
𝑄 𝑡 = 5 000𝑒𝑘𝑡
Cuando 𝑡 = 0 , se tiene que 𝑄 30 = 20 000
Luego 20 000 = 5 000𝑒30𝑘
⇒ 𝑒30𝑘
= 4
⇒ 𝑙𝑛4 = 30𝑘
⇒ 𝑘 =
𝑙𝑛4
30
≅ 0.04662
𝑄 60 = 5 000𝑒60𝑘
= 80 000