Modelo de respuesta de examen inferencia estadistica

1. Primera Parcial Lapso 2012-1 738-748 – 1/2
Universidad Nacional Abierta Inferencia Estad´ıstica (738)
Vicerrectorado Acad´emico Estad´ıstica (748)
´Area de Matem´atica C´od. Carrera: 236, 280 y 508
Fecha: 28-07-2012
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1, 2 y 3.
OBJ. 1 PTA 1
Con base a los experimentos, la duraci´on de una lampara Led para micro proyectores sigue una distribuci´on
exponencial con una vida media de 20 000 hs. Si del proceso de producci´on se toma una muestra de 100
lamparas Led, ¿cu´al es, aproximadamente, la probabilidad de que la vida media de la muestra sea mayor
de 20 160 hs ?
Soluci´on : Por el Teorema Central del L´ımite se sabe que para n grande, la distribuci´on de
(X − µ)/(σ/
√
n) ∼ N(0, 1)
sin importar la poblaci´on de la cu´al se tome la muestra, siempre que las variables sean IID (Independientes
e Id´enticamente Distribuidas).
Por lo tanto, usando una tabla de distribuci´on normal se tiene:
P(X > 20160) ≈ P Z >
20160 − 20000
20000/
√
100
= P(Z > 0, 08) = 0, 4681.
Otra forma, dado que en el enunciado afirman que la duraci´on de la lampara sigue una distribuci´on
exponencial es
P(X > 20160) =
1
20000
∞
20160
e−x/β
= exp(−20160/20000) = exp(−1, 008) ≈ 0, 3650.
OBJ. 2 PTA 2
En una f´abrica de instrumentos de medici´on, el punto cr´ıtico de control de calidad, para un determinado
instrumento, esta en la variabilidad de la lectura de la magnitud f´ısica a medir. Suponga que, con base
a la experiencia, la medici´on es una variable aleatoria normal con media 10 y desviaci´on est´andar de 0,1
unidades. Si se toma una muestra aleatoria de tama˜no 25, ¿ cu´al es la probabilidad de que el valor de la
varianza muestral sea mayor de 0,014 unidades cuadradas?
Soluci´on : Se sabe por Estad´ıstica Descriptiva que la varianza muestral,
S2
=
1
n − 1
n
i=1
(xi − x)2
de aqu´ı que,
P(S2
> 0, 014) = P
n
i=1
(xi − x)2
/σ2
> (n − 1)(0, 014)/σ2
= P
n
i=1
Z2
i > 24(0, 014)/0, 01 .
La suma de n variables aleatorias est´andar independientes, sigue una distribuci´on chi-cuadrada con n − 1
grados de libertad. Al usar una tabla de distribuci´on chi-cuadrada e interpolando obtenemos,
P(S2
> 0, 014) = P
n
i=1
Z2
i > 24(0, 014)/0, 01 ≈ 0, 09
Especialista: Gilberto Noguera
“IV Premio Educa 2011, en Honor a la Excelencia Educativa” Cartagena de Indias, Colombia 2011
Validador: Carla De Pinho
Evaluadora: Florymar Robles

2. Primera Parcial Lapso 2012-1 738-748 – 2/2
OBJ. 3 PTA 3
En una empresa manufacturera se desea cambiar el proceso de producci´on del producto H7∗01. Este cam-
bio se har´a s´olo si el nuevo proceso aumenta el valor agregado del producto. Se realiza un experimento,
tomando dos muestras aleatorias de tama˜no 12 asociadas cada una a los procedimientos de manufac-
turaci´on considerados; para el proceso alternativo el promedio es 28,6 con desviaci´on est´andar de 2,7 y
para el actual procedimiento el promedio es de 24,6 con desviaci´on est´andar de 2,3. Si se supone que,
los resultados provienen de variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con varianzas
iguales:
¿Se debe adoptar o no el nuevo proceso?
¿Con base a qu´e evidencia se toma la decisi´on anterior?
Nota: Para lograr este objetivo se debe responder correctamente los dos items.
Soluci´on : Se supone que las varianzas son iguales, pero se desconoce el valor com´un de esta varianza.
¿Cu´ales indicios nos permiten hacer tal afirmaci´on?
Por lo tanto, la estad´ıstica que se utiliza es
T =
(X1 − X2) − (µ1 − µ2)
Sp (1/n1) + (1/n2)
e impl´ıcitamente suponemos que no hay diferencia entre los procesos ¿por qu´e?, adem´as
S2
p = [(n1 − 1)S2
1 + (n2 − 1)S2
2]/(n1 + n2 − 2).
De manera que, usando una tabla de distribuci´on t con n1 + n2 − 2 grados de libertad,
P(|T| > 3, 9067020804) < 0, 0005.
Este resultado es la evidencia que permite afirmar que se debe adoptar el nuevo proceso.
¿Por qu´e?
FIN DEL MODELO
Especialista: Gilberto Noguera
“IV Premio Educa 2011, en Honor a la Excelencia Educativa” Cartagena de Indias, Colombia 2011
Validador: Carla De Pinho
Evaluadora: Florymar Robles