1. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Resoluci´n de Ecuaciones Parab´licas
o
o
Bidimensionales Mediante la Descomposici´n
o
del Operador Diferencial
Alvaro M. Naupay Gusukuma.
Universidad Nacional de Ingenier´ Facultad de Ciencias, Escuela de
ıa,
Matem´tica
a
January 3, 2013
Bibliograf´
ıa

2. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resumen
1
Ejemplo 1
2
Ejemplo 2
3
Resultados
4
Comentarios
5
Bibliograf´
ıa
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa

3. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resumen
1
Ejemplo 1
2
Ejemplo 2
3
Resultados
4
Comentarios
5
Bibliograf´
ıa
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa

4. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Ecuaci´n de calor bidimensional
o
ut = uxx + uyy
EDP
0 < x, y < π t > 0
u(0, y , t) = u(π, y , t) = 0
CC.
u(x, 0, t) = u(x, π, t) = 0
u(x, y , 0) = senxseny
CI.
De manera natural tenemos
Lt (·) =
∂(·)
,
∂t
Lx (·) =
∂ 2 (·)
,
∂x 2
Ly (·) =
∂ 2 (·)
.
∂y 2
(1)
t
L−1 (·) =
t
x
L−1 (·) =
x
(2)
y
x
(·) dxdx
0
(·) dt ,
0
0
L−1 (·) =
y
y
(·) dydy . (3)
0
0

5. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
El operador diferencial :
Lu = Lt u − Lx u − Ly u
(1) y (2) implican que
t
L−1 Lt u(x, y , t) =
t
ut dt = u(x, y , t) − u(x, y , 0) .
(4)
0
Aplicando L−1 en la EDP
t
L−1 Lt u = L−1 (Lx u + Ly u)
t
t
(5)

6. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Igualando (4) y (5)
u(x, y , t) − u(x, y , 0) = L−1 (Lx u + Ly u)
t
aplicando CC. y despejano u(x, y , t)
u = senxseny + L−1 (Lx u + Ly u)
t
(6)
En este punto el m´todo define la soluci´n como
e
o
∞
u=
un
n=0
(7)

7. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Reepmplazando (7) en (6)
∞
∞
∞
un = senxseny + L−1
t
un
Lx
+ Ly
un
.
n=0
n=0
n=0
Por la linealidad de los operadores
∞
∞
L−1 (Lx (un ) + Ly (un )) .
t
un = senxseny +
n=0
n=0
es decir
u0 + u1 + u2 + . . . = senxseny + L−1 (Lx u0 + Ly u0 )
t
+
L−1 (Lx u1
t
+ Ly u1 ) +
L−1 (Lx u2
t
(8)
+ Ly u2 ) + . . .

8. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
En (8) el m´todo sugiere que
e
u0 = senxseny
un+1 = L−1 (Lx un + Ly un )
t
n≥0
(9)
luego
t
u1 (x, y , t) =
0
∂ 2 u0 ∂ 2 u0
+
∂x 2
∂y 2
dt
t
(−senxseny − senxseny ) dt = −2tsenxseny .
=
0
(10)

9. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
de manera an´loga para
a
t
u2 =
0
∂ 2 u1 ∂ 2 u1
+
∂x 2
∂y 2
dt
t
=
(2tsenxseny + 2tsenxseny ) dt
0
t2
(2t)2
senxseny .
2
2!
t
(2t)2
(2t)2
u3 =
−
senxseny −
senxseny
2!
2!
0
(2t)3
senxseny .
=−
3!
=
(11)
4senxseny =
dt

10. Ejemplo 1
Ejemplo 2
t
u4 =
0
Resultados
Comentarios
(2t)3
(2t)3
senxseny +
senxseny
3!
3!
dt
(2t)4
senxseny .
4!
... = ...
(12)
=
De (9), (10), (11) y (12) tenemos
u = senxseny − 2tsenxseny +
−
Bibliograf´
ıa
(2t)2
senxseny
2!
(2t)4
(2t)3
senxseny +
senxseny − · · ·
3!
4!

11. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
factorizando senxseny
u = senxseny
1 − 2t +
(2t)2 (2t)3 (2t)4
−
+
− ···
2!
3!
4!
Por Taylor, tenemos finalmente
u(x, y , t) = e −2t senxseny .
Bibliograf´
ıa

12. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resumen
1
Ejemplo 1
2
Ejemplo 2
3
Resultados
4
Comentarios
5
Bibliograf´
ıa
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa

13. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Ecuaci´n de calor bidimensional(No homog´nea)
o
e
EDP
ut = uxx + uyy + seny
0 < x, y < π t > 0
u(0, y , t) = u(π, y , t) = seny
CC.
u(x, 0, t) = u(x, π, t) = 0
u(x, y , 0) = senxseny + seny
CI.
De manera natural tenemos
Lt (·) =
∂(·)
,
∂t
Lx (·) =
∂ 2 (·)
,
∂x 2
Ly (·) =
∂ 2 (·)
.
∂y 2
t
L−1 (·) =
t
x
L−1 (·) =
x
y
x
(·) dxdx
0
(·) dt ,
0
0
L−1 (·) =
y
y
(·) dydy .
0
0
Bibliograf´
ıa

14. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Los operadores implican
t
L−1 Lt u(x, y , t) =
t
ut dt = u(x, y , t) − u(x, y , 0)
0
(1)
= u(x, y , t) − senxseny − seny .
Aplicando L−1 en la EDP
t
L−1 Lt u = L−1 (Lx u + Ly u + seny )
t
t
= tseny + L−1 (Lx u + Ly u) .
t
(2)

15. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Luego de (1) y (2) tenemos
u(x, y , t) = senxseny + seny + tseny + L−1 (Lx u + Ly u) (3)
t
El m´todo define la soluci´n como
e
o
∞
u=
(4)
un
n=0
Entonces reemplazando (4) en (3) tenemos
∞
∞
L−1 (Lx un + Ly un )
t
un = senxseny + seny + tseny +
n=0
n=0
(5)

16. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
El m´todo sugiere de (5) formar lo siguiente
e
u0 (x, y , t) = senxseny + seny + tseny
un+1 = L−1 (Lx un + Ly un )
t
n≥0.
(6)
Entonces
u0 =
senxseny + seny + tseny
t2
seny
2!
(2t)2
t2
t3
−1
senxseny + seny + seny
u2 = Lt (Lx u1 + Ly u1 ) =
2!
2!
3!
(2t)3
t3
t4
−1
u3 = Lt (Lx u2 + Ly u2 ) = −
senxseny − seny − seny
3!
3!
4!
4
4
5
(2t)
t
t
u4 = L−1 (Lx u3 + Ly u3 ) =
senxseny + seny + seny
t
4!
4!
5!
.
.
. .
.
.
.=.
.
.
. .
u1 = L−1 (Lx u0 + Ly u0 ) = −2tsenxseny − tseny −
t
(7)

17. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Finalmente
u(x, y , t) = seny +senxseny
1 − 2t +
(2t)3
(2t)4
(2t)2
−
+
− ...
2!
3!
4!
es decir
u(x, y , t) = seny + e −2t senxseny

18. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resumen
1
Ejemplo 1
2
Ejemplo 2
3
Resultados
4
Comentarios
5
Bibliograf´
ıa
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa

19. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Ecuaci´n de Calor Bidimensional
o
EDP
CI.
= k(uxx + uyy ) ,
0 < x, y < π , t > 0 ,
u(x, y , 0) = f (x, y ).
ut
(1)
Con f (x, y ) C ∞ y k es una constante arbitraria diferente de
cero.
Reescribiendo la EDP
Lt u = k(Lx u + Ly u)
(2)

20. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Definiendo los operadores
Lt (·) =
∂(·)
,
∂t
Lx (·) =
∂ 2 (·)
,
∂x 2
∂ 2 (·)
.
∂y 2
Ly (·) =
Los operadores seudo inversos asociados son
t
L−1 (·) =
t
x
L−1 (·) =
x
(·) dt ,
0
y
x
(·) dxdx ,
0
0
L−1 (·) =
y
y
(·) dydy .
0
0
Bibliograf´
ıa

21. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
Luego esto implica que
t
L−1 Lt u(x, y , t) =
t
ut dt = u(x, y , t) − u(x, y , 0) .
(3)
0
Por otra parte, aplicando L−1 en (2) tenemos
t
L−1 Lt u(x, y , t) = kL−1 (Lx u + Ly u)
t
t
(4)
igualando (3), (4), despejando u y reemplazando la
condici´n inicial tenemos
o
u(x, y , t) = f (x, y ) + kL−1 (Lx u + Ly u)
t
(5)

22. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
El m´todo define la soluci´n de (1) en forma de serie
e
o
∞
un (x, y , t) .
u(x, y , t) =
n=0
Reemplazando esto en (5) y teniendo presente la linearidad
de los operadores tenemos
∞
L−1 (Lx un + Ly un )
t
un (x, y , t) = f (x, y ) + k
n=0
(6)

23. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa
De (6) definimos de manera recursiva la serie de la siguiente
forma
u0 = f (x, y )
un+1 = kL−1 (Lx un + Ly un ) n ≥ 0
t
Finalmente a partir de esto reconstruimos la soluci´n
o
∞
u=
un
n=0
(7)

24. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resumen
1
Ejemplo 1
2
Ejemplo 2
3
Resultados
4
Comentarios
5
Bibliograf´
ıa
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa

25. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Comentarios
Una desventaja es que las condiciones de contorno
est´n pre determinadas por la condici´n inicial.
a
o
Una ventaja es la simpleza del m´todo
e
Este m´todo se puede aplicar tanto para EDP’s como
e
para EDO’s, lineales y no lineales, en el caso no lineal es
necesario el uso de los llamados polinomios de
Adomia, gracias a estos es posible resolver las ED no
lineales.
En la actualidad este m´todo es conocido como el
e
m´todo de descomposici´n de Adomian(Adomian
e
o
Decomposition Method, ADM), quien fue el creador a
mediados de 1980.
Bibliograf´
ıa

26. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resumen
1
Ejemplo 1
2
Ejemplo 2
3
Resultados
4
Comentarios
5
Bibliograf´
ıa
Resultados
Comentarios
Bibliograf´
ıa

27. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
Y. Cherruault, convergence of Adomian’s Method,
Kybernetes, 18(2): 31-38, 1989.
K. Abbaoui, and Y. Cherruault, Convergence of
Adomians method applied to differential equations,
Comp. Math. Appl., 28 103-9 (1994a).
K. Abbaoui, and Y. Cherruault, Convergence of
Adomians method applied to nonlinear equations,
Mathematical and Computer Modelling., 20 69-73
(1994b).
George Adomian, Solving frontier Problems of
Physics: The Decomposition Methods, Kluwer Academis
Publishers, 1994.
Abdul-Majid Wazwaz, Partial differential Equation
and Solitary Wave, Springer-Verlag, 2009.
Bibliograf´
ıa

28. Ejemplo 1
Ejemplo 2
Resultados
Comentarios
GRACIAS
“Cuanto m´s simple hagamos los conocimientos, significa
a
que hemos avanzado en su comprensi´n”.
o
Blog : www.mat-alvaro.blogspot.com
Bibliograf´
ıa