Este documento presenta conceptos básicos de la teoría de probabilidad para ingeniería. Explica definiciones como experimento aleatorio, espacio muestral, evento y probabilidad. Describe diferentes enfoques de probabilidad como el clásico, frecuencial y subjetivo. También cubre axiomas y reglas de probabilidad como la adición para calcular probabilidades de eventos. El documento incluye ejemplos y ejercicios para reforzar los conceptos.

1. ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA 1
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
SEMANA 3
Sesión 2
1

2. Al finalizar la sesión el
alumno será capaz de:
1. Determinar e identificar
conceptos como:
Experimento aleatorio,
espacio muestral y
eventos.
2. Calcular la probabilidad
asociada a un evento de
interés
LOGRO DEL TEMA
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3. MOTIVACIÓN
Un ingeniero industrial está interesado en conocer la
probabilidad de tener menos de tres productos no-conformes
por hora, en cierto proceso productivo.
El ingeniero civil calcula la probabilidad de culminar la
construcción del puente antes de los 140 días que es el
tiempo fijado por la Municipalidad de Los Olivos.
El ingeniero de redes y comunicaciones determina la
probabilidad de tener el sistema con sobrecarga.
El ingeniero de sistemas estima la probabilidad que el
equipo de computo tengo una duración mayor a los 36
meses.
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4. AGENDA
1. Definiciones básicas:
o Experimento aleatorio
o Espacio muestral
o Evento
o Probabilidad
2. Enfoques de probabilidad
o Enfoque Clásico
o Enfoque Frecuencial
o Enfoque Subjetivo
3. Axiomas de probabilidad
4. Teoremas de probabilidad: Adición
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5. EXPERIMENTO ALEATORIO ()
Ejemplos
o lanzar un dado (se obtiene 1,2,3,4,5 o 6)
o lanzar una moneda (se obtiene cara o sello)
o seleccionar un articulo para su inspección (defectuoso o no)
Propiedades
1. Todo proceso que genera un conjunto de resultados bien
definidos. En cualquier ejecución del experimento ocurrirá
solamente uno de los posibles resultados experimentales.
2. Existe incertidumbre sobre el resultado a obtener antes de
ejecutar el experimento.
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6. EL ESPACIO MUESTRAL ()
Al conjunto conformado por todos los resultados posibles de
un experimento se denomina espacio muestral y a cada
elemento de él lo llamaremos punto muestral.
El número de puntos muestrales del espacio muestral se
representa como n(Ω).
Ejemplos
1. Experimento: lanzar un dado
Espacio muestral  1={1,2,3,4,5,6}
Número de elementos: n(1) = 6
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7. EJEMPLOS
2. Experimento: extraer un carta de una baraja
Espacio muestral  2={As de coco, As de corazón,…, ocho de
trebol,…, rey de espada}
Número de elementos: n(2) = 52
3. Experimento: lanzar dos datos
Espacio muestral  3={(1,1),(1,2),…,(3,6),…,(6,6)}
Número de elementos: n( 3) = 36
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8. EL DIAGRAMA DEL ÁRBOL
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar
todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Aplicación:
Tres ingenieros industriales de una fabrica elegidos al azar deben expresar
su opinión F (favorable) o C (contraria) a la implementación de un proyecto
de mejora. Elabore un Diagrama de Árbol que represente los diversos
resultados de este experimento.
Primer
Ingeniero
F
C
Segundo
Ingeniero
F
C
F
C
Tercer
Ingeniero
F
C
F
C
F
C
F
C
Resultado
Posible
FFF
FFC
FCF
FCC
CFF
CFC
CCF
CCC
Ω ={FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC}
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9. EVENTO O SUCESO
Es cualquier subconjunto de un espacio muestral y representa
cierta característica de ella. El número de elementos en el
evento A, se representa como: n(A)
Ejemplos:
• A : {Obtener el número dos al lanzar un dado} n(A) = 1
• B : {Obtener un as al extraer una carta de una baraja} n(B) = 4
• C : {Obtener una suma de cinco en el lanzamiento de un dado
dos veces} ={(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)} n( C) = 4
• D : {Determinar si el número de autos que pasan en 2 minutos
por la intersección de dos avenidas es mayor a 10}
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10. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos elementos son mutuamente excluyentes cuando no hay
elementos comunes.
Aplicación:
Un experimento consiste en lanzar dos dados.
A: Obtener una suma de seis  A = {(5,1);(4,2);(3,3);(2,4);(1,5)}
B: Obtener una suma de cinco  B = {(4,1);(3,2);(1,4)}
C: Obtener un número par en la suma de los dados
 C = {(1,1); (1,3); … ;(6,6)}
¿A y B son eventos mutuamente excluyentes?
¿B y C son eventos mutuamente excluyentes?
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11. PROBABILIDAD
Es la cuantificación de la posibilidad de la ocurrencia de un
evento o suceso.
0 ≤ P(A) ≤ 1
Si P(A) se acerca a 0, es poco probable que el evento A ocurra.
Si P(A) se acerca a 1, es muy probable que el evento A ocurra.
Asignación de probabilidades a un punto muestral
Para asignar probabilidades a los diversos puntos muestrales, se
deben seguir dos reglas:
o La probabilidad de cada punto muestral debe estar entre 0 y 1.
o La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales
debe ser igual a 1.
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12. APLICACIÓN
o Se lanza una moneda no cargada. Cómo este experimento tiene
dos posibles resultados, asignaremos una probabilidad de ½ a
cada punto muestral. La probabilidad de cara ½ y la probabilidad
de sello ½.
o Se lanza un dado no cargado. Cómo este experimento tiene seis
posibles resultados, asignaremos una probabilidad de 1/6 a cada
punto muestral. La probabilidad de 1 es 1/6, la de 2 es 1/6 y así
sucesivamente.
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13. PROBABILIDAD DE UN SUCESO
La probabilidad de un suceso A, designada por P(A), es la
suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales de
A.
o ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de los 3
ingenieros industriales, dieran como opinión F (favorable)
para implementar de un proyecto de mejora.
Ω ={FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC}
A = {FFC, FCF, CFF,}
 P(A) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
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14. Andrey Kolmogorov (Rusia 1903-1987)
La teoría de la probabilidad
como disciplina matemática
puede ser desarrollada en la
misma forma que la
geometría o el álgebra
La obra científica gira principalmente en torno a cuestiones relacionadas con el
azar. Los fundamentos axiomáticos para la Teoría General de Probabilidades,
aparecieron en su obra Fundamentos de la Teoría de probabilidades,1933.
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15. 2. ENFOQUES DE PROBABILIDAD
Sirven para definir la probabilidad y determinar valores de probabilidad
Todos los elementos del
espacio muestral () son
igualmente probables
Utiliza la frecuencia
relativa de las
presentaciones pasadas
de un evento como una
probabilidad
Está relacionada con una
presunción, creencia o
corazonada, por lo tanto
puede variar de una
persona a otra.
nP A estimada  A
 
nA
n
 
Casos favorables
P A  
Casos totales
n
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16. ENFOQUES CLÁSICO: APLICACIÓN 1
Sea : el lanzamiento de dos dados, se define el evento
A: “la suma obtenida sea 7”
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
n(A)= 6 y n()= 36
 
 

Casos favorables
 
n A
n
Casos totales
P A
P(A) = 6/36 = 1/6 = 0,1667
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17. ENFOQUES CLÁSICO: PROBLEMA PROPUESTO 1
Un ingeniero mecánico elige 3 rodajes de una caja que
contiene 10 rodajes, para realizar un control de calidad. Se
sabe que en la caja hay 2 de los rodajes que presentan algún
tipo de defecto.
• ¿Cuál es la probabilidad de que en el
control de calidad se obtenga sólo un
rodaje defectuoso?
• ¿Cuál es la probabilidad que en el
control de calidad se obtenga por lo
menos un positivo?
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18. ENFOQUES CLÁSICO: PROBLEMA PROPUESTO 1
Un lote consta 16 artículos, de los cuales 10 artículos buenos, 4
con pequeños defectos y 2 con defectos graves. Se elige un
artículo al azar, encontrar la probabilidad de que:
a) No tenga defectos
b) Que sea bueno o que tenga un defecto
grave.
Si se eligen dos artículos en vez de uno,
calcule la probabilidad de que:
c) Ambos sean buenos
d) A lo más uno sea bueno
e) Al menos uno sea bueno
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19. ENFOQUES FRECUENCIAL: PROBLEMA PROPUESTO 3
La siguiente tabla de frecuencias corresponde a las T°
promedios en 24 horas (°C) registrados en cierto observatorio,
en el mes de enero de cierto año:
T° 20,2-20,9 20,9-21,6 21,6-22,3 22,3-23,0 23,0-23,7 23,7-24,4
N° días 1 3 12 13 1 1
Calcule la probabilidad estimada que en un día del mes de
enero, la T° promedio sea por lo menos 21,6°
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20. 3. AXIOMAS DE PROBABILIDAD
Sea  un espacio muestral y A un evento de . Una función P
definida en  es denominada una probabilidad si satisface los
siguientes axiomas:
A. P() = 1 ya que el espacio muestral  es el suceso que
contiene a todos los puntos muestrales
B. P() = 0 ya que el conjunto vacío es el suceso que no
contiene ningún punto muestral.
C. P(Ac) = 1 – P(A) la probabilidad de que el suceso A no
ocurra, designada como P(Ac), es igual a la probabilidad a 1
menos la probabilidad de que A ocurra.
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21. Intersección A y B

OPERACIONES ENTRE EVENTOS
Unión  El complemento 
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22. 4. REGLAS DE PROBABILIDAD
A. Regla de la Adición
P(AUB) = P(A) + P(B) - P A B
U
(A B)
U
(A B)
La probabilidad de que ocurran A o B o ambos, es igual a la probabilidad de
A más la probabilidad de B menos la probabilidad de que ocurran ambos.
Regla de adición para sucesos mutuamente excluyentes
A B P(AUB) = P(A) + P(B)
Si (A  B) =   P(A  B) = 0
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23. REGLAS DE PROBABILIDAD : EJEMPLO
Un ingeniero ingresa a una ferretería. La probabilidad de que compre (a)
pintura es 0,60 (b) clavos 0,50, y (c) pintura y clavos es 0,30. ¿Cuál es la
probabilidad de que compre pintura, clavos o ambos?
Solución
P(P) = 0,60
P(C) = 0,50
P(PC) = 0,30
P(PUC) = P(P) + P(C) – P(PC)
P(PUC) = 0,60 + 0,50 - 0,30
P(PUC) = 0,80
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24. REGLAS DE PROBABILIDAD : EJEMPLO
Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de
que sea un as o un rey?
P(AUR) = P(A) + P(R)
4
=
8
52
=
4
52
52

4
4
Solución
52
P(R) =
52
P(A) =
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25. APLICACIÓN: EJERCICIOS A RESOLVER
Resolver los ejercicios del Aula Virtual
Semana 3 Sesión 2
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26. 2. Una caja contiene 100 tubos de televisión. La probabilidad de que
haya al menos un tubo defectuoso es 0,05 y de que haya al menos
dos tubos defectuosos es 0,01. ¿Cuál es la probabilidad de que la
caja contenga:
a. Ningún tubo defectuoso?
b. Exactamente un tubo defectuoso?
26
COMPROBACIÓN DEL APRENDIZAJE
1. Un experimento consiste en seleccionar tres piezas en un profeso
manufacturero y observar si son defectuosos D o no Dc.
a. Elabore un Diagrama del Árbol y enumere todos los elementos
del espacio muestral.
b. Enumere el evento de que el número de defectuosos sea 0.
c. ¿Cómo puede definirse el suceso A = {DDDc ; DDcD ; DcDD}?
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27. ¿QUÉ APENDIMOS EN ESTA SESIÓN?
1. Definir e identificar experimento aleatorio, espacio
muestral y evento.
2. Definir y aplicar la probabilidad de un punto muestral y de
un suceso.
3. Distinguir y aplicar los Enfoques de probabilidad
o Enfoque Clásico
o Enfoque Frecuencial
o Enfoque Subjetivo
5. Discutir los Axiomas de probabilidad
6. Aplicar los Teoremas de probabilidad: Adición
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28. BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
o MONTGOMERY, Douglas (2005) Probabilidad y estadística
aplicada a la ingeniería. 2ª ed. Limusa Wiley. México, D.F.
o LEVIN, Richard y David Rubin (2010) Estadística para
Administración y Economía. 7ª ed. Pearson. México. Cap. 4:
Probabilidad I: Ideas introductorias. 127 – 176 págs
o LIND, Douglas; William Marchal y Robert Mason (2004)
Estadística para Administración y Economía. 11ª ed.
Alfaomega. México. Cap. 5: Revisión de algunos conceptos de
probabilidad 149 – 190 págs.
COMPLEMENTARIA
o MENDENHALL, William (1997). Probabilidad y estadística para
ingeniería y ciencias. 4a ed. Prentice-Hall Hispanoamericana.
México, D.F.
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