Este documento define conceptos clave del análisis numérico como números de máquina, errores absolutos y relativos, y fuentes de error. Explica que el análisis numérico permite resolver problemas matemáticos complejos mediante algoritmos y aproximaciones numéricas, y que los métodos numéricos son importantes en diversas áreas de ingeniería.

1. Objetivo Terminal
Analizar la diferencia entre valor exacto y aproximado, los distintos tipos de errores que se pueden
cometer cuando se programa en un computador
Objetivos Específicos
Definir análisis numérico
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De
una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear
algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén
involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada. El análisis numérico cobra
especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos
matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y
operaciones matemáticas simples. Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará
todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes
en base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando
números.
Indicar la importancia de utilizar métodos numéricos
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas
matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis
numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de
problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar
soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de
la aritmética. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos
matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con
matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los métodos numéricos se aplican en áreas
como: Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería
eléctrica, etc…
Definir números de decimales y de máquinas
Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2". El término
"representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2, la más pequeña
posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número
decimal exige de más lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica primaria de
las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión
eléctrica abierta/cerrada.

2. Encontrar números decimales a partir de números máquina decimales en bits
Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x
10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k"; De lo antes descrito, se indica que las maxi
computadoras IBM (mainframes) tienen aproximadamente k= 6 y –78 £ n £ 76.
Definir error absoluto y error relativo
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacta. Puede
ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva
o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica
por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser
positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no
tiene unidades.
Calcular errores absolutos y errores relativos
Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental.
Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los
resultados.
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor
tomado como exacto (la media aritmética).
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado
como exacto (la media aritmética).
Calcular cotas de errores absolutos y relativos
1.-Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real
Definir las fuentes básicas de errores
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error
de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se
representan los números en una PC. El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones
utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que
se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso
donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno.

3. Encontrar errores de redondeo y truncamiento
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de los cálculos
matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente: errores de truncamiento, que
resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de
redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos. En cualquier caso, la
relación entre el resultado exacto y el aproximado está dada por: Valor verdadero = valor
aproximado + error, de donde se observa que el error numérico está dado por:Ev = valor
verdadero - valor aproximado. Donde Evsignifica el valor exacto del error. La deficiencia del
truncamiento o cortado, es atribuida al hecho de que los altos términos en la representación
decimal completa no tienen relevancia en la versión de cortar o truncar; por lo tanto el redondeo
produce un error bajo en comparación con el truncamiento o cortado.