CALCULOS NUMERICOS Y ERRORES

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA EN COMPUTACIÓN
ACTIVIDAD N° 1
Integrantes:
Wilcar Rojas C. I: 13313297
Análisis Numérico

2. Conceptos En Que Se Basan Los
Métodos Numéricos, Importancia De
Utilizar Métodos Numéricos
Análisis numérico
El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se
encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas
simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del
mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente
complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones
matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje
necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos
susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que
permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

3. Cálculo Numérico y el Manejo de
Errores
El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y
realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las
características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las
computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del
algoritmo.
Si bien no nos interesa la construcción de tal dispositivo o la manera en que
funciona, si nos importarán los sistemas numéricos de máquinas en
contraposición con nuestro sistema de números reales, y los errores resultantes
de cambiar de uno a otro sistema.
Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra
comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como
algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas
computacionales.

4. Métodos numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones
aritméticas. Hay muchos tipos de métodos numéricos, y comparten una
característica común: invariablemente se deben realizar un buen número de
tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos son herramientas muy poderosas para a solución de
problemas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y
geometrías complicadas, comunes en la ingeniería. También es posible que se
utilice software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El
uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica
de estos métodos; además hay muchos problemas que no pueden plantearse al
emplear programas hechos, conociendo bien los métodos numéricos se puede
diseñar programas propios y así no comprar software costoso. Al mismo tiempo se
aprende a conocer y controlar los errores de aproximación que son inseparables
de los cálculos numéricos a gran escala.
Los métodos numéricos son un medio para reforzar la comprensión de las
matemáticas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían
obscuros, esto aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la
materia.

5. Cifras significativas.
Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que
pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos
implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.
1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se
debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados
obtenidos.
2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden
expresar exactamente con un número finito de cifras.
Exactitud y Precisión.
La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del
valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor
individual medido o calculado respecto a los otros.
La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La
imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los
valores.
Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para
que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.

6. Error.
En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exact9 y el
obtenido por aproximación se define como:
Error = Valor real -valor estimado
En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como
Ev, o deberemos estimar un error aproximado.
Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error
detectado, podemos normalizar su valor :
Ea = Error relativo (fracción) = error estimado I valor verdadero
Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos
interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor
absoluto de este.
Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que
determinó el número de cifras significativas que contiene el error como:
Si reemplazamos Es en la ecuación. Obtendremos el número de cifras significativas
en que es confiable el valor aproximado obtenido.
Así, si queremos que nuestro cálculo tenga un error menor al criterio para dos cifras
significativas, debemos obtener números que correspondan a menos de:
Es=(0.5x 102–2)%=0.5%
Esto nos servirá para determinar cuántos términos serán necesarios en un cálculo
aproximado para tener la certeza que el error se encuentra bajo el margen
especificado

7. Hay dos formas de expresar el tamaño del error en los resultados de un
cálculo, el Error Absoluto y el Error Relativo.
Error absoluto. Sea x0 una aproximación del valor exacto
x, entonces:
error absoluto: ε = ε (x) = |x − x0|
Se trata de una medida cuantitativa del error, mide asépticamente lo
que dista la aproximación x0 del valor exacto x.
Error relativo. Sea x0 una aproximación del valor exacto
x, entonces:
error relativo: e = e(x) = ε / |x|
Se trata de una medida cualitativa del error, mide lo proporcionada
que es la aproximación x0 en relación con la magnitud del valor exacto
x.

8. ERROR DE REDONDEO
Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y
12° decimal introduciendo así un error de redondeo
Por ejemplo, el valor de “e” se conoce como 2.718281828… hasta el infinito.
Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto
decimal) estamos obteniendo u error de
E = 2.718281828 −2.71828182 = 0.000000008…
Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era
mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso
en el cual el error sería solo de
E = 2.118281828 −2.11828183 = −0.000000002..
, que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.
En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error
introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de
cifras significativas.

9. ERRORES DE TRUNCAMIENTO.
Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se
usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar
el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la
serie completa (que se supone es exacta).
En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir
aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie
de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo “n”
veces.
ERROR NUMERICO TOTAL
El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y
truncamiento introducidos en el cálculo.
Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar
para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro
lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la
ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos
y seguramente mayor error de redondeo).
Entonces, ¿qué criterio utilizamos? …lo ideal sería determinar el punto en que los
errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de
truncamiento.
Pero como dije, es lo ideal; en la práctica debemos considerar que hoy por hoy los
computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por
lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar

10. Cálculos estables e inestables.
Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la distinción
entre los procesos numéricos que son estables y los que no lo son. Un
concepto muy relacionado es el de problema bien condicionado o mal
condicionado.
Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que
se producen en alguna de sus etapas se agrandan en etapas
posteriores y degradan la calidad de los resultados.
Un problema está mal condicionado si pequeños cambios en los datos
de entrada pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas.