Expansion espacial del triangulo de pascal o Prisma Combinatorio

COMBINATORIA ESPACIAL
“PRISMA COMBINATORIO” 0 EXPANSIÓN ESPACIAL DEL
TRIÁNGULO DE PASCAL
Enrique R. Acosta R. 1998-Revisado: Mayo 2018
Z⁺
⁺⁺
Y⁺
X⁺

Triángulo de Pascal( ∆ 𝟎), origen y estructura interna: Sucesiones Paralelas
El triángulo que a continuación se muestra ( ∆ 𝟎) , se denomina en Occidente como triángulo de
Tartaglia (1500-1557) o más comúnmente triángulo de Pascal (1632-1662), porque su descubrimiento
es atribuido a dichos matemáticos europeos, pero ya dicha distribución de números, aparece en la
portada del Rechnung, un libro de aritmética del matemático y astrónomo alemán Peter Apian (1499-
1552), y el matemático chino Chu Shih Chien, lo mencionó en 1303 (3 siglos antes) en su libro “El
espejo maravilloso de los 4 elementos”, refiriéndose a él como el antiguo método (usado desde 2
siglos atrás). Probablemente dicho triángulo se remonta al año 1100 d.C., cuando el poeta y matemático
persa Omar Khayyam, parece referirse a él en su famosa álgebra.
El triángulo de Pascal, se construye a partir de las sucesiones de números, constituyentes de las series ,
obtenidas a partir de la relación o identidad de recurrencia:
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)(𝑥+𝑚)
1.2.3…𝑚(𝑚+1)
−
(𝑥−1)𝑥(𝑥+1)…(𝑥+𝑚−1)
1.2.3…𝑚(𝑚+1)
=
𝑥(𝑥+1)(𝑥+2)…(𝑥+𝑚−1)
1.2.3…𝑚
,*
Nosotros hemos denotado a dichas sucesiones como : 𝑺 𝟏, 𝑺 𝟐, 𝑺 𝟑, … , 𝑺 𝒎 , donde consideramos los
primeros n términos de la sucesión, y el sub índice m, es un contador para indicar su ubicación como
serie paralela, que hacemos coincidir con el segundo término de la serie respectiva.
Cada una de estas sucesiones paralelas de n términos se caracteriza porque su término n-ésimo, es
igual a la suma de los n términos de la sucesión precedente.
La manera más usual de representar estas sucesiones, es agrupándolas en forma de un triángulo
equilátero numérico (con igual número de elementos en cada lado), y simétrico respecto a su
“altura”, en el cual estas sucesiones de números figurados, o combinatorios 𝑺 𝒎 , aparecen repetidas
en ambas direcciones oblicuas del triángulo.
El triángulo resulta ilimitado por su base y la lectura de sus filas horizontales tiene el mismo tenor, si
su lectura se hace en un sentido o en el contrario. Así mismo, cada fila inicia y termina en un valor
unitario y los restantes términos de cada fila se pueden obtener de la anterior, sumando cada dos
números consecutivos de la fila anterior, siendo esto una consecuencia inmediata de que cada
sucesión paralela, viene a ser la sucesión de las diferencias primeras de la sucesión anterior. (Ver a
modo de ejemplo el trazado de color rojo entre fila 5 y fila 6 en el gráfico numérico del triángulo)
El triángulo de Pascal, se puede considerar horizontalmente, como la distribución de números o
coeficientes que resultan de la expansión de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una
potencia k, como ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑘
, cuando k varia de cero a n. Las filas del triángulo se numeran de arriba
abajo, tal como sea el valor de k, y los términos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al
desarrollo del binomio ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
o binomio de Newton:
(𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
)
𝑛
𝑖=𝑜
𝑥1
𝑛−𝑖
𝑥2
𝑖

Estos coeficientes distribuidos en filas (líneas), se denominan coeficientes binomiales y se denotan
usualmente como:
(
𝑛
𝑚
) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑚)! 𝑚!
=
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑚 + 1)
1.2.3… 𝑚
Como es conocido, la expresión (
𝑛
𝑚
), se denomina número combinatorio, y representa el n⁰ de
combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de tal
manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sí, al menos en un elemento
(combinaciones simples, sin repetición, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace
diferenciación alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para nuestros
fines, hemos incluido el valor 1 en el vértice superior del triángulo, de manera de incluir el caso trivial
( 𝑥1 + 𝑥2)0
=1, correspondiente a k=0, y al combinatorio (
0
0
) = 1. Así aparece en la fila cero (0), el
coeficiente 1, como único elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos números es
(
𝑛
𝑚
)=(
𝑛
𝑛 − 𝑚
), implícita en su propia definición.
*La relación de recurrencia, puede expresarse en términos combinatorios como:
(
𝑛 + 𝑚
𝑚 + 1
) − (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚 + 1
) = (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚
)
Las sucesiones paralelas, se pueden expresar en términos combinatorios como:
𝑺 𝒎={(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} con i = (m-1),m,…,(m+n-2), para cada m=1,2,…,n , donde n, representa
el lugar del término en la sucesión ( y no la fila de ∆ 𝟎)
y su valor suma, 𝑺 𝒎
+
, corresponde a las combinaciones con repetición de n números naturales,
tomados m a m, que simbolizamos como: 𝑪𝒓 𝒏,𝒎 .
Luego para m=1 , con i= 0,1,…,(n-1) resulta:
𝑆1 = {(
𝑖
0
)} = {(0
0
) , (1
0
) , (2
0
) , … , ( 𝑛 − 1
0
)} = {1,1,1,1,1,… ,1} , y: 𝑆1
+
= 𝐶𝑟𝑛,1 = ∑ (
𝑖
0
) = (
𝑛
1
)𝑛−1
𝑖=0
Si m=2 , con i=1,2,…,n
𝑆2 = {(
𝑖
1
)} = {(
1
1
), (
2
1
) , (
3
1
) , …, (
𝑛
1
)} = {1,2,3,4,5,6,… , 𝑛}, y: 𝑆2
+
= 𝐶𝑟𝑛,2 = ∑ (
𝑖
1
)𝑛
𝑖=1 = (
𝑛 + 1
2
)
Notamos que 𝐶𝑟𝑛,1 = (
𝑛
1
), representa el término n-ésimo de 𝑆2
Si m=3, con i=2,3,…,(n+1)
𝑆3 = {(
𝑖
2
)} = {(
2
2
) , (
3
2
) , (
4
2
) , … , (
𝑛 + 1
2
)} = {1,3,6,10,15,21, … ,
(𝑛+1)𝑛
2!
},y: 𝑆3
+
= 𝐶𝑟𝑛,3 = ∑ (
𝑖
2
)𝑛+1
𝑖=2 = (
𝑛 + 2
3
)

𝑛 + 1
2
Para m=4, con i=3,4,…,(n+2)
𝑆4 = {(
𝑖
3
)} = {(
3
3
), (
4
3
) , (
5
3
) , …, (
𝑛 + 2
3
)} = {1,4,10,20,35,56,…,
(𝑛+2)(𝑛+1)𝑛
3!
}, y: 𝑆4
+
= 𝐶𝑟𝑛,4 = ∑ (
𝑖
3
)𝑛+2
𝑖=3 = (
𝑛 + 3
4
)
𝑛 + 2
3
………………………………………………………………………………..
La expresión general será:
Para m, con i=m-1, m, m+1,…,(m+n-2)
𝑺 𝒎 = {(
𝒊
𝒎 − 𝟏
)} = {(
𝒎 − 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎
𝒎 − 𝟏
) , (
𝒎 + 𝟏
𝒎 − 𝟏
) , … , (
𝒎 + 𝒏 − 𝟐
𝒎 − 𝟏
)}={𝟏,
𝒎
𝟏!
,
(𝒎+𝟏)𝒎
𝟐!
,
(𝒎+𝟐)(𝒎+𝟏)𝒎
𝟑!
, … ,
[𝒏+(𝒎−𝟐)][𝒏+(𝒎−𝟑)]…𝒏
(𝒎−𝟏)!
},
y: 𝑆 𝑚
+
= 𝐶𝑟𝑛,𝑚 = ∑ (
𝑖
𝑚 − 1
)𝑛+𝑚−2
𝑖=𝑚−1 = (
𝑛 + 𝑚 − 1
𝑚
),
de manera análoga, concluimos que 𝑪𝒓 𝒏,𝒎 = (
𝒏 + 𝒎 − 𝟏
𝒎
), representa el término n-ésimo de
𝑺 𝒎+𝟏, y a su vez, representa la suma de los n primeros términos de 𝑺 𝒎
+
.
Cada elemento de ∆ 𝟎 , puede escribirse como un número combinatorio de la forma (
𝑛
𝑚 − 1
) ,
donde n representa la fila considerada de ∆ 𝟎 , y m, la sucesión 𝑺 𝒎 correspondiente, así p. ej. la
intersección de la sucesión 𝑆5 , con la fila 8, estará dada por (
8
5 − 1
) = (
8
4
) = 70 , como puede
comprobarse en cualquiera de los dos gráficos de ∆ 𝟎, que presentamos a continuación.
TRIANGULO DE PASCAL NUMÉRICO ( ∆ 𝟎 ), (filas desde n=0, hasta n=8) Fila
𝑺 𝟏
1 𝑺 𝟐 0
1 1 𝑺 𝟑 1
1 2 1 𝑺 𝟒 2
1 3 3 1 𝑺 𝟓 3
1 4 6 4 1 𝑺 𝟔 4
1 5 10 10 5 1 𝑺 𝟕 5
1 6 15 20 15 6 1 𝑺 𝟖 6
1 7 21 35 35 21 7 1 𝑺 𝟗 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 8

TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS ( ∆ 𝟎 ) , (filas desde n=0, hasta n=8)
𝑺 𝟏
fila
(
𝟎
𝟎
) 𝑺 𝟐
0
(
𝟏
𝟎
) (
𝟏
𝟏
) 𝑺 𝟑
1
(
𝟐
𝟎
) (
𝟐
𝟏
) (
𝟐
𝟐
) 𝑺 𝟒
2
(
𝟑
𝟎
) (
𝟑
𝟏
) (
𝟑
𝟐
) (
𝟑
𝟑
) 𝑺 𝟓
3
(
𝟒
𝟎
) (
𝟒
𝟏
) (
𝟒
𝟐
) (
𝟒
𝟑
) (
𝟒
𝟒
) 𝑺 𝟔
4
(
𝟓
𝟎
) (
𝟓
𝟏
) (
𝟓
𝟐
) (
𝟓
𝟑
) (
𝟓
𝟒
) (
𝟓
𝟓
) 𝑺 𝟕
5
(
𝟔
𝟎
) (
𝟔
𝟏
) (
𝟔
𝟐
) (
𝟔
𝟑
) (
𝟔
𝟒
) (
𝟔
𝟓
) (
𝟔
𝟔
) 𝑺 𝟖
6
(
𝟕
𝟎
) (
𝟕
𝟏
) (
𝟕
𝟐
) (
𝟕
𝟑
) (
𝟕
𝟒
) (
𝟕
𝟓
) (
𝟕
𝟔
) (
𝟕
𝟕
) 𝑺 𝟗 7
(
𝟖
𝟎
) (
𝟖
𝟏
) (
𝟖
𝟐
) (
𝟖
𝟑
) (
𝟖
𝟒
) (
𝟖
𝟓
) (
𝟖
𝟔
) (
𝟖
𝟕
) (
𝟖
𝟖
) 8
Notamos que en la fila 0 solo hay un elemento, en la fila 1 aparecen 2 elementos, en la dos aparecen
3 elementos, y así sucesivamente, es decir el número de elementos de cada fila, corresponde a la
sucesión 𝑆2 = {(
𝑖
1
)} = 1,2,3, … , 𝑛, con i=1,2,…,n
Tres de las propiedades más conocidas del triángulo de Pascal, son las siguientes:
1. La suma de los coeficientes combinatorios de cualquiera fila n del triángulo de Pascal, es
siempre igual a 2 𝑛
, lo cual puede obtenerse al hacer 𝑥1 = 𝑥2 = 1, en
(𝑥1 + 𝑥2) 𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=𝑜 𝑥1
𝑛−𝑖
𝑥2
𝑖
, de lo cual resulta: (1 + 1) 𝑛
=∑ (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=0 = 2 𝑛
2. La suma de los coeficientes combinatorios de cualquiera fila n del triángulo de Pascal, con signos
alternados, es siempre igual a cero (0), lo cual puede obtenerse al hacer 𝑥1 = 1, y 𝑥2 = −1, en la
misma expresión del binomio de Newton, de lo que resulta: (1 − 1) 𝑛
=∑ (−1)𝑖 (
𝑛
𝑖
)𝑛
𝑖=0 = 0
3. La expresión de una fila genérica n, del triángulo de Pascal, viene dada por la expresión:
𝐹𝑖
𝑛
= {(
𝑛
𝑖
)} con i = 0,1,2, … , n, siendo n el número dela fila de ∆0
Existen otras muchas propiedades, pero no es el caso describirlas en este trabajo.
Caminos posibles y diferentes de avance, dentro de una malla reticular 3D
Dada la malla 3D reticular (cúbica) 5x5x5, mostrada en la figura, se pide hallar en número de
caminos posibles y diferentes que van desde el vértice “A”, hasta el vértice “B”, en el extremo
opuesto, únicamente con desplazamientos de avance o trazos unitarios, según sentidos y
direcciones indicados en la figura, en el vértice “A”.

La resolución de este problema, nos permitió extender algunos conceptos de la combinatoria
regular, al ámbito de la segunda y tercera dimensión, y de allí el título, o referencia con la que
encabezamos este trabajo.
1.) Comencemos hallando la solución correspondiente a un cubo elemental unitario, aislado o
“bloque”
El valor indicado en cada nodo del bloque, señala el número de formas posibles y diferentes de
llegar a él, partiendo de “A”, desplazándose según las condiciones impuestas.
En este caso, se cumplen las siguientes relaciones numéricas:
1.1) Para los vértices inmediatamente próximos o siguientes al inicio “A”, el número de caminos
posibles y diferentes es (1), para cada uno.
A
1
1
1
2
2
2
B(6)

1.2) Para los vértices inmediatamente próximos, o anteriores a “B”, el número de caminos posibles
y diferentes para llegar a cada uno de ellos es (2), para un total de (6) para llegar a “B”, y cada
uno de estos valores (2), puede obtenerse a su vez, como la suma de los valores (1),
correspondientes a los vértices inmediatamente anteriores , que están contenidos en el mismo
plano del cubo o bloque que contiene al origen “A” y al vértice considerado.
Es decir: 1+1=2
1+1=2
1+1=2
Luego, la totalidad de caminos posibles y diferentes, cada uno de tres trazos unitarios
continuos, para avanzar desde “A”, hasta ”B”, según las condiciones establecidas será: 2+2+2=6
Consideremos ahora al punto “A” como el origen de un sistema de coordenadas rectangulares
cuyos semiejes 𝑋+
, 𝑌+
, 𝑦 𝑍+
del primer octante, coinciden con las tres direcciones y sentidos
positivos de avance indicados en A=0 , como se indica a continuación en la figura.
En este caso, podemos decir que cada camino posible y diferente, consta de un trazo unitario
según 𝑋+
, un trazo unitario según 𝑌+
, y un trazo unitario según 𝑍+
. Una observación cuidadosa
nos lleva a concluir, que el número total de caminos posibles y diferentes para avanzar desde el
origen de coordenadas, hasta el punto “B”, se puede calcular como el número de
permutaciones con repetición (𝑃𝑟) de 3=1+1+1, con respecto a cada una delas coordenadas de
dicho punto. Así resulta: 𝑃𝑟3,1,1,1 =
3!
1!1!1!
= 6
2) Estudiemos ahora, el caso de dos bloques elementales adosados por un plano vertical, como se
muestra en la figura.
Coordenadas de A y de B.
A(0,0,0)
B(1,1,1)
A=0
𝑋+
𝑦+
𝑍+

El número de caminos posibles para avanzar desde “A”, hasta “B” en este caso, estará dado por el
valor acumulado en “B”, siguiéndolos mismos procedimientos que en el caso anterior,
numéricamente, tendremos:
Del caso 1), obtenemos: 1+1=2
1+1=2
1+1=2
Para un subtotal de: 2+2+2=6. A este valor, deben agregarse los otros dos valores acumulados en
los dos vértices restantes, inmediatamente próximos a ”B”, es decir: 1+2=3
1+2=3
Lo cual hace un total de: 6+3+3=12 caminos posibles y diferentes, cada uno de cuatro trazos
continuos, para avanzar desde “A” , hasta “B”, con las condiciones impuestas.
Como en cualquier caso que consideremos las coordenadas de A=0, serán siempre A(0,0,0), solo
nos interesan las coordenadas del punto de llegada, que en este caso son: B(1,2,1), y por lo tanto,
cualquiera de los caminos posibles y diferentes para avanzar desde “A”, hasta “B”, consta de un
trazo unitario según 𝑋+
, dos trazos unitarios según 𝑌+
, y un trazo unitario según 𝑍+
.
Análogamente, el número total de caminos posibles y diferentes para avanzar desde “A”, hasta “B”,
estará dado por 𝑃𝑟 de 4=1+2+1, con respecto a cada una de las coordenadas de “B”, es decir:
𝑃𝑟 4,1,2,1 =
4!
1!2!1!
= 12
3) Por último, estudiemos el caso de cuatro bloques adosados con un eje vertical común, como se
muestra en la figura. Por claridad y necesidad de espacio, hemos distorsionado la escala vertical de
la figura, para poder colocar en el gráfico los valores correspondientes a cada vértice.
A
1 2 3
2 6 B(12)
1 1
1 2 3

El número de caminos posibles para avanzar desde “A”, hasta “B” en este caso, estará dado por el
valor acumulado en “B”, siguiéndolos mismos procedimientos que en los casos anteriores,
numéricamente, tendremos:
Del caso 1) 1+1=2 Caso 2) 2+2+2=6 (viene del caso 1)
1+1=2 2+1=3
1+1=2 2+1=3
2+2+2=6 (caso 1) 6+3+3=12 (caso 2)
Caso 3) 6+3+3=12
6+3+3=12
3+3=6
12+12+6=30 (caso 3)
Lo cual hace un total de: 12+12+6=30 caminos posibles y diferentes, cada uno de cinco trazos
unitarios continuos, dos según 𝑋+
, dos según 𝑌+
, y uno según 𝑍+
, para avanzar desde “A” , hasta
“B”, con las condiciones impuestas.
Siendo las coordenadas de “B” en este caso: B(2,2,1), en número de caminos posibles y diferentes,
puede calcularse como: 𝑃𝑟de 5=2+2+1, con respecto a cada una de las coordenadas de “B”, es decir:
𝑃𝑟5,2,2,1 =
5!
2!2!1!
=30
A
1
1
2
1
3 6
3
1
2
3
1 2 3
12
6
B(30)
12
} Vienen del caso 2

Ley de generación:
Notamos que en cualquier caso, el número de caminos de avance posibles y diferentes que llegan a
un nodo o vértice (NC), es igual a la suma del número de caminos posibles y diferentes que llegan a
los nodos inmediatamente anteriores en las tres direcciones del espacio, según los sentidos de
avance dados en “A”, lo cual determina una cadena, al pasar de un nodo “anterior”, a uno
“posterior”.
Dichos números NC, constituyen un conjunto de números situados en el espacio 3D, asociados a las
coordenadas positivas de los puntos del primer octante cartesiano, cuya determinación es
extensible a cualquier malla reticular prismática, Además dichos números tienen un significado
topológico, en lo que respecta a la continuidad y sentido del movimiento dentro de dicha malla 3D.
Longitud base N⁰ de bloques
(cubos)
N⁰ nodos
(vértices)
N⁰ barras
(trazos)
1 1 8 12
2 8 27 54
3 27 64 144
4 64 125 300
5 125 216 540
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑛 𝑛3 (𝑛 + 1)3
3𝑛(𝑛 + 1)2
Tabla de elementos de una malla cúbica 3D
𝑛𝑐 𝑧
𝑛𝑐 𝑦
𝑛𝑐 𝑥
𝑁𝐶 = 𝑛𝑐 𝑥 + 𝑛𝑐 𝑦 + 𝑛𝑐 𝑧

Consideremos ahora los distintos planos horizontales que seccionan al cubo en cada nivel, para
formar las seis capas posibles desde el tope o nivel cero (0), hasta la base del cubo considerado, y
coloquemos en cada vértice o nodo, de los 25 cuadrados resultantes en cada plano, el valor
correspondiente al número de caminos posibles y diferentes que se obtienen para cada nodo, al
aplicar la ley acumulativa, antes enunciada.
Comencemos con la retícula superior (capa 1, nivel 0), para obtener:
1
1 6 21 56 126 252
1 5 15 35 70 126
1 4 10 20 35 56
1 3 6 10 15 21
1 2 3 4 5 6
A=0 1 1 1 1 1 1
CAPA 1-NIVEL 0
Notamos inmediatamente, que esta distribución de números en esta capa (capa 1, nivel 0), se
corresponde con la dada por el triángulo de Pascal para los números combinatorios o binomiales, y
que análogamente al caso de dicho triángulo, donde la bisectriz del plano, corresponde al eje de
simetría (E.S.) de dichos valores combinatorios, aquí lo es también del número de caminos posibles
y diferentes del caso. Tal correspondencia biunívoca, nos permitiría una forma alternativa para
definir el triángulo de Pascal ( ∆ 𝟎).
Esto se pone en evidencia, si graficamos dicha distribución en forma triangular, comenzando en
“A”, y superponemos sobre ella, la planta de la retícula cuadrada del nivel 0, tal como se muestra
en la figura a continuación. Es evidente también que el problema que nos ocupa, podría haber sido
planteado a partir de un prisma recto de base triangular, en lugar de un cubo.
𝑿+
𝒀+
E.S.
B

“A” 𝑆1 Fila
1 𝑆2 0
1 1 𝑆3 1
1 2 1 𝑆4 2
1 3 3 1 𝑆5 3
1 4 6 4 1 𝑆6 4
1 5 10 10 5 1 𝑆7 5
1 6 15 20 15 6 1 𝑆8 6
1 7 21 35 35 21 7 1 𝑆9 7
1 8 28 56 70 56 28 8 1 𝑆10 8
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 𝑆11 9
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10
CAPA 1 – NIVEL 0 GRAFICO DE ∆ 𝟎(Hasta la fila 10)
Por conveniencia, hemos sustituido “A” por el valor 1, como único valor correspondiente a la fila 0,
y las filas del triángulo (∆0), se han numerado convencionalmente, desde 0 en el vértice “A”, hasta
10, que correspondería al punto “B” ,en este caso.
Procederemos de manera análoga para la representación de las capas 2, 3.4, 5,y 6
correspondientes respectivamente a los niveles 1,2,3,4,y 5 del cubo, pero por razones de espacio y
visibilidad, en la representación gráfica triangular con el formato utilizado, nos limitaremos a la fila
6 de cada una de dichas capas y niveles.
𝑋+
𝑌+ “B”

7
6 42 168 504 1260 2772
5 30 105 280 630 1260
4 20 60 140 280 504
3 12 30 60 105 168
2 6 12 20 30 42
1 2 3 4 5 6 7
CAPA 2-NIVEL 1
Filas
1 0
2 2 1
3 6 3 2
4 12 12 4 3
5 20 30 20 5 4
6 30 60 60 30 6 5
7 42 105 140 105 42 7 6
CAPA 2-NIVEL 1-GRAFICO DE ∆ 𝟏(HASTA LA FILA 6)
𝒀+
B
E.S.𝑿+

Si denominamos por 𝐹𝑖
𝑁
, a la fila i, del nivel N de la capa N+1, con 𝑖 = 0,1,2, … 10, las filas
correspondientes a ∆ 𝟎, (Nivel 0, Capa 1), estarán representadas por el conjunto:
{𝐹0
0
, 𝐹1
0
, 𝐹2
0
… , 𝐹10
0 }
Siendo 𝐹0
0
=[1]
𝐹1
0
={1,1}
𝐹2
0
={1,2,1}
⋮
𝐹10
0
= {1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1}
Y si denominamos como 𝑺 𝟐
𝟏𝟏
, al conjunto de los primeros 11 términos de la sucesión paralela 𝑆2, es
decir al conjunto 𝑆2
11
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, podremos comprobar que los valores
correspondientes al conjunto de las filas de ∆ 𝟏(Nivel 1, Capa2), es decir al conjunto:
{𝐹0
1
, 𝐹1
1
, 𝐹2
1
, … , 𝐹10
1 }
Se obtienen del producto escalar
{𝐹0
0
, 𝐹1
0
, 𝐹2
0
… , 𝐹10
0 }◦𝑆2
11
, de donde resultan:
𝐹0
1
= 𝐹0
0
. 1 = {1}
𝐹1
1
= 𝐹1
0
. 2 = {2,2}
𝐹2
1
= 𝐹2
0
. 3 = {3,6,3}
⋮
𝐹6
1
= 𝐹6
0
. 7 = {7,42,105,140,105,42,7}
⋮
𝐹10
1
= 𝐹10
0
. 11 = {11,110,495,1320,2310,2772,2310,1320,495,110,11}

28
21 168 756 2520 6930 16632
15 105 420 1260 3150 6930
10 60 210 560 1260 2520
6 30 90 210 420 756
3 12 30 60 105 168
1 3 6 10 15 21 28
CAPA 3-NIVEL 2
Filas
1 0
3 3 1
6 12 6 2
10 30 30 10 3
15 60 90 60 15 4
21 105 210 210 105 21 5
28 168 420 560 420 168 28 6
CAPA 3-NIVEL 2-GRAFICO DE ∆ 𝟐(HASTA LA FILA 6)
𝒀+
B
𝑿+
E.S.

Análogamente al caso anterior, las sucesivas filas de este triángulo, se obtienen al multiplicar los
valores numéricos de las 11 primeras filas del triángulo de Pascal (∆0), por los valores
correspondientes de la sucesión paralela 𝑆3
11
= {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66}, es decir:
{𝐹0
2
, 𝐹1
2
, 𝐹2
2
, … , 𝐹10
2 } = {𝐹0
0
, 𝐹1
0
, 𝐹2
0
… , 𝐹10
0 }◦𝑆3
11
𝐹0
2
= 𝐹0
0
. 1 = {1}
𝐹1
2
= 𝐹1
0
. 3 = {3,3}
𝐹2
2
= 𝐹2
0
. 6 = {6,12,6}
⋮
𝐹6
2
= 𝐹6
0
. 28 = {28,168,420,560,420,168,28}
⋮
𝐹10
2
= 𝐹10
0
. 66 = {66,660,2970,7920,13860,16632,13860,7920,2970,660,66]
84
56 504 2520 9240 27720 72072
35 280 1260 4200 11550 27720
20 140 560 1680 4200 9240
10 60 210 560 1260 2520
4 20 60 140 280 504
1 4 10 20 35 56 84
CAPA 4-NIVEL 3
𝒀+
B
𝑿+
E.S.

Filas
1 0
4 4 1
10 20 10 2
20 60 60 20 3
35 140 210 140 35 4
56 280 560 560 280 56 5
84 504 1260 1680 1260 504 84 6
CAPA 4-NIVEL 3-GRAFICO DE ∆ 𝟑(HASTA LA FILA 6)
Análogamente al caso anterior, las sucesivas filas de este triángulo, se obtienen al multiplicar los
valores numéricos de las 11 primeras filas del triángulo de Pascal (∆0), por los valores
correspondientes de la sucesión paralela 𝑆4
11
= {1,4,10,20,35,56,84,120,165,220,286}, es decir:
{𝐹0
3
, 𝐹1
3
, 𝐹2
3
, … , 𝐹10
3 } = {𝐹0
0
, 𝐹1
0
, 𝐹2
0
… , 𝐹10
0 }◦𝑆4
11
𝐹0
3
= 𝐹0
0
. 1 = {1}
𝐹1
3
= 𝐹1
0
. 4 = {4,4}
𝐹2
3
= 𝐹2
0
. 10 = {10,20,10}
⋮
𝐹6
3
= 𝐹6
0
. 84 = {84,504,1260,1680,1260,504,84}
⋮
𝐹10
3
= 𝐹10
0
. 286 = {286,2860,12870,34320,60060,72072,60060,34320,128702860,286]

En vista de los resultados previos, obtenidos para las capas o niveles anteriores, es obvio, que para
encontrar la solución al problema planteado al inicio de este apartado, no es necesario desarrollar
los triángulos ∆5, y ∆6,, ya que bastará calcular el producto del término central de la fila 𝐹10
0
, por el
término final de la sucesión paralela 𝑆6
11
. Siendo:
𝐹10
0
= {1,10,45,120,210, 𝟐𝟓𝟐,210,120,45,10,1}, y
𝑆6
11
= {1,6,21,56,126,252,462,792,1287,2002, 𝟑𝟎𝟎𝟑}
Resulta entonces, que el número de caminos continuos de avance, posibles y diferentes para
desplazarse desde “A”, hasta “B”, está dado por el producto 252x3003= 756756
Conocemos también que tanto las filas de ∆0, como las sucesiones paralelas, tienen su expresión en
términos combinatorios, a saber:
𝐹𝑖
𝑛
= {(
𝑛
𝑖
)} con i = 0,1,2, … , n, siendo n el número dela fila de ∆0, no como en la
nomenclatura anterior, que indicaba el nivel, o plano de referencia
𝑆 𝑚={(
𝑖
𝑚 − 1
)} con i = (m-1),m,…,(m+n-2), para cada m=1,2,…,n , donde n, representa el
lugar del término en la sucesión ( y no la fila de ∆0)
Entonces, la fila 10 de ∆0, puede expresarse como:
𝐹𝑖
10
= {(
10
0
) , (
10
1
) , (
10
2
) , (
10
3
) , (
10
4
) , (
10
5
) , (
10
6
) (
10
7
) (
10
8
) (
10
9
) (
10
10
)}
Y la sucesión paralela 𝑆6
11
, como:
𝑆6
11
= {(5
0
) , (
6
1
) , (
7
2
) , (
8
3
) , (
9
4
) , (
10
5
) , (
11
6
) (
12
7
) (
13
8
) (
14
9
) (15
10
)}
Luego, la expresión combinatoria del número de caminos de avance, posibles y diferentes para
desplazarse desde “A”, hasta “B”, viene dada por el producto: (
10
5
) (
15
10
) = 252𝑥3003 = 756756
Esto pone en evidencia que todos y cada uno de los valores encontrados para las distribuciones
triangulares anteriores, son el resultado del producto de dos números combinatorios.
Al construir las distribuciones triangulares anteriores de números o productos combinatorios,
hemos encontrado que se verifica una relación análoga a la existente entre los términos de dos filas
consecutivas del triángulo de Pascal, pero con las peculiaridades que se derivan del cumplimiento
de la ley de generación de estos números, a partir de los valores correspondientes a los nodos
inmediatamente próximos.

Así por ejemplo, Para el triángulo de Pascal (capa 1-nivel0), el coeficiente binómico 10, tercero a la
derecha, en la quinta fila de ∆0, se obtiene sumando los coeficientes inmediatamente próximos en
la cuarta fila, es decir, se cumple: 10=4+6, que expresado en términos combinatorios como:
(5
2
) = (
4
1
) + (
4
2
) .En términos generales, en el triángulo de Pascal se cumple:
(
𝑛 + 1
𝑖 + 1
) = (
𝑛
𝑖
) + (
𝑛
𝑖 + 1
), donde n, es el número de la fila, e 𝑖 ∈ {0,1,2, … , 𝑛} , es el lugar del
coeficiente binómico en la fila (de izquierda a derecha)
Esto es consecuencia inmediata de una de las características básicas de las sucesiones paralelas que
conforman a ∆0, ya que cada sucesión paralela combinatoria, viene a ser la sucesión de las
diferencias primeras de la sucesión anterior.
En el caso de los triángulos numéricos obtenidos para las capas 2,3,4,5,y 6, se cumple una relación
análoga que intentaremos generalizar más adelante.
Así por ejemplo, el coeficiente 560 tercero a la derecha en la fila 5 de la capa 4-nivel 3, se obtiene
sumando los coeficientes inmediatamente próximos de la fila 4 en esa misma capa, es decir 140 y
210, pero adicionando a esa suma, el coeficiente de igual posición relativa, pero situado en la capa
anterior, es decir el valor 210 tercero a la derecha en la fila 5 de la capa 3-nivel2. En otras palabras,
se cumple: 560= (140+210)+210 *, Este resultado, como ya habíamos señalado, se corresponde con
la relación espacial entre dichos números que enunciamos anteriormente, y que gráficamente,
podemos expresar como:
*Ver valores resaltados en rojo en la fila 4 de la capa 4, y en la fila 5 de las capas 3, y 4 en
las distribuciones triangulares respectivas.
𝑛𝑐 𝑧 = 210 𝐶3,F5
𝑛𝑐 𝑦=210 C4,F4
𝑛𝑐 𝑥 = 140 C4,F4
𝑁𝐶 = 140 + 210 +210=560 C4,F5

Formulación matemática
Es posible hallar una fórmula matemática que nos dé el valor del número espacial NC, en función
de su posición relativa con respecto a un sistema de ejes coordenados cartesianos.
Utilizaremos para su deducción, un sistema de coordenadas cartesianas cuyo origen situaremos en
el vértice “A” , y cuyos sentidos positivos para sus ejes 𝑋, 𝑌, 𝑍, serán los mismos que hemos
escogido como de avance en el problema originalmente planteado, de tal forma que constituyan
una tríada de mano derecha, como se muestra a continuación:
Coordenadas de un punto genérico: 𝒙 = 𝒊, 𝒚 = 𝒋, 𝒛 = 𝒌
Ahora, analizaremos la relación entre las coordenadas de un punto genérico (𝑖, 𝑗, 𝑘) situada en el
primer octante, y el valor combinatorio correspondiente a dicho punto en la malla 3D de nuestro
caso. Dicho análisis, lo realizaremos para el mismo número de capas y niveles que consideramos
cuando abordamos el análisis del número de caminos de avance, posibles y diferentes para
trasladarse desde “A”, hasta “B” , es decir para las capas 0,1,2,3, y 4. Limitándonos a partir de la
capa 1, por razones de espacio y visibilidad en el formato utilizado para su representación, hasta la
fila 6 de cada triángulo.
(5,0,0) (5,1,0) (5,2,0) (5,3,0) (5,4,0) (5,5,0)
(4,0,0) (4,1,0) (4,2,0) (4,3,0) (4,4,0) (4,5,0)
(3,0,0) (3,1,0) (3,2,0) (3,3,0) (3,4,0) (3,5,0)
(2,0,0) (2,1,0) (2,2,0) (2,3,0) (2,4,0) (2,5,0)
(1,0,0) (1,1,0) (1,2,0) (1,3,0) (1,4,0) (1,5,0)
A(0,0,0) (0,1,0) (0,2,0) (0,3,0) (0,4,0) (0,5,0)
CAPA 1-NIVEL 0
A(0,0,0)
𝑋+
𝑦+
𝑍+
𝑋+
𝑌+

A 𝑆1 F
(
0
0
) 𝑆2 0
(
1
0
) (
1
1
) 𝑆3 1
(
2
0
) (
2
1
) (
2
2
) 𝑆4 2
(
3
0
) (
3
1
) (
3
2
) (
3
3
) 𝑆5 3
(
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
) 𝑆6 4
(
5
0
) (
5
1
) (
5
2
) (
5
3
) (
5
4
) (
5
5
) 𝑆7 5
(
6
0
) (
6
1
) (
6
2
) (
6
3
) (
6
4
) (
6
5
) (
6
6
) 𝑆8 6
(
7
0
) (
7
1
) (
7
2
) (
7
3
) (
7
4
) (
7
5
) (
7
6
) (
7
7
) 𝑆9 7
(
8
0
) (
8
1
) (
8
2
) (
8
3
) (
8
4
) (
8
5
) (
8
6
) (
8
7
) (
8
8
) 𝑆10 8
(
9
0
) (
9
1
) (
9
2
) (
9
3
) (
9
4
) (
9
5
) (
9
6
) (
9
7
) (
9
8
) (
9
9
) 𝑆11 9
(
10
0
) (
10
1
) (
10
2
) (
10
3
) (
10
4
) (
10
5
) (
10
6
) (
10
7
) (
10
8
) (
10
9
) (
10
10
) 1
0
CAPA 1 – NIVEL 0 GRAFICO DE ∆ 𝟎(Hasta la fila 10)
En esta primera capa, k = 0 para todos los puntos del nivel 0, y podemos asociar la ubicación de un
punto genérico de coordenadas (i, j, 0), con el correspondiente combinatorio (
𝑖 + 𝑗
𝑖
), de igual
posición relativa en la distribución triangular de ∆ 𝟎, donde 𝑖 + 𝑗 = 𝑛, se identifica con el valor de la
fila en el semiplano 0𝑋+
𝑌+
, e 𝑖 Є {0,1,2, … ,n}, indica su posición en la fila respectiva.
Por ejemplo:
El punto (2,3,0), con (5
2
) = 10
El punto (4,4,0), con (
8
4
) = 70
𝑋+
𝑌+ “B”

De manera que podemos asociar (i,j,0) con (
𝑖 + 𝑗
𝑖
), que también podemos escribir como:
(i,j,0) con (
𝑖 + 𝑗 + 0
0
) (
𝑖 + 𝑗
𝑖
)
(5,0,1) (5,1,1) (5,2,1) (5,3,1) (5,4,1) (5,5,1)
(4,0,1) (4,1,1) (4,2,1) (4,3,1) (4,4,1) (4,5,1)
(3,0,1) (3,1,1) (3,2,1) (3,3,1) (3,4,1) (3,5,1)
(2,0,1) (2,1,1) (2,2,1) (2,3,1) (2,4,1) (2,5,1)
(1,0,1) (1,1,1) (1,2,1) (1,3,1) (1,4,1) (1,5,1)
(0,0,1) (0,1,1) (0,2,1) (0,3,1) (0,4,1) (0,5,1)
CAPA 2-NIVEL 1
F
1 (
0
0
) 0
2(
1
0
) 2(
1
1
) 1
3(
2
0
) 3(
2
1
) 3(
2
2
) 2
4(
3
0
) 4(
3
1
) 4(
3
2
) 4(
3
3
) 3
5(
4
0
) 5(
4
1
) 5(
4
2
) 5(
4
3
) 5(
4
4
) 4
6(
5
0
) 6(
5
1
) 6(
5
2
) 6(
5
3
) 6(
5
4
) 6(
5
5
) 5
7(
6
0
) 7(
6
1
) 7(
6
2
) 7(
6
3
) 7(
6
4
) 7(
6
5
) 7(
6
6
) 6
CAPA 2-NIVEL 1, (Hasta la fila 6)
𝑋+
𝑌+

En este capa, 𝑘 = 1, para todos los puntos del nivel 1, y en este caso, podemos asociar:
Cada punto de coordenadas (i, j, 1) con el valor (
𝑖 + 𝑗 + 1
1
) (
𝑖 + 𝑗
𝑖
), por ejemplo:
(2,3,1) con (
6
1
) (
5
2
) = 6 (
5
2
) = 6𝑥10 = 60, y a
(3,1,1) con (5
1
) (
4
3
) = 5 (
4
3
) = 5𝑥4 = 20
Donde (
5
2
), y (
4
3
), son los combinatorios correspondientes en ∆ 𝟎
(5,0,2) (5,1,2) (5,2,2) (5,3,2) (5,4,2) (5,5,2)
(4,0,2) (4,1,2) (4,2,2) (4,3,2) (4,4,2) (4,5,2)
(3,0,2) (3,1,2) (3,2,2) (3,3,2) (3,4,2) (3,5,2)
(2,0,2) (2,1,2) (2,2,2) (2,3,2) (2,4,2) (2,5,2)
(1,0,2) (1,1,2) (1,2,2) (1,3,2) (1,4,2) (1,5,2)
(0,0,2) (0,1,2) (0,2,2) (0,3,2) (0,4,2) (0,5,2)
CAPA 3-NIVEL 2
F
1 (
0
0
) 0
3(
1
0
) 3(
1
1
) 1
6(
2
0
) 6(
2
1
) 6(
2
2
) 2
10(
3
0
) 10(
3
1
) 10(
3
2
) 10(
3
3
) 3
15(
4
0
) 15(
4
1
) 15(
4
2
) 15(
4
3
) 15(
4
4
) 4
21(
5
0
) 21(
5
1
) 21(
5
2
) 21(
5
3
) 21(
5
4
) 21(
5
5
) 5
28(
6
0
) 28(
6
1
) 28(
6
2
) 28(
6
3
) 28(
6
4
) 28(
6
5
) 28(
6
6
) 6
𝑋+
𝑌+

En esta capa, k = 2 para todos los puntos del nivel 2 , y en este caso, podemos asociar:
Cada punto de coordenadas (i, j, 2), con el valor (
𝑖 + 𝑗 + 2
2
) (
𝑖 + 𝑗
𝑖
), por ejemplo:
(3, 3, 2), con (
8
2
) (
6
3
) = 28 (
6
3
) = 28𝑥20 = 560, y a
(2, 3, 2), con (
7
2
) (5
2
) = 21 (5
2
) = 21𝑥10 = 210
Donde (
6
3
), y (
5
2
(5,0,3) (5,1,3) (5,2,3) (5,3,3) (5,4,3) (5,5,3)
(4,0,3) (4,1,3) (4,2,3) (4,3,3) (4,4,3) (4,5,3)
(3,0,3) (3,1,3) (3,2,3) (3,3,3) (3,4,3) (3,5,3)
(2,0,3) (2,1,3) (2,2,3) (2,3,3) (2,4,3) (2,5,3)
(1,0,3) (1,1,3) (1,2,3) (1,3,3) (1,4,3) (1,5,3)
(0,0,3) (0,1,3) (0,2,3) (0,3,3) (0,4,3) (0,5,3)
CAPA 4-NIVEL 3
F
1 (
0
0
) 0
4(
1
0
) 4(
1
1
) 1
610 (
2
0
) 10(
2
1
) 10(
2
2
) 2
20(
3
0
) 20(
3
1
) 20(
3
2
) 20(
3
3
) 3
35(
4
0
) 35(
4
1
) 35(
4
2
) 35(
4
3
) 35(
4
4
) 4
56(
5
0
) 56(
5
1
) 56(
5
2
) 56(
5
3
) 56(
5
4
) 56(
5
5
) 5
84(
6
0
) 84(
6
1
) 84(
6
2
) 84(
6
3
) 84(
6
4
) 84(
6
5
) 84(
6
6
) 6
𝑌+
𝑋+

En esta capa, k = 3 para todos los puntos del nivel 3 , y en este caso, podemos asociar:
Cada punto de coordenadas (i, j, 3), con el valor (
𝑖 + 𝑗 + 3
3
) (
𝑖 + 𝑗
𝑖
), por ejemplo:
(2, 4, 3), con (
9
3
) (
6
2
) = 84 (
6
2
) = 84𝑥15 = 1260, y a
(4, 1, 3), con (
8
3
) (5
4
) = 56 (5
4
) = 56𝑥5 = 280
Donde (
6
2
), y (
5
4
Para simplificar, hemos el obviado el análisis que resultaría muy similar para las capas 5, y 6 de
nuestro cubo inicial.
Observando cuidadosamente los diversos gráficos correspondientes a las coordenadas de los
puntos de cada capa o nivel, encontramos que las sumas de las coordenadas x, y, z, dada por
𝑖 + 𝑗 + 𝑘 = 𝑚, para una misma fila, resulta constante para una determinada capa o nivel, y
análogamente la sola suma de las coordenadas x, y, dadas por 𝑖 + 𝑗 = 𝑛, nos da el número de la
fila (n), de la distribución triangular, el cual permanece constante en cada capa o nivel. Así para la
fila 5 (resaltada con un trazo de color naranja ( ) en cada capa graficada), tendremos:
Capa Nivel (k) n=𝑖 + 𝑗 𝑚 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘
1 0 5 5
2 1 5 6
3 2 5 7
4 3 5 8
5 4 5 9
6 5 5 10
Cuadro Capa-Nivel-n-m para la fila 5

Si observamos ahora los gráficos correspondientes a los valores obtenidos para las distribuciones
triangulares en las diversas capas o niveles, encontraremos de nuevo la expresión combinatoria, de
los factores multiplicadores de cada fila de ∆0 que antes hemos asociado en el análisis capa por
capa. Así por ejemplo, para la fila 5 de cada capa, los diversos multiplicadores según la capa
considerada, corresponden al sesto término de la sucesión paralela de subíndice igual al número de
la capa considerada.
Capa Nivel Factor multiplicador Sesto término de:
1 0 (5
0
) = 1 𝑆1
2 1 (
6
1
) = 6 𝑆2
3 2 (
7
2
) = 21 𝑆3
4 3 (
8
3
) = 56 𝑆4
5 4 (
9
4
) = 126 𝑆5
6 5 (
10
5
) = 252 𝑆6
Cuadro Capa-Nivel Factor-Sucesión paralela para la fila 5
Notamos que el factor multiplicador de los combinatorios de una determinada fila del triángulo de
Pascal, que nos permite obtener los valores de esa misma fila en cada una de las distribuciones
triangulares o capas consideradas previamente, responde a la expresión combinatoria en términos
de coordenadas cartesianas del punto (𝑖, 𝑗, 𝑘) , asociada al valor (
𝑖 + 𝑗 + 𝑘
𝑘
), donde el “numerador”
del combinatorio 𝑖 + 𝑗 + 𝑘 = 𝑚, representa la suma de las coordenadas del punto considerado de
dicha fila en el nivel k (constante para todas las filas de una capa), o “denominador” común para
todos los factores multiplicadores de cualquier fila de la capa considerada.
Así mismo, cada combinatorio simple en una determinada fila del triángulo de Pascal (∆0), puede
representarse por (
𝑖 + 𝑗
𝑖
), donde 𝑖 + 𝑗 = 𝑛, representa la suma de las coordenadas del punto
correspondiente en el plano (𝑘 = 0), lo que nos da el número (n), de la fila considerada en ∆0 , y

donde al variar 𝑖, desde cero (0), hasta n, además de definir el valor del combinatorio, nos da su
ubicación relativa en la propia fila.
Entonces podemos concluir, que el número de caminos posibles y diferentes, según las condiciones
de desplazamiento ya establecidas en el planteamiento del problema, vendrá dado en función de
las coordenadas del punto considerado dentro de la malla reticular 3D, por la siguiente expresión
combinatoria:
𝑁𝐶 = (
𝑖 + 𝑗 + 𝑘
𝑘
) (
𝑖 + 𝑗
𝑖
)
En el caso de nuestro caso particular de una malla reticular cúbica 5x5x5, con 𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 5,
resulta:
𝑁𝐶 = (15
5
) (
10
5
) = (3003)(252) = 756756 Caminos, valor que ya habíamos obtenido con
anterioridad.
Para terminar, hemos decidido darle una presentación teórica más formal y general, a todos los
resultados obtenidos en el transcurso del análisis previo, que nos llevó a la resolución del problema
planteado, para ello, incluimos a continuación, el siguiente apartado denominado “Prisma
Combinatorio”
Prisma Combinatorio
Definamos las permutaciones con repetición Pᵣ,(i+j+k),i,j,k ,como el número de caminos posibles y
diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m
a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de
coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el
total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en
dirección X⁺ ,j trazos en dirección Y⁺ y, k trazos en dirección Z⁺.
En estas permutaciones con repetición, dos caminos o grupos posibles, se consideran distintos, si se
diferencian al menos en dos de sus trazos o recorridos de avance unitarios. Lo que si se repite en
cada caso, es el Nº de veces que se recorren en cada grupo o camino, los trazos en cada dirección
de avance, es decir: el Nº de trazos unitarios recorridos en dirección X⁺, el Nº de trazos unitarios

recorrido en dirección Y⁺ y, el Nº de trazos unitarios recorridos en dirección Z⁺, es el mismo para
cada uno de los caminos posibles y diferentes, siempre cada camino constituido por i+j+k=m trazos
unitarios.
El resultado de esta distribución de permutaciones con repetición, asociada a la distribución de
puntos de coordenadas enteras y positivas en el espacio 3D, se puede considerar como
“encerrada” en un espacio prismático de bordes limitados por los semiplanos coordenados
positivos y por planos transversales, perpendiculares al plano OX⁺Y⁺, cuyas intersecciones con dicho
plano o con cualquier otro paralelo a este, trazado a la altura k sobre el eje Z⁺, corresponden a
líneas, donde i+j=n, es constante, denominadas usualmente “filas”. La distribución de estos valores
así considerada, quedará contenida en capas triangulares (∆ 𝒌), determinadas por las trazas de
estos planos paralelos por k, con los semiplanos coordenados y por la fila n considerada.
La distribución asociada al caso k=0, o caso plano (∆ 𝟎), se corresponderá con la distribución de
números combinatorios o combinaciones simples(
𝒏
𝒊
), conocida como “triángulo de Pascal”.
Dichas combinaciones simples ,se podrán definir ahora en términos de permutaciones con
repetición ,Pᵣ,(i+j),i,j, correspondientes al caso k=0 del “Prisma Combinatorio”, como aquellas que
conforman el Nº de caminos posibles y diferentes, que se pueden recorrer con i+j=n elementos o
trazos unitarios, tomados n a n , para desplazarse siempre en sentido de avance (+), desde el origen
de coordenadas elegido, hasta el punto considerado (i,j), de coordenadas enteras y positivas,
situado en el plano OX⁺Y⁺, donde el total (n) de los trazos unitarios en cada camino, siempre se
construye al recorrer i trazos unitarios en dirección X⁺ y, j trazos unitarios en dirección Y⁺. Haciendo
las mismas consideraciones que para el caso espacial, pero con k=0. En este caso, las
permutaciones con repetición dispuestas en las distintas filas de ∆ 𝟎, contituyen los valores
combinatorios o coeficientes (
𝑛
𝑖
) del” Binomio de Newton”, para las diferentes potencias enteras
de n.
El valor numérico de las Permutaciones con repetición, asociadas a un punto de coordenadas
positivas y enteras (i, j, k), situado en el plano ∆ 𝒌, del “Prisma combinatorio”, vendrá dado por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k =(
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)=
(𝒊+𝒋+𝒌)!
𝒊!𝒋!𝒌!
La relación entre la distribución triangular de permutaciones con repetición en ∆ 𝒌 y en ∆ 𝟎, vendrá
dada por:
Pᵣ,(i+j+k),i,j,k= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
)Pᵣ,(i+j),i,j

Relaciones de proximidad:
Se puede obtener el valor de estas permutaciones con repetición correspondientes al punto de
coordenadas enteras y positivas (i, j, k), a partir de los 3 valores inmediatamente precedentes en
el prisma combinatorio, mediante la expresión simbólica:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j-1,k) + Pᵣ(i-1,j,k) + Pᵣ(i,j,k-1)*o, en términos combinatorios:
(
𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋
𝒊
)= (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌
)(
𝒊 + 𝒋 − 𝟏
𝒊
) + (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌
) (
𝒊 + 𝒋 − 𝟏
𝒊 − 𝟏
) + (
𝒊 + 𝒋 + 𝒌 − 𝟏
𝒌 − 𝟏
)(
𝒊 + 𝒋
𝒊
)*
*El último término en estas expresiones no procede para k=0
Asimismo, se puede obtener este valor a partir de los valores post y precedentes desde el nivel
considerado (k), hasta el nivel k=0, tomando siempre en cuenta, la permanencia de sus ubicaciones
relativas en las filas correspondientes de cada nivel. Simbólicamente:
Pᵣ(i,j,k) = Pᵣ(i,j,0) + ∑ [𝑷ᵣ(𝒊, 𝒋 − 𝟏,∝) + 𝑷ᵣ(𝒊 − 𝟏, 𝒋, ∝)]𝒌
∝=𝟏
Diagrama de distribución de Permutaciones con repetición en el “Prisma Combinatorio”-Relación entre ∆ 𝒌 y ∆ 𝟎
Nota: Aquí i, j, y k, representan las coordenadas del punto sobre los ejes 𝑋+
, 𝑌+
, y 𝑍+
, respectivamente, y no vectores
unitarios sobre dichos ejes. Así mismo 𝑚 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘, representa la suma de dichas coordenadas, y no se corresponde
con el contador utilizado como subíndice en la nomenclatura de las Sucesiones Paralelas 𝑆 𝑚. Mientras que 𝑛 = 𝑖 + 𝑗, si
corresponde al valor de la fila n, considerada en cada ∆ 𝒌.
Como podemos notar en el gráfico anterior, El valor numérico de las Permutaciones con repetición,
asociadas a un punto de coordenadas positivas y enteras (i, j, k), situado en el plano ∆ 𝒌, del
“Prisma combinatorio”, se puede denotar mediante la expresión:
∆ 𝑘
∆0

𝑃𝑟, (𝑛 + 𝑘), 𝑖, 𝑗, 𝑘 = ( 𝑛 + 𝑘
𝑘
) (
𝑛
𝑖
) , donde 𝑛 = 𝑖 + 𝑗, representa la fila n, genérica, y k, el nivel a
considerar, pero siendo ( 𝑛 + 𝑘
𝑘
) ≡ ( 𝑛 + 𝑘
𝑛
), por definición, la expresión puede escribirse como:
𝑃𝑟, (𝑛 + 𝑘), 𝑖, 𝑗, 𝑘 = ( 𝑛 + 𝑘
𝑛
) (
𝑛
𝑖
) = (
𝑛 + 𝑘
𝑛
𝑖
) = (
𝑚
𝑛
𝑖
)
Es decir, que dichas permutaciones con repetición, asociadas a los puntos de coordenadas positivas
y enteras, dentro del espacio prismático que define y delimita al “Prisma Combinatorio”, se
corresponden biunívocamente con la distribución de coeficientes trinomiales, ubicados en los
planos paralelos ∆ 𝑘 de dicho espacio prismático, siendo la distribución binomial en el plano de
base ∆ 𝟎, solo el caso particular correspondiente a 𝒌 = 𝟎 , como ya habíamos afirmado en la
definición.
A continuación se muestra los gráficos de los planos triangulares ∆ 𝒌 , del Prisma Combinatorio,
limitados por la fila n=4, para c/u de los niveles correspondientes a 𝑘 = 0,1,2,3,4,5

Y en el siguiente gráfico, intentamos una representación 3D de dicho Prisma, Hasta el nivel k=3.
Por razones de visibilidad y limitaciones de la herramienta utilizada para la representación, se ha
deformado (agrandado) la “escala” vertical.

Prisma Combinatorio conteniendo los planos ∆ 𝒌, desde 𝒌 = 𝟎, 𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝒌 = 𝟑, todos limitados por
la fila 𝒏 = 𝟒 de su propio plano
Y⁺
⁺+
X⁺
Z⁺
K=0
0
K=1
K=2
K=3

Podemos notar que los 5 elementos sucesivos distribuidos en los bordes de ∆0, ∆1, ∆2, 𝑦 ∆3, sobre
los ejes coordenados, X⁺, e Y⁺, o sus paralelas por k=0,1, 2, y 3, y sus intersecciones con el eje Z⁺,
limitados todos por la fila n= 4 de cada uno de dichos planos, corresponden, si ascendemos a partir
de ∆0 siguiendo líneas paralelas en dirección Z⁺, a los primeros 4 elementos de las sucesiones
paralelas 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑦𝑆5 , es decir los conjuntos:
𝑆1
4
= {1,1,1,1}
𝑆2
4
= {1,2,3,4}
𝑆3
4
= {1,3,6,10}
𝑆4
4
= {1,4,10,20}
𝑆5
4
= {1,5,15,35}
Como se indica a ambos lados, en el diagrama anterior del Prisma Combinatorio (P.C.), o que pueden
visualizarse claramente, trazando paralelas verticales que unan dichos elementos, en los gráficos
sucesivos de ∆ 𝑘, también ya mostrados.
Evidentemente, este resultado se puede extender a m planos ∆ 𝒌, limitados, cada uno, por la fila n
de cada plano, con lo que se obtendrían siguiendo la dirección del eje vertical, los primeros m
elementos de c/u de las n+1, sucesiones paralelas 𝑺 𝟏, 𝑺 𝟐, 𝑺 𝟑, … , 𝑺 𝒏+𝟏 respectivamente.
Veamos con un ejemplo gráfico, correspondiente a un P.C., cuya base la constituye un ∆0, limitado
por su fila 𝑛 = 4, como se distribuyen las sucesiones paralelas, tanto en las direcciones paralelas a
los ejes coordenados X⁺, e Y⁺, como en la dirección paralela al eje Z⁺
Para no congestionar de líneas dicho gráfico, hemos creído conveniente separar ambos casos, en 1⁰:
sucesiones según los ejes X⁺, e Y⁺, y 2⁰: sucesiones según el eje Z⁺:
𝑍+
1⁰: Sucesiones paralelas en ∆ 𝟎, limitado por 𝒏 = 𝟒
𝑺 𝟏
𝑺 𝟏
2𝑺 𝟐
𝑺 𝟐
3
31
1 1 1 1
𝑺 𝟒 𝑺5
1
1𝑺 𝟑
𝑺 𝟒 1
𝑺 𝟓 1
4
6
4
𝑿+
𝒀+
𝑺 𝟑

𝑍+
2⁰: Sucesiones paralelas y sus múltiplos que partiendo de un ∆ 𝟎 , limitado por la fila 𝒏 = 𝟒,
siguen la dirección 𝒁+
en el P.C.
Nota: En este 2⁰ gráfico, se han modificado las “escalas” en los ejes coordenados, para lograr una
mejor visualización.
Para la fila n de ∆0, las sucesiones paralelas al eje 𝑍+
, seguirán la secuencia:
Para el nivel k=0 del P.C. , las sucesiones paralelas que conforman dicho nivel, siguen en ambos
lados, la secuencia que corresponde Triángulo de Pascal o ∆0:
𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5, …,y así sucesivamente.
𝑺 𝟏
1
𝑺 𝟐
1
𝑺2
1
𝑺 𝟑
1
𝑺 𝟒
1
𝑺 𝟓
1
𝑆3
1
2
2𝑺 𝟑
𝑺 𝟒
𝑺 𝟓
1
1
𝟑𝑺 𝟒
3
𝟑𝑺 𝟒
3
𝟒𝑺 𝟓
4
𝟔𝑺 𝟓
6
𝟒𝑺 𝟓
4
𝑌+
𝑿+
𝑺 𝒏+𝟏
𝒏(𝒏−𝟏)
𝟐!
𝑺 𝒏+𝟏
𝑛(𝑛 − 1)
2!
𝑆 𝑛+1
𝒏𝑺 𝒏+𝟏Escriba aquí la ecuación.
1
𝒏𝑺 𝒏+𝟏
n
𝑛(𝑛 − 1)
2! . . .
𝑛(𝑛−1)
2! n 1
𝑺 𝒏+𝟏

Para el nivel k=1 del P.C., las sucesiones paralelas que conforman dicho nivel, siguen la siguiente
secuencia a ambos lados del triángulo:
1𝑆2, 2𝑆3, 3𝑆4, 4𝑆5, 5𝑆6, …., y así sucesivamente.
Para el nivel k=2 del P.C., siguen la secuencia:
1𝑆3, 3𝑆4, 4𝑆5, 5𝑆6, 6𝑆7, …, y así sucesivamente.
Para el nivel k=3, del P.C. siguen la secuencia:
1𝑆4, 4𝑆5, 10𝑆6, 20𝑆7, 35𝑆8, …, y así sucesivamente, etc.
En términos generales, la secuencia tiene la forma:
{(
𝑖
𝑘
) 𝑆𝑖+1}, con 𝑖 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, … , 𝑘 + 𝑛 − 1 para cada 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛-1
Como algo curioso y nemotécnico, las sucesiones Paralelas a ambos lados de cada uno de los
planos sucesivos ∆ 𝑘 del Prisma Combinatorio (PC), se pueden agrupar como un triángulo donde los
coeficientes que las afectan, siguen las mismas secuencias que las que corresponden a las filas de
∆0, tal como se muestra en el gráfico a continuación:
𝑆1
𝑆2 𝑆2
𝑆3 2𝑆3 𝑆3
𝑆4 3𝑆4 3𝑆4 𝑆4
𝑆5 4𝑆5 6𝑆5 4𝑆5 𝑆5
𝑆6 5𝑆6 10𝑆6 10𝑆6 5𝑆6 𝑆6
𝑆7 6𝑆7 15𝑆7 20𝑆7 15𝑆7 6𝑆7 𝑆7

Por otra parte, es interesante notar, que las sucesiones que se distribuyen según paralelas al eje
𝑍+
, y son múltiplos de las sucesiones paralelas que constituyen el plano ∆0, se corresponden con el
número de veces en que aparecen los coeficientes básicos del polinomio potenciado
( 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥 𝑟) 𝑚
, en su desarrollo.
Así p.ej. la sucesión 2𝑆3 ={2,6,12,20} corresponde al n⁰ de veces en que aparece el coeficiente 3,
cuando r toma los valores 2,3,4,y 5 respectivamente, en el desarrollo de dicho polinomio potenciado
(P.P.) elevado a la potencia 3. Para relacionar cada caso, hemos preferido resumirlos en las tablas
siguientes, (extendiéndonos hasta el caso correspondiente a r= 9 y m= 9) :
Cuando r toma los valores dados por 𝑟 = 2,3,4,5,6,7,8,9, los coeficientes, correspondientes a los
casos indicados de 𝑚 ∈ { 3,4,5,6,7,8,9} , se repiten, o aparecen en el desarrollo del P.P, un cierto
número de veces (n⁰ d.v.), siguiendo respectivamente, los términos de la sucesión
2𝑆3 = {2,6,12,20,30,42,56,72}, tal como se recoge en las tablas siguientes:
r 2 3 4 5 6 7 8 9
n⁰ d. v. 2 6 12 20 30 42 56 72
Lo cual se cumple para los coeficientes de los siguientes casos de m:
m 3 4 5 6 7 8 9
Coeficientes 3 4 5,10 6,15 7,21,35 8,28,56 9,36.84,126
Análogamente, para la sucesión 3𝑆4 ={3,12,30,60,105,168,252…}, la tablas correspondientes
serán:
r 3 4 5 6 7 8 9
n⁰ d.v. 3 12 30 60 105 168 252
m 4 5 6 7 8 9
Coeficientes 12 20,30 30 42,140,210 56,420,560 72,630,756
Para la sucesión 4𝑆5 = {4,20,60,140,280,504,…}, tendremos:
r 4 5 6 7 8 9
n⁰ d.v. 4 20 60 140 280 504

m 5 6 7 8 9
Coeficientes 60 120 210,630 336 504,7560
Para la sucesión 5𝑆6 = {5,30,105,280,630,1260}:
r 5 6 7 8 9
n⁰ d.v. 5 30 105 280 630
m 6 7 8 9
Coeficientes 360 840 1680 3024,22680
Para la sucesión 6𝑆5 ={6,30,90,210,420,756}:
r 4 5 6 7 8 9
n⁰ d.v. 6 30 90 210 420 756
m 6 8
Coeficientes 180 1120
Para la sucesión 10𝑆6 = {10,60,210,560,1260,2520}:
r 5 6 7 8 9
n⁰ d.v. 10 60 210 560 1260
m 7 8 9
Coeficientes 1260 5040 10080

Estos últimos resultados, conectan directamente al “Prisma Combinatorio”, con las Sucesiones
Paralelas que conforman la estructura interna de ∆ 𝟎, (y la del propio Prisma), y también con los
procedimientos ya estudiados, respecto a la determinación y cálculo de los coeficientes básicos de
un polinomio potenciado, y del n⁰ de veces en que aparece c/u de ellos en el desarrollo del mismo.
Como podemos notar, Esta distribución prismática de permutaciones con repetición o coeficientes
trinomiales, en planos ∆ 𝒌, paralelos al plano 𝟎𝑿⁺𝒀+
, puede interpretarse como una expansión 3D
de los números figurados o combinatorios, donde la distribución plana correspondiente a ∆ 𝟎, o
triángulo de Pascal, corresponde solo al caso particular, donde k=0.
Ejemplos relativos al cálculo de caminos en redes cuadriculadas planas o espaciales:
Sea el punto del prisma combinatorio de coordenadas (2, 3,3), situado en ∆3, entonces, el N° de
Permutaciones con repetición o caminos posibles y diferentes para avanzar desde el origen de
coordenadas hasta dicho punto, vendrá dado por:
Pᵣ,8,2,3,3=(
8
3
) (5
2
) =
8!
2!3!3!
= (56)(10) = 560, es decir existen 560 caminos posibles y diferentes,
cada uno conformado por 8 trazos unitarios, 2 en dirección X⁺,3 en dirección Y⁺, y 3 en dirección Z⁺.
Para el punto (2, 3,0), correspondiente en ∆0, el N° de permutaciones con repetición o de caminos
posibles y diferentes para avanzar desde el origen hasta dicho punto, vendrá dado por:
Pᵣ,5,2,3,0 = (
5
0
) (
5
2
) =
5!
2!3!0!
= (1)(10) = 10, es decir que existen 10 caminos posibles y diferentes,
cada uno conformado por 5 trazos unitarios ,2 en dirección X⁺ y, 3 en dirección Y⁺, valor que coincide
con el valor del combinatorio simple (5
2
) = 10.
Cálculo de Pᵣ(2,3,3) , en función de valores previos
1) En base a las permutaciones correspondientes a los puntos inmediatamente precedentes:
Simbólicamente :Pᵣ(2,3,3) = Pᵣ(2,2,3) + Pᵣ(1,3,3) + Pᵣ(2,3,2) , operacionalmente:
(
8
3
) (5
2
) = (
7
3
) (
4
2
) + (
7
3
) (
4
1
) + (
7
2
) (5
2
)
560 = (35) ( 6 ) + ( 35) ( 4 ) + ( 21 )( 10 ) = 210 + 140 + 210 √
2) En base a las permutaciones post y precedentes, correspondientes en los niveles 0,1,2 y 3 :
Pᵣ(2,3,3) = Pᵣ(2,3,0) + ∑ [𝑃ᵣ(2,2, ∝) + 𝑃ᵣ(1,3, ∝)]3
∝=1
(
8
3
) (5
2
) = (5
0
) (5
2
) + (5
1
) (
4
2
) + (5
1
) (
4
1
) + (
6
2
) (
4
2
) + (
6
2
) (
4
1
) + (
7
3
) (
4
2
) + (
7
3
) (
4
1
)
(56 ) (10 ) = ( 1)( 10 ) + (5 )( 6 ) + ( 5 )( 4 ) + ( 15 )( 6 ) + (15 )( 4 ) + (35 )( 6 ) + ( 35 )( 4)

560 = 10 + 30 + 20 + 90 + 60 + 210 + 140 √
Ejemplo de aplicación: (nuestro caso original). Consideremos la malla reticular 3D de la figura, de
elemento generador unitario, correspondiente a un cubo 5x5x5
Se pide : Hallar el número de caminos posibles y diferentes que van desde el vértice A (Considerado
como origen de coordenadas), hasta el vértice B ,situado en el extremo opuesto, únicamente con
desplazamientos de avance según las direcciones y sentidos indicados en la figura, en el vértice A
Solución: Este problema, cumple con las condiciones para aplicar la distribución de permutaciones
con repetición correspondientes al prisma combinatorio. Entonces el número de caminos posibles y
diferentes para avanzar de A hasta B , dependerá sólo de las coordenadas del vértice B .Para este
caso:
I = j = k = 5, y por ende: 𝑷
𝒓,(𝒊+𝒋+𝒌),𝒊,𝒋,𝒌=(
𝒊+𝒋+𝒌
𝒌
) (
𝒊+𝒋
𝒊
)=( 𝟏𝟓
𝟓
)( 𝟏𝟎
𝟓
)=(𝟑𝟎𝟎𝟑)(𝟐𝟓𝟐)=𝟕𝟓𝟔𝟕𝟓𝟔
Caminos, será la solución buscada.
Enrique R. Acosta R. 2018

Bibliografía (de mis trabajos matemáticos anteriores):
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016
Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de coeficientes Pentanomiales 2017
Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y
otros tópicos complementarios 2017
Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017
Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones Matemáticas 2017
Particiones con repetición. Composición de enteros 2017
Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018
Productos internos y externos del Triángulo de Pascal 2018
Nota: Cada uno de estos trabajos, puede verse y descargarse en SlideShare.net

Expansion espacial del triangulo de pascal o Prisma Combinatorio

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