Números Reales

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Duaca – Lara
números reales, conjuntos y
desigualdades
Luisana Viscaya
Sección: AD0401-C

2. Conjuntos
Definición: es una colección de elementos con características similares considerada
en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de
algún modo dentro de él.

3. Operaciones con conjuntos
También conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones
sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. Son las siguientes: unión,
intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
• Unión de conjuntos: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos
para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos
unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión
de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A,
con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa
para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪.

4. • Intersección de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto,
sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los
elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes
A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de
intersección es el siguiente: ∩.
• Diferencia de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en
donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos
que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B,
la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos
de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.

5. • Diferencia de simetrica de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un
conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos
los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos
conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no
comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de
diferencia simétrica es el siguiente: △.

6. • Complemento de un conjunto: Es la operación que nos permite formar un
conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no
están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto
universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por
todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que
pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se
denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde
el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.

7. Números Reales
Son cualquier número que corresponda a un punto en la recta real y pueden
clasificarse en números naturales, enteros, racionales e irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos infinito y
más infinito y podemos representarlo en la recta real. Se representan mediante la
letra R
Ejemplos:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real y a que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2= 1,4142135623730950488016887242097…
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f) 1,01001000100001000001000000100000001….
g) π también es real.

8. Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros
tienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen
expansión decimal periódica se llaman números Racionales (denotados por Q) y los
números que tienen expansión decimal no periódica se llaman Irracionales
(denotados por I). En consecuencia a, b y c son números racionales y d, e, f y g son
números irracionales. Claramente, la propiedad de tener expansión decimal
periódica para los racionales y la propiedad de tener expansión decimal no
periódica para los irracionales define dos tipo de números muy distintos. Lo que
significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos.
Conjunto de números reales
• Números Naturales (N) : los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, …
• Números Enteros (Z) : son los números naturales, sus negativos y el cero. Por
ejemplo: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
• Números Fraccionarios: son aquellos números que se pueden expresar como
cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma a/b con a , b
enteros y b ≠ 0.

9. • Números Algebraicos: son aquellos que provienen de la solución de alguna
ecuación algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o
anidados. Por ejemplo, √3
• En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales
algebraicos. Hay números racionales que parecen irracionales, como por ejemplo
√25.
A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento
notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales.
En efecto, √25=5.
• Números Trascendentales: no pueden representarse mediante un número finito
de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes:
trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales
trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los
irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no
periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido.

10. Desigualdades
Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son
distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).
• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b
• Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede
ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que"
• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
• estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es
mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
• Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los
elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura está
del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando
que el signo señala/apunta al elemento menor.

11. Valor Absoluto
• El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en una recta numérica.
Por ejemplo, 4 y –4 tienen el mismo valor absoluto (4).
Así, el valor absoluto de un número positivo es justo el mismo número, y el valor
absoluto de un número negativo es su opuesto. El valor absoluto de 0 es 0.

12. Desigualdades con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .

13. Ejemplo:
Resuelva y grafique | x – 7| < 3
• Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.

14. Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es :
Se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo:
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así: