Números Reales y Plano Numérico

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Estudiante: Liliher González
Materia: Matemática
Prof. Eduardo
Barquisimeto Agosto 2023
Definición de Conjuntos.

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¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí
características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, tales
como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el
conjunto de planetas del sistema solar.
A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo: en el caso
de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se
lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento.
Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos que lo
conforman, que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se define a “S” como el
conjunto de los días de la semana, por lo tanto, S= [lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado, domingo].
Operaciones con conjuntos

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Supongamos que tenemos los conjuntos M y N definidos como se muestra en la siguiente figura:
Podemos crear otro conjunto conformado con los
elementos que pertenezcan a M o a N . A este nuevo conjunto le llamamos unión de M y N , y
lo notamos de la siguiente manera: . En la imagen de abajo puedes observar el resultado de unir
los conjuntos M y N.
Al elegir qué elementos estarán en la unión de nuestros conjuntos M y N, debes
preguntarte cuáles están en el conjunto M “o” en el conjunto N. El resultado de la operación será
el conjunto conformado por todos los elementos del conjunto universal U , que cumplan la
condición de estar en uno o en otro.
Tenemos en este caso M U M = {a,c,b,g,e,l}
Números Reales:

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Los números Reales, se denotan con la letra (R) y se definen como el conjunto de
números que agrupa o incluye los números naturales (N), enteros (Z), racionales (Q) e
irracionales (I).
También se puede decir, que cualquier número racional o irracional es un número real, R
= Q ∪ I.
Por esta razón, se dice que todos los números pertenecen al conjunto R, excluyendo los
números complejos. Tampoco son números reales:
Las fracciones del tipo , ya que la división por cero no está definida.
Por ejemplo
La raíz cuadrada de un número negativo , por no estar definida
Dentro de los números reales.
La raíz par de cualquier número negativo de la formar donde
"n"es un número par.
El conjunto de los números reales tiene varias características, se dice con infinitos R ∈ (-

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∞,+∞). Siguen un orden y se pueden representar en la recta real. Por último, pueden ser
expresados como un número decimal.
Por ejemplo, 4 se puede expresar como decimal 4,00. La fracción se expresa como el
decimal 0,6. La raíz de un número; es igual a 8,062.
El conjunto de los números reales (R), también satisface a diferentes propiedades de la
matemática y se encuentran:
Propiedad de cierre o cerradura: dice que la suma o multiplicación de dos números reales,
siempre da como resultado un número real. Entonces para la suma, si a + b = c, c ∈ R. Ejemplo:
12 + 7 = 19, donde 19 pertenece a los números reales. Para la multiplicación, si a * b = c, c ∈ R.
Ejemplo: 3 * 8 = 24, entonces 24 es también un número real.
Propiedad conmutativa: el resultado de una suma o multiplicación es siempre igual, sin
importar el orden en que se encuentren los números. Para la suma a + b = b + a, por tanto en la
multiplicación a * b = b * a.
Propiedad asociativa: la manera como se agrupen los números en una suma o
multiplicación, no altera el resultado obtenido. Por tanto, en la suma (a + b) + c = a + (b + c) y
para la multiplicación: (a * b) * c = a * (b * c).
Propiedad distributiva: refiere que la multiplicación de un número por una suma o resta,
es igual a la suma o diferencia de sus productos. Donde a(b ± c) = (a * b) ± (a * c).

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Propiedad modulativa o elemento neutro: en el caso de la suma, a cualquier número que
se le sume 0, el resultado es igual al mismo número (a + 0 = a). En cambio, para la
multiplicación cualquier número que se multiplique por 1, da como resultado el mismo número
(a * 1 = a).
Como se ha estudiado, el conjunto R, está formado por varios subconjuntos. En la
imagen, se observa los 5 subconjuntos de números que pertenecen a los números reales.
Números naturales: se indican con la letra N. Son los números no decimales mayores de
0. Pertenecen a este conjunto N = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…).
 Números enteros: el conjunto de los números enteros se identifica con la letra Z. Está
formado por los números naturales y sus opuestos, es decir; por sus números negativos e
incluye al 0. Donde Z = (-9, -8, -7, …, 0, 1, 2, 3, …). Estos números no tienen parte
decimal ni fraccionaria.
Los números naturales están comprendidos dentro de los números en enteros.
 Números racionales: son todos aquellos números que pueden ser escritos como una

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fracción de números enteros, donde el denominador debe ser diferente de 0. El conjunto
de los racionales se denota con la letra Q = , , . El resultado de la fracción
puede ser un número entero, decimal finito o semiperiódico.
 Números irracionales: su propio nombre lo indica, que no son racionales, por tanto, se
definen como aquellos números que no pueden ser expresados como una fracción de
números enteros. Son decimales que no se expresan ni de manera exacta ni periódica. Se
identifican con la
 letra I = ( , π, Φ, …)
Desigualdades.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se
emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual

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Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al lado
derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.

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Propiedades de la desigualdad matemática
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las siguientes
propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia
de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener solución o
ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.

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Definición de Valor Absoluto:
El valor absoluto de un número real se define como la distancia que hay entre ese número
y el 0 de la recta real. Por ser una distancia, su valor es siempre positivo o cero e igual a la figura
del número.
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el
signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben
cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x:
|x|=x si x≥ 0
|x|=-x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el
valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante.
Es decir, multiplicado por -1.

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Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor
absoluto siempre es positivo.
Propiedades del valor absoluto
Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes:
El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y
19 es el mismo: 19.
El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores
absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|x+y|≤|x|+|y|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
|8+9|≤|8|+|9|
|17|≤8+9
17≤17
|12-25|≤|12|+|-25|
|-13|≤12+25
13≤37
16+31-21|≤|16|+|31|+|-21|

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|26|≤16+31+21
26≤68
Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa. Esta nos
indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los
factores. Es decir, se cumple lo siguiente:
|xy|=|x|.|y|
Lo anterior podemos comprobarlo en los siguientes ejemplos:
|3×4|=|3|x|4|
|12|=3×4
12=12
|6x-5|=|6|x|-5|
|-30|=6×5
30=30
Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de preservación de la
división, la cual nos indica que el valor absoluto de una división es igual al cociente de los

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valores absolutos de los mismos elementos de dicha operación. Esto, siempre que el divisor no
sea cero. Es decir, se cumple que:
|x/y|=|x|/|y|
Podemos verlo en algunos ejemplos:
|60/5|=|60|/|5|
|12|=60/5
12=12
|-87/3|=|-87|/|3|
|-29|=87/3
29=29
Valor absoluto en una gráfica
A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en un plano
cartesiano.

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En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de y siempre
será positivo, independientemente del valor de x.
Desigualdades con Valor Absoluto
Por definición, el valor absoluto de un número es la distancia de un valor desde el origen,
independientemente de la dirección. El valor absoluto se indica mediante dos líneas verticales
que encierran el número o la expresión.
Por ejemplo:, el valor absoluto de x se expresa como | x | = a, lo que implica que, x = + ay
-a. Ahora veamos qué implican las desigualdades de valor absoluto.
Una desigualdad de valor absoluto es una expresión con funciones absolutas y con signos
de desigualdad. Por ejemplo, la expresión | x + 3 | > 1 es una desigualdad de valor absoluto que
contiene un símbolo mayor que.

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Hay cuatro símbolos de desigualdad diferentes para elegir. Estos son menos de (<), mas
grande que (>), menor o igual (≤), y mayor o igual (≥). Entonces, las desigualdades de valor
absoluto pueden poseer cualquiera de estos cuatro símbolos.
Los pasos para resolver desigualdades de valor absoluto son muy similares a resolver
ecuaciones de valor absoluto. Sin embargo, hay información adicional que debe tener en cuenta
al resolver desigualdades de valor absoluto.
Las siguientes son las reglas generales a considerar al resolver desigualdades de valor
absoluto:
Aísle a la izquierda la expresión de valor absoluto.
Resuelve las versiones positiva y negativa de la desigualdad de valor absoluto.
Cuando el número del otro lado del signo de desigualdad es negativo, concluimos todos
los números reales como soluciones o la desigualdad no tiene solución.
Cuando el número del otro lado es positivo, procedemos estableciendo una desigualdad
compuesta eliminando las barras de valor absoluto.

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El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la desigualdad compuesta que se
formará. Por ejemplo, si un problema contiene mayor o mayor que / igual al signo, establezca
una desigualdad compuesta que tenga la siguiente formación:
(Los valores dentro de las barras de valor absoluto) <- (El número en el otro lado) O (Los
valores dentro de las barras de valor absoluto)> (El número en el otro lado).
De manera similar, si un problema contiene un signo menor o menor que / igual,
configure una desigualdad compuesta de 3 partes de la siguiente forma:
- (El número al otro lado del signo de desigualdad) <(cantidad dentro de las barras de
valor absoluto) <(El número al otro lado del signo de desigualdad)
Ejemplo:
Resuelve la desigualdad para x: | 5 + 5x | - 3> 2.
Solución
Aísle la expresión de valor absoluto sumando 3 a ambos lados de la desigualdad;
=> | 5 + 5x | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
=> | 5 + 5x | > 5.

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Ahora resuelva las "versiones" positivas y negativas de la desigualdad de la siguiente
manera;
Asumiremos símbolos de valor absoluto resolviendo la ecuación de la manera normal.
=> | 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5.
=> 5 + 5_x_> 5
Resta 5 de ambos lados
5 + 5x (- 5)> 5 (- 5) 5x> 0
Ahora, divide ambos lados entre 5
5x / 5> 0/5
x> 0.
Por tanto, x> 0 es una de las posibles soluciones.

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Para resolver la versión negativa de la desigualdad de valor absoluto, multiplique el
número del otro lado del signo de desigualdad por -1 e invierta el signo de desigualdad:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x <- 5 => 5 + 5x <-5 Restar 5 de ambos lados => 5 + 5x (−5) <−5 (-
5) => 5x <−10 => 5x / 5 < −10/5 => x <−2.
x> 0 ox <−2 son las dos posibles soluciones a la desigualdad. Alternativamente, podemos
resolver | 5 + 5x | > 5 usando la fórmula:
(Los valores dentro de las barras de valor absoluto) <- (El número en el otro lado) O (Los
valores dentro de las barras de valor absoluto)> (El número en el otro lado).
Ilustración:
(5 + 5x) <- 5 O (5 + 5x)> 5
Resuelve la expresión anterior para obtener;
x <−2 o x> 0