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DEFINICIONES
• Ecuación:
Igualdad que contiene variables.
• Ecuación Lineal:
Ecuación en la cual el exponente de la variable es 1.
• Ecuación Trivial:
Ecuación en la cual aparece la variable despejada (solita)
en un lado de la ecuación y en el otro lado aparece una
constante (número).
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PROCESO para resolver una ecuación
lineal…
3x – 7 = 14
Hay que convertir la ecuación anterior a la
ecuación trivial,
o sea,
hay que despejar la variable en uno de los
lados de la ecuación, el izquierdo o el
derecho.
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Recordar que...
• Una ecuación es como una balanza
de dos platillos…
Lo que se hace en un lado
de la ecuación hay que
hacerlo en el otro lado
para que se mantenga la
relación de igualdad.
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Para que una ecuación permanezca
balanceada…
• Hay que aplicar las propiedades de la igualdad:
Propiedad Aditiva de la Igualdad
Propiedad Multiplicativa de la Igualdad
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PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
• Propiedad Aditiva
Para todo número a, b, c:
Si a = b, entonces, a + c = b + c
Esta propiedad asegura que en una igualdad
al sumar una misma cantidad en ambos
lados, se obtiene el mismo resultado.
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PROPIEDADES DE LA IGUALDAD
• Propiedad Multiplicativa
Para todo número a, b, c,
c 0:
Si a = b, entonces, a . c = b . c
Esta propiedad asegura que en una igualdad al
multiplicar una misma cantidad en ambos lados,
excepto 0, se obtiene el mismo resultado.
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Ecuaciones que contienen fracciones
Hay dos tipos de métodos que aplicamos para
eliminar las fracciones:
Método de Proporciones
Método de No-Proporciones
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Ecuaciones que contienen fracciones
Método de Proporciones
Aplica cuando es una proporción.
Una proporción es una igualdad entre dos fracciones.
Ejemplos de proporciones:
x – 4 = x + 4
3 2
2x – 4 = x + 8
3 5
En una proporción
si se multiplica
cruzado se obtiene
la misma cantidad.
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Ecuaciones que contienen fracciones
Método de Proporciones
x – 4 = x + 4
3 2
2 (x – 4) = 3 (x + 4)
2x – 8 = 3x + 12
-12 + -8 = 3x – 2x
-20 = x
Se multiplica
cruzado.
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1. Ana y Sofia tienen juntos $75. Si Sofia tiene $5 más que Ana.
¿Cuánto dinero tiene Sofia?
Solución: Sean: Ana: $/. X, Sofia: $/. (x + 5)
Planteamiento: x + x + 5 = 75 2x = 70 x = 35
Entonces Sofia tiene $/. 40
PROBLEMAS DE PRÁCTICA
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2. Dos hermanos guardan su dinero en una cuenta mancomunada. Al
cabo de un año tienen en total S/.8000, pero al mayor de ellos le
corresponde el triple de dinero que al menor. ¿Cuánto posee el
hermano menor?
Solución: Sean los hermanos: Hermano 1: S/. x, Hermano 2: S/. 3x
Planteamiento: 3x + x = 8000 4x = 8000 x = 2000
Entonces el hermano mayor posee S/. 6000
PROBLEMAS DE PRACTICA
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PROBLEMAS DE PRACTICA
3. Desde el comienzo del año se gana en cada mes $600 más
que el mes anterior. Si en el cuarto mes (Abril) gana siete
veces lo que gana en el primer mes, ¿Cuánto ganó en
el mes de enero?
Solución: Sean los meses:
Enero : $ x
Febrero: $ (x + 600)
Marzo: $ (x + 1200)
Abril: $ (x + 1800)
Planteamiento: x + 1800 = 7x 6x = 1800 x = 300;
en Enero ganó $ 300
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CONSIDERACIONES……………
En toda producción de cualquier bien en una empresa,
siempre intervienen dos tipos de costos:
COSTOS FIJOS (CF). Los costos fijos o constantes, son
aquellos que no varían con la producción. Son fijos
con respecto al volumen, pero varían en cuanto a
capacidad y tamaño de la planta. Son costos fijos los
pagos de alquileres, remuneraciones de los
trabajadores estables, materiales de consumo,
viáticos y movilidad, gastos legales, útiles de oficina,
las amortizaciones, los gastos de distribución, los
impuestos a la propiedad predial, etc.
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CONSIDERACIONES……………
COSTOS VARIABLES (CV). Son
aquellos que dependen del
nivel de producción y/o ventas
en un momento determinado.
Pueden ser progresivos,
proporcionales o regresivos
con respecto al volumen. Son
costos variables la materia
prima, la mano de obra
contratada o eventual,
lubricantes, combustibles,
gastos en conservación de
maquinarias, vapor industrial,
gastos de venta, etc.
COSTO TOTAL (CT).
Denominado “costo de
producción total”, reflejan el
monto de desembolsos
efectuados en la fabricación
de bienes y servicios y se
representa de la siguiente
manera:
CT = CV + CF
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CONSIDERACIONES……………
INGRESO ( I ). Es lo que se recibe por las
ventas de un bien particular y se expresa:
Donde:
I = ingreso,
Pv = precio de venta por unidad,
q = número de unidades
I = Pv . q
UTILIDAD (U). La utilidad está expresada
de la siguiente manera:
U = I - CT
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EJERCVICIO1
1. Una empresa en la que se fabrica cierta refacción de un automóvil
tiene por concepto de pago de renta del local, agua y luz una
cantidad mensual fija de $12, 000.00 y por concepto de materia
prima aumenta su costo a razón de $1.20 por producto y por
concepto de mano de obra $ 0.80 por producto. Determinar su
costo total al final del mes si la producción fue de 10,000 artículos.
.
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EJERCVICIO1
Solución: Del problema se tienen los siguientes datos:
CF = $12 000
Materia prima = $1.20 x producto
Mano de obra = $0.80 x producto
q = 10 000
CT = ¿
Se sabe que: CT = CF + CV
Pero el costo variable depende de la materia prima y mano de obra,
además de los productos a fabricar, es decir:
CV = (MP + MO) . q
Entonces: CV = (1.20 + 0.80)10 000 = 20 000
Reemplazando: CT = 12 000 + 20 000 = 32 000
Por lo tanto el costo total es de 32 000 dólares.
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EJERCICIO2
Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables
de $ 5 por unidad y costos fijos de $ 80 000. Cada uno tiene
un precio de venta de $ 12. Determine el número de
unidades que deben venderse para que la compañía
obtenga utilidades de $ 60 000.
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EJERCICIO2
Solución: Del problema se tienen los siguientes datos:
CF = $80 000
CV = $5 x producto
q = ¿
Pv = $12
U = $60 000
Se sabe que: CT = CF + CV CT = 80 000 + 5q
Además I = Pv . Q
I = 12q
Reemplazando en: U = I – CT
60 000 = 12q – (80 000 + 5q)
60 000 = 12q – 80 000 – 5q
140 000 = 7q
20 000 = q
Por lo tanto se deben de producir 20 000 unidades.
