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1. 3.° grado: Matemática
SEMANA 6
DÍA 3
Hallamos precios justos empleando
funciones cuadráticas

2. INAS
Cuaderno de trabajo de matemática:
Resolvamos problemas 3_día 3, páginas 32 y 33.
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.
Los recursos que utilizaremos serán:
Días 3 y 4:
Resolvamos…

3. Leemos y observamos la siguiente situación

4. Un vendedor de frutas tiene 100 kg de naranja
para la venta a S/ 2 por kilogramo; además, cada
día que pasa se estropea 1 kg. Cuando baja la
oferta de la fruta, el precio se incrementa en S/
0,10 por kilogramo. Entonces, la función que
representa el ingreso por la venta de todas las
naranjas en relación con el número de días que
transcurren está dada por el producto de la
cantidad por el precio:
F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x), donde: x representa los
días transcurridos hasta que se efectúa la venta de
todas las naranjas que quedan.
A partir de la situación responde:
¿En cuántos días debe vender las naranjas para obtener el máximo ingreso?
¿Cuánto es el máximo ingreso que obtiene?
Vendiendo naranjas

5. ¿Qué datos se presentan en la situación?
Los datos que presenta la situación son:
• Cantidad de naranjas
• Precio por kilogramo
• Incremento de precio
Estos datos son expresados en la función que representa el ingreso por
la venta de todas las naranjas: F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x).
Comprendemos la situación

6. Organizo en una tabla los
resultados obtenidos con
la función que representa
el ingreso.
Resolución
Tiempo
(días)
Ingreso
(S/)
0 200
20 320
40 360
60 320
80 200
100 0
De la situación tenemos la
función que representa el
ingreso:
F(x) = (100 – x) (2 + 0,1x)
Si x es número de días y
F(x): ingreso
En la función hallamos el
valor de los ingresos para
los siguientes días:
Para x = 20 días:
F(x) = (100 – 20)(2 + 0,1 ! 20)
F(x) = 320
Para x = 40 días:
F(x) = (100 – 40)(2 + 0,1 ! 40)
F(x) = 360
Para x = 60 días:
F(x) = (100 – 60)(2 + 0,1 ! 60)
F(x) = 320
Para x = 80 días:
F(x) = (100 – 80)(2 + 0,1 ! 80)
F(x) = 200
Respondiendo las preguntas de la situación

7. En una hoja cuadriculada, programa Geogebra o Excel,
represento gráficamente los valores de ingreso en el eje de las
ordenadas (F(x)) y los días en el eje de la abscisa (x) .
En la gráfica mostrada la
función que representa el
ingreso se abre hacia
abajo:
F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x)
El mayor ingreso, se ubica
en el punto (40; 360), que
viene a ser el vértice de la
función.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 20 40 60 80 100 120
(40; 360)
F(x):ingreso(S/)
X: días
(100; 0)
(0; 200)
Respuesta: Las naranjas se deben vender
todas el día 40 para obtener el máximo
ingreso, que será S/ 360.
Tiempo
(días)
Ingreso
(S/)
0 200
20 320
40 360
60 320
80 200
100 0
Recuerda: El vértice es
el punto más alto en una
parábola que se abre
hacia abajo
!

8. Describe el procedimiento que realizarías para dar respuesta a las
preguntas de la situación.
Estrategia :
• Lee la situación y los datos principales que se nos brinda en la situación.
• Reemplaza varios valores de días en la función para obtener los ingresos.
• Organiza los valores para la cantidad de días e ingreso de dinero, en una
tabla.
• Con la información de la tabla, representa gráficamente la función en un
plano cartesiano.
• A partir de la información brindada en la tabla y la gráfica, responde las
preguntas de la situación.
Diseñamos una estrategia o plan

9. La función cuadrática es una función
polinomial de la forma: y = ax2 + bx + c, a≠0.
La gráfica de una función cuadrática es una
parábola cuyas ramas se abren hacia arriba, si
a > 0 o hacia abajo, si a < 0.
La función cuadrática toma su valor máximo
o mínimo en el punto(−
#
$%
,
'%()#*
'%
), el cual se
llama vértice de la parábola.
El eje de ordenadas o eje Y es la recta
vertical, representada habitualmente
por la letra Y, que forma parte de un
sistema de coordenadas cartesianas.
El eje de abscisas o eje X es
el eje horizontal, representada
habitualmente por la letra X, de un
sistema de coordenadas cartesianas.
Algunas nociones básicas

10. 1. ¿Qué estrategias se emplearon en el desarrollo?
Respuesta:
Se utilizaron las estrategias:
• Diagramas tabulares (tablas)
• Diagramas cartesianos (plano
cartesiano).
Diagramas tabulares: se emplean cuando se
brinda información sobre características que
relacionan dos grupos. También en problemas
sobre la búsqueda de algún patrón o regla de
formación.
Diagramas cartesianos: son de gran utilidad
cuando se requiere representar funciones o si
tenemos pares ordenados o relaciones entre
dos variables.
Ejecutamos la estrategia o plan

11. 2. ¿De qué otra manera se puede expresar la función ingreso: F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x)?
De la situación, tenemos que la función ingreso
es: F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x).
Efectuamos la multiplicación de los términos:
F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x)
F(x) = 200 + 100 ! 0,1x ─ 2x ─ 0,1· x · x
F(x) = 200 + 10x ─ 2x ─ 0,1· x2
F(x) = 200 + 8x ─ 0,1x2
Organizamos los términos de forma
descendente:
F(x) = ─ 0,1x2 + 8x + 200
Respuesta: La otra manera que podemos
expresar es: F(x) = ─ 0,1x2 + 8x + 200.
Recuerda:
La expresión (a + b)(c + d),
representa la multiplicación de
dos binomios, la cual podemos
desarrollar así:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Ten en cuenta los signos que
preceden a cada término del
binomio.
Sigamos respondiendo
!

12. 3. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta se realiza en 20 días?
Para responder esta pregunta:
1.° Utilizaremos la tabla elaborada en la resolución.
2.° Seleccionamos en
la tabla el ingreso
que corresponde a
20 días.
Respuesta: Si la venta realiza en 20 días logra un
ingreso de S/ 320, no se llega al ingreso máximo.
3.° Reemplazamos en la función:
Si x = 20 días:
F(x) = (100 – 20)(2 + 0,1·20)
F(x) = (80)(2 + 2)
F(x) = (80)(4)
F(x) = 320
Tiempo
(días)
Ingreso
(S/)
0 200
20 320
40 360
60 320
80 200
100 0
Sigamos respondiendo

13. 4. ¿Qué sucede con el ingreso si la venta excede los 40 días?
1.° Para responder esta pregunta utilizaremos la tabla elaborada en resolución.
2.° Seleccionamos 60 días en la tabla, es un valor que exceda a 40 días.
3.° Remplazamos el valor en la función:
Si x = 60 días:
F(x) = (100 – 60)(2 + 0,1 · 60)
F(x) = (40)(2+6)
F(x) = (40)(8)
F(x) = 320
Respuesta: Si la venta excede a 40 días, el valor de ingreso empieza a disminuir.
Exceder: sobrepasar
cierto límite,
cantidad o valor.
Toma nota:
Tiempo
(días)
Ingreso
(S/)
0 200
20 320
40 360
60 320
80 200
100 0
Sigamos respondiendo

14. 5. ¿Qué partes de la gráfica obtenida no corresponden a la resolución de la
situación? Argumenta tu respuesta.
1.° Para responder utilizaremos la gráfica de la función: F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x).
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 20 40 60 80 100 120
(40; 360)
F(x):ingreso(S/)
X: días(100;0)
(0;200)
Tiempo
(días)
Ingreso
(S/)
0 200
100 0Recuerda esta gráfica y la tabla que
elaboramos en la resolución de la situación.
El ingreso es bajo porque
el precio es bajo.
El ingreso es muy bajo porque ya
quedan pocas naranjas para vender
aunque el precio sea alto.
Para el día 100, quedan 0
naranjas por vender, se
malograron todas o no puedes
vender.
Finalizamos con esta pregunta
!

15. 2.° Tomaremos un valor que está fuera de la región sombreada: 120 días
Para x = 120 días:
F(x) = (100 – 120)(2 + 0,1 · 120)
F(x) = (–20)(2 + 12)
F(x) = (–20)(14)
F(x) = –280
El ingreso es – 280 soles, lo que quiere decir que hay pérdida.
Respuesta: No corresponden tomar los valores fuera de la región sombreada,
porque el ingreso es negativo, es decir, pagarás por que se las lleven.
Seguimos con esta pregunta

16. ¿Podrías usar otro procedimiento para dar respuesta a las preguntas de la
situación? Justifica tu respuesta.
Si F(x) = (100 – x)(2 + 0,1x) se representada en la forma: F(x) =
! "#
$%
+ 8( + 200.
Tenemos los valores de: a =
!$
$%
, b = 8 y c = 200.
El punto más alto o más bajo se llama vértice de la parábola: V (x; F(x)) = [(
!,
-.
); F(
!,
-.
)].
Entonces x =
!,
-.
=
!0
-(!
2
23
)
=
56
2
5#
23
=
(!0)($%)
($)(!-)
=
0%
-
=40
Remplazamos el valor de x en:
F(x) =
! 7%#
$%
+ 8 · 40 + 200
F(x) = –160 + 320 + 200
F(x) = 160 + 200 = 360
Entonces el vértice de la función está representado por el par ordenado:
V(x; F(x)) = V(40; 360)
Respuesta: Las
naranjas se deben
vender en 40 días
para obtener el
máximo ingreso, que
será S/ 360.
Reflexionamos sobre lo desarrollado

17. Estimada/o estudiante, con la finalidad de afianzar tus
aprendizajes matemáticos te invitamos a revisar el desafío
de la actividad del día 4, donde encontrarás otras
situaciones similares que deberás resolver.
Disponible en la sección Guía de actividades Día 4.
Días 3 y 4
Para seguir aprendiendo en casa

18. Gracias