ecuaciones_lineales

1. Ecuaciones lineales
Matemática I

2. Sistema de los números reales (ℜ)

3. El sistema de los números reales es el conjunto provisto de:
1. La relación de igualdad
2. Dos operaciones: adición y multiplicación
3. Una relación de orden
Sistema de números reales
Para todo a, b y c ∈ ℜ; las propiedades básicas de la relación de
igualdad, usadas en la resolución de ecuaciones son:
1. Si: a = b ⇒ a ± c = b ± c
2. Si: a = b ⇒ a . c = b . c

4. Distributividad
Elemento
Inverso
Elemento
Neutro
Asociatividad
Conmutatividad
Adición
a + b = b + a a b = b a
(a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c)
∃ ¡ 0 / a + 0 = a ∃ ¡ 1 / a .1 = a
∀a ∈ℜ, ∃ –a /
a + (-a) = 0
∀a ∈ ℜ - {0}, ∃ a-1 /
a.a-1 = 1
a ( b + c) = ab + ac
Multiplicación

5. Diferencia:
a – b = a + (−b)
0b,ba
b
1
.a
b
a 1
≠== −
División:

6. Teoría de exponentes
Definición: n
veces"n"
aa...a.a.a =
43421
Propiedades:
Si m y n ∈ ℜ
0. a0 = 1, ∀ a ε ℜ − { 0 }
n
n
a
1
a =−
2.
mnmn
aaa +
=1.

7. nnn
ba)ba( =4.
( ) ( )mnmnnm
aaa ==5.
n
m
n m
aa =3.

8. Ecuaciones lineales con una variable
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación
equivalente a una de la forma: ax + b = 0, donde a y b son
números reales, a ≠ 0 y x es la variable.
Ecuación lineal
4x – 5 = 3
2x = ½ x – 7
x – 6 = x/3
Ecuación no lineal
x2 + 2x = 8
3/x – 2x = 1
√x – 6x = 1

9. Ecuaciones lineales equivalentes
Si dos ecuaciones lineales con una incógnita tienen el mismo
conjunto solución decimos que son equivalentes entre sí.
Solución de una ecuación lineal en una variable
En una ecuación de una incógnita cualquier número que
esté contenido en el dominio de la incógnita y que al ser
sustituido en la ecuación hace que la igualdad sea verdadera,
es una solución de la ecuación.
Conjunto solución (C.S.)
Resolver una ecuación significa determinar su conjunto
solución.

10. Clasificación de las ecuaciones según sus soluciones
1. Compatibles: tienen por lo menos una solución.
a) Determinadas: tienen un número finito de soluciones
5x + 7 = 3x – 1
b) Indeterminadas: tienen infinitas soluciones
x + 7 + 2x = 5x – 5 – 2x + 12
7 = 7
2. Incompatibles: no tienen solución ( C.S. = ∅ )
x + 7 + 2x = 5x + 5 – 2x + 12
7 = 19
⇒ x = – 4

11. Ejemplos:
Resolver las siguientes
ecuaciones:
1x
35
1x
2
1x
4
)d(
5
4
2x
1x2
)c(
1
x3
4
x
1
)b(
5)x21(3)x1(2)a(
2
−
=
+
+
−
=
+
−
+=
++=−

12. Restricción x ≠ {– a, a}
mcm: (x+a)(x–a)
(a – 1) (x + a) – 2a(a – 1) = – 2a(x – a)
ax + a2 – x – a – 2a2 + 2a = – 2ax + 2a2
3ax – x = 3a2 – a
ax
a2
ax
)1a(a2
ax
1a
22
+
−=
−
−
−
−
−






+
−−+=






−
−
−
−
−
−+
ax
a2
)ax)(ax(
ax
)1a(a2
ax
1a
)ax)(ax( 22
1. Resolver:

13. (3a – 1)x = a(3a – 1)
x = a
Pero, recordemos la restricción: x ≠ {– a, a}
Por lo tanto C.S. = ∅
)1a3(
)1a3(a
x
−
−
=
Solución incompatible

14. 6x5x
13
12xx
1
8x2x
2
222
++
=
−−
+
−−
)2x()3x(
13
)3x()4x(
1
)2x()4x(
2
++
=
+−
+
+−
Restricción x ≠ {– 3, – 2, 4 }
mcm: (x – 4)(x + 2)(x + 3)
2 (x + 3) + (x + 2) = 13 (x – 4)
Rpta: x = 3/4
Factorizando los denominadores
2. Resolver:
Compatible determinado

15. 11x1x =+−−
Elevando al cuadrado ambos miembros
{ } { }
22
11x1x =+−−
11x1x2)1x()1x( =+−−++−
11x2x2 22
=−−
1x21x2 2
−=−
Nuevamente elevamos al cuadrado ambos miembros
3. Resolver:

16. { } { }
2
22
1x21x2 −=−
)1x(41x4x4 22
−=+−
x45 =
4
5
x =
Nota:
Siempre que elevemos al cuadrado una ecuación, hay que
comprobar las soluciones halladas en la ecuación original.
4x41x4x4 22
−=+−

17. Comprobación:
4
5
x = 11)4/5(1)4/5( =+−−
11 ≠−
Entonces x = 5/4 no es raíz de la ecuación
C.S. = ∅
14/94/1 =−
1
2
3
2
1 =−
Solución incompatible

18. a
b
axax
axax
=
−−+
−++
4. Resolver:







 +
b2
ba
.S.C
22
Respuesta:

19. Problema 1
En cierto país, el precio de venta del dólar durante el mes de
enero se mantuvo estable.
Posteriormente en el mes de febrero subió en un 10%, para
disminuir en 10% durante el mes de marzo.
Determine el precio de venta del dólar durante el mes de
enero, sabiendo que en marzo se vendió a 59,40 colones.
Respuesta: El precio de venta del dólar durante el mes de
marzo fue de 60 colones.

20. Problema 2
Una compañía que alquila automóviles cobra 30 dólares al día
mas 15 centavos de dólar por kilómetro al rentar un automóvil.
Alicia alquila un automóvil por dos días y su cuenta es de 108
dólares. ¿Cuántos kilómetros recorrió?
Respuesta: Alicia recorrió 320 kilómetros .

21. Problema 3
Lorena hereda 100 000 dólares y los invierte en dos
instituciones financieras. Una de ellas paga el 6% y la otra paga
4,5% de interés anual. Si Lorena, al término de un año, gana un
interés total es de 5 025 dólares por año, ¿Cuánto dinero invirtió
en cada institución?
Respuesta: Lorena invirtió 35 000 dólares al 6% y los restantes
65 000 dólares al 4,5%.

22. Problema 4
Una empresa tiene un costo fijo de $2 000, a fin de producir
cierto artículo doméstico que lo puede vender en 90 centavos la
unidad. Fabricar cada artículo tiene un costo de 60 centavos
por la mano de obra y el material utilizado. ¿Cuántos artículos
podrán producirse y venderse con el objeto de obtener
utilidades de $1 600?
Respuesta:
Deberán producir y vender 12 000 unidades para obtener una
utilidad de $1 600.

23. Problema 5
Un ganadero compró 1 000 reses a $150 cada una. Vendió 400
de ellas obteniendo una utilidad del 25%, ¿a qué precio deberá
vender las restantes si desea obtener una utilidad del 30% de su
inversión?
Respuesta:
Las 600 reses restantes deberá venderlas en $300 cada una para
tener una utilidad del 30% de su inversión.

24. Problema 6
Un cartel tiene una superficie impresa de 100 cm por 140 cm y
una franja de ancho uniforme alrededor de los cuatro lados. El
perímetro del cartel es de 1,5 veces el perímetro del área impresa.
¿Cuál es el ancho de la franja en blanco y cuales son las
dimensiones del cartel?
Respuesta: La franja en blanco mide 30 cm. y las dimensiones
del cartel son de 160 cm. de ancho y 200 cm. de largo.

25. Problema 7
Un hombre de 6 pies de estatura desea encontrar la altura de un
edificio de cuatro pisos. Mide la sombra del edificio y encuentra
que es de 28 pies, y mide también su propia sombra, la cual es de
3,5 pies de largo. ¿Cuál es la altura del edificio?
Respuesta: El edificio es de 48 pies de alto.

26. Ejercicios
Problema 1
Un señor cercó un terreno de forma rectangular. Si los costos son
de $50 por metro para los lados y de $60 para el frente y el fondo,
determine la medida de los lados si se sabe que el perímetro es de
70 m y en cercar gastó en total $3 800 .
Problema 2
Un fabricante de camisas puede venderlas a $280. Sus costos
incluyen unos gastos generales fijos de $32 000 más un costo de
producción de $120 por camisa. Determine cuántas camisas debe
producir para obtener una utilidad de $40 000 .