El documento explica el concepto de derivada y cociente incremental. Define la derivada como la pendiente de la tangente a una curva en un punto, que representa la variación promedio de una función. El cociente incremental es la pendiente de la recta secante entre dos puntos cercanos de una curva, que tiende a la derivada a medida que los puntos se acercan. Finalmente, menciona aplicaciones de la derivada en física, ingeniería, medicina y economía.

1. DERIVADA
Autora: Lamas, Ayelén

2. ¿Qué representa gráficamente la expresión
denominada cociente incremental?
El gráfico
representa una
función f y la
variación media
en un punto x
para un
incremento Δx.

3. Recordemos cómo se encuentra la
pendiente de una recta
Sea la recta de la forma:
• Su pendiente para dos cualquiera de sus
puntos es
• Tomaremos los puntos (x; f(x) y (x+Δx; f(x+ Δx).

4. Luego obtendremos:
Por lo tanto:
Es la pendiente de la recta secante que pasa
por los puntos (x; f(x) y (x+Δx; f(x+ Δx).
∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥 = 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥 = ∆𝑥
𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 =
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥

5. ¿Cómo se interpreta geométricamente?
• Si Δx es un número cada vez
más pequeño (cercano a cero),
las variaciones medias tienden
a f´(x), es decir, que las
pendientes de esas rectas
secantes tienden a la derivada
de f en el punto x.
• Esas rectas secantes, cuando el
incremento
se irán
transformado en la recta
tangente al gráfico de f.
∆𝑥 → 0

6. Aplicaciones del concepto de derivada
• El concepto de derivada se utiliza para
conocer la variación de una magnitud en
función de otra.
• La derivada es aplicable en muchas
situaciones de la vida real.

7. Física e ingeniería
Física: permite hallar la velocidad
instantánea de cada corredor.
Ingeniería termodinámica: permite
estudiar fenómenos de transmisión de
calor.

8. Medicina y economía
Medicina: permite estudiar el
crecimiento
de bacterias o células malignas.
Economía: permite encontrar
los puntos máximos y mínimos
de ingresos.

9. Créditos
• ES.5 Matemática. 2007. Editorial DGyE de la
Provincia de Buenos Aires. Programa Textos
Escolares para Todos.
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10. Créditos
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