1. Derivada Direccional
República Bolivariana DeVenezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Táchira/SanCristóbal
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Integrantes:
González M Katherine P
C.I:26.534.384
Asignatura:
Matemática IIISan Cristóbal, Julio 2017
2. Derivada
Direccional
En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada
según una dirección) de una función multivariable, en la dirección
de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la
dirección de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas
parciales, puesto que estas son derivadas direccionales según la
dirección de los respectivos ejes coordenados.
3. Definición
repasemos la definición formal de la derivada parcial,
digamos con respecto
a x: ∂f ⁄ ax (x0,y0)=limh→0 f(x0+h,y0)−f(x0,y0) ⁄ h
La conexión entre la manera informal de leer ∂f ⁄ ax , y la
manera formal de leer el lado derecho es la siguiente:
Símbolo Comprensión informal Comprensión formal
∂x
Un pequeño
desplazamiento en
dirección x.
Una variable
infinitesimal h que tiende
a 0 y que se le va a sumar a
la primera componente de la
entrada de la función.
∂f
El resultado del cambio en el
valor de salida de f después
del desplazamiento.
La diferencia
entre f(x0+h,y0) y, f(x0,y0),
tomada en el mismo límite a
medida que 0h→0.
4. En su lugar, podríamos escribir la definición en notación vectorial, al ver el
punto de entrada (x0,y0) como el vector bidimensional x0=
𝑿𝑶
𝒀𝑶
Aquí, x0, está en negritas para enfatizar que es un vector. Es un poco confuso usar la
letra x en negritas para toda la entrada en vez de otra letra, pues ya estamos
usando la letra x para denotar la primera componente de la entrada.
Pero bueno, es una convención, así que la usaremos. En vez de escribir el valor de
entrada "desplazado" como (x0+h,y0), lo escribimos como x0+hi^, donde i^ es el
vector unitario en la dirección x:
∂f ⁄ ∂x (x0)= lim h→0 f(x0+hi^)−f(x0) ⁄ h .
Con esta notación, es mucho más fácil ver cómo generalizar la derivada parcial con
respecto a xxx a la derivada direccional a lo largo de cualquier vector v⃗:
∇v⃗f(x0)= lim h→0 f(x0+hv⃗)−f(x0) ⁄ h
En este caso, sumarle hv a la entrada para una variable 0h→0 formaliza la idea de
un pequeño desplazamiento en la dirección de v.
5. Definiciónsoloenla
direccióndeunvector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al
vector 𝑉después de la normalización, ignorando así su magnitud.
En este caso:
𝐷 ⃗𝑣𝐹 = 𝑙𝑖𝑚 h→0
𝐹(𝑥+ℎ𝑣)−𝑓(𝑥)
ℎ 𝑣
Si la función es diferenciable, entonces
𝐷 ⃗𝑣𝐹 =𝛻𝑓 𝑥 .
𝑣
𝑣
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está
limitada a un vector de norma definida y no nula.Además es
incompatible con la notación empleada en otras ramas de la
matemática, física e ingeniería por lo que debe utilizarse cuando lo
que se quiere es la tasa de incremento de F por unidad de distancia.
13. Notación
La conexión entre la manera informal de leer y la manera formal de leer el
lado derecho es la siguiente:
Existen varias distintas notaciones para este concepto:
• * ∇v⃗ f
• ∗
𝑎𝑓
𝑎
𝑣
* f′v⃗
* Dv⃗ f
* ∂v⃗ f
Todas estas notaciones representan lo mismo: la razón de cambio de f a
medida que mueves la entrada a lo largo de la dirección v⃗Vamos a usar la
notación ∇v⃗ f, simplemente porque de manera sutil te da una pista de
cómo calcular la derivada direccional al usar el gradiente, lo cual verás en un
instante.
14. Vector
gradiente:
Propiedades.
Si w=f( x 1 , x 2 ,..., x n ) es una función que admite derivadas parciales en x → =( x 1 , x 2 ,..., x
n ) se llama gradiente de f en x → al vector
∇f( x 1 , x 2 ,..., x n )=( ∂f ∂ x 1 ( x 1 , x 2 ,..., x n ),..., ∂f ∂ x n ( x 1 , x 2 ,..., x n ) )
El vector gradiente se utiliza en diferentes situaciones. Quizás las dos más importantes son el
cálculo de derivadas direccionales y el cálculo de extremos.Veamos ahora algunas propiedades
del vector gradiente para el caso de funciones diferenciables:
Propiedad 1: Dada una función f diferenciable, si el gradiente de f en P es el vector nulo
entonces la derivada direccional en cualquier dirección en el punto P es cero.
Propiedad 2: El vector gradiente en un punto P es ortogonal a la superficies equiescalares
definidas por f( x → )=f( x 1 , x 2 ,..., x n )=K=cte que pasa por P.
Caso particular: En el caso de funciones de tres variables las superficies equiescalares son las
superficies de nivel
Propiedad 3: El gradiente tiene la dirección y sentido en el que la derivada direccional es
máxima.
Propiedad 4: Su módulo en cada punto coincide con el valor de la derivada direccional máxima.
15. Cómo
calcular la
derivada
direccional
Digamos que tienes una función multivariable f (x,y,z), que toma tres variables de
entrada, x, y y z, y quieres calcular su derivada direccional a lo largo del siguiente
vector:
v⃗=
2
3
−1
Resulta que la respuesta es: ∇v⃗ f= 2
𝑎𝑓
𝑎𝑥
+ 3
𝑎𝑓
𝑎𝑦
+ (−1)
𝑎𝑓
𝑎𝑧
Esto debería tener sentido
porque un pequeño desplazamiento a lo largo del vector v⃗ se puede dividir
en pequeños movimientos en dirección de tres en la dirección de y uno hacia
atrás, por −en la dirección de z.
En general, podemos escribir el vector v⃗ de manera abstracta como sigue:
v⃗=
𝑣1
𝑣2
𝑣3
16. Cómo calcular
la derivada
direccional
La derivada direccional se ve así: ∇v⃗ f= v1
𝑎𝑓
𝑎𝑥
+ v2
𝑎𝑓
𝑎𝑦
+ v3
𝑎𝑓
𝑎𝑧
Es decir, el pequeño desplazamiento en la dirección del v⃗ consiste v1 veces un
pequeño desplazamiento en la dirección de x v2 veces un pequeño desplazamiento en
la dirección de y v3 veces un pequeño desplazamiento en la dirección de z .
Esto puede escribirse en una forma compacta y muy agradable al usar el producto
punto y el gradiente:
𝛻 ⃗𝑣𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑣1
𝑎𝑓
𝑎𝑥
𝑥, 𝑦, 𝑧 + 𝑣2
𝑎𝑓
𝑎𝑦
(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑣3
𝑎𝑓
𝑎𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑎𝑓
𝑎𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑎𝑓
𝑎𝑦
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑎𝑓
𝑎𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
.
𝑣1
𝑣2
𝑣3
=𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 . ⃗𝑣
Es por esto que la notación ∇v⃗ es tan sugestiva de la forma en la que calculamos la derivada
direccional:
∇v⃗ f = ∇f ⋅ v⃗
una sola operación, el gradiente, contiene suficiente información para calcular la
razón de cambio de una función en ¡cualquier dirección posible!
17. ¿Por qué el
gradiente
apunta en la
dirección del
ascenso más
pronunciado?
Una vez que ya aprendimos acerca de las derivadas direccionales, ahora podemos
entender por qué la dirección del gradiente es la del ascenso más pronunciado.
18. Escenario:
Sea f una función escalar multivariable, como f(x, y) =𝑥2 + 𝑦2
Sea (x0,y0) un punto de entrada particular.
Considera todas las posibles direcciones, es decir, todos los vectores
unitarios u^ en el espacio de entradas de f.
Pregunta (informal): si comenzamos en (x0,y0) ¿en cuál dirección debemos caminar
de modo que la salida de f se incremente más rápidamente?
Pregunta (formal): ¿cuál vector unitario u^ maximiza la derivada direccional a lo largo
de u^?
∇u^f(xo,yo)= u^.∇f(xo,yo)←derivada maximizada La famosa desigualdad del
triángulo nos dice que esta derivada será maximizada por el vector unitario en la
dirección de ∇f(x0,y0)
Observa que el hecho de que el gradiente apunte en la dirección del ascenso más
pronunciado es una consecuencia del hecho más fundamental de que todas las
derivada direccionales requieren tomar el producto punto con F ∇f
