f

1. NÚMEROSCOMPLEJOS

2. INTRODUCCIÓN
El conjunto formado por los números racionales
(Q) e irracionales (I) es el conjunto de los números reales (R).
RECTA REAL
A todo número real le corresponde un
punto de la recta y a todo punto de la
recta un número real.

3. 7 3 2 3 10
CANTIDADES IMAGINARIAS
Definición:
Este conjunto se representa por I

4. UNIDAD IMAGINARIA
Definición: Entenderemos como Unidad Imaginaria a:
La que se conoce como Raíz Imaginaria.
Nota:
(i)2
12
i2
=-1
i= -1

5.  16
 161
 16  1
 4i
NÚMEROS IMAGINARIOS
EJEMPLO

6. “… formulam littera i …”
Leonhard Euler
(1707 – 1783)
se incorporan
Con Euler los imaginarios
definitivamente en la Matemática.
Leonhard Euler (1777)
i2 = -1; introdujo la notación binómica. Demostró que el
conjunto de los números “imaginarios” era cerrado para
las cuatro operaciones básicas, así como para la
potenciación y la radicación.
“Estos números no son nada, ni menos que nada,
lo cual necesariamente los hace imaginarios, o
imposibles”.
1

7. POTENCIASDELAUNIDADIMAGINARIA
3. Sí
im
 m es un entero positivo; m  4.
im
=i4qr
=ir
i= -1
1. Dividael exponente mpor4 yel resultadoserá elevado al restodeladivisión.
m:4  4q  r
m 4
r q
2. Luegopara simplificar use;

8. Ejemplo:
i151
i3

EJERCICIOS:
i2
=-1
i3
= i2
 i = - 1  i = - i
i4
=i2
i2
=-1-1=1
i0
= 1
i1
= i
Este último resultado hace que las potencias de “i” solo
tengan como resultados a: i, -i, 1 y -1
GustavoSalinasE.

9. 2) i540
 i4 1350
 i0
1
11: 4  2
3
1) i11
 i4.23
 i3
 i2
.i  1i  i
540: 4 135
14
020
0

10. RAÍCESP
ARESDENÚMEROSNEGA
TIVOS
Calcule las siguientes raíces:
25 
1) 4 
2) 25 
3) 12 
4) 11 
1  5i
4  3 
11. 1  11 i
1  2 3 i
4. 1  2 1  2i

11. Definición:
NÚMEROSCOMPLEJOS
z  a bi  (a,b)
Dondeaybpuedensernúmerospositivos,negativosyaúnnulos.
El conjuntodetodoslosnúmeroscomplejossedesignapor
 a bi / a,b ;i  1
GustavoSalinasE.

12. La expresión a  b i , se llama forma binómica de un número complejo
porquetienedoscomponentes:
a  componente real. Re(z)  a
b  componente imaginaria. Im(z)  b
Los números complejos, poseen: Elemento neutro, Elemento
opuesto, Elemento unidad, Elemento inverso. Con estas operaciones
los complejos tiene la estructura de cuerpo conmutativo.
GustavoSalinasE.

13. CLASESDENÚMEROSCOMPLEJOS
COMPLEJOREAL.-Esaquelcuyaparte imaginaria esnula: a  0i  a. Ejemplo: 3+0i =3.
0  bi  bi.
COMPLEJOPURO.- Esaquelcuyaparte realesnula: Ejemplo: 0– 7i =-7i.
COMPLEJONULO.-Esaquelcuya parterealycuyaparte imaginaria sonnulas: 0 0i  0.
COMPLEJOSIGUALES.- Son dos complejos, que tienen iguales sus partes reales e iguales
suspartes imaginarias.
Ejemplo: Si: a+bi =c+di
∴ a=c
b=d
Ejemplos:
(33
 4i)  (27  2i). ( 25,24
i)  (5,16i).
(x,(5 t)i)  (2,8i),si y solo sí : x  2 y t  3.
((v  2),(s  3)i)  (6,6i),si y solo sí :v  8 y s  9.
GustavoSalinasE.

14. COMPLEJOS CONJUGADOS.- Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e
iguales perodesignoscontrarios suspartes imaginarias.
z  a  bi y z  a bi.
Ejemplo: z  6  5i conjugada z  65i.
COMPLEJOSOPUESTOS.-Sondoscomplejos quetienen iguales, perodesignos contrarios,
tantolaspartesrealescomolas imaginarias.
z  a  bi y  z  a  bi.
Ejemplo: z  9 4i z  9 4i.

15. OPERACIONESCON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINOMICA
z1  a1  b1i y z2  a2 b2i
1.
 z1  z2  (a1  b1i)  (a2  b2i)
z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i
Ejemplo:
z1  2  2i
z2  3 i
SumadeComplejos: SOLUCIÓN
Sea:
z1  z2  (2  2i)  (3 i)
z1  z2  (2  3)  (2 1)i
z1  z2  (1 3i)

16. z  a  bi
2. RestadeComplejos:
Sea:
w  c  di
 z  w  (a  bi)  (c di)
z  w  (a  c)  (b  d)i
Ejemplo: SOLUCIÓN
z  4  7i
w  23i
z  w  (4  7i)  (2  3i)
z  w  (4  2)  (7 3)i
z  w  (2  4i)

18. PROPIEDADES PARA LASUMA
1.-PropiedadAsociativa:
Sitenemos: z  a  bi w  c  di u  e  fi
; y
z  (w u)  (z  w)  u
(a  bi) (c  di)  (e  fi) (a bi)  (c  di) (e  fi)
(a  bi) (c  e)  (d  f )i (a  c)  (b  d)i (e  fi)
(a  c  e)  (b  d  f )i  (a  c  e)  (b  d  f )i
2.-PropiedadConmutativa:
z  a  bi w  c  di
Sitenemos: y
z  w  w z
(a  bi)  (c  di) (c  di)  (a bi)
(a  c)  (b  d)i  (c  a)  (d b)i

19. 3.-ElementoNeutro:
GustavoSalinasE.
PROPIEDADES PARA LA SUMA
z  a  bi
Sitenemos: 0  0  0i y
z  0  (a bi)  (0 0i)
z  0  (a  0)  (b  0)i
z  0  a bi
z  0  z
4.-PropiedaddelOpuesto:
z  a  bi
Sitenemos: z  a  bi yel opuestodezes
z  (z)  (a  bi)  (a bi)
z  (z)  (a  a)  (b b)i
z  (z)  (0  0i)
z  (z)  0

20. 3. ProductooMultiplicacióndeComplejos:
a) Multiplicación deunnúmerorealporunnúmerocomplejo:
Donde:  esel númeroreal y z  a  bi el númerocomplejo
.z (a bi)
.z a bi
z  7  5i .z  6(7 5i)
.z  42  30i
Ejemplo:Sean:  = 6 y
b) Multiplicación dedosnúmeroscomplejos:
Siendo: z  a  bi w  c  di
y
z.w  (a  bi).(c  di)
z.w  (ac  adi  bci  bdi2
); pero i2
 1
z.w  ac  bd(1)  (ad  bc)i
z.w  (ac bd)  (ad  bc)i
z  4  3i w  35i
Ejemplo: Si y
SOLUCIÓN
z.w  (4 3i).(35i)
z.w  (12  20i 9i 15i2
); pero i2
 1
z.w  1215(1) (209)i
z.w  (1215)  (11)i
z.w  27 11i

21. PROPIEDADESP
ARADELAMUL
TIPLICACIÓN
1.-PropiedadAsociativa:
Sea: z  a  bi w  c  di u  e  fi
; y
z.(w.u)  (z.w).u
2.-PropiedadConmutativa:
Sea: z  a  bi w  c  di
y
z.w  w.z
3.-ElementoNeutro:
w  a  bi
Sea: z 1 el elementoneutroy el númerocomplejo.
z.w 1.(a  bi)  a  bi

22. 4.-PropiedaddelInverso:
PROPIEDADESPARADELAMULTIPLICACIÓN
z  a  bi z1
Si ,
esunnúmerocomplejo distinto decero, el inversodezesotro númerocomplejo quesedenotapor
el mismoquesatisface:
z.z1
 z1
.z 1
z.
1

1
.z 1
z z
i es otro número complejo que es el inverso de z.
GustavoSalinasE.
z1

1
z
z1

1
.
z
; si z  a  bi y z  a bi
z z
1
.
a bi
z1

a  bi a bi
z1

a bi
a2
 b2
a b
z1
 
a2
 b2
a2
 b2

23. 5.-PropiedadDistributivarespectoalasuma:
PROPIEDADESPARADELAMULTIPLICACIÓN
z.(w  u)  z.w  z.u
z  a  bi w  c  di u  e  fi
y
Si: ;

24. 4. CocienteoDivisióndeComplejos:-
a) División deunnúmerocomplejo para unnúmeroreal:
z  a  bi y  unnúmero real.
Sean
z

(a  bi)

a

b
i
   
Ejemplo: Sean =4y z  8  6i
SOLUCIÓN
4 4 4
2


z

(8 6i)

8

6
i
z
 2 
3
i
b)División deunnúmerocomplejo porotro númerocomplejo:
Paraesteprocesotenemostresmanerasdesolución:
i) Por medio común, esdecir formandoecuaciones:
z  a  bi w  c  di
Si y , sondosnúmeros complejos yw≠ 0
z
 x  yi
w

25. (a  bi)
 (x  yi)
(c  di)
 i2
 1
(a  bi)  (c  di).(x  yi)
(a  bi)  (cx  cyi  dxi  dyi2
)
(a  bi)  cx  (cy  dx)i  dy(1)
(a  bi)  (cx  dy)  (cy  dx)i
a  cx  dy
b  dx  cy
1
2
Delaecuación 1despejamos x:
x 
a  dy
c
Xreemplazamosenla ecuación 2ydespejamosy:
c
b  cy  d  a  dy 
 
 
bc  c2
y  ad  d2
y
bc  ad  y(c2
 d2
)
y 
bc  ad
c2
 d2

26. 4. CocienteoDivisióndeComplejos:-
i) Por mediocomún, esdecir formandoecuaciones:
Elvalor deyreemplazamos en x:
x 
a  dy
c
y 
bc  ad
c2
 d2
2
a  d  bc  ad 
 2 
 c  d 
x 
x 
x 
c
a(c2
 d2
)  d(bc  ad)
c2
 d2
c
1
ac2
 ad2
bcd  ad2
c(c2
 d2
)
x 
ac  bcd
2
c(c2
 d2
)
x 
c(ac  bd)
c(c2
 d2
)
x 
ac  bd
c2
 d2
Conclusión:
(x  yi)  

ac  bd

bc  ad
i
 c2
 d2
c2
 d2
GustavoSalinasE.


27. 4. CocienteoDivisióndeComplejos
ii) Formandoecuaciones ysolucionando mediante determinantes (Método deCramer),esdecir:
cx  dy  a
cy  dx  b
Referencia:
x 
B
A
y 
C
A
Donde:
LadeterminantedeIAI, seformaconlos coeficientesdelas variables.
La determinante de IBI para X se forma la 1ª columna con los términos independientes y la 2ª
columnaloscoeficientesdey.
La determinante de ICI para Yse forma la 1ª columna con los coeficientes de la variable X y la 2ª
conlos términosindependientesdelasecuaciones.

28. 4. CocienteoDivisióndeComplejos
ii) Formandoecuaciones ysolucionando mediante determinantes (Método deCramer),esdecir:
Encontramosel determinantede A:

29. 4. CocienteoDivisióndeComplejos
iii) Por medio de la conjugada del número complejo del denominador de la fracción:
2
w w w w
2
z

z
.
w

z.w
z

(a  bi) (c di) ac  adi  bci bdi2
.  , pero i  1
w (c  di) (c di) c2
 d2
z

(ad  bd)  (bc  ad)i
.
w c2
 d2

30. z  4  3i w  3 2i
Ejemplo:
Dado y
SOLUCIÓN
Determinar z/w. 2
z

(43i) (32i) (4)(3)(4)(2)i(3)(3)i(3)(2)i2
.  , pero i  1
w (32i) (32i) 32
22
z

128i9i6
w 94
z

181i

18

1
i
w 13 13 13

31. OPERACIONESCONNUMEROSCOMPLEJOSENFORMAPOLAR
OTRIGONOMÉTRICA
1.MultiplicacióndeNúmerosComplejos.- La multiplicación de dos números complejos en forma polar es otro complejo que
tiene como módulo el producto de los módulos, y como argumento la suma de los
argumentos.
Seandosnúmeroscomplejos enformapolar:
z1 =r1 =r1 (cos +seni)
z2 =r2 =r2 (cosβ+senβi) 2 2
GustavoSalinasE.
1 2 1 2
z1.z2  r1(cos seni).r2 (cos seni)
z .z  r.r (coscos cosseni sencosi senseni ), si i  1
z1 .z2  r1.r2(cos cos sensen)(cossen sencos)i
z1 .z2  r1.r2 cos( )sen( )i
z1 .z2  r1.r2
r .r
  r1.r2
Entrigonometría la sumaydiferencia deángulos,setiene:
cos(  )  cos cos   sensen.
sen(  )  sen cos   cos sen .

32. Ejemplo1: Sean y
z1  560 z2  3210
SOLUCIÓN
1. MultiplicacióndeNúmerosComplejos.-
z1.z2  560.3210  (5.3)(60210)
z1.z2  15(270)
z1.z2  15(cos 270  sen270i)
z1.z2  15(0  i)  15i.
Ejemplo2: Sean
SOLUCIÓN
12
6
12
3
3
1 2  2 5  5
2 ( 5  12 )
z .z  2 .  (2. )
z1.z2  3( 7)  3105º
z1.z2  3(cos105  sen105i)
z1.z2  3(0, 26  0,97i)  0, 78  2,91i.
1
 
z  2 cos( )  sen( )i
 6 6 
3
2 12
5 5
z  cos( )  sen( )i
 
2  12 

33. y
z1  660 z2  3210
Ejemplo:Sean SOLUCIÓN
2
2
2 2
z1
z 3
z1
z
z1
z2
z1
z
210
(150)

660
  6 
 3 
 (60210)
 2
 2cos(150)  sen(150)i
 2
  3

1
i

  3  i.
 2 
 
La división de números complejos en forma polar, también es otro complejo y se
obtiene dividiendo sus módulos y el argumento se obtiene restando el argumento del
numerador el denominador.
2. DivisióndeNúmerosComplejos.-
Seandosnúmeroscomplejos enformapolar:
z1 =r1 =r1 (cos +seni)
z2 =r2 =r2 (cosβ+senβi)
z r
z1

r1 
 r1 
 r 
2 2  2 ( )

34. z  z (cos  seni)
n
zn
 
 z (cos  seni)

zn
 z
n
(cos(n.)  sen(n.)i)
POTENCIA.- Para realizar la potenciación de un número complejo utilizaremos la Fórmula de Moivre, nos da un
algoritmobastanteeficiente parahallar la potenciaenésimadeunnúmerocomplejo enformapolar. Si
ynesunnúmeroenteropositivo, entoncesseobtiene:
Esta relación es la Fórmula de Moivre y se verifica para todo valor real del exponente. Por ejemplo, si el
exponenteesunafracción(1/n), tenemos:

35. Ejemplo1:Seaz=2(cos30°+sen30°i).Calcularla potenciadeordencincodeestenúmero,esdecir, z5.
SOLUCIÓN
2
zn
 z n
(cos(n.)  sen(n.)i)
z5
 25
cos(5.30) sen(5.30)i
z5
 32(cos150 sen150i)
z5
 32
  3

1
i

 2 


z5
 16 3 16i.
Ejemplo2:Seaz=(3+4i).Calcularla potenciadeordenseis deestenúmero,esdecir,z6.
Enesteejercicio, primerodebemospasarala formapolar,paraello hayquedeterminarelmóduloyelargumento.

36. SOLUCIÓN
z  a2
b2
 32
 42
 916  25  5
  arctan b 
 a 
 
  arctan 4 
 3 
 
  53,13.
Calculamosahoraz6,utilizandola FórmuladeMoivre.
zn
 z n
(cos(n.)  sen(n.)i)
z6
 56
cos(6.53,13)  sen(6.53,13)i
z6
15625(cos318,78 sen318,78i)
z6
156250,7522 0,6590i
z6
1175310296i.