Números complejos

1. N´umeros complejos
Prof. Guillermo Barcelona (CFE - ANEP)
gbarcelonam@gmail.com
Definici´on. Sea C = R × R y las operaciones ⊕, ⊗ : C × C → C definidas como sigue:
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d);
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac − bd, ad + bc),
donde la suma y el producto de la derecha son de n´umeros reales. A la terna (C, ⊕, ⊗)
se la denomina conjunto de los n´umeros complejos. Cada z ∈ C se denomina n´umero
complejo, o sencillamente complejo.
Si bien la suma y el producto de complejos no es igual a la suma y al producto real,
a partir de ahora escribiremos z1 + z2 (o z1z2) en lugar de z1 ⊕ z2 (o z1 ⊗ z2).
Actividad 1. Busca una interpretaci´on geom´etrica para la suma de n´umeros complejos.
[Comentario: la interpretaci´on del producto a´un es poco evidente, y la veremos despu´es.]
Definici´on. Dado z = (a, b) ∈ C, definimos Re(z) = a como la parte real de z, e
Im(z) = b como la parte imaginaria de z.
Un complejo z con Im(z) = 0 se llama imaginario; si adem´as Re(z) = 0 se llama
imaginario puro. Si Im(z) = 0 se dice que z es real (lo que no es z ∈ R). El conjunto de
los complejos reales es
C0 = {z | z ∈ C ∧ Im(z) = 0}.
Definici´on. Decimos que dos complejos z1 y z2 son equivalentes y anotamos z1 ∼ z2 si
Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2).
Es evidente que esta relaci´on de equivalencia no es otra cosa que la igualdad entre
dos n´umeros complejos. Cada clase de equivalencia contiene un ´unico complejo (se puede
decir que “define” un n´umero complejo).
1. Propiedades de las operaciones
Con las operaciones definidas anteriormente, el conjunto C tiene estructura de cuerpo:
1. Propiedades de la suma:
a) Asociativa: z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
b) Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, para todo z1, z2 ∈ C.
c) Neutro: para cada z ∈ C, existe 0 ∈ C tal que z + 0 = z.
d) Opuesto: para cada z ∈ C, existe y ∈ C tal que z + y = 0.
1

2. 2 1 Propiedades de las operaciones
2. Propiedades del producto:
a) Asociativa: z1(z2z3) = (z1z2)z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
b) Conmutativa: z1z2 = z2z1, para todo z1, z2 ∈ C.
c) Neutro: para cada z ∈ C, existe 1 ∈ C tal que z1 = z.
d) Inverso: para cada z ∈ C, z = 0, existe y ∈ C tal que zy = 1.
3. Distributiva: z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, para todo z1, z2, z3 ∈ C.
Estas propiedades se demuestran a partir de los axiomas de n´umeros reales y de las
siguientes observaciones: el neutro de la suma se define como 0 = (0, 0); el opuesto de
z = (a, b) como −z = (−a, −b). El neutro del producto es 1 = (1, 0).
El inverso w = (x, y) de z = (a, b) = 0 puede determinarse a partir de la siguiente
condici´on:
(a, b)(x, y) = (1, 0) ⇐⇒ (ax − by, bx + ay) = (1, 0).
Tras resolver el sistema ax − by = 1 y bx + ay para x e y se obtiene que el inverso de
z = (a, b) es
1
z
=
a
a2 + b2
, −
b
a2 + b2
.
De las propiedades anteriores, demostraremos solamente la conmutativa del producto:
Demostraci´on. Sean z1 = (a, b) y z2 = (c, d). Se tiene que
z1z2 = (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, cb + da) = (c, d)(a, b) = z2z1.
Las definiciones de la resta y la divisi´on de complejos se formulan como sigue:
z − w = z + (−w);
z
w
= z
1
w
(w = 0).
Actividad 2. Para los complejos z = (a, b) y w = (c, d), determina z −w y z/w (w = 0).
De las propiedades fundamentales de cuerpo se desprenden otras propiedades (an´alogas
a las de n´umeros reales):
1. 0z = 0.
2. −(−z) = z.
3. z(−w) = −(zw) = (−z)w.
4. (−1)z = −z.
5. −(z + w) = −z − w; −(z − w) = −z + w.
6.
z
z
= 1 (z = 0).
7.
z
w
y
x
=
zy
wx
(w, x = 0).
8.
z
w
+
y
x
=
zx + yw
wx
(w, x = 0).
9.
az
w
= a
z
w
(w = 0).
10.
−z
w
= −
z
w
=
z
−w
(w = 0).

3. §4 3
2. Representaci´on gr´afica de los n´umeros complejos
Los n´umeros complejos pueden corresponderse biun´ıvocamente con los puntos de un
plano. En efecto; se considera un par de rectas x e y perpendiculares. Sabemos que cada
punto P del plano queda asociado a dos n´umeros reales xP e yP , que son las abscisas de
sus proyecciones sobre los ejes x e y, respectivamente. Entonces, cada punto P del plano
define un complejo
z = (xP , yP );
y rec´ıprocamente: cada complejo z = (a, b) determina un punto P llamado afijo de z, tal
que
xP = a e yP = b.
La recta x se denomina eje real, mientras que la recta y eje imaginario.
Siempre nos dijeron que el conjunto C no tiene una relaci´on de orden interesante.
Pero... ¿por qu´e?
3. ¿El conjunto C est´a ordenado?
Nunca se nos ha hablado acerca de que C tenga una relaci´on de orden que interese. Lo
cierto es que m´as all´a de eso, pueden proponerse en C varias relaciones de orden, como
la del orden “del diccionario” o “lexicogr´afica”: (a, b)<(c, d) si a < c, o si a = c y b < d.
Esta relaci´on es efectivamente de orden (reflexiva, antisim´etrica y transitiva). Pero... ¿por
qu´e esta relaci´on, u otra de orden en C, no ganan nuestro inter´es?
Es deseable que C tenga una relaci´on de orden similar a la que tiene R, la cual se basa
en el siguiente axioma: existe un conjunto R+ ⊂ R que tiene las siguientes propiedades:
1. x, y ∈ R+ implica x + y, xy ∈ R+;
2. Dado x ∈ R, una sola de las siguientes proposiciones es verdadera: x ∈ R+, x = 0
o −x ∈ R+.
Lamentablemente extender este axioma en C trae contradicciones. En efecto; sea i =
(0, 1) = 0 la unidad imaginaria. Las posibilidades son i ∈ C+ o −i ∈ C+. Si i ∈ C+,
entonces
i2
= (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 ∈ C+,
y de vuelta
(−1)(−1) = (1, 0) = 1 ∈ C+.
Luego −1 + 1 = 0 ∈ C+ ser´ıa absurdo. Lo mismo pasa con −i ∈ C+, puesto que
(−i)2
= i2
.
4. Isomorfismo entre R y C0
Los elementos de C0 y los de R tienen gran similitud; a´un m´as: se comportan de la
misma manera. Formalmente, existe un isomorfismo f : C0 → R definido por la ecuaci´on
f(a, 0) = a.
Un isomorfismo entre dos anillos A y B es una funci´on biyectiva f : A → B que cumple
f(x + y) = f(x) + f(y) y f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ A, y f(1A) = 1B.

4. 4 6 Conjugado
Actividad 3. Probar que la funci´on anterior es efectivamente un isomorfismo.
Aunque se comporten de la misma manera, los elementos de C0 y R son cualitativa-
mente distintos. Pero por comodidad anotaremos a en lugar de (a, 0).
5. La notaci´on bin´omica
Un n´umero complejo z = (a, b) puede escribirse como
(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1),
y en virtud del isomorfismo anterior podemos escribir
z = a + b(0, 1).
Definimos i = (0, 1) como la unidad imaginaria. Pasamos ahora a la notaci´on bin´omica:
z = a + bi.
6. Conjugado
Definici´on. Dado el complejo z = a + bi, definimos el conjugado de z como ¯z = a − bi.
Teorema 6.1 (Propiedades). Se tiene:
1. z + ¯z = 2 Re(z) y z¯z = [Re(z)]2
+ [Im(z)]2
.
2. ¯¯z = z.
3. z ∈ C0 ⇐⇒ z = ¯z.
4. z1 + z2 = ¯z1 + ¯z2.
5. z1z2 = ¯z1 ¯z2 y z1/z2 = ¯z1/¯z2.
6. −z = −¯z y 1/z = 1/¯z.
Demostraremos la propiedad 5, y las otras quedan a cargo de los estudiantes. Sean
z1 = a + bi y z2 = c + di. Se tiene que
z1z2 = (ac − bd) − (ad + bc)i = (ac − bd) + (−ad − bc)i = ¯z1 ¯z2,
mientras que para el cociente es
z1/z2 =
ac + bd
c2 + d2
−
bc − ad
c2 + d2
=
ac + bd
c2 + d2
+
ad − bc
c2 + d2
=
¯z1
¯z2
.
Actividad 4. Para z ∈ C, demuestra que
Re(z) =
z + ¯z
2
e Im(z) =
z − ¯z
2i
.

5. §7 5
7. M´odulo y argumento
Intuitivamente, el m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es la distancia plana del
origen 0 = (0, 0) al afijo P de z, y se denota por |z| (es el “valor absoluto” de z). Por otra
parte, el argumento de z es la medida ϕ en sentido antihorario del ´angulo x0P, donde x
es el eje real.
Actividad 5. ¿C´omo quedan expresados |z| y ϕ en t´erminos de a y b? ¿Y al rev´es?
Definici´on. El m´odulo de un n´umero complejo z = a + bi es el n´umero real
|z| =
√
a2 + b2.
El argumento de z es un n´umero arg(z) que cumple las siguientes condiciones:
a = |z| cos arg(z) y b = |z| sen arg(z).
Un argumento ϕ de z que adem´as cumpla con ϕ ∈ (−π, π] se denomina argumento
principal de z, y se denota por Arg(z).
Teorema 7.1. Para cada complejo z = 0 existe y es ´unico su argumento principal.
Demostraci´on. En efecto; sea C0,− = {z | z ∈ C0 ∧ Re(z) < 0}. Definimos
Arg(z) = 2 arctan
Im(z)
|z| + Re(z)
si z /∈ C0,−; Arg(z) = π si z ∈ C0,−.
Para z ∈ C0,− es z = (−|z|, 0) = |z| cos π + i|z| sen π. Si z /∈ C0,−, se emplea que
Im(z)2
= |z|2
− Re(z)2
y ciertas identidades trigonom´etricas como sigue:
cos Arg(z) =
1 − tan2
(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
[|z| + Re(z)]2
− Im(z)2
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Re(z)[|z| + Re(z)]
2|z|[|z| + Re(z)]
=
Re(z)
|z|
;
sen Arg(z) =
2 tan(Arg(z)/2)
1 + tan2
(Arg(z)/2)
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
[|z| + Re(z)]2 + Im(z)2
=
2 Im(z)[|z| + Re(z)]
2|z|[|z| + Re(z)]
=
Im(z)
|z|
.
El hecho de que Arg(z) ∈ (−π, π] proviene de que −π/2 < arctan x < π/2 para todo
x ∈ R y de la definici´on anterior del argumento principal.
De las identidades sen ϕ = sen(ϕ + 2kπ) y cos ϕ = cos(ϕ + 2kπ) con k ∈ Z tenemos
que si ϕ = arg(z), todo argumento ψ de z tambi´en tiene la forma
ψ = ϕ + 2kπ (k ∈ Z).
Todo n´umero ϕ ∈ (−π, π] es el argumento principal de z = 0.
Una alternativa m´as pr´actica para el argumento de z = a + bi = 0 es
arg(z) =



arctan(b/a) − π si b < 0 ∧ a < 0
−π/2 si b < 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) si a > 0
π/2 si b > 0 ∧ a = 0
arctan(b/a) + π si b ≥ 0 ∧ a < 0
.

6. 6 8 Notaci´on trigonom´etrica
Teorema 7.2 (Propiedades del m´odulo). Se tiene:
1. |z| ≥ 0 ∀z ∈ C.
2. |z| = 0 sii z = 0.
3. |z| = |¯z|.
4. |z1z2| = |z1||z2|; |z1/z2| = |z1|/|z2|.
5. |z|2
= z¯z
6. 1/z = ¯z/|z|2
(z = 0).
7. |Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.
8. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (desigualdad triangular).
9. |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|.
Demostraremos la propiedad triangular.
Demostraci´on.
|z1 + z2|2
= (z1 + z2)(z1 + z2) = (z1 + z2)(¯z1 + ¯z2)
= z1 ¯z1 + z1 ¯z2 + ¯z1z2 + z2 ¯z2
Se tiene que z1 ¯z2 = ¯z1 ¯z2 = ¯z1z2, de donde z1 ¯z2 + ¯z1z2 = 2 Re(z1 ¯z2). Continuando:
= |z1|2
+ 2 Re(z1 ¯z2) + |z2|2
≤ |z1|2
+ 2|Re(z1 ¯z2)| + |z2|2
≤ |z1|2
+ 2|z1 ¯z2| + |z2|2
= |z1|2
+ 2|z1||z2| + |z2|2
= (|z1| + |z2|)2
.
Finalmente, de la ley real a2
≤ b2
(a, b ≥ 0) =⇒ a ≤ b, obtenemos
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.
8. Notaci´on trigonom´etrica
Un n´umero complejo z = a + bi puede escribirse como z = ρ cos ϕ + iρ sen ϕ, donde
ρ = |z| y ϕ = arg(z). Esta expresi´on puede reescribirse en la forma
z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ).
Llamaremos notaci´on trigonom´etrica a esta expresi´on.
Teorema 8.1. Dos complejos z1 = ρ1(cos ϕ1 + i sen ϕ1) y z2 = ρ2(cos ϕ2 + i sen ϕ2) son
iguales sii
ρ1 = ρ2 y ϕ1 = ϕ2 + 2kπ, para alg´un k ∈ Z.
De otra manera, dos complejos z1 y z2 son iguales sii
|z1| = |z2| y Arg(z1) = Arg(z2).

7. §9 7
Esto significa que dos n´umeros complejos son iguales cuando tienen el mismo m´odulo
y cuando sus argumentos difieren un m´ultiplo de 2π.
Actividad 6. Demostrar el teorema anterior [Sugerencia: para el directo, verificar pri-
mero la igualdad de m´odulos].
Con la notaci´on trigonom´etrica el producto de complejos se agiliza, como veremos a
continuaci´on.
Teorema 8.2. El producto de dos complejos z1 = ρ1(cos ϕ1 + i sen ϕ1) y z2 = ρ2(cos ϕ2 +
i sen ϕ2) es
z1z2 = ρ1ρ2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sen(ϕ1 + ϕ2)].
De acuerdo a este teorema, podemos decir que para multiplicar dos complejos se deben
multiplicar sus m´odulos y sumar sus argumentos.
Actividad 7. 1. Demuestra el teorema anterior teniendo en cuenta que
sen(ϕ1 ± ϕ2) = sen ϕ1 cos ϕ2 ± cos ϕ1 sen ϕ2
y
cos(ϕ1 ± ϕ2) = cos ϕ1 cos ϕ2 sen ϕ1 sen ϕ2.
2. Determina la notaci´on trigonom´etrica de la divisi´on de dos complejos. [Sugerencia:
t´engase en cuenta que
z1
z2
= w ⇐⇒ z1 = z2w (z2 = 0),
empl´eese la igualdad trigonom´etrica y t´omese en ella k = 0.] Determina en particular
1/z (z = 0).
9. Potenciaci´on compleja
Definici´on. Para un n ∈ N y un z ∈ C − {0}, definimos por inducci´on la potenciaci´on
natural:
z0
= 1;
zn
= zn−1
z, para todo n ≥ 1.
Si z = 0 y n > 0, es zn
= 0. Tambi´en definimos la potencia de exponente entero
negativo:
z−n
=
1
zn
, ∀n ∈ N∗
(z = 0).
Actividad 8. 1. Con la f´ormula anterior, determina z2
= zz y z3
= z2
z. ¿Cu´al ser´ıa
la expresi´on para zn
? Dicha expresi´on se conoce como F´ormula de De Moivre.
2. Determina un algoritmo para calcular in
con n ∈ N. [Sugerencia: Calcula las pri-
meras potencias in
, y t´engase en cuenta que n = 4q + r, con r < q.]
3. Demuestra por inducci´on que ¯zn
= zn y que |z|n
= |zn
|, para todo n ∈ N (z = 0).

8. 8 9 Potenciaci´on compleja
Teorema 9.1 (F´ormula de De Moivre). Sea z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ) y n ∈ Z; entonces
zn
= ρn
(cos nϕ + i sen nϕ).
Demostraci´on. Para n ∈ N este teorema se demuestra por inducci´on completa sobre n.
Para n = 0, 1, 2 es f´acil de verificarlo. Supongamos el teorema cierto para n, y probemos
que tambi´en es verdadero para n + 1. Se tiene:
zn+1
= zn
z = [ρn
(cos nϕ + i sen nϕ)][ρ(cos ϕ + i sen ϕ)]
= ρn+1
[cos(nϕ + ϕ) + i sen(nϕ + ϕ)] = ρn+1
[cos(n + 1)ϕ + i sen(n + 1)ϕ].
Para un entero negativo m = −n con n ∈ N∗
es
zm
= z−n
=
1
zn
=
1
ρn(cos nϕ + i sen nϕ)
= ρ−n
[cos(−nϕ) + i sen(−nϕ)] = ρm
(cos mϕ + i sen mϕ).
Actividad 9. Con la f´ormula de De Moivre determina expresiones para sen 2ϕ y cos 2ϕ
en t´erminos de sen ϕ y cos ϕ. ´Idem para sen 3ϕ y cos 3ϕ.
Definici´on. La ra´ız n-´esima de un n´umero complejo z (n ∈ N∗
) es otro n´umero complejo
w, definido como sigue:
n
√
z = w ⇐⇒ wn
= z.
Teorema 9.2. Todo complejo z no nulo con arg(z) = ϕ y |z| = ρ admite n ra´ıces n-´esimas
distintas de la forma
wk = n
√
ρ cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sen
ϕ + 2kπ
n
con k = 0, 1, · · · , n − 1.
Demostraci´on. Sea z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ) y w = ξ(cos ψ + i sen ψ). Luego
wn
= ξn
(cos nψ + i sen nψ),
y como wn
= z se obtiene que ξn
= ρ y ϕ = nψ + 2kπ (k ∈ Z), de donde
ξ = n
√
ρ y ψ =
ϕ + 2kπ
n
(k ∈ Z).
Probemos ahora dos cosas:
1. Que dados h = j, 0 ≤ h < n y 0 ≤ j < n, entonces wh = wj; y
2. Para cualquier k ∈ Z, existe r ∈ Z con 0 ≤ r < n tal que wk = wr.
1. Supongamos por absurdo que wh = wj. Esto significa que
ϕ + 2hπ
n
=
ϕ + 2jπ
n
+ 2kπ (k ∈ Z).
Para que se verifique esta identidad debe ser k = (h − j)/n; probaremos que este
n´umero no es entero. De la desigualdad 0 ≤ j < n obtenemos −n < −j ≤ 0; junto
a 0 ≤ h < n obtenemos −n < h − j < n. Finalmente −1 < (h − j)/n < 1; como
h = j, entonces (h − j)/n /∈ Z.

9. §10 9
2. Tenemos que k = nq + r, con q, r ∈ Z y 0 ≤ r < n. Luego
ϕ + 2kπ
n
=
ϕ + 2(nq + r)π
n
=
ϕ + 2rπ
n
+ 2qπ
=⇒ wk = wr.
Como todas las ra´ıces n-´esimas de z tienen el mismo m´odulo, sus afijos perteneces a
una circunferencia con centro en el origen y radio n
|z|. Por otra parte, la diferencia de
argumentos entre dos ra´ıces consecutivas wk+1 y wk (k = 0, · · · , n − 2) es
Arg(wk+1) − Arg(wk) =
ϕ + 2(k + 1)π
n
−
ϕ + 2kπ
n
=
2π
n
.
De aqu´ı que los respectivos afijos sean los v´ertices de un pol´ıgono regular de n lados
inscrito en la circunferencia de centro en 0 y radio n
|z|.
Actividad 10. 1. Calcula 4
√
i y 3
√
2 − 2i, y repres´entalas gr´aficamente.
2. Determina las ra´ıces cuadradas en notaci´on bin´omica de z = a + bi. [Sugerencia:
escribe a + bi = (x + yi)2
, simplifica la expresi´on, y ten en cuenta que |z| = |
√
z|2
.
Busca un criterio para determinar las respuestas correctas.]
3. Calcula las ra´ıces cuadradas en notaci´on bin´omica de z = 3 − 4i, y resuelve en C la
ecuaci´on z2
− 3z + (11 − 3i) = 0.
10. Exponencial compleja
La motivaci´on que haremos a continuaci´on de la exponencial compleja se basa en
cuestiones de an´alisis, que el estudiante no familiarizado con ellas puede omitir esta lectura
y remitirse directamente a la definici´on.
Sea z = a + bi. Entonces ez
= ea+bi
= ea
ebi
. El problema est´a, naturalmente, en ebi
. Se
sabe de los polinomios de Taylor que
ex
=
∞
n=0
xn
n!
=
x0
0!
+
x1
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · .
Por otra parte, algo similares son las series para el seno y el coseno:
cos x =
∞
n=0
(−1)n
x2n
(2n)!
= 1 −
x2
2!
+
x4
4!
− · · · ;
sen x =
∞
n=0
(−1)n
x2n+1
(2n + 1)!
= x −
x3
3!
+
x5
5!
− · · · .
Hay que saber que cada una de estas series es absolutamente convergente (esto significa
que pueden reordenarse los t´erminos sin alterar el valor de la serie).

10. 10 10 Exponencial compleja
Recordemos adem´as que i1
= i, i2
= −1, i3
= −i e i4
= 1, y estos valores se vuelven
c´ıclicos para exponentes m´as grandes. Entonces tenemos:
ebi
=
(bi)0
0!
+
(bi)1
1!
+
(bi)2
2!
+
(bi)3
3!
+
(bi)4
4!
+
(bi)5
5!
· · ·
=
b0
0!
+ i
b1
1!
−
b2
2!
− i
b3
3!
+
b4
4!
+ i
b5
5!
−
b6
6!
− i
b7
7!
+ · · ·
=
b0
0!
−
b2
2!
+
b4
4!
−
b6
6!
+ · · · + i
b1
1!
−
b3
3!
+
b5
5!
− · · ·
= cos b + i sen b
Esta expresi´on se llama F´ormula de Euler. Otra interesante motivaci´on de esta f´ormula
proviene de consideraciones de c´alculo diferencial que el lector puede ver en el Calculus
Vol. 1 de Apostol.
Definici´on. Dado un n´umero complejo z = a + bi, definimos la exponencial compleja de
la forma
ez
= ea
(cos b + i sen b).
Con esta definici´on, siguen siendo v´alidas las siguientes propiedades, quedando sus
demostraciones como ejercicio:
1. ez
ew
= ez+w
.
2. ez
/ew
= ez−w
.
3. (ez
)w
= ezw
.
Actividad 11. Demostrar las tres leyes anteriores
Teorema 10.1 (Propiedades de la exponencial compleja). Se tiene:
1. si z = a + bi, entonces |ez
| = ea
;
2. eiπ
+ 1 = 0;
3. ez
= 0 para todo z;
4. ez = e¯z
, y (ez
)−1
= e−z
;
5. ez+2kπi
= ez
para todo z, y ez
= ew
implica z = w + 2kπi con k ∈ Z;
6. ez
= 1 sii z = 2kπi, con k ∈ Z.
Demostraci´on. Demostraremos solamente la quinta; las dem´as quedan como ejercicio. Se
tiene:
ez+2kπi
= ez
e2kπi
= ez
(cos 2kπ + i sen 2kπ) = ez
.
Por otra parte, si z = a + bi y w = c + di, ez
= ew
implica ea
= ec
y b = d + 2kπ (k ∈ Z).
Luego a = c. Finalmente
z − w = (b − d)i = 2kπi.

11. §15 11
11. Notaci´on exponencial
Se puede ver que eiϕ
= cos ϕ + i sen ϕ. As´ı, cualquier complejo z = ρ(cos ϕ + i sen ϕ)
puede expresarse de la forma
z = ρeiϕ
.
Esta expresi´on se llama notaci´on exponencial.
Actividad 12. Determina en notaci´on exponencial el producto, el cociente, la potencia
entera y las ra´ıces n-es´ımas de n´umeros complejos.
12. Logaritmo complejo
Definici´on. Sea z = 0. Definimos:
ln z = w ⇐⇒ ew
= z.
Veamos c´omo obtener la expresi´on bin´omica del logaritmo. Sea w = a + bi. Entonces
ew
= ea
(cos b + i sen b) = z ⇐⇒ ea
= |z| ∧ b = arg(z) + 2kπ (k ∈ Z).
De aqu´ı que a = ln|z| (logaritmo neperiano real), y finalmente:
ln z = ln|z| + [arg(z) + 2kπ]i, con k ∈ Z.
Es evidente que un complejo z tiene infinitos logaritmos, conforme k var´ıa entre ente-
ros. Gr´aficamente sus afijos pertenecen a la recta vertical que pasa por (ln|z|, 0), distan-
ciados 2π unidades.
Cuando k = 0, el n´umero
ln z = |z| + [arg(z)]i
se denomina logaritmo principal de z.
13. Exponencial arbitraria
Deseamos definir ahora zw
. Si aplicamos logaritmo neperiano resulta ln zw
= w ln z,
de donde por definici´on queda
zw
= ew ln z
(z = 0).
Actividad 13. 1. Demostrar que zp
zq
= zp+q
.
2. Hallar ii
.
14. Logaritmo arbitrario
Definici´on. Dados z, w = 0, definimos el logaritmo de z en base w como sigue:
logw z =
ln z
ln w
.
Esta definici´on se inspira en el “cambio de base” de logaritmos reales.
Actividad 14. Demostrar que logw z = x ⇐⇒ wx
= z.

12. 12 15 Aplicaciones a los polinomios
15. Aplicaciones a los polinomios
A diferencia de los polinomios reales, cualquier polinomio de variable compleja pue-
de factorizarse completamente en t´erminos de primer grado. Esto se sigue del siguiente
teorema.
Teorema 15.1 (Fundamental del ´Algebra). Todo polinomio de variable compleja, de
grado mayor que cero, tiene al menos una ra´ız.
La demostraci´on de este teorema se omite. El estudiante interesado puede remitirse a
bibliograf´ıa de an´alisis complejo.
Teorema 15.2. Todo polinomio Pn(z) de variable compleja de grado n tiene exactamente
n ra´ıces zi (contadas con su orden de multiplicidad). Adem´as, si an es su coeficiente
principal,
Pn(z) = an
n
i=1
(z − zi).
Demostraci´on. El polinomio Pn(z) = n
i=0 aizi
, con an = 0, tiene al menos una ra´ız
compleja z1 de acuerdo al teorema fundamental. Entonces Pn(z) puede expresarse como
Pn(z) = (z − z1)Qn−1(z).
A su vez, el polinomio Qn−1(z) tiene una ra´ız z2, y por tanto
Qn−1(z) = (z − z2)Qn−2(z).
Como en cada divisi´on se obtiene como cociente un polinomio reducido de grado una
unidad menor, la n-´esima divisi´on es
Q1(z) = (z − zn)Q0(z) = an(z − zn).
Finalmente
Pn(z) = an
n
i=1
(z − zi).
Teorema 15.3. Si α es ra´ız de un polinomio Pn(z) de variable compleja y coeficientes
reales, entonces ¯α tambi´en lo es.
Demostraci´on. Por hip´otesis Pn(α) = n
i=0 aiαi
= 0 (ai ∈ C0). Se tiene que
Pn(¯α) =
n
i=0
ai ¯αi
=
n
i=0
¯aiαi =
n
i=0
aiαi =
n
i=0
aiαi = Pn(α) = ¯0 = 0.
Actividad 15. Demostrar que un polinomio de variable compleja y coeficientes reales de
grado impar tiene al menos una ra´ız real.

13. §16 13
16. Trigonometr´ıa compleja
Refresquemos algunas cosas: la funci´on seno es impar mientras que la funci´on coseno
es par: sen(−x) = − sen(x) y cos(−x) = cos(x), ∀x ∈ R.
Obs´ervese que, si extendemos lo anterior a los complejos y empleamos exponenciales
complejas:
eiz
+ e−iz
= (cos z + i sen z) + [cos(−z) + i sen(−z)]
= cos z + i sen z + cos z − i sen z = 2 cos z.
De aqu´ı es posible despejar el coseno de z:
cos z =
eiz
+ e−iz
2
.
El coseno ha quedado expresado en funci´on de exponenciales complejas.
Trabajando de manera similar con eiz
y e−iz
se puede obtener una expresi´on para
sen z.
Definici´on. Definimos el seno y el coseno de un complejo z de la siguente manera:
sen z =
eiz
− e−iz
2i
; cos z =
eiz
+ e−iz
2
.
Definimos la tangente de z como sigue:
tan z =
sen z
cos z
=
eiz
− e−iz
i(eiz + e−iz)
.
Teorema 16.1 (Propiedades del seno y coseno). Se tiene:
1. sen2
z + cos2
z = 1;
2. sen(z + w) = sen z cos w + cos z sen w;
3. cos(z + w) = cos z cos w − sen z sen w;
4. sen z = 0 sii z = kπ, con k ∈ Z;
5. cos z = 0 sii z = π/2 + kπ, con k ∈ Z;
6. sen(z + 2kπ) = sen z y cos(z + 2kπ) = cos z, con k ∈ Z.
Actividad 16. Demostrar las seis propiedades anteriores.
Se define el seno, el coseno y la tangente hiperb´olica de la siguiente manera:
sinh z =
ez
− e−z
2
; cosh =
ez
+ e−z
2
; tanh z =
sinh z
cosh z
=
ex
− e−z
ex + e−z
.
Algunas de sus propiedades son:
1. cosh2
z − sinh2
z = 1;
2. sinh(z + w) = sinh z cosh w + sinh w cosh z;

14. 14 16 Trigonometr´ıa compleja
3. cosh(z + w) = cosh z cosh w + sinh z sinh w;
4. sinh z = 0 sii z = kπi, con k ∈ Z;
5. cosh z = 0 sii z = (2k + 1)iπ/2, con k ∈ Z;
6. sinh(z + 2kπi) = sinh z y cosh(z + 2kπi) = cosh z, con k ∈ Z;
7. sinh z = −i sen(iz) y cosh z = cos(iz);
8. sen(z + iw) = sen z cosh w + i cos z sinh w;
9. cos(z + iw) = cos z cosh w − i sen z sinh w.
Actividad 17. Demostrar las nueve propiedades anteriores.