La distribución normal, también conocida como la distribución de Gauss o la campana de Gauss, es una distribución estadística que se utiliza para describir numerosos fenómenos naturales y sociales.
Esta distribución se caracteriza por tener una forma de campana simétrica alrededor de su media (o promedio) y se extiende hacia los lados de manera suave y continua. La forma exacta de la campana está determinada por dos parámetros: la media (µ) y la desviación estándar (σ).
La media es el valor central o el promedio de la distribución y determina el punto máximo de la campana. Por su parte, la desviación estándar indica cuánta dispersión o variabilidad hay en los datos. Una desviación estándar mayor implica que los datos se dispersan más ampliamente alrededor de la media, mientras que una desviación estándar menor indica que los datos están más agrupados cerca de la media.
La distribución normal tiene propiedades importantes y útiles. Por ejemplo, aproximadamente el 68% de los datos se encuentra dentro de una desviación estándar de la media, el 95% se encuentra dentro de dos desviaciones estándar y el 99.7% se encuentra dentro de tres desviaciones estándar. Esto se conoce como la regla empírica o la regla del 68-95-99.7.
La distribución normal se utiliza extensivamente en la estadística y en muchos campos científicos y sociales, ya que muchos fenómenos naturales y sociales se distribuyen aproximadamente de manera normal. También es fundamental en la inferencia estadística y en la construcción de intervalos de confianza y pruebas de hipótesis.
En resumen, la distribución normal es una herramienta estadística fundamental que describe la forma y la dispersión de los datos en una distribución simétrica con forma de campana. Es ampliamente utilizada debido a su aplicabilidad en una amplia gama de disciplinas y a sus propiedades estadísticas conocidas.
Esta distribución se caracteriza por tener una forma de campana simétrica alrededor de su media (o promedio) y se extiende hacia los lados de manera suave y continua. La forma exacta de la campana está determinada por dos parámetros: la media (µ) y la desviación estándar (σ).
La media es el valor central o el promedio de la distribución y determina el punto máximo de la campana. Por su parte, la desviación estándar indica cuánta dispersión o variabilidad hay en los datos. Una desviación estándar mayor implica que los datos se dispersan más ampliamente alrededor de la media, mientras que una desviación estándar menor indica que los datos están más agrupados cerca de la media.
La distribución normal tiene propiedades importantes y útiles. Por ejemplo, aproximadamente el 68% de los datos se encuentra dentro de una desviación estándar de la media, el 95% se encuentra dentro de dos desviaciones estándar y el 99.7% se encuentra dentro de tres desviaciones estándar. Esto se conoce como la regla empírica o la regla del 68-95-99
2. Variables aleatorias
Un experimento aleatorio es un proceso que tiene dos o más resultados
posibles y existe incertidumbre sobre el resultado que se obtendrá.
Ejemplos de experimentos aleatorios:
1. Se lanza una moneda al aire y el resultado puede ser cara o cruz.
2. Un cliente entra en una tienda y compra una camisa o no la compra.
3. Se selecciona una caja de cereales de una cadena de empaquetado y se pesa
para averiguar si el peso es superior o inferior al que viene indicado en la caja.
4. Se lanza al aire un dado de seis lados.
3. Espacio muestral
Los resultados posibles de un experimento aleatorio se llaman resultados
básicos y el conjunto de todos los resultados básicos se llama espacio
muestral
4. Variables aleatorias continuas
Es la distribución de probabilidad de variables aleatorias continuas que se
utiliza más a menudo en economía y en las aplicaciones empresariales.
5. Razones de uso
1. La distribución normal es una aproximación muy buena de las distribuciones de
probabilidad de una amplia variedad de variables aleatorias. Por ejemplo, las
dimensiones de las piezas y el peso de los paquetes de alimentos a menudo siguen una
distribución normal, por lo que tiene muchas aplicaciones en el control de calidad. Las
ventas o la producción a menudo siguen una distribución normal, por lo que ésta tiene
una gran cantidad de aplicaciones en el marketing y en la gestión de la producción.
2. Las distribuciones de las medias muestrales siguen una distribución normal, si el
tamaño de la muestra es «grande».
3. El cálculo de probabilidades es directo e ingenioso.
4. La razón más importante es que la distribución de probabilidad normal ha llevado a
tomar buenas decisiones empresariales en algunas aplicaciones.
6. Función de densidad de probabilidad de la distribución normal
La distribución normal representa una gran familia de distribuciones, cada una
con una especificación única de los parámetros Media y Varianza. Estos
parámetros tienen una interpretación muy útil
13. Como encontrar la probabilidad de cualquier
variable aleatoria normal estándar
Podemos hallar las probabilidades de cualquier variable aleatoria distribuida
normalmente convirtiendo primero la variable aleatoria en la variable aleatoria
normal estándar, Z. Siempre existe una relación directa entre cualquier variable
aleatoria distribuida normalmente y Z. Esa relación utiliza la transformación
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
14. Ejemplo
Un cliente tiene una cartera de inversión cuyo valor medio es de 500.000 $ y
cuya desviación típica es 15.000 $. Le ha pedido que calcule la probabilidad de
que el valor de su cartera esté entre 485.000 $ y 530.000 $.
15. Ejemplo
Una empresa produce bombillas cuya duración sigue una distribución normal
que tiene una media de 1.200 horas y una desviación típica de 250 horas. Si
elegimos una bombilla aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que dure
entre 900 y 1.300 horas?
16. Una empresa produce sacos de un producto químico y le preocupa la cantidad
de impurezas que contienen. Se cree que el peso de las impurezas por saco
sigue una distribución normal que tiene una media de 12,2 gramos y una
desviación típica de 2,8 gramos. Se elige aleatoriamente un saco.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga menos de 10 gramos de
impurezas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga más de 15 gramos de impurezas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que contenga entre 12 y 15 gramos de
impurezas?
d) Es posible deducir, sin realizar los cálculos detallados, cuál de las
respuestas a los apartados (a) y (b) es mayor. ¿Cómo?
