1. Escuela de Ingeniería de Sistemas
Matemática Aplicada
Ms. Montes Oblitas Giancarlo
Integración Numérica II
Lo que sabemos es una gota de agua; lo que
ignoramos es el océano.
Isaac Newton (1903-1957)
2. 2
Introducción
Las fórmulas de integración desarrolladas
anteriormente no son apropiadas cuando el
intervalo de integración [a, b] es bastante grande,
ya que el error que se comete al utilizarlas suele
ser también bastante grande, como se deduce de
las expresiones del error.
Con objeto de conseguir una mayor precisión,
podría pensarse en utilizar fórmulas de tipo
interpolatorio con mayor número de puntos.
3. 3
Sin embargo este procedimiento, a parte de ser
más engorroso, no conduce necesariamente a
fórmulas más exactas debido a los problemas
que puede presentar el polinomio de
interpolación cuando el grado es muy alto.
Por esta razón, es aconsejable un método
distinto y en la práctica más efectivo.
Consiste en dividir el intervalo inicial en un
número apropiado de subintervalos y aplicar un
método de integración numérica simple en cada
uno de ellos. De esta forma aparecen las
fórmulas de integración numérica
compuestas.
4. Fórmulas compuestas de cuadratura de
Newton-Cotes
Si llamamos ℎ = (𝑏 − 𝑎)/𝑛, entonces los puntos 𝑥𝑖 =
𝑎 + 𝑖ℎ, para 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛, constituyen una partición
(uniforme) del intervalo [𝑎, 𝑏] y se tiene que:
Luego; aplicamos una fórmula de integración
numérica para aproximar la integral de la función en
cada uno de los intervalos [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] para 𝑖 = 1, … , 𝑛,
obteniendo así las llamadas reglas de integración
compuesta.
5. Para derivar la regla del trapecio compuesta, hacemos una
partición en 𝑛 subintervalos el intervalo de integración [𝑎, 𝑏]
como sigue:
en donde los puntos se encuentran equiespaciados de acuerdo
con las expresiones:
Entonces; aplicando la regla del trapecio a cada uno de los
subintervalos, llegamos a la fórmula de integración del trapecio
compuesta de la siguiente forma:
6. Geometricamente, si 𝑓(𝑥) ≥ 0 en [𝑎, 𝑏], la fórmula del Trapecio
compuesta aproxima el valor de la integral 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 mediante la
suma de las áreas de trapecios resultantes de unir los puntos
𝑥𝑖−1, 0 , 𝑥𝑖, 0 , 𝑥𝑖, 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖−1, 𝑓 𝑥𝑖−1 para 𝑖 = 1, … , 𝑛.
7. Para derivar la regla de Simpson compuesta, hacemos una
partición en un número par, 𝑛, de subintervalos el intervalo de
integración [𝑎, 𝑏] como sigue:
en donde los puntos se encuentran equiespaciados de acuerdo
con las expresiones:
Entonces; aplicando la regla de Simpson a cada uno de los
subintervalos, llegamos a la fórmula de integración de Simpson
compuesta de la siguiente forma:
8. Geometricamente, si 𝑓(𝑥) ≥ 0 en [𝑎, 𝑏], la fórmula de Simpson compuesta
aproxima el valor de la integral 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 mediante la suma de las áreas de
funciones cuadráticas resultantes de unir los
puntos 𝑥2𝑖−2, 0 , 𝑥2𝑖, 0 , 𝑥2𝑖, 𝑓 𝑥2𝑖 , 𝑥2𝑖−1, 𝑓 𝑥2𝑖−1 , 𝑥2𝑖−2, 𝑓(𝑥2𝑖−2)
para 𝑖 = 1, … ,
𝑛
2
.
![2
Introducción
Las fórmulas de integración desarrolladas
anteriormente no son apropiadas cuando el
intervalo de integración [a, b] es bastante grande,
ya que el error que se comete al utilizarlas suele
ser también bastante grande, como se deduce de
las expresiones del error.
Con objeto de conseguir una mayor precisión,
podría pensarse en utilizar fórmulas de tipo
interpolatorio con mayor número de puntos.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)