Raices de ecuaciones Metodos Númericos

1. RAÍCES DE ECUACIONES
28 - Enero – 2015
Clase 3

2. RAÍCES DE ECUACIONES
• Las raíces reales de una ecuación son los valores que adquiere la variable
independiente 𝑥, para satisfacer la igualdad:
• 𝑓 𝑥 = 0 …… (1)
• Existen dos tipos de aproximaciones para localizar los valores de las raíces.
La primera, presupone el conocimiento de un intervalo que encierra el valor
de la raíz, lo que garantiza la convergencia del método.

3. RAÍCES DE ECUACIONES
• La segunda incluye aquellos métodos en los que a partir de uno o mas
valores iniciales se busca un acercamiento hacia la raíz.
• Los métodos del segundo grupo, son generalmente mas rápidos, pero no
siempre garantizan la localización de la raíz, ya que bajo ciertas
condiciones el proceso se vuelve divergente.

4. RAÍCES DE ECUACIONES
• Métodos Cerrados
• Describiremos los métodos que aprovechan el hecho de que típicamente
una función cambia de signo en el intervalo que encierra a la raíz. Por lo
que, al analizar el cambio de signo de la función en un intervalo, se puede
garantizar la existencia de una raíz. Para desarrollar los algoritmos de estos
métodos, se requiere de dos valores iniciales (extremos del intervalo) entre
los cuales se localiza la raíz.

5. RAÍCES DE ECUACIONES
• Método de la Bisección
• Uno de los métodos mas sencillos de búsqueda de raíces, por medio de la
aplicación de algoritmos numéricos, es el método de la bisección. Este
método consiste en tomar un intervalo de valores donde al evaluar la
función en los extremos se presenta el cambio de signo, con lo cual se
asegura que exista una raíz por lo menos dentro del intervalo.

6. RAÍCES DE ECUACIONES
• Método de la Bisección
• A continuación se calcula el punto medio del intervalo, por lo que, de esta manera
el intervalo inicial se divide en dos nuevos subintervalos mas pequeños. Se repite el
análisis de cambio de signo para desechar el subintervalo que no contiene la raíz.
• Es importante señalar que este método puede requerir de muchas iteraciones, ya
que no se considera en ningún momento el hecho de que algún extremo del
intervalo este próximo a la raíz, con lo que el procedimiento se vuelve demasiado
lento.

7. RAÍCES DE ECUACIONES
• Método de la Bisección
• En general, si 𝑓(𝑥) es real y continua en el intervalo entre 𝑎, 𝑏 , 𝑦 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏)
tienen signos opuestos, entonces existe al menos al menos una raíz real
entre 𝑎 𝑦 𝑏.
• La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del
subintervalo en el cual ocurre un cambio de signo.

8. RAÍCES DE ECUACIONES
• Algoritmo
1. Seleccionar los valores iniciales de 𝑎 𝑦 𝑏, y evaluar 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏), de esta
manera que la función en ese intervalo cambie de signo. También se
establece una tolerancia de error.
2. Calcular la primera aproximación de la raíz por medio de la ecuación
𝑋 𝑅 =
𝑎 + 𝑏
2
… … … … (2)

9. RAÍCES DE ECUACIONES
• Algoritmo
3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar si se encontró la raíz
para saber en que subintervalo se localiza.
Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋 𝑅 = 0 ⟹ la raíz es igual a 𝑋 𝑅 y se terminan los cálculos.
Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋 𝑅 > 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋 𝑅 𝑦 𝑏. Hacer 𝑎 = 𝑋 𝑅 y pasar al punto
4.
Si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋 𝑅 < 0 ⟹ la raíz se encuentra entre 𝑋 𝑅 𝑦 𝑎. Hacer 𝑏 = 𝑋 𝑅 y pasar al punto
4

10. RAÍCES DE ECUACIONES
• Algoritmo
4. Calcular de nuevo 𝑋 𝑅 con la ecuación (2).
5. Calcular el error aproximado, con la ecuación (3), para decidir si la
nueva aproximación cumple con el criterio de error establecido. Si
es así, los cálculos terminan, en caso contrario se regresa al paso 3.
𝑒 𝑝 =
𝑋 𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙
− 𝑋 𝑅
𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑋 𝑅
𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑙 × 100 … … (3)

11. RAÍCES DE ECUACIONES
Ejemplo 3.1 (mne2-1v3)
• Aproximar una raíz real positiva para la siguiente función, con un 𝑒 𝑝 < 0.01%
• 𝑓 𝑥 = 𝑥4
− 2𝑥3
− 12𝑥2
+ 16𝑥 − 40

12. RAÍCES DE ECUACIONES
Solución
• De acuerdo a los pasos del algoritmo propuesto, se deben seleccionar los
dos valores del intervalo que garanticen la existencia de al menos una raíz.
Por medio de Excel como herramienta de trabajo, se abrirá una hoja para
evaluar la función 𝑓(𝑥) y obtener su gráfica para revisar el comportamiento
de la misma. En esta gráfica se podrá observar si existe alguna raíz entre los
valores seleccionados. En caso contrario se modificaran hasta asegurar que
contiene al menos una raíz.

13. RAÍCES DE ECUACIONES
Solución
• Para construir una gráfica por medio de la herramienta Excel, se puede
seguir las instrucciones que se presentan en la diapositiva de como graficar
una función en Excel. La figura 1 muestra la curva obtenida al graficar la
función dada por la ecuación
• 𝑓 𝑥 = 𝑥4
− 2𝑥3
− 12𝑥2
+ 16𝑥 − 40
• En el intervalo −6,6

14. Figura 1 Grafica de la
función
𝑓 𝑥
= 𝑥4
− 2𝑥3
− 12𝑥2
+ 16𝑥 − 40

15. Figura 2 Intervalo de la función a considerar
𝑓 𝑥 = 𝑥4
− 2𝑥3
− 12𝑥2
+ 16𝑥 − 40

16. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de
Excel
1. En la figura 2 se puede observar que dentro del intervalo comprendido
entre 4.2 y 4.4 existe un cambio de signo en el valor de la función, por lo
que estos valores pueden ser los correspondientes a 𝑎 𝑦 𝑏 para iniciar el
algoritmo.

17. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de Excel
2. Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 3 se abre una hoja nueva y
se etiquetan las columnas a emplear de acuerdo al algoritmo. En este caso
deberán aparecer: el numero de iteración (columna A), los valores de los
extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏 (columnas B y C), los valores de la evaluación de la
función en los extremos del intervalo 𝑓 𝑎 𝑦 𝑓(𝑏) (columnas D y E), el calculo de la
aproximación de la raíz 𝑋 𝑅 (columna F), la evaluación de la función en ese punto
𝑓 𝑋 𝑅 (columna G) y el porcentaje de error aproximado (columna H).

18. Figura 3 Valores iniciales y
calculados con el método
de la bisección

19. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de Excel
3. Introducir los valores de la iteración inicial y de los extremos del intervalo 𝑎 𝑦 𝑏, en
las celdas A97, B97 y C97, respectivamente.
4. Introducir la formula para evaluar la función en los extremos del intervalo en las
celdas D97 y E97. Hay que tener cuidado con el valor que se utilice en la
operación sea el de la celda con la que tenga la correspondencia. Por ejemplo,
para evaluar 𝑓(𝑎) deberá utilizar los valores de 𝑎, que se encuentran en la celda
B97, para evaluar 𝑓(𝑏) se deberá utilizar el valor de 𝑏, que se encuentra en la
celda C97, como se muestra en la figura 3.

20. Figura 4 Introducción
de la formula para
evaluar 𝑋 𝑅 𝑦 𝑓(𝑋 𝑅)

21. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de
Excel
5. Introducir en la celda F97 la fórmula para evaluar 𝑋 𝑅(𝐵97 + 𝐶97)/2, es
decir, la mitad del intervalo y evaluar la función nuevamente en el punto
𝑋 𝑅, tal como se muestra en la figura 4.

22. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de Excel
6. Para la segunda iteración, indicar en la celda A98 que la interacción anterior
debe ser incrementada en 1. Por otro lado se debe introducir en las celdas B98 y
C98 las condiciones de cambio de acuerdo al punto 3 del algoritmo. En la celda
B98 se introduce la condición: si 𝑓 𝑎 ∙ 𝑓 𝑋 𝑅 < 0, si la condición se cumple no
deberá hacerse cambios en la celda, pero si sucede lo contrario deberá
actualizarse la celda con el ultimo valor calculado para 𝑋 𝑅. Las figuras 5 y 6
muestran la forma de introducir la función condicional en la celda B98.
Seleccione menú INSERTAR FUNCIÓN según aparece en la figura 5.

23. Figura 5 Selección de la opción
INSERTAR FUNCIÓN

24. Figura 6 Selección de la función
LÓGICA del tipo SI

25. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de Excel
7. Seleccionar función LÓGICA del tipo SI como lo muestra la figura 6.
8. Introducir la condición en la primera ventana del menú. En la segunda ventana
se introduce la celda del valor que debe aparecer en la celda B98 en caso de
que si se cumpla la condición y en la tercer ventana se debe introducir la celda
del valor que debe aparecer en la celda B96 en caso de que no se cumpla la
condición, según se muestre la figura 7.

26. Figura 7 Introducción de la prueba lógica
para el algoritmo de bisección para el valor
de a

27. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de
Excel
9. Repetir el procedimiento del paso 9 para el valor de 𝑏, el cual aparece en
la celda C98, la cual se muestra en la figura 8.
10. Repetir los cálculos para 𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑏 , 𝑋 𝑅 𝑦 𝑓(𝑋 𝑅). Calcular el error relativo
porcentual, tal como se muestra en la figura 9 .

28. Figura 8 Introducción de la prueba lógica para el
algoritmo de bisección para el valor de b

29. Figura 9 Repetición de los cálculos de
𝑓 𝑎 , 𝑓 𝑏 , 𝑋 𝑅, 𝑓(𝑋 𝑅) y el error relativo porcentual.

30. Figura 10 Cálculo de la raíz por el
método de la bisección

31. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante el uso de
Excel
11. Repetir los cálculos de la segunda iteración hasta alcanzar el error relativo
porcentual que se indico en un inicio, lo cual sucede para un valor de 𝑥 =
4.380859, como se muestra en la figura 10 .

32. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
1. En la figura 2 se puede observar que dentro del intervalo comprendido
entre 4.2 y 4.4 si existe un cambio de signo con el valor de la función, por
lo que estos valores pueden ser los correspondientes a 𝑎 𝑦 𝑏 para iniciar el
algoritmo.

33. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
2. Para construir en Excel la tabla mostrada en la figura 11 se abre una hoja
nueva y se etiquetan las celdas a emplear de acuerdo al algoritmo. En
este caso deben de aparecer: el porcentaje de error (celda B4), el valor
inicial de 𝑎 (celda B6), el valor inicial de 𝑏 (celda B8) y el valor de la raíz
(celda B10) .

34. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual Basic
2. También se etiquetan las columnas de la tabla de resultados que aparecerá con
los siguientes datos: numero de iteración (columna A), valor de a (columna B) ,
valor de b (columna C), evaluación de la función en el punto a 𝑓(𝑎) (columna D),
evaluación de la función en el punto b 𝑓(𝑏) (columna E), product de 𝑓 𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑓 𝑏
(columna F), calculo de la aproximación 𝑋 𝑅 (𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐻) y el porcentaje de error
aproximado 𝑒 𝑝 (columna I ) .

35. Figura 11 Inicio de los cálculos de las
raíces de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 − 12𝑥2 + 16𝑥 −
40 , por el método de bisección con
Visual Basic.

36. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
3. Una vez la tabla de la figura 11 se incrustan dos botones, los cuales se
etiquetan con las leyendas: “calcular” y “limpiar”, como se denota en la
figuras 12 , 13 y 14.

37. Figura 12 Habilitar en opciones de Excel la opción
de desarrollador.

38. Figura 13 Opción habilitada de desarrollador para
insertar botones de comando.

39. Figura 14 Se incrustan los botones para programar
el método de bisección de Visual Basic.

40. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
4. El botón correspondiente a “calcular” tiene el propósito de calcular la raíz
y tiene el siguiente código de programación abrir botón calcular :

42. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
5. El botón correspondiente a “limpiar” tiene el siguiente código de
programación abrir limpiar calcular :

44. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
6. Fuera del código de esos dos botones, en el código general se introduce
la función: abrir el código de la función

46. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
7. Una vez que se introdujeron los códigos anteriores, se ejecuta el programa
introduciendo los valores iniciales sugeridos en el punto 1, 𝑎 = 4.2 𝑦 𝑏 = 4.4 y
el porcentaje de error de 0.01, según aparece en la figura 15. La raíz
obtenida fue de 4.380859

47. Figura 15 Calculo de la
primera raíz por el
método de bisección
con Visual Basic.

48. RAÍCES DE ECUACIONES
Implementación del algoritmo del método de bisección mediante Visual
Basic
8. Si se desea aproximar la otra raíz real, se utiliza el botón “limpiar” y se
cambian los valores iniciales sugeridos según la gráfica son 𝑎 = −3.8 𝑦 𝑏 =
− 3.5 y el porcentaje de error de 0.01, según aparece en la figura 16. La
raíz obtenida fue de −3.548340

49. Figura 16 Calculo de la
segunda raíz por el
método de bisección con
Visual Basic.