momento lineal

1. Capítulo 7
MOMENTO LINEAL Y
COLISIONES

2. px = mvx py = mvy pz = mvz
Tiene carácter vectorial, y como m es
un escalar, entonces p V
Cantidad de Movimiento lineal
de una partícula
Se define como el producto de la masa
por la velocidad de la partícula.
mV
p  [kg m/s]
V p

3. 1ra ley de Newton
Un cuerpo libre de la acción de
otros cuerpos se moverá con
cantidad de movimiento constante
(p = cte) o permanecerá en reposo
hasta que algún agente externo le
modifique su estado de
movimiento

4. m
v v
m
p 
Sistema aislado
  0
F
cte
p 
0

p

5. La segunda ley de Newton se puede
escribir en función del momento lineal:
dt
dp
F
dt
d(mv)
dt
dv
m
F
ext
R
ext
R



Sistema de una partícula
2da ley de Newton

6. ext
R
R F
F 
Sistema de partículas
sistema
ji
F
ij
F
ext
i
F
ext
j
F
i
i
i m
r ,
v
, i
i p
r ,
N
i ..
1

 


j
i i
ext
i
ij
R F
F
F
,
0
rj
vj
Cuerpo externo
ext
R
int
R
R F
F
F 

La sumatoria de las fuerzas internas se hace cero, teniendo en cuenta
que dentro del sistema están todas las parejas de cuerpos que sienten
los pares de acción y reacción.

7. 


i
ext
i
ext
R
R F
F
F

 

i
i
i
ext
i
R
dt
dp
F
F


i
i
ext
R p
dt
d
F
sist
dt
dp

2da ley de Newton

8. (sist)
dt
dp
F
ext
R 
)
(
Conservación de la cantidad de
movimiento lineal
0
cte
p
dt
dp sist
(sist)

 )
(
,
0
Cuando la resultante de las fuerzas externas que
actúan sobre un sistema se anula, entonces se conserva
la cantidad de movimiento lineal del sistema

10. m
v
m
p 
F
t2
t1
m
1
p
2
p
F

11. En el caso en que esté actuando una fuerza
resultante sobre el sistema:
integrando ambos miembros, obtenemos:
Fdt,
dp 





2
1
t
t
1
2 Fdt
p
p
p

12. A la cantidad anterior se le conoce como
Impulso I de la fuerza F en el intervalo
,
t t t
f i
 
I Fdt p
t
t
i
f
 
 
el impulso es igual al cambio de
momento lineal
Impulso de una fuerza

13. Una pelota colisionando con
una pared rígida

14. 1
p
2
p
o
t 
t
t 


15. Mientras la pelota colisiona con la
pared, ella se deforma
rápidamente, lo cual indica que la
fuerza de interacción pared pelota
crece monótonamente con el
tiempo, cuando la deformación de
la pelota es máxima, entonces la
fuerza que actúa sobre la pelota
también lo es.

16. F
t
 t(s)
AREA
Fdt
I
t
t
t

 


0
A
Comportamiento
de la fuerza
impulsiva con el
tiempo

17. Es conveniente definir una fuerza
promedio como:
Por lo tanto el impulso también se
puede expresar como:
m
F



2
1
1 t
t
m Fdt
t
F
t
F
p
I m 




18. H=2m
h=1,5m
i
v f
v
Una pelotita de 100g de masa
se deja caer desde una altura
de 2m y rebota verticalmente
tal como se indica. determine
la fuerza promedio que el piso
ejerció sobre la pelotita, si el
tiempo de interacción pared -
pelota fue de 0,02s

19. En el sistema mostrado determinese el
impulso que la pelotita recibe y la fuerza
promedio sobre ella, si el tiempo de
interacción pared -pelota fue de 0,025s
o
37
o
37
m= 10kg
V=50m/s
v
v

21. 0


dt
dp
F
sist
ext
R
En los choques la cantidad de movimiento
lineal del sistema siempre se conserva,
pues las fuerzas externas, de existir, se
desprecian frente a las internas, las cuales
son muy intensas mientras actúan.
0
Conservación de la cantidad de
movimiento lineal

22. Conservación del momento para un
sistema de dos partículas
m1
m2
p1=m1v1
p2=m2v2
F12
F21
Como
21
12 F
y
F
Corresponden al par acción
reacción se cumple :
0
21
12 
 F
F

23. Se conserva la cantidad de movimiento
p del sistema p = 0
Se conserva la energía cinética K del
sistema K = 0
Clasificación de los choques
inelástico
elástico
inelástico plástico
K  0 K máxima
Se conserva la cantidad de movimiento
p del sistema
NO se conserva la energía cinética K del
sistema K no es cero

24. p p
i f

f
i K
K 
p p
i f

f
i K
K 
Tipos de colisión
Elástica:
Inelásticas

25. colisión perfectamente inelástica
m1
m2
m1+ m2
Choque plástico

26. Choque plástico
por conservación del momento:
'
' 2
2
1
1
2
2
1
1 v
m
v
m
v
m
v
m 


podemos suprimir el vector unitario i
'
)
( 2
1
2
2
1
1 v
m
m
v
m
v
m 

 ......(1)
2
1
2
2
1
1
'
m
m
v
m
v
m
v




27. por conservación del momento:
'
' 2
2
1
1
2
2
1
1 v
m
v
m
v
m
v
m 


podemos suprimir el vector unitario i
'
' 2
2
1
1
2
2
1
1 v
m
v
m
v
m
v
m 

 ......(1)
Por conservación de la energía cinética (2)
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1 '
2
1
'
2
1
2
1
2
1
v
m
v
m
v
m
v
m 


Choque elástico

28. '
' 1
2
2
1 v
v
v
v 

 ........(3)
esta igualdad independiente de las masas nos
indica que:
La velocidad relativa de acercamiento es
igual y opuesta a la velocidad relativa de
alejamiento
Combinando las ecuaciones (1) y (3)
obtenemos las velocidades finales de las
masas m1 y m2 inmediatamente después de la
colisión, en función de las velocidades
iniciales y las masas:

29. 2
2
1
1
1
2
1
2
1
'
1
2
v
m
m
m
v
m
m
m
m
v 




















2
2
1
1
2
1
2
1
2
'
2
2
v
m
m
m
m
v
m
m
m
v 





















30. Analicemos estas ecuaciones :
1) si m1 = m2 , las ecuaciones se reducen a:
2
1 ' v
v  1
2 ' v
v 
1
v 2
v
2
1' v
v 
1
2 ' v
v 
Antes Después
Sus momentos lineales se intercambian

31. si m2>>>m1 tenemos :
2
1
2 m
m
m 

 y
0
2
1

m
m
y sus velocidades finales serán:
2
1
1 2
' v
v
v 

 y 2
2 ' v
v 
es decir el cuerpo de mayor masa no cambia su
cantidad de movimiento

32. 1
v
2
v 1
1' v
v 

0
'
2 
v
Antes Después
m1 rebota elásticamente
Si asumimos que m2 esta en reposo
0
'
y
'
0 2
1
1
2 



 v
v
v
v

33. Haga click en choques

34. Problema
Un bloque de masa m1=1.6kg, moviendose
hacia la derecha con una velocidad de 4m/s
sobre un camino horizontal sin fricción,
choca contra un resorte sujeto a un segundo
bloque de masa m2=2,1kg que se mueve hacia
la izquierda con una velocidad de 2,5m/s.
(k=de 600N/m). En el instante en que m1 se
mueve hacia la derecha con una velocidad de
3m/s determine: a) la velocidad de m2 b) la
distancia x que se comprimió el resorte

35. m1 m2
k
s
m
v /
4
1  s
m
v /
5
,
2
2 

m1 m2
s
m
v /
3
'
1  '
2
v

36. Por conservación del momento lineal
'
' 2
2
1
1
2
2
1
1 v
m
v
m
v
m
v
m 


'
)
1
,
2
(
)
3
)(
6
,
1
(
)
5
,
2
)(
1
,
2
(
)
4
)(
6
,
1
( 2
v




Obtenemos: i
s
m
v )
/
74
,
1
(
'
2 

Por conservación de la energía:
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
'
2
1
'
2
1
2
1
2
1
kx
v
m
v
m
v
m
v
m 



X = 0,173m

37. v1f
q
f
v1f
v1f cosq
v1f senq
v2fcos f
-v2f sen f
Un choque no frontal elástico
entre dos partículas
Antes
Después

38. Ejemplo. En un juego de billar se
quiere introducir la bola roja en la
buchaca después de golpearla con la
blanca. Si la buchaca está a 35o a qué
ángulo se desvía la bola blanca?

39. v1i
v1f
v2f
x
y
35o
q

40. CENTRO DE MASA
Un sistema mecánico complejo se
comporta como si toda su masa
estuviera concentrada en un punto que
se denomina centro de masa (C.M.)
Para un conjunto de masas puntuales
el CM se calcula :

41. r
mr
m
CM
i i
i
i
i



m1
m2
m3
m4
m5
m6
y
x
r1
r4
r6

42. y
x
rCM
z r
M
rdm
CM  
1
para una distribución continua de masa:
mi
r

43. Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los
vértices de un triángulo rectángulo. Calcular
el vector C.M.
d
h
a
y
x

44. Ejemplo.
a
b
c
y
x
dx
x
dm

46. MOVIMIENTO DE UN SISTEMA
DE PARTÍCULAS
v
dr
dt
CM
CM
 
d
dt M
m r
i i
( )
1
 
 

1
M
m
dr
dt
i
i 1
M
m v
i i
 

47. MvCM  mv
i i
   i
p
sist
P
El momento total P es el producto de la
masa total M por la velocidad del centro
de masa.
MvCM  CM
P


48. a
dv
dt M
m
dv
dt
M
m a
M
F
F
M
CM
CM
i
i
i i i
  
  

 
1
1 1
ext
R
CM F
a
M 

49. Al hacer la suma las fuerzas
internas de acción y reacción se cancelan
de modo que sólo quedan las fuerzas
externas. Entonces la ecuación anterior
se reduce a:
Fi

dt
P
d
a
M
F sist
CM
ext 



50. CM
ext
R Ma
F 
)
(
CM
Si la FR que actúa
sobre el sistema es
igual 0, entonces
el Centro de Masa
del Sistema se
mueve con MRU,
o está en reposo
0
0
sistema
 
M
r
m
m
r
m
t
r i
i
i
i
i
i
i
i
CM





cte
VCM  cte
Psist 
0

ext
R
F

51. en palabras:
el centro de masa se mueve como
una partícula imaginaria de masa M
con la influencia de la fuerza externa
resultante sobre el sistema.
Si la fuerza resultante externa es cero
entonces el CM se mueve con MRU