Trabajo sobre la aplicación de derivadas

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República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la ciencia y tecnología
Instituto universitario Antonio José de Sucre
San Cristóbal – Estado Táchira
Las derivadas
Omar A. Escalante S.
C.I 30.228.498
Matemáticas 1ª
Extensión San Cristóbal

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Julio – 2021
INDICE.
1. Introducción
2. La derivada
3. Historia de la derivada
4. Aplicaciones de derivadas
5. Uso de las derivadas
6. Conclusión
7. Bibliografía

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Introducción
Como principal, se debe destacar que la derivada permite estudiar existencia de los
puntos de inflexión. Un punto de inflexión en una función, es el lugar de su dominio en
donde cambia de curvatura, en donde cambia de cóncavo a convexo o viceversa. Esta
aporta información concreta, directa y científica a los expertos, además, con esos
resultados, interpretan y son capaces de ofrecer información acerca de nuestra propia
existencia y también se utilizan para aplicarlas en cosas tan habituales como en el vuelo de
un avión, el movimiento de un carro, etc.
Esto quiere decir, que la derivada es el ritmo de cambio de cualquier función en un
determinado punto o instante, por lo tanto, las derivadas son muy importantes y usadas en
ámbitos como la administración y economía, ya que estas permiten calcular una inversión
compleja en economía financiera.

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La derivada
La derivada de una función es la razón de cambio instantánea con la que se varia el
valor de una función matemática, según sea modificado el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como
el limite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el
intervalo considerado para la variable independiente se torna a su vez mas pequeño. Por eso
se habla sobre el valor de la derivada de una función en un punto dado.
Un ejemplo bastante común aparece al estudiar movimientos, si una función
representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de
dicho objeto para todos los momentos. Es decir, un avión que realice un vuelo
transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de
750km/h. Sin embargo, se puede estar viajando a velocidades mayores o menores en
distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su
velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las
15:20 es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores
alrededor de esta hora entre las 15:15, entre las 15:19 y las 15:21.
Entonces podríamos decir que el valor de la derivada de una función en un punto
puede interpretarse geométricamente ya que se corresponde con la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función en dicho punto, la recta tangente es, a su vez, la grafica
de la mejor aproximación final de la función alrededor de dicho punto.
La noción de la derivada puede generalizarse para el caso de funciones de mas de
una variable con la derivada parcial y diferencial.

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Historia de la derivada
Los problemas típicos dieron origen al calculo infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (en el siglo III A.C) pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (siglo XVII,
Por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que pertenece a las derivadas existen dos conceptos de tipo geográfico que le
dieron origen:
• El problema de la tangente a una curva
• El teorema de los extremos: máximos y mínimos
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como
calculo diferencial. Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían
tenido a los infinitos. Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros
en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al
descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez
más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes, los
primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
A finales del siglo XVII, se sintetizaron en dos conceptos, métodos usados
por sus predecesores los que hoy llamamos derivadas y integrantes. Desarrollaron

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reglas para manipular las derivadas (regla de derivación) y mostraron de ambos
conceptos eran inversos (teorema fundamental de calculo)
Newton desarrollo en Cambridge, su propio método para el cálculo de
tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que
coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a restructurar
las bases de su calculo, intentando desligarse a los infinitesimales, introdujo el
concepto de fluxión, que para el era la velocidad con una variable fluye con el
tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo
diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton
descubriera 10 años antes. En su investigación conservo un carácter geométrico y
trato a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue
quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A el le deben los nombres de:
calculo diferencial y calculo integral.

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Aplicaciones de la derivada
• Derivada parcial: para explicarla de una manera concreta, supongamos que
estamos en un puente y observamos como varia la concentración de peces con el tiempo
exactamente. Estamos en una posición fija del espacio, por lo que se trata de una
derivada parcial de la concentración con respecto al tiempo manteniendo fijas la
posición en la dirección “X", “Y" o “Z"
• Derivada total con respecto al tiempo: ahora hay que suponer que nos
movemos en una lancha a motor en contra de la corriente, otras a través y otras a favor,
al referir la variación de concentración de peces con el tiempo, los números que resultan
han de reflejar también el movimiento de la lancha. La variación de la concentración
con el tiempo corresponde a la derivada total.
• Derivada substancial con respecto al tiempo: por último, vamos a imaginar
que vamos en una canoa a la que no se comunica energía, sino que simplemente flota.
En este caso, la velocidad del observador es exactamente la misma que la velocidad
corriente “V". Al referir la variación de la concentración de peces con respecto al
tiempo, los números dependen de la velocidad local corriente. Esta derivada es una
clase especial de derivada total con respecto al tiempo que se denomina “derivada
sustancial" o en algunas ocasiones derivada siguiendo al movimiento.

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Uso de la derivada
La derivada, permite conocer lo sensible que es el cambio de una variable con
respecto a otra. Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades, aceleraciones,
distribuciones que dependen del tiempo o de la cantidad de materia, son ejemplos
bastante sencillos), en ingeniería o economía.
También las derivadas expresan la variación de una magnitud en “infinitas
cantidades infinitesimales”. Matemáticamente, la derivada de una función en un punto
es la pendiente de la recta tangente a dicha recta de un dicho punto. Físicamente, miden
la rapidez con la que cambia una variable con respecto a la otra.
Por ejemplo: la derivada de la posición de un carro con respecto al tiempo es su
velocidad. Hay un carro en la autopista, su posición cambiara con el tiempo porque se
desplaza con una determinada velocidad. Digamos que la posición tiene la siguiente
ecuación:
X= 3tx=3t
Donde xx es la posición que varia con un tiempo tt en el origen (t=0t=0), su
posición será x=0x=0. Un segundo después, habrá recorrido tres metros. Dos segundos,
6 metros. Tres segundos 9, metros.
La derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, entonces el
carro va a:
V=dxdtv=dxdt
V= ddt(3t)=3m/sv=ddt(3t)=3m/s

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Ejemplos importantes en física:
Cinemática
• La derivada de la posición con el tiempo es la velocidad
• La derivada de la velocidad con el tiempo es la aceleración
Dinámica
• La derivada del momento lineal con el tiempo es la fuerza
• La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía (potencial, cinética,
trabajo, etc.)
Geometría
• La derivada del volumen es la superficie o área
• La derivada de la superficie es la distancia
Electrostática
• La derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de la corriente.
Física de Materiales
• La de derivada de la masa con respecto a la longitud/superficie/volumen es la
densidad

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Conclusión
Para finalizar podemos decir que es importante comprender y derivar formulas,
que a la vez tienen una importante aplicación en cualquier ámbito laboral y en la ciencia
en general. El propósito principal de un derivado es optimizar los sistemas por las
funciones mas o menos complejas.
Además es empleada en la construcción de edificios, con una función que
relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo, son muy extensas las
aplicaciones de la derivada en profesiones como la ingeniería, económica,
administración, etc.
De modo que podemos Concluir, que las derivadas son muy útiles a la hora de
resolver problemas de física y todas las cátedras que se basan en ella, como estadística,
cinemática, mecánica, además es de gran utilidad en economía para hallar valores mínimos
y máximos los cuales son de suma importancia en este ámbito, en conclusión tiene un
sinfín de aplicaciones en las cuales toma un papel importante.

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Bibliografía
Para la correcta realización de este trabajo, tomamos referencias bibliográficas de sitios
web como:
• https://es.m.wikipedia.org/wiki/Derivada
• https://www.google.com/amp/s/www.tusclases.pe/blog/tabla-derivadas-
integrales/amp/
• https://www.derivadas.es/aplicaciones-de-la-derivada/