ALGEBRA LINEAL

1. Algebra
Lineal
Universidad Nacional
Autónoma de México
Facultad de ingeniería
División de ciencias Básicas
Prof. Erick Norman Guevara Corona
Héctor Zárate Rea
Aplicación de las Matrices en el Procesamiento
de Imágenes
Héctor Zárate - Trabajo Final
1

2. Algebra
Lineal
Índice:
Introducción:
3
Conceptos Básicos:
4
.Definición:
4
.Operaciones con Matrices:
4
.Adición de Matrices:
4
.Multiplicación por una Escalar:
5
.Multiplicación de Matrices:
6
Imágenes y Matrices:
6
.Imágenes Digitales:
6
.RGB:
6
.Representación de una Imagen Digital mediante una matriz:
7
Filtros aplicados mediante operaciones con matrices que representan una ima-
.gen:
7
.Ajuste de Canales:
7
.Ajuste de Brillo:
8
.Invertir colores (Negativo):
9
.Escala de Grises:
10
.Ajuste de Contraste:
11
Sobre el Software:
13
Conclusiones:
14
Bibliografía:
15
Aplicación de las Matrices en el Procesamiento
de Imágenes
Héctor Zárate - Trabajo Final
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3. Algebra
Lineal
Introducción:
En este proyecto, se pretende explicar de manera breve cómo es posible el manejo
o procesamiento de imágenes a través de la computadora y como utiliza una parte
de los conceptos aprendidos en la asignatura de Álgebra Lineal, particularmente
las operaciones con matrices.
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de Imágenes
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4. Algebra
Lineal
Conceptos Básicos:
Qué es una matriz?
”Podemos decir que una matriz es una tabla o arreglo rectangular de elementos
que, usualmente son números reales o complejos.
El concepto de matriz sin embargo puede generalizarse al caso en que los elemen-
tos sean polinomios, funciones, operadores o cualquier otro tipo de entes
matemáticos.”1
Definición:
Operaciones con Matrices:
Adición de Matrices:
La primera de las operaciones con matrices es la adición, esta operación puede
efectuarse cuando las matrices son del mismo orden; Y el resultado se obtiene su-
Una matriz de n x m con elementos en C es un arreglo de la forma:





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn





Donde a11,a12, amn pertenecen a C y m, n pertenecen a Z.
En forma abreviada, la matriz de la definición anterior puede expresarse co-
mo:
[aij] Donde i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n
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1 SPEZIALE de Guzmán, Leda, et al. Apuntes de Algebra Lineal.

5. Algebra
Lineal
mando los elementos correspondientes de ambas matrices de acuerdo con la si-
guiente definición:
Multiplicación por una Escalar:
Esta operación se define formalmente como:
Sean A = [aij] y B = [bij] dos matrices de n x m con elementos en C.
La suma A + B es una matriz S = [sij] de m x n definida por:
sij = aij + bij
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n.
Sean A = [aij] una matriz de n x m con elementos en C y ß que pertenece a
C.
El producto ßA es una matriz E = [eij] de m x n definida por:
eij = βaij
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n.
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6. Algebra
Lineal
Multiplicación de Matrices:
Formalmente se tiene la siguiente definición para la multiplicación de matrices:
Imágenes y Matrices:
Imágenes Digitales:
Una imagen digital es una celda compuesta por unos elementos llamados pixeles,
que son los componentes más pequeños de una imagen digital.
Cada pixel es un espacio en la memoria de la computadora donde se almacena un
numero y este numero representa la definición del color y el brillo de una parte de
la imagen. Cada pixel puede definir un color solamente y el numero de pixeles
define la cantidad de información que contiene una imagen.
RGB:
Cualquier color puede ser representado mediante la combinación de los colores
rojo, verde y azul, cada uno en diferente proporción.
La combinación RGB estándar indica 256 niveles por cada canal, es decir por cada
color rojo, verde o azul.
Para representar el valor de 256, requerimos de 8 bits para cada canal de color. Lo
que nos permite una combinación del orden 2563 lo que nos permite una combi-
nación de casi 17 millones de colores. (16,777,216).
Existen otras representaciones como el CYMK, pero no las abordaremos en este
trabajo. Puesto que solo trabajaremos con RGB.
Sean A = [aij] y B = [bij] dos matrices de m x n y de n x q respectivamente
con elementos en C. El producto AB es una matriz P = [pij] de m x q. Defini-
da por:
n
k=1 aikbkj
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , q.
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7. Algebra
Lineal
Ejemplo:
Esta imagen mide 3 pixeles de ancho por 3 de alto.
(Ha sido ampliada para fines demostrativos).
La matriz correspondiente a esta imagen sería una matriz de or-
den 3 tal:


(151, 198, 255), (167, 202, 250), (178, 207, 249)
(176, 220, 255), (190, 223, 254), (197, 220, 253)
(209, 224, 245), (216, 229, 247), (217, 228, 246)


Representación de una Imagen Digital mediante una matriz:
Ya sabido como podemos representar una imagen (RGB) formaremos una matriz
de dimensiones m x n, con elementos vectores en donde cada vector estará com-
puesto o constituido por 3 componentes (canales RGB), con valores contenidos en
los enteros de 0 a 255 en un intervalo cerrado.
Filtros aplicados mediante operaciones con matrices que
representan una imagen:
Dentro del procesamiento de imágenes existen algunos filtros básicos de frecuen-
te empleo que funcionan mediante operaciones con matrices, estos filtros se em-
plean principalmente en la fotografía digital, los que hemos programado en este
proyecto son los siguientes:
Ajuste de Canales:
Consiste en manipular la intensidad de únicamente un canal a la vez, ya sea el ro-
jo, verde, o azul independientemente.
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8. Algebra
Lineal
Como ejemplo definamos el ajuste del canal verde:
M + A = C
(Esta ecuación será para ajustar el canal verde)*





m11 m12 · · · m1n
m21 m22 · · · m2n
...
...
...
...
mm1 mm2 · · · mmn





+





(0, p, 0) (0, p, 0) · · · (0, p, 0)
(0, p, 0) (0, p, 0) · · · (0, p, 0)
...
...
...
...
(0, p, 0) (0, p, 0) · · · (0, p, 0)





+ = C
Donde mij corresponde a un vector (rij, gij, bij) correspondiente a la Imagen.
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n
C corresponderá a la imagen ajustada de M.
*Nota: Para ajustar el canal rojo cada elemento de la matriz de ajuste será: (p,0,0) y para el canal azul será
de elementos: (0,0,p).
Ajuste de Brillo:
El ajuste de brillo es uno de los ajustes más elementales dentro del ajuste de imá-
genes y uno de los más empleados.
El Brillo es el porcentaje de luminiscencia u oscuridad de un color. Puede ir desde
el 0% que significa negro, hasta el 100% que significa blanco.
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9. Algebra
Lineal
La operación correspondiente al ajuste de brillo es la siguiente:
M + B = C





m11 m12 · · · m1n
m21 m22 · · · m2n
...
...
...
...
mm1 mm2 · · · mmn





+





(p, p, p) (p, p, p) · · · (p, p, p)
(p, p, p) (p, p, p) · · · (p, p, p)
...
...
...
...
(p, p, p) (p, p, p) · · · (p, p, p)





= C
Donde mij corresponde a un vector (rij, gij, bij) correspondiente a la Imagen.
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n
Donde M corresponde a la matriz imagen y C corresponderá a la imagen ajustada de M.
Y p es el parámetro de ajuste de brillo, cuyo estándar va de -100 a 100.
Invertir colores (Negativo):
Esta operación consiste en invertir cada canal RGB a su negativo (Sí, suena re-
dundante). Por ejemplo, en una película fotográfica en la cual se plasman los colo-
res invertidos de la imagen real. Esto es que el blanco pasa a ser negro, el azul a
amarillo, verde a magenta y rojo a cyan.
La utilidad de este filtro, se encuentra en la digitalización de películas
fotográficas.
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10. Algebra
Lineal
La operación que corresponde a este ajuste es:
N − M = C





(255, 255, 255) (255, 255, 255) · · · (255, 255, 255)
(255, 255, 255) (255, 255, 255) · · · (255, 255, 255)
...
...
...
...
(255, 255, 255) (255, 255, 255) · · · (255, 255, 255)





−





m11 m12 · · · m1n
m21 m22 · · · m2n
...
...
...
...
mm1 mm2 · · · mmn





= C
Donde mij corresponde a un vector (rij, gij, bij) correspondiente a la Imagen.
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n
C corresponderá a la imagen negativa de M.
Escala de Grises:
Las conversiones entre las imágenes de color y las imágenes en escala de grises no
son del todo directas. El ajuste de escala de grises consiste en la multiplicación de
cada componente por 3 constantes definidas: Alfa, Beta y Gamma. Posteriormente
se promedian las intensidades obtenidas en cada canal .
Este proceso sustrae toda la información de color que contiene cada pixel y nos
deja una separación de 255 niveles entre el blanco y el negro.
Estas 3 constantes se obtienen como la separación entre los canales RGB y el ne-
gro:
Alfa: Separación entre el rojo y el negro. (0.299)
Beta: Separación entre el verde y el negro. (0.599)
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11. Algebra
Lineal
Gamma: Separación entre el azul y el negro. (0.111)
La operación correspondiente es la siguiente:
G =





(g11, g11, g11) (g12, g12, g12) · · · (g1n, g1n, g1n)
(g21, g21, g21) (g22, g22, g22) · · · (g2n, g2n, g2n)
...
...
...
...
(gm1, gm1, gm1) (gm2, gm2, gm2) · · · (gmn, gmn, gmn)





Donde:
gij = 1
3 (αrij, βgij, γbij)
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n.
En donde los valores de alfa , beta y gamma son las siguientes constantes:
Alfa: 0.299
Beta: 0.599
Gamma: 0.11
Ajuste de Contraste:
El contraste, se refiere a la diferencia que existe entre las zonas oscuras y claras de
la imagen.
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12. Algebra
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Este ajuste es la transformación más complicada de todos las vistas anteriormente:
C = ( 1
255





m11 m12 · · · m1n
m21 m22 · · · m2n
...
...
...
...
mm1 mm2 · · · mmn





−





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn





)kc+





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn





255
Donde:
aij = 1
2 (1, 1, 1)
mij corresponde a la matriz M, que es la imagen a ajustar.
Para i = 1, 2, 3, … , m y j = 1, 2, 3, … , n.
Y donde kc = 100+p
100
p corresponde al parámetro de ajuste de contraste seleccionado por el usuario.
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13. Algebra
Lineal
Sobre el Software:
El Software fue desarrollado en C# dentro de las suite Microsoft Visual Studio
2005. La cual consta de más de 300 lineas de código malicioso, indetectable por
su antivirus. Dicho código contiene cerca de 20 métodos implementados.
El flujo de trabajo es el siguiente:
1. Se importa al programa un mapa de bits (BMP) o o
una imagen comprimida en formato (JPEG).
2. El programa convierte la imagen a una matriz de or-
den 500, cuyos componentes son una estructura que
contiene tres campos de números enteros, uno para
cada canal de color.
3. A partir de este punto el usuario puede elegir entre 7
diferentes opciones de procesamiento para la imagen
importada:
• Ajuste de canal rojo
• Ajuste de canal verde
• Ajuste de canal azul
• Ajuste de brillo
• Ajuste de contraste
• Conversión a escala de grises
• Negativo de la imagen
5. El programa procesa la matriz que representa la ima-
gen siguiendo las operaciones definidas anteriormen-
te en el desarrollo del proyecto.
6. Finalmente la matriz es vuelta a transformar a un ma-
pa de bits que se despliega al usuario.
7. Et voilá!
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14. Algebra
Lineal
Conclusiones:
El desarrollo de este proyecto nos ha permitido demostrar una de las múltiples
aplicaciones del álgebra lineal y aplicar varios de los temas aprendidos en clase.
Esto nos ha motivado para entender que el álgebra lineal tiene una aplicación tan-
gible y real, en varias áreas como lo es el procesamiento de imágenes que tiene un
uso continua en la fotografía digital y los sistemas de control, entre otras cosas,
Have fun! :)
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15. Algebra
Lineal
Bibliografía:
I. SPEZIALE de Guzmán, Leda, et al. Apuntes de Algebra Lineal. Editorial
Limusa, México, 1991.
II. LACEY, Joel. The Complete Guide to Digital Imaging, The Ilex Press Limi-
ted, Estados Unidos, 2001.
III. RUSS, John. The Image Processing Handbook. CRC Press, Estados Unidos,
2002.
IV. SZIDAROVSKY, Ferenc. Intoduction to matrix theory. World scientific pu-
blishing company Reino Unido, 2001
V. HOENIG, Alan. TeX Unbound: LaTeX and TeX strategies for fonts, graphics
and more. Oxford University Press, Estados Unidos 1998.
VI. ANG, Tom, Advanced digital photography. Octopus publishing group Ltd,
Inglaterra, 2003
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