Un trabajo sobre las Ecuaciones Diferenciales, y los Sistemas Lineales Homogéneos con Coeficientes Constantes.

1. Ecuaciones
Diferenciales
SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
ESTUDIANTE:
-Emilio Rodríguez Cárdenas
PROFESOR:
-Ing. Raúl Ortiz
11-7-2011

2. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
INDICE
Agenda de Contenidos
INDICE ......................................................................................................................................... 1
RESUMEN DE CONTENIDOS ................................................................................................ 2
Ejemplo 1......................................................................................................................................... 2
SISTEMAS HERMITIANOS ................................................................................................................ 4
SISTEMAS NO HERMITIANOS .......................................................................................................... 5
Caso 1 .......................................................................................................................................... 5
Caso 2 .......................................................................................................................................... 5
Caso 3 .......................................................................................................................................... 5
PROBLEMAS Y EJERCICIOS ................................................................................................. 7
1

3. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
RESUMEN DE CONTENIDOS
Para comenzar, se debe demostrar cómo obtener la solución de un sistema lineal homogéneo con
coeficientes constantes, es decir, un sistema de la forma:
(1)
Donde A es una matriz constante de . Similarmente al método de resolución de las
ecuaciones lineales de segundo orden, se debe determinar soluciones de la forma:
(2)
En donde debemos determinar el coeficiente y el vector constante . Si sustituimos de la
ecuación (2) en el sistema (1) obtenemos:
Como el factor: nunca será igual a cero, podemos simplificarlo de ambos miembros, y
agrupando términos semejantes tenemos:
( ) (3)
En donde el termino es la matriz identidad de . Por tanto, consecuentemente debemos
resolver el sistema de ecuaciones (3) para poder obtener la solución del sistema (1).
Para dar solución a este problema, debemos calcular los eigenvalores y eigenvectores de la Matriz
A. Entonces el vector , dado por la ecuación (2) será una solución del sistema (1) solo si es un
eigenvalor y es un eigenvector asociados a la Matriz de coeficientes A.
Para comprender mejor este concepto se analizara el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 1:
Encontrar la solución general del Sistema:
* + (4)
Si se supone que: y se sustituye en la ecuación (4) se llega al sistema de ecuaciones:
* +[ ] * + ( )
2

4. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Las ecuaciones (5) tienen una solución diferente de la trivial, solo si el determinante de los
coeficientes es igual a cero. Por tanto, a partir de la ecuación tenemos:
* + ( )
(6)
En donde las raíces de la ecuación (6) son y , que no son más que eigenvalores de
la matriz de coeficientes de la ecuación (4). Si tomamos la raíz , entonces el sistema (5) se
reduce a:
Por tanto, y el eigenvector correspondiente a puede tomarse como:
( )
* +
De igual manera, correspondiendo a se tiene que , de modo que el eigenvector
es:
( )
* +
Entonces las soluciones correspondientes de la Ecuación diferencial son:
( ) ( )
* + * +
Para comprobar que las soluciones obtenidas constituyen un conjunto fundamental de soluciones,
procedemos a calcular el Wronskiano de ( ) ( )
.
( ) ( )
[ ]( ) [ ]
Como el Wronskiano es diferente de cero, se comprueba que ambas soluciones son linealmente
independientes, y la solución general del sistema (4) es:
* + * +
Donde y son constantes arbitrarias.
3

5. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
El sistema planteado (1) se resuelve como en el ejemplo. Para encontrar soluciones del sistema se
deben encontrar los eigenvalor y eigenvectores de A, a partir del sistema algebraico asociado (3).
Los eigenvalores (los cuales no necesariamente son diferentes) son raíces de la ecuación:
( )
Por tanto, la naturaleza de los eigenvalores y eigenvectores determinan la naturaleza de la
solución general del sistema (1).
SISTEMAS HERMITIANOS
El problema se vuelve mucho más sencillo cuando A es una matriz hermitiana, es decir, todos los
eigenvalores son reales. Además, siempre existe un conjunto completo de n
eigenvectores ( ) ( )
que son linealmente independientes. EN donde, las soluciones
correspondientes del sistema diferencial (1) son:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (14)
Y para poder demostrar que estas soluciones son independientes, nuevamente se evalúa su
Wronskiano:
( ) ( )
( ) ( )
[ ]( ) [ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ] (15)
( ) ( )
Como se puede deducir, la función exponencial nunca es cero, y como los eigenvectores son
linealmente independientes, el determinante del último término de la ecuación (15) es diferente
de cero. Como consecuencia, el Wronskiano nunca es cero, y ( ) ( )
forman un conjunto
fundamental de soluciones. Es decir, cuando la Matriz A es hermitiana, la solución general de la
ecuación es:
( ) ( )
(16)
Una subclase importante de las matrices hermitianas es la clase de las matrices reales simétricas.
Si A es real y simétrica, entonces los eigenvalores y eigenvectores son reales. Por tanto, las
soluciones son reales. Similarmente, si la Matriz A no es real, entonces los eigenvectores y
eigenvalores tienen partes imaginarias diferentes de cero y las soluciones son complejas.
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6. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
SISTEMAS NO HERMITIANOS
Si la matriz de coeficientes del sistema:
No es hermitiana, la situación referente a la solución es más complicada. Supongamos que la
Matriz A es real, entonces tendremos 3 posibilidades para los eigenvalores y eigenvectores de A:
1. Todos los eigenvalores son reales y distintos.
2. Algunos eigenvalores ocurren en parejas conjugadas complejas.
3. Algunos eigenvalores se repiten.
Caso 1:
Este caso no presenta dificultades. Para cada eigenvalor existe un solo eigenvector real
linealmente independiente y, consecuentemente, existen n soluciones linealmente de la forma:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Por tanto, la solución general está dada por la ecuación:
( ) ( )
En donde se entiende que son todos diferentes.
Caso 2:
En este caso aún se tienen soluciones n soluciones linealmente independientes de la forma (14),
siempre que todos los eigenvalores sean diferentes. Obviamente las soluciones que surgen de
eigenvalores complejos serán igualmente complejas.
Caso 3:
La mayor dificultad se presenta cuando algunos eigenvalores se repiten. En este caso, el número
de eigenvectores linealmente independientes es menor que la multiplicidad del eigenvalor. De ser
así, el número de soluciones linealmente independientes será menor que n. Entonces, es
necesario encontrar soluciones adicionales para obtener el conjunto fundamental de soluciones.
La situación es algo semejante a una ecuación lineal de orden n con coeficientes constantes; una
raíz repetida de la ecuación da como resultado soluciones de la forma:
5

7. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Finalmente, si la Matriz Aes compleja, pero no hermitiana, los eigenvalores complejos no
necesariamente ocurren en parejas conjugadas y los eigenvectores suelen ser de valores
complejos aun cuando el eigenvalor asociado es real. Por tanto, las soluciones de la ecuación
diferencial (1) siguen siendo de la forma (14), pero en general, todas las soluciones son de valores
complejos.
6

8. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
PROBLEMAS Y EJERCICIOS
En cada uno de los problemas, encuentre le solución general del sistema de ecuaciones dado.
También trace algunas trayectorias y describa el comportamiento de las soluciones cuando t→∞.
1- * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y .
Para , el sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es:
* + * +
3- * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para , el
sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
7

9. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es:
* + * +
Gráfica:
5- * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para , el
sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
8

10. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Por tanto, la solución general es:
* + * +
Gráfica:
En los problemas dados, encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado. También,
trazar una cuantas líneas de las trayectorias. En cada uno de estos problemas, la matriz de
coeficientes tiene un eigenvalor cero.
7- * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para , el
sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es:
* + * +
9

11. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Gráfica:
9- * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para , el
sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es:
* + * +
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12. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Gráfica:
En cada uno de los problemas, encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dados:
11 – * +
Respuesta:
La ecuación característica está dada por:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( ) ( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para
, los componentes del vector solución debe satisfacer: ( )
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es:
* + * +
11

13. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
13 - [ ]
Respuesta:
Analizando la ecuación obtenemos el siguiente eigensistema:
[ ][ ] [ ]
De donde, la ecuación característica de la matriz de coeficientes es:
Obtenemos las raíces: . Tomando tenemos:
[ ][ ] [ ]  El sistema se reduce a las ecuaciones:
( )
Un vector solución correspondiente está dado por: ( )
Ahora tomamos , y el sistema se reduce a una simple ecuación:
( ) ( )
Obtenemos dos soluciones independientes de la forma: ( ) ( )
Por tanto, la solución general es:
[ ] [ ] [ ]
15 - [ ]
Respuesta:
Analizando la ecuación obtenemos el siguiente eigensistema:
[ ][ ] [ ]
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces:
. Para , el tenemos:
12

14. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
[ ][ ] [ ] El sistema se reduce a dos ecuaciones:
( )
Un vector solución correspondiente está dado por: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Finalmente para el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es:
[ ] [ ] [ ]
En cada uno de los problemas, resuelva el problema con valor inicial dado. Describa el
comportamiento de la solución cuando t∞.
17 - * + ( ) * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para , el
sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es: * + * +
13

15. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Tomando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema:
Calculamos las constantes
Entonces, la solución particular del problema es:
* + * +
19 - [ ] ( ) [ ]
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
[ ][ ] [ ]
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y
. Para , el sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto, la solución general es:
[ ] [ ] [ ]
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16. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
Tomando las condiciones iniciales, obtenemos el sistema: [ ]
Calculamos las constantes
Entonces, la solución particular del problema es:
[ ] [ ]
21 - * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para , el
sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto:
( ) ( )
* + * +
( ) ( )
Evaluamos el Wronskiano de la solución: [ ]  Es decir, las soluciones son
linealmente independientes para t>0.
Entonces la solución general es: * + * +
15

17. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
23 - * +
Respuesta:
Haciendo obtenemos las ecuaciones algebraicas:
* +[ ] * +
Para una solución diferente de cero, debemos evaluar:
( )  De donde obtenemos las raíces: y . Para , el
sistema de ecuaciones se reduce a:
( )
El eigenvector correspondiente es: ( )
Para , el sistema de ecuaciones es:
( )
Un eigenvector correspondiente es: ( )
Por tanto:
( ) ( )
* + * +
( ) ( )
Evaluamos el Wronskiano de la solución: [ ]  Es decir, las soluciones son
linealmente independientes para t>0.
Entonces la solución general es: * + * +
25 –
Respuesta:
a) La solución General es: * + * +
16

18. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
b)
c)
27 –
Respuesta:
a) La solución General es: * + * +
17

19. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
b)
c)
d)
18

20. SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS CON COEFICIENTES CONSTANTES
31 –
a) La solución del sistema, requiere el análisis de las ecuaciones algebraicas:
[ ] * +
[ ]
La ecuación característica es:
( ) ( )
Los eigenvectores son reales y diferentes, ya que el discriminante es positivo:
( ) ( )
Simplificando la condición: ( ) ( )
b) Todos los parámetros del sistema son positivos. La suma de las raíces es:
Además el producto de las raíces es:
Deduciendo que ambas raíces son negativas, Por tanto, la solución de equilibro I=0, V=0
representa un nodo estable, que contiene a todas las soluciones.
c) Si la condición del literal a) no se cumple:
( ) ( )
Entonces la parte real de los eigenvalores es:
( ) ( )
Mientras los parámetros sean positivos, las soluciones siempre convergerán con respecto
al punto de equilibro (0,0).
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