1. 1
CAPITULO 8
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
8.1 Teoria preliminar.
8.2 sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.
8.2.1 valores propios reales y distintos.
8.2.2 Valores propios repetidos.
8.2.3 Valores propios complejos.
8.3 Variación de parámetros.
8.4 Matriz exponencial.
INTRODUCCION:
En las secciones 3.3 4.8 Y 7.7 describimos sistemas diferenciales y resolvimos algunos por
eliminación sistemática o con la transformada de Laplace. En este capítulo nos concentraremos en
los sistemas de ecuaciones lineales de primer orden. Si bien la mayor parte de los sistemas que
estudiaremos se podrían resolver mediante la eliminación o la transformada de Laplace,
desarrollaremos una teoría general para estos sistemas y, en el caso de sistemas con coeficientes
constantes, un método de solución que utiliza algunos conceptos básicos del álgebra de matrices.
Veremos que esta teoría general y el procedimiento de solución se parecen a las que se usan en
las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior que vimos en las secciones 4.1, 4.2 y 4.6.
Este material es fundamental para el análisis de los sistemas de ecuaciones no lineales de primer
orden.
8.1 TEORIA PRELIMINAR
 Sistemas lineales homogéneos y no homogéneos, vector solución.
 Problemas de valor inicial, principio de superposición y dependencia lineal.
 Independencia lineal, el woronskiano y conjunto fundamental de soluciones.
 Solución general, la solución complementaria y solución particular.
Nota:
En este capítulo emplearemos mucho la notación matricial y las propiedades de las matrices. El
lector debería repasar el apéndice II si no está familiarizado con estos conceptos.
En la sección 4.8 del capítulo 4 manejamos sistemas de ecuaciones diferenciales en la forma

2. 2
P11(D)x1 + P12(D)x2+ …….. + P1n(D)xn= b1(t)
P21(D)x1 + P22(D)x2+ …….. + P2n(D)xn= b2(t) (1)
Pn1(D)x1 + Pn2(D)x2 + …….. + Pnn (D)xn= b,(t),
En donde las Pijrepresentaban polinomios de diversos grados en el operador diferencial D. aquí
restringiremos el estudio a los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, como el
siguiente:
g1 (t,x1,x2,……….,xn)
g2(t,x1,x2,……….,xn)
. .
. . (2)
. .
. .
. .
gn(t,x1,x2,………., xn)
Este sistema de´´n´´ ecuaciones de primer orden se llama sistema de orden ´´n´´.
Sistemas lineales si cada uno de las funciones g1, g2,……………, gnes lineal en las variables
dependientes x1, x2,……………, xnentonces las ecuaciones (2)son un sistema de ecuaciones
lineales de primer orden. Este sistema tiene la forma normal o estándar.
a11(t)x1+ a12(D)x2 + …….. + a1n(t)xn+ f1(t)
a21(t)x1+ a22(D)x2+ …….. + a2n(t)xn+ f2(t)
. .
. . (3)
. .
an(t)x1 + an2(D)x2+ …….. + am n (t)xn+ fn(t)

3. 3
Un sistema con la forma de ecuaciones (3) se denomina sistema lineal de orden ´´n´´, o
simplemente sistema lineal. Se supone que los coeficientes,aij,y las funciones fi, son continuos en
un intervalo común, I. cuando fi (t)=0, i = 1,2,…., n, se dice que el sistema lineal es homogéneo; en
caso contrario es no homogéneo.
Forma matricial de un sistema linealsi x, A(t) y F(t) representan las matrices.
x1(t)a11(t) a12(t) …………..a1n(t) f1(t)
a21(t) a22(t) ……………a2n(t) f2(t)
X2(t) A (t) = . . F (t) = .
X = . . . .
. . . .
.an1(t) an2(t) ……………ann (t) , fn(t)
Xn(t) ,
El sistema (3) de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se puede expresar como sigue:
x1 a11(t) a12(t) …………..a1n(t) x1 f1(t)
x2 a21(t) a22(t) ……………a2n(t) x2 f2(t)
. = . . . + .
. . . . .
. . . . .
xn an1(t) an2(t) ……………ann (t) xn fn(t)
O simplemente como: x´= Ax + F (4)
Si el sistema es homogéneo, su forma matricial es
x´=AX. (5)
EJEMPLO 1: sistemas expresados en notación matricial. Si X = x/0y
, la
forma matricial del sistema homogéneo

4. 4
= 3x + 4y 3 4
Es x´=
= 5x - 7y 5 -7 X.
X
b) si X = Y
Z , La forma matricial del sistema no homogéneo.
= 6x + y +z + t6 1 1 t
= 8x + 7y – z + 10t es x´=87 -1x + 10t
= 2x + 9y – z + 6t2 9 -1 6t
DEFINICION 8.1 vector solución
Un vector solución es un intervalo I es cualquier matriz columna.
x1(t)
x2(t)
.
X = .
.
xn(t)
Cuyos elementos son funciones diferenciables que satisfagan el sistema (4) en el intervalo:
EJEMPLO 2.- comprobación de soluciones
Compruebe que en el intervalo (-∞,∞),

5. 5
1 e-2t
3 3e6t
X1=e-2t
= yX2=e6t
=
-1 -e-2t
5 5e6t
Son soluciones de
1 3 (6)
x´= x
5 3
SOLUCION: en -2e-2t
18e6t
X1´= yX2´= vemos que
2e-2t
18e6t
1 3 e-2t
e-2t
- 3e-2t
-2e-2t
AX1= = =
=X1´
5 3 e-2t
5e-2t
- 3e-2t
2e-2t
1 3 3e6t
3e6t
+ 15e6t
18e6t
AX2= = = = X2´
5 3 5e6t
15e6t
+ 15e6t
30e6t
Gran parte de la teoría de los sistemas de r ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden se parece a la de las ecuaciones diferenciales lineales de orden n.

6. 6
X1(to) y1
X(to) = X2(to) y X0 = y2
. .
. .
. .
Xn(to) yn
En donde las yi, i = 1,2,3,………………….,n son constantes dadas. Entonces, el problema
Resolver: x´=A(t)X + F(t) (7)
Sujeto a: X(to) = X0
Es un problema de valor inicial en el intervalo.
TEOREMA 8.1 existencia de una solución única.
Sean los elementos de matrices A (t) = F (t) funciones continuas en un intervalo común I,
que contiene el punto t0. Existe una solución única del problema inicial, ecuaciones (7), en
el intervalo.
Sistemas homogéneos en las próximas definiciones y problemas solo nos ocuparemos
de los sistemas homogéneos. Sin decirlo explícitamente, siempre supondremos que las
aijy las fi son funciones continuas en un intervalo I.
Principio de superposición: el siguiente resultado es un principio de superposición
para soluciones de sistemas lineales.
TEOREMA 8.2 principio de superposición.
Sean x1, x2,……………, xkun conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (5) en
un intervalo I.la combinación lineal.
X =c1 x1+c2 x2+………… +ckxk
En que las ci, i = 1,2,…..,k son constantes arbitrarias, también en una solución en el
intervalo.

7. 7
Como consecuencia del teorema 8.2 un múltiplo constante de cualquier vector solución
de un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden también
es una solución.
EJEMPLO 3.- aplicación del principio de superposición.
El lector debe practicarcomprobando que los 2 vectores
Cos t 0
X1 = -1/2cos t +1/2sen t yX2 = et
-cos t –sen t0
Son soluciones del sistema 1 0 1
X´ = 1 1 0X
-2 0 -1
De acuerdo con el principio de superposición, la combinación lineal
Cos t 0
X = c1X1 + c2X2 = c1 = -1/2cos t +1/2sen t + c2et
-cos t –sen t 0
Es una soluciónmás del sistema.
Dependencia lineal e independencia lineal
Sean x1, x2,……………, xk, un conjunto de vectores solucion del sistema homogéneo (5)
en un intervalo I. se dice que el conjunto es linealmente dependiente ci existen
constantes
c1, c2,………………………..,ck, no todas cero, tales que.
c1 x1+c2 x2+………… +ckxk = 0
para todo t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el
intervalo, se dice que es linealmente independiente.

8. 8
Debe quedar claro el caso cuando k= 2dos vectores solución X1 y X2son linealmente
dependientes si uno es linealmente constante del otro, y recíprocamente. Cuando K>2, un
conjunto de vectores solución es linealmente dependientes si podemos expresar al menos
un vector solucion en forma de una combinación lineal de los vectores restantes.
El wronskianoigual que cuando explicamos la teoría de una sola ecuación diferencial
ordinaria, podemos presentar el concepto del determinante wronskianocomo prueba de
independencia lineal. Lo enunciaremos sin demostrarlo.
TEOREMA 8.3.- criterio para las soluciones linealmente independientes
X11 X12 X1n
X21 X22 X2n
. . .
Sean X1= . X1= . . .…………, Xn= .
. . .
Xn1 ,Xn2 Xnn
,
Sean ´´n´´ vectores solución del sistema homogéneo, ecuaciones (5), entonces, en un
intervalo I.el conjunto de vectores es linealmente independiente en I si y solo si
eswronskiano.
x11 x12 ……………… x1n
W(x1, x2,……………, xn) = x21 x22 ……………………..x2n≠0
Xn1xn2 ……………………..xnn
Se puede demostrar que si x1, x2,……………, xnson vectores solucion del sistema
(5),entonces, para todo t en I se cumpleW(x1, x2,……………, xn)≠0. Así, si podemos
demostrar que W≠0para algún t0 en I, entoncesW≠0para todo t y, por consiguiente, las
soluciones son linealmente independientes en el intervalo.