1. Análisis Matemático I
Hallar la derivada con respecto a “x” de las siguientes funciones:
1) ))().(1004( 25
xSenxxy 11) y =
)(
)24ln( 2
xSen
xx
2)
5 23
2
)(
1
x
x
y
12) 7
85
5
12
x
xx
y
3)
3 4
5 3
5
x x
f x
x x
13)
2
2 5
12
x x
f x
x
4) 2
20f x x x 14)
1
32
2 1f x x
5)
ln(ln(2 ))
5
x
f x 15) 6 3 10
( 6 9).(6 )f x x x x x
6) 4
1f x Cos x 16) 3
25f x Sen x
7) 3f x Cos Cos x 17) 5 1f x Sen Sen x
8) ( )
4 .x sen x
f x e 18)
5
2 3
5 .x x
f x e
9)
2
1Sec x
f x
x
19) 2
1
16
f x
x
10)
7
3 2
5 7
x
x e
f x
x x
20) 32 29
6 ln 6
2 3
Sen
h x x x x
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL AMBIENTAL
2. Análisis Matemático I
Hallar la derivada con respecto a “t” de:
21) t
tCosSentf 2.()(
3
22) 42
3
)ln(
)(
t
tc
tg
23) 53.7)( 24
ttSentf 24)
1
)5(
)( 23
btat
bttaCos
tg
¿Cuál es el valor de ' 0y de la siguiente función? Argumenta tu respuesta.
25)
2
1
lny arcSen arcCos arcTan arcCot arcSec arcCsc
x
Demuestra que y es solución de la ecuación diferencial dada.
26)
2
2
tan
d y
x
dx
; ln sec tany Cosx x x
27) 2
1
dy xy
dx y
; 2 2
2lny y x (Sug. Deriva implícitamente)
28) 3
2
dy
y x x
dx
; 2
1y x x
29)
2
2 3
2
2 2
d y dy
x x y x
dx dx
; 3 2
1 2
1
2
y x c x c x ; 1c y 2c son Constantes.
El numero de dólares del costo total de la manufactura de x unidades de cierta mercancía está
dada por: C(x) = 40 + 3x + x29 . Obtenga:
(a) el costo marginal cuando se producen 50 unidades y
(b) el número de unidades producidas cuando el costo marginal es de $4.50
El ingreso mensual “I” por vender compactadoras es una función de la demanda “X” del
mercado: I(x)= 300x – 2x2
La demanda es función del precio “p” por compactadora: X(p)= 300 – 2p
a) Hallar la dependencia del ingreso “I” en función del precio “p”.
b) Hallar la razón de cambio del Ingreso “I (p)” en miles de $, cuando p = 30 dólares.
Sugerencia: pruebe por
derivadas laterales que no
existe la derivada de
3. Análisis Matemático I
Un taller de soldadura está especializado en la producción de silenciadores para autos. Los
precios de fabrica: C(x) en euros, están relacionados con el número de silenciadores
fabricados: “x”, a través de la siguiente expresión:
2
10 20 25C x x x
¿Cuál es el ingreso marginal relacionado con este artículo cuando se venden 4 unidades?
Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un trabajador promedio
que llega al trabajo a las 8:00 am habrá producido 3 2
8 15Q t t t t unidades t horas
más tarde.
a) Calcular la tasa de producción del trabajador a las 9:00 am.
b) ¿Cuál es la razón de cambio de la tasa de producción del trabajador con respecto al
tiempo a las 9:00 am.?
Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: 2
2 5f x x x
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 2
2 3 1f x x x , que es paralela a la
recta 2 3 1 0x y
4. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
LABORATORIO: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
1.- Halla el dominio y los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:
) 4
)
1
)
2
)
a y x
b y x
c y
x
d y x
2
2
)
) 4
)
1
) cos
e y
x
f y x
g y xsenx
h y
x
2
2
2
) 2
1
)
1
1
)
4
) 4
i y x
j y
x
k y
x
l y x
2
) 1
) 4
) 1
) 9
m y x
n y x
o y x
p y x
2.- Estudiar la simetría y periodicidad de las siguientes funciones:
3
3
3
2
) 5
5
)
2
)
a y x x
x x
b y
x x
c y x x
3
2
) 2 3
) 2
)
4
d y sen x
e y sen x
x
f y
x
3.- Estudia la derivabilidad y la continuidad de las siguientes funciones:
2
2
1
)
2
1
)
2
)
1
1
)
4 3
a y
x
b y
x
x
c y
x
x
d y
x x
2
2
3
) 1
3
)
3 10
1
)
3
cos
)
e y x
x
f y
x x
x
g y
x
x
h y
x
2
2
1
)
1
)
1 0
) 1 0 1
1 1
i y
x
x
j y
x
si x
k y x si x
x si x
2
1 1 0
2 0 1
) 1 1
2 4 1 2
0 2 3
x si x
x si x
l y si x
x si x
si x
4.- Estudia las asíntotas y ramas infinitas, así como la simetría de las siguientes funciones:
2
1
)
2 3
4
) 2
4
1
)
a y
x
b y
x
c y x
x
2
2
2
)
1
)
1
1
)
1
x
d y
x
x
e y
x
x
f y
x
2
2
2
2
4
)
1
1
)
2 4
1
)
4 3
x
g y
x
x
h y
x
x
i y
x x
5. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
5.- En las funciones siguientes determina los intervalos de monotonía, hallando la posición
de los puntos críticos y sólo con dicha información intenta razonar la existencia en los
mismos de mínimos, máximos o puntos de inflexión:
2
3 2
3
) 1
1
) 2
3 2 3
) 27 36
a y x x
x x
b y x
c y x x
2 3
4
) 3 2
) 2 11 13
)
d y x x
e y x x x
f y x
3
2
3
1
)
1
)
1
2
)
1
g y
x
h y
x
i y
x
6.- En las funciones del ejercicio anterior determina los intervalos de concavidad y
convexidad e intenta volver a razonar la existencia en los mismos de mínimos, máximos o
puntos de inflexión sólo con esos datos.
7.- Aplica ahora el criterio de la segunda derivada para determinar los máximos, mínimos y
puntos de inflexión de las funciones del ejercicio 5. Determina el valor de los máximos, los
mínimos y los puntos de inflexión. Distingue, con toda la información recogida en estos
tres ejercicios, entre máximos y mínimos absolutos y relativos.
8.- Representa gráficamente:
a) 2 2y x x x b) 4 2
2y x x c) 3 2
2 5 4y x x x
d) 2
4 3y x x e)
3
6
x
y x f) 4 2
2 8y x x
9.- Representa gráficamente:
a) 2
4
4
y
x
b) 2
2
2
x
y
x
c) 2
8
4
y
x
d)
2
2
x
y
x
e)
3 2
2
2
3 4
x x
y
x x
f)
2
2
3 2
3 2
x x
y
x x
g)
1
2 3 4
x
y
x x x
h)
1
x
y
x
i)
1 2
1 3
x x x
y
x x
CURVA
DE
AGNESI
6. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
10.- Representa gráficamente:
a) 2
1y x b)
2
y x c)
2
2
x
y
x
d)
1
4 1
x
y
x
e)
2
2
4
x
y
x
f)
2
3
x
y
x
11.- Sea 3 2
2 2 5f x x x . Hallar 0 0,P x f x de modo tal que la recta 2 7y x sea
tangente al gràfico de f en el punto P.
12.- Sea 3 2
5 2 3f x x x . Hallar 0 0,P x f x de modo tal que la recta 3 7y x sea
tangente al gràfico de f en el punto P.
13.- Sea 2
ln 8 5f x x . Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto
de abscisas 3x .
14.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 2
ln 8 3f x x x en el punto de
abscisa 0 3x .
15.- Si 3
2 4f x x x escribir la ecuación de la recta tangente al gráfico de f en el punto de
abscisa x = 3.
16.- Sea
2
3 ln
2 1
x x
f x
x
. Hallar la pendiente de la recta tangente al grafico de f en el punto
de abscisa 0 1x .
17.- Sea 2
1 1f x k x e x , hallar el valor de k real para que la recta tangente al gráfico
de f en el punto de abscisa 0 1x tenga pendiente 9.
18.- Sea 2
ln 7 6f x ax x . Hallar a para que la recta tangente al grafico de f en 0 1x
tenga pendiente 11m .
19.- Dada 1 2 cosf x x , calcular α perteneciente a los reales, en 0x . Dicha recta
debe ser paralela a 3 2y x .
20.-
2
3 1x
f x ax e b
. Hallar ,a b de modo tal que la recta de ecuación 15 10y x sea
tangente al gráfico de f en el punto 1;5 .
21.- La puntuación obtenida por un estudiante en un examen depende del tiempo que haya
dedicado a su preparación ( x ,expresado en horas ) en los siguientes términos:
7. Lic. Mat. Jorge Guillermo Díaz Albújar ANÁLISIS MATEMÁTICO I
si 0 15
3
2
si 15
0.2 3
x
x
G x
x
x
x
a) Estudiar el crecimiento de esta función. Si un estudiante ha dedicado menos de 15 horas a
preparar el examen, justificar que no aprobará, esto es, que obtendrá menos de 5 puntos.
b) Justificar que la puntuación nunca puede ser superior a 10 puntos.
22.- La producción de cierta hortaliza en un invernadero, Q x en kg; depende dela temperatura,
x en C , según la expresión:
2
1 32Q x x x
a) Calcular razonadamente cuál es la temperatura óptima a mantener en el invernadero.
b) ¿Qué producción de hortaliza se obtendría?
23.- El precio alcanzado por cierto tipo de obras de arte en una subasta, P x en miles de
soles; está relacionado con el número de asistentes que estén interesados en su adquisición,
a través de la siguiente expresión:
5 50 si 0 10
38 700
si 10
9
x x
P x x
x
a) Estudiar la continuidad de P x en el punto 10x . ¿Qué ocurre con el precio si el número de
interesados es “ligeramente” superior a 10?
b) Estudiar el crecimiento del precio. Calcular el precio de salida, 0x , y justificar que se trata
del precio más bajo que puede alcanzar una obra en la subasta.
24.-