1. TRABAJO Nº 1 DE MATEMÁTICA III
APELLIDOS Y NOMBRES:…………………………..FECHA:…………….
1. Calcular las siguientes integrales indefinidas inmediatas:
3
1 + ln x
a) ∫ x
dx
e x dx
b) ∫
a + be x
x2 − 5x + 6
c) ∫ dx
x2 + 4
2 2
d) ∫(a 3 − x 3 )3 dx

2. 2. Calcular las siguientes integrales:
a) ∫x 5 1 −x 2 dx
x 4 dx
b) ∫ 7
x 5 +1
dx
c) ∫x x 3 −1
dx
d) ∫ dx
x 1 + x2
3. Calcular las siguientes integrales:

3. x 2 dx
a) ∫ 1−x2
x2 −a2
b) ∫ x
dx
x 2 +1
c) ∫ x
dx
dx
d) ∫x 2
4 − x2
4. Calcular las siguientes integrales:
a) ∫ x ln xdx, n ≠ −
n
1

4. ∫ln
2
b) xdx
c) ∫ln( x + 1 + x )dx
5. Calcular las siguientes integrales:
2 x 2 + 41x −91
a) ∫ ( x −1)( x +3)( x − 4)dx

5. ( 2 x 2 − 5)dx
b) ∫ x 4 − 5x 2 + 6
2 x 2 −1
c) ∫ x 3 − x dx
(3 x + 2)dx
d) ∫ x( x +1) 3
6. Encontrar el área exacta d la región indicada, expresar el área como el límite de
una suma de RIEMANN con particiones iguales:
a) Hallar el área de la región R acotada por y=x 2+2x+1, el eje X y las rectas
X=-1, x=3

6. b) Hallar el área de la región R acotada por y=3x 4, el eje X y las rectas x=0,
x=1 Hallar el área de la región R acotada por y=3x 4, el eje X y las rectas
x=0, x=1
c) Hallar el área de la región R acotada por y=2 x , eje X y las rectas x=0,
x=4
d) Hallar el área de la región R acotada por y=(x-3) 2+2, el eje X y las rectas
x=0, x=6

7. 7. Usando La definición de la integral definida calcular las siguientes integrales:
4
a) ∫1
( x 2 + 4 x + 5) dx
5
∫ (x −1) dx
3
b) 0
8. Calcular las siguientes integrales:
a)

8. b)
c)
d)
9. Calcular el área de la figura limitada por las líneas cuyas ecuaciones son y2=
x+1, x - y -1=0

9. 10. Hallar el área limitada por la parábola y=x 2 , el eje de las X y las ordenadas x=2
y x=4
11. A un ingeniero se le encarga construir en un terreno que tiene la forma de la
siguiente región en el plano, el cual está limitado por las curvas y= 3 – x 2 y=-
x+1, medido en decámetros. ¿Cuál será el área techada en el primer piso si se
quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines?
12. Hallar el área de la superficie limitada por la parábola y2=2x y la recta x – y =4
x3
13. Calcular el área de la figura limitada por las parábolas y=x2 , y=
3

10. 14. Calcular el área de la figura limitada por las parábolas y2 + 8x= 16 y y2 -24x=48
15. Si la función de demanda es y=39-x , evalué el excedente del consumidor si:
5
a) X0 =
2
b) Si el artículo es gratuito (es decir yo = 0)
16. La cantidad vendida y el precio en un mercado monopólico, se determinan por
las funciones de demanda y= 20–4x2 y el costo marginal y`= 2x + 6, de manera
que se maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del
consumidor.

11. 17. Si la función de oferta es y= 9 +x y x0 = 7, obtenga el excedente del productor.
18. Las funciones de demanda y oferta en un mercado de competencia pura son
respectivamente y=14 – x2, y= 2x2 + 2. determine:
a) El excedente del consumidor
b) El excedente del productor
19. Obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente
utilidad total Pmáx (suponiendo competencia pura).Si IM=20-2x y CM=4 + (x-4)2

12. 20. Si la función de ingreso marginal es IM=25 – 3x y la función de costo marginal
es CM= 25 – 7x + x2, determine la cantidad que se debe producir para
maximizar la utilidad y la correspondiente utilidad total en un caso de
competencia pura.
21. La curva de demanda está dada por la ley d(x) = 50 - 0,06x 2. Encuentre el
superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte
unidades.
22. Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda
y oferta dadas.
Función de demanda: p1(q) = 1000 - 0,4 q2. Función de oferta: p2(q)= 42q

13. 23. Usando la definición de derivada parcial calcule fy(1;2) para f (x;y) =
2xy +x .
2
24. Estudie la existencia del siguiente límite
25. Compruebe que
26. Para la función f ( x, y, z ) = 2 x3 y 2 z − 3xz 3 + 4 x 2 y 5
a) Calcula el valor de f (−2,1, 2)

14. b) Expresa las siguientes derivadas parciales de la función:
∂f ∂f ∂f
, ,
∂x ∂y ∂z
c) Calcula el valor de: f x (−2,1, 2) , f y (−2,1, 2) , f z (−2,1, 2)
x. y
27. Calcule la derivada parcial fy para f ( x, y ) = x 2 − y 2 y también calcule fy(2;1)
28. Encontrar las derivadas parciales primeras con respecto a x e y:
a)
b)

15. 29. Dada la función F: R2 →R tal que: derivar
F respecto de x.
30. Para la función encontrar fx y fy y evaluar cada una de ellas en
el punto (1, ln2)
31. Calcule zx y zy , si z está definida implícitamente como una función de x e y , mediante la
siguiente ecuación x3+y3+z3+6xyz = 2
32. Encontrar las derivadas parciales segundas de y
calcular el valor de fxy(-1,2).

16. 33. Un fabricante planea vender un nuevo producto a U$ 150 la unidad y estima que
si invierte “x” miles de dólares en desarrollo e “y” miles de dólares en
promoción, los consumidores compran aproximadamente:
320 y 160 x
+
y +2 x +4
unidades del producto. Si los costos de fabricación de este producto son U$ 50
por unidad. ¿Cuánto debería invertir el fabricante en desarrollo y cuánto en
promoción para generar la mayor utilidad posible en la venta de este producto?
34. Un fabricante que posee derechos exclusivos sobre una nueva maquinaria
industrial planea vender una cantidad limitada de esta y calcula que si se
suministran “x” maquinarias al mercado nacional e “y” maquinarias al mercado
x
extranjero, las maquinarias se venderán a: 150 − dólares de cada una en el
6
y
mercado nacional y a 100 - dólares cada una en el extranjero
20
a) ¿Cuántas maquinarias debería suministrar el fabricante al mercado nacional
para generar la mayor utilidad posible?
b) ¿Cuántas maquinas debería suministrar el fabricante al mercado extranjero
para generar la mayor utilidad posible en este mercado?

17. 35. Una lechera produce leche entera y leche descremada en cantidades “x” e “y”
galones respectivamente. Suponer que el precio de la leche entera unitario es p =
100 − x, y el de la leche descremada p = 100 − y . Suponer que el Costo total en
conjunto es: C = x2 + xy + y2 . ¿Cuáles deberán ser los valores de “x” e “y” para
maximizar las utilidades?
36. Un almacén de camisetas para baloncesto vende dos marcas competidoras, una
patrocinada por M. Jordan y la otra por S. O`Neal . El propietario del almacén
puede obtener ambos tipos a un costo de U$ 2 por camiseta y calcula que si las
de Jordan se venden a “x” dólares cada una y las de O´Neal a “y” dólares cada
una, los consumidores compraran aproximadamente: 40 − 50x + 40y camisetas
de Jordan y : 20 + 60x − 70y camisetas de O`Neal cada día. ¿Qué precio debería
fijar el propietario a las camisetas para generar la máxima utilidad posible?