Presentación de Introducción a los números. Una de las herramientas más poderosas de las matemáticas es el cálculo. Su
evolución ha ocurrido de manera paralela a los diferentes sistemas numéricos, desde los primeros
conteos hasta la era tecnológica. El cálculo fundamenta su estudio en las propiedades de los
números reales. En esta unidad estudiaremos los axiomas fundamentales, los de orden y los de
completitud como preámbulo para otras aplicaciones más complejas.
3. 1. Introducción a los números reales
1. Definición y objetivo de la Física
2. Conjunto de números reales
3. Propiedades de los números reales
4. Intervalos en los números reales
5. Desigualdades y valor absoluto
3
5. El término física viene del término griego que significa naturaleza.
Hasta principios del siglo XIX la física se denominó "filosofía natural".
Durante el siglo XIX y principios del XX, estuvo restringida al estudio de un grupo limitado
de fenómenos.
Se les llamó fenómenos físicos, definidos como procesos en los cuales la naturaleza de
las sustancias participantes no cambian.
5
6. Actualmente se establece que:
Física es la ciencia que estudia los componentes de la materia
y sus interacciones mutuas; en función de estas interacciones,
explica las propiedades de la materia en conjunto,
así como otros fenómenos observados en la naturaleza.
6
7. Áreas de estudio:
• Mecánica clásica. Estudia el movimiento de partículas grandes en relación con los
átomos y que se mueven con una rapidez mucho menor que la de la luz.
• Relatividad. Teoría que describe las partículas que se mueven con rapidez cercanas a
la de la luz.
• Termodinámica. Estudia la energía y sus transformaciones (calor-trabajo) y el
comportamiento estadístico de los sistemas con gran número de partículas.
7
8. Áreas de estudio:
• Electromagnetismo. Le competen la electricidad, el magnetismo y los campos
electromagnéticos.
• Óptica. Estudia el comportamiento de la luz y su interacción con los materiales.
• Mecánica Cuántica. Conjunto de teorías que conectan el comportamiento de la materia
a nivel microscópico con las observaciones macroscópicas.
8
9. Objetivo principal de la física:
Identificar un número limitado de leyes fundamentales que rigen los fenómenos naturales
y usarlas para desarrollar teorías capaces de anticipar los resultados experimentales.
Las leyes fundamentales y las teorías se expresan en el lenguaje de las matemáticas,
herramienta que proporciona un puente entre teoría y experimento.
9
10. 1. Introducción a los números reales
1.2 Conjunto de Números reales.
10
11. Conjunto de números naturales.
El conjunto de los números naturales se denota por ℕ, y se define como:
11
13. Observaciones:
i. Existencia de un orden, la existencia del 1 como primer elemento.
ii. Se definen dos operaciones: la suma y el producto. Se verifica que ambas
operaciones son: cerradas, conmutativas y asociativas.
iii. La suma distribuye respecto al producto.
iv. El número natural 1 es el neutro multiplicativo.
13
14. Definición del conjunto de los números enteros ℤ
Se define el conjunto de los números enteros ℤ como:
14
15. Observaciones:
i. Se agrega el “cero” como elemento neutro aditivo y los “números negativos” como
inversos aditivos.
ii. Estas propiedades permiten la definición de la resta como una operación derivada
de sumar un número con el inverso aditivo de otro, es decir,
x - y = x + (-y)
15
16. Definición del conjunto de los números racionales ℚ
Se define el conjunto de los números racionales ℚ como:
16
18. Teorema
Todo número racional puede expresarse como una
expansión decimal finita
o como una
expansión decimal infinita periódica.
18
19. Observaciones:
19
i. Todas las propiedades de los enteros siguen siendo válidas en ℚ.
ii. Se verifica la existencia de los inversos multiplicativos para cualquier Q,
excepto el cero. Si
𝑎
𝑏
∈ ℚ, el inverso multiplicativo se define por
𝑏
𝑎
∈ ℚ y
satisface:
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
= 1
iii. Dado que todo número entero n puede expresarse como el cociente n/1,
entonces se considera que todo número entero es un número racional. Es
decir,
iv. Se define la división de dos números como el producto de uno por el inverso
de otro distinto de cero, esto es:
𝑎
𝑏
= 𝑎
1
𝑏
= 𝑎𝑏−1
20. Definición del conjunto de números irracionales 𝕝
Los números irracionales 𝕝 son todos aquellos que no pueden expresarse como el
cociente de dos enteros, o bien, como aquellos números que tienen una expansión
decimal infinita no periódica.
Los irracionales son un conjunto disjunto (ageno) de los racionales.
20
21. Se define el conjunto de los números irracionales 𝕝 como el conjunto de todos
los números que no son racionales:
21
23. Un número primo sólo es divisible por él mismo y por la unidad,
Los números primos son:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 57, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, . . .,
El número 𝑝 es irracional siempre que p sea un número primo.
23
24. Observación:
No todas las propiedades siguen siendo válidas.
Por ejemplo,
La suma no es cerrada, ya que
(−2 + 𝜋) + (7 − 𝜋 = 5
La suma de dos irracionales es un racional.
24
25. Definición del conjunto de números reales ℝ .
Se define al conjunto de los números reales ℝ como la unión disjunta de números
racionales e irracionales,
ℝ = ℚ ∪ 𝕝
25
26. Observaciones:
26
i) Los racionales y los irracionales son conjuntos disjuntos, esto es, que dado un
número real o está en ℚ o está en I, pero no en ambos.
ii) Se verifican las contenciones propias:
27. Los números reales y la recta numérica
Los números reales se representan gráficamente como puntos sobre una línea recta
conocida como la recta real.
Sobre esta recta se fijan dos puntos representados por 0 y 1 que permiten construir
todos los demás.
El cero se conoce como origen de la recta real y el 1 como la escala.
27
28. Regla de correspondencia:
Cada punto de la recta corresponde a un número real y cada número real
representa un punto de esta recta.
Los números definidos a la derecha del cero es el conjunto de reales positivos ℝ+
.
ℝ−
es el conjunto de reales negativos, a la izquierda del cero.
28
29. Entre dos números reales diferentes, sin importar que tan cercanos estén, siempre existe
otro número real y, en consecuencia:
Entre dos números reales diferentes siempre existe
una infinidad de números reales.
A diferencia de ℚ y de 𝕝, los reales no contienen “huecos”.
En términos matemáticos se dice que:
El conjunto de los números reales es un conjunto denso.
29
30. 2.3 Propiedades de los números reales
Se establece un conjunto de axiomas (propiedades básicas) a partir de los
cuales se derivan todas las propiedades de los números reales utilizadas en un
curso básico de cálculo.
i) Axiomas de campo de los números reales
Dados dos números reales 𝑥 y 𝑦, se definen la suma 𝑥 + 𝑦 y el producto 𝑥𝑦 en
ℝ, que satisfacen los siguientes axiomas:
30
31. Axioma 1 Propiedad conmutativa de la suma
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥
Axioma 2 Propiedad asociativa de la suma
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
Axioma 3 Existencia del neutro aditivo
Existe el 0 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 + 0 = 𝑥
31
32. Axioma 4 Existencia del inverso aditivo
Para todo número real 𝑥 existe −𝑥 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 + −𝑥 = 0
Axioma 5 Propiedad conmutativa del producto
𝑥𝑦 = 𝑦𝑥
Axioma 6 Propiedad asociativa del producto
𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧
32
33. Axioma 7 Existencia del neutro multiplicativo
Existe el 1 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 . 1 = 𝑥
Axioma 8 Existencia del inverso multiplicativo
Para todo número real 𝑥 distinto de cero existe 𝑥−1, tal que 𝑥 . 𝑥−1 = 1
Axioma 9 Propiedad distributiva
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
33
34. Todas las demás propiedades de los ℝ pueden demostrarse a partir de los
axiomas anteriores, por esta razón se dice que:
La teoría de los números reales es una teoría axiomática.
Todo conjunto X con dos operaciones binarias (suma y producto) que
satisfacen las propiedades A1- A9, se le llama campo.
Así, el conjunto de los números reales es un campo.
34
35. Definición de resta y división de números reales.
Los axiomas de los ℝ permiten definir las operaciones complementarias como la
diferencia y el cociente de dos números.
Se definen la resta y la división de números reales como:
𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + −𝑦
𝑥
𝑦
= 𝑥𝑦−1, siempre que 𝑦 ≠ 0
35
36. Propiedades de orden de los números reales.
En los números reales se define una relación de orden <, que satisface los siguientes
axiomas.
ii) Axiomas de orden de los números reales
Sean 𝑥, 𝑦 ϵ ℝ
Axioma 10 Ley de tricotomía
Se cumple una y sólo una de las siguientes condiciones:
𝑥 < 𝑦, 𝑥 = 𝑦 o 𝑥 > 𝑦
Nota: 𝑥 > 𝑦 significa 𝑦 < 𝑥
36
37. Axioma 11 Si 𝑦 < 𝑥, entonces 𝑦 + 𝑧 < 𝑥 + 𝑧 para cualquier z ϵ R.
Axioma 12 Si 0 < 𝑦 y 0 < 𝑥, entonces 0 < 𝑥𝑦
Axioma 13 Propiedad de transitividad
Si 𝑥 < 𝑦 y 𝑦 < 𝑧,
entonces 𝑥 < 𝑧
37
39. 39
Definición de los símbolos de desigualdad estricta < y >
Los símbolos < y > se conocen como símbolos de desigualdad estricta y se leen
“menor que” y “mayor que”.
Definición de los símbolos de desigualdad no estricta ≤ y ≥
Los símbolos ≤ y ≥ se conocen como símbolos de desigualdad no estricta y se leen
“menor o igual que” y “mayor o igual que”.
La expresión 𝑦 ≤ 𝑥 abrevia los casos 𝑦 < 𝑥 o 𝑦 = 𝑥
La expresión 𝑦 ≥ 𝑥 abrevia los casos 𝑦 > 𝑥 o 𝑦 = 𝑥
40. Se tiene la siguiente convención:
1. Un número 𝑥 > 𝑦 si y sólo si la diferencia 𝑥 − 𝑦 es un ℝ+
.
2. Un número 𝑥 < 𝑦 si y sólo si la diferencia 𝑥 − 𝑦 es un ℝ−.
3. Los números son iguales si la diferencia 𝑥 − 𝑦 es cero.
40
41. Los axiomas de orden inducen de manera natural un orden en el conjunto de los
números reales, es decir, para saber la ubicación correcta de un número basta
compararlo con el cero.
Por lo tanto, se dice que:
El conjunto de los números reales es un campo ordenado.
41
42. Axioma 14 Axioma de completitud.
i. Todo conjunto no vacío de ℝ acotado por arriba tiene un supremo.
ii. Todo conjunto no vacío de ℝ acotado por abajo tiene un ínfimo.
Como un conjunto puede constar de un solo número real, se verifica por el axioma 14
que el conjunto de los números reales es un conjunto denso.
42
43. Conclusiones:
El conjunto de los números reales ℝ es:
i. Una teoría axiomática.
ii. Un campo ordenado
iii. Un conjunto denso.
43
44. 2.4 Intervalos en ℝ
Al utilizar una variable en problemas de aplicación es necesario definir el subconjunto
de ℝ que le corresponde como conjunto de sustitución.
Los subconjuntos más importantes son los intervalos.
44
45. Definición de intervalo
Se definen los siguientes subconjuntos de números reales, conocidos como intervalos
reales:
1. Intervalo abierto
45
54. Una desigualdad en una variable es una expresión de la forma,
𝑓 𝑥 Δ 0
donde Δ es alguna de las relaciones de orden <, >, ≤ , ≥.
Resolver una desigualdad es determinar el intervalo o combinación de intervalos
cuyos elementos satisfacen la desigualdad.
Para resolver una desigualdad se utilizan los axiomas de los números reales.
54
61. 2.6 Valor absoluto de un número real
A cada número real se le asocia un único punto de la recta real.
Se define el valor absoluto o magnitud de un número real como la distancia
(longitud) entre el origen (el cero) y el número real.
61
62. Definición de valor absoluto de un número real.
Si x es un número real, se define el valor absoluto de x como:
62
68. 68
Desigualdades y valor absoluto
La demostración se realiza aplicando la definición de valor absoluto.
Las propiedades 1 y 2, son válidas para desigualdad no estricta (≤ 𝑦 ≥)
69. 69
Propiedad 1, Teorema 1.5.2
Dem.
Multiplicando por -1 el segundo término,
Por transitividad,
∀ 𝑎 ∈ ℝ
70. 70
Demostración de la propiedad 2 del teorema 1.5.2
Multiplicando por -1 el segundo término,
Por transitividad,
∀ 𝑎 ∈ ℝ
