presentación Matemática III

1. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
César Velásquez
C.I. 11.833.309
Noviembre 2019
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
«SANTIAGO MARIÑO»

2. Los sistemas de ecuaciones paramétricas son aquellos usados para representar una curva o superficie en el
plano o en el espacio, en este caso se usa una variable llamada parámetro, usándose valores que contienen
números reales, las coordenadas del punto dependen en función del parámetro.
INTRODUCCION

3. • Si se considera un avión supersónico girando en forma helicoidal, entonces si se usa
el parámetro de tiempo(t) para determinar la posición y la velocidad de este avión, se
esta en presencia de las ecuaciones paramétricas
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS

4. • Al usar sistemas de coordenadas, una o dos variables son consideradas como
variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente,
con el valor de esta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando
los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un
punto cualquiera ( x , y ) equivale a la expresión ( x , f ( x ) )
ECUACIONES PARAMÉTRICAS

5. • Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función
de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y solo un valor
correspondiente en y No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para
poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es
elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función.
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS

6. • Dada la ecuación general de la recta siguiente:
• 3x – 2y – 5 = 0, las ecuaciones paramétricas usadas son.
• x= 2t + 5
, t Є R
• y= 3t + 5

8. EJEMPLOS

9. • Ejercicios con ecuaciones Parametricas:
Dada la ecuaciones paramétricas
X = cosh t y Y= senh t
Para trazar la gráfica de estas ecuaciones y obtener una ecuación cartesiana de la gráfica tenemos:
𝑥2
− 𝑦2
= 𝑐𝑜𝑠ℎ2
t - 𝑠𝑒𝑛ℎ2
t
Entonces de la identidad 𝑐𝑜𝑠ℎ2
t - 𝑠𝑒𝑛ℎ2
t = 1, esta ecuación se transforma en:
𝑥2
− 𝑦2
= 1 y
Y su ecuación cartesiana es:
x ≥ 1 x
0

10. • Ejercicios con ecuaciones Parametricas:
Dada la ecuaciones paramétricas
X = 3t2
y Y = 4t3
encontrar
dy
dx
y
d2y
dx2 sin eliminar t
dy
dt
= 12t2
y
dx
dt
= 6t siendo
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
entonces
dy
dx
=
12t2
6t
= 2t
Ya que y′
= 2t entonces según
d2y
dx2 =
d(y′)
dt
dx
dt
=
2
6t
=
1
3t

11. • Se raeliza la gráfica de la curva anterior X = 3t2
y Y = 4t3
• Se observa que x no es negativa por tanto la grafica se limita al primer y cuarto cuadrante.
• Type equation here.
• y
x

12. ALGUNAS ECUACIONES PARAMETRICAS

17. EJERCICIOS DE ECUACIONES PARAMETRICAS
Se determina la longitud del arco de la curva de las ecuaciones ´paramétricas siguientes:
X = 𝑡3
y Y = 2 𝑡2
en cada uno de los siguientes casos:
a) de t = 0 a t = 1
b) de t = -2 a t = 0
La imagen muestra la solucion