MATEMÁTICA II

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática II
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Julio del 2020
COORDENADAS POLARES,
CILINDRICAS Y ESFERICAS
INTRODUCCION:
Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de
espacio a fin o de espacio vectorial de "𝑅2
”,
utilizando el sistema de representación cartesiana
mediante pares de números, en el caso del plano, o
mediante ternas en el caso del espacio, que
identificamos con un sistema de coordenadas
ortogonal. Sin embargo, esta no es la única forma
posible de identificar los puntos. Hay otras formas de
representación que en ocasiones pueden resultar más
útiles: el sistema de representación cartesiana es útil
para representar la superficie de la tierra en un plano,
pero sin embargo los barcos en el más utilizan un
sistema de radar bidimensional que sitúa los puntos
del plano en círculos centrados en el origen de
coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o
los submarinos, utilizan un sistema de radar
tridimensional. Estos sistemas se basan en los
sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y
esféricas.
Coordenadas Cilíndricas
{
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝑧
𝜌2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦
𝑥
) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0, 𝑧 = 𝑧
Coordenadas Esféricas

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{
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜌2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
CONCEPTO
Dada una integral doble de una función 𝐹(𝑥, 𝑦)
definida en un dominio 𝐷 𝑥𝑦, es posible realizar un
cambio de variables para otro dominio 𝐷 𝑢𝑣de la
siguiente manera:
Sustituimos x por una función 𝐻(𝑢, 𝑣), e y por otra
función 𝐺(𝑢, 𝑣). Entonces la integral doble resultará
∬ 𝐹( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷 𝑥𝑦
= ∬ 𝐹[ 𝐻( 𝑢, 𝑣), 𝐺(𝑢. 𝑣)]| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷 𝑥𝑦
= ∬ 𝑀(𝑢, 𝑣)| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷 𝑥𝑦
J se denomina Jacobiano, y resulta de resolver un
determinante formado por las derivadas parciales de
las funciones H y G.
𝐽 = |
𝐻 𝑢
′
𝐻𝑣
′
𝐺 𝑢
′
𝐺𝑣
′ |
COORDENADAS POLARES
En ciertas ocasiones, la descripción de los dominios
de integración en coordenadas rectangulares resulta
más bien complicada, y se simplifica si los definimos
en coordenadas polares.
Supongamos un punto genérico (x, y) dentro de un
sistema de ejes cartesianos ortogonales. Si trazamos
un segmento r desde el origen de coordenadas hasta
el punto (x, y), podemos determinar un vector que
forma un ángulo t con el eje de las x.
Entonces tenemos a x e y como coordenadas
rectangulares, y a r y t como coordenadas polares,
las cuales las podemos relacionar de la siguiente
manera:
{
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡
Entonces vamos a formar el Jacobiano con las
derivadas parciales de las funciones 𝑥(𝑟, 𝑡) e 𝑦(𝑟, 𝑡)
𝐽 = |
𝑑𝑥
𝑑𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑟
𝑑𝑦
𝑑𝑡
| = |
𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡
|
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛2
𝑡 = 𝑟( 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)
= 𝑟 ∴ 𝐽 = 𝑟
Como r es un radio, es siempre positivo, así que no
hace falta tomarlo como valor absoluto.
Por lo tanto, la evaluación de una integral doble en
coordenadas polares resultará
∬ 𝐹( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝐺(𝑟, 𝑡)𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡
𝐷 𝑥𝑦𝐷 𝑥𝑦
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Vimos que en la geometría plana presentamos el
sistema de coordenadas polares con el objeto de dar
una descripción más conveniente a ciertas curvas y
regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas
de coordenadas que son semejantes a las
coordenadas polares y proporcionan descripciones
más apropiadas de algunas superficies y sólidos que
suelen presentarse.

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Uno es el sistema de coordenadas esféricas (que lo
veremos más adelante), y el otro es el sistema de
coordenadas cilíndricas, en donde un punto P del
espacio tridimensional se representa mediante una
tríada ordenada (r, t, z) donde r y t son las
coordenadas polares de la proyección de P sobre el
plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x
y a P como se muestra en la figura.
Entonces podemos afirmar que 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑦 =
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡, y 𝑧 = 𝑧.
Supongamos ahora una integral triple de una
función 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) definida en un dominio 𝐷 𝑥𝑦𝑧,
podemos sustituir las variables x, y, z por
funciones 𝐻 (𝑢, 𝑣, 𝑤), M (u, v, w), y N (u, v,
w) respectivamente, entonces la integral triple nos
queda igual a
∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐷 𝑥𝑦𝑧
= ∭ 𝐺(𝑢, 𝑣, 𝑤)| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤
𝐷 𝑥𝑦𝑧
Siendo J el Jacobiano que resulta
𝐽 = |
𝐻 𝑢
′
𝐻𝑣
′
𝐻 𝑤
′
𝑀 𝑢
′
𝑀𝑣
′
𝑀 𝑤
′
𝑁 𝑢
′
𝑁𝑣
′
𝑁 𝑤
′
|
Si calculamos el Jacobiano con las ecuaciones
anteriores obtenemos
𝐽 = |
𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡 0
𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 0
0 0 1
|
= 1(−1)3+3[ 𝑟𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛2
𝑡]
= 𝑟(𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)
𝐽 = 𝑟
Entonces el cambio de variables en coordenadas
cilíndricas será
∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐷 𝑥𝑦𝑧
= ∭ 𝐺(𝑢, 𝑣, 𝑤)𝑟𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤
𝐷 𝑥𝑦𝑧
Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a
Rectangulares
𝑥( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑦( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑧( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧
Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas
que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso
se selecciona el eje z de manera que coincida con el
eje de simetría.
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a
Cilíndricas
𝜃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑦
𝑥
)
𝑟( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2
𝑧( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧
Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a
Esféricas
𝜌 = √ 𝑟2 + 𝑧2
𝜃 = 𝜃
𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑟
𝑧
)

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El sistema de coordenadas esféricas es especialmente
útil en problemas donde hay simetría alrededor de un
punto, y el origen se pone en ese punto.
Ejemplo # 1: Convertir el Punto (3, −3, −7) a
coordenadas cilíndricas.
Encontramos 𝑟
𝑟 = √32 + (−3)2 = √18 = 3√2
∴ 𝑟 = 3√2
Ahora encontramos 𝜃
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−3
3
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1)
El cuadrante donde y es negativo (-3) y x es positivo
(3) es el IV cuadrante.
∴ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) = −
𝜋
4
Ahora encontramos z:
𝑧 = 𝑧 𝑧 = −7
Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es:
3√2, −
𝜋
4
, −7
Ejemplo # 2: Convertir el punto (2,
2π
3
, 1) en
coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares.
Encontremos x
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
3
) = 2 (−
1
2
) = −1
Ahora encontremos y
𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 (
2𝜋
3
) = 2 (
√3
2
) = √3
Ahora encontremos z
𝑧 = 𝑧; 𝑧 = 1
Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es:
(−1, √3, 1)
Ejemplo # 3: Escribir la ecuación z = x2
+ y2
en
coordenadas cilíndricas.
Sabemos que 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
entonces sustituimos en
la ecuación, obteniendo:
𝑧 = 𝑟2
𝑦 esta ecuación ya está expresada
completamente en coordenadas cilíndricas, pues solo
depende de 𝑧, 𝑟 𝑦 𝜃
COORDENADAS ESFÉRICAS
Las coordenadas esféricas (𝑟, 𝑗, 𝑡) se muestran en la
figura, donde r es la distancia desde el origen de
coordenadas hasta el punto 𝑃, 𝑗 es el ángulo entre el
eje positivo z y el segmento de recta 𝑂𝑃, y t es el
mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas.
La relación entre las coordenadas esféricas y las
rectangulares pueden observarse en la misma figura.
De los triángulos 𝑂𝑃𝑍 y 𝑂𝑃𝑃’ obtenemos
{
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
De acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el
Jacobiano para realizar el cambio de variables.
𝐽
= |
𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑 0
|
= 𝑐𝑜𝑠𝜑( 𝜌2
𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠2
𝑡
+ 𝜌2
𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛2
𝑡) −

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−(−𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑)( 𝜌𝑠𝑒𝑛2
𝜑𝑐𝑜𝑠2
𝑡
+ 𝜌𝑠𝑒𝑛2
𝜑𝑠𝑒𝑛2
𝑡) + 0
= 𝜌2
𝑐𝑜𝑠2
𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)+
+𝜌2
𝑠𝑒𝑛3
𝜑(𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)
= 𝜌2
𝑠𝑒𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠2
𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜑)
𝐽 = 𝜌2
𝑠𝑒𝑛𝜑
Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a
esféricas en integrales triples resultará
∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐷 𝑥𝑦𝑧
= ∭ 𝐺(𝜌, 𝜑, 𝑡)𝜌2
𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝑡
𝐷 𝑥𝑦𝑧
Sistema de Coordenadas Esféricas
Es el sistema de coordenadas esféricas un punto 𝑝 del
espacio que viene representado por un trío ordenado
( 𝜌, 𝜃, 𝜑), donde:
• 𝜌 es la distancia de P al origen, 𝜌 ≥ 0.
• 𝜃 es el mismo Angulo utilizado en coordenadas
cilíndricas para 𝑟 > 0. 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
• 𝜑 es el Angulo entre el semieje z positivo y el
segmento recto (0, 𝑃), 0 < 𝜑 < 𝜋
También el ángulo 𝜑 se puede medir de −𝜋 ≤
𝜑 ≤ 𝜋.
Ecuaciones para transformar de Esféricas a
Rectangulares
𝑥( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑦( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑧( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a
Esféricas
𝜌( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜑( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
√𝑥2 + 𝑦2
𝑧
)
𝜃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 (
𝑦
𝑥
)
Ecuaciones para transformar de Esféricas a
Cilíndricas
𝑟 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑
𝜃 = 𝜃
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
Ejemplo # 4: Convertir el punto (r, θ, z) = (4,
5π
6
, 3)
a coordenadas rectangulares.
Se llevará a cabo la conversión de coordenadas
cilíndricas a rectangulares. Para ello, se sabe
que, 𝑟 = 4, 𝜃 =
5𝜋
6
𝑦 𝑧 = 3, entonces, utilizando
las fórmulas y sustituyendo
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 (
5𝜋
6
) = 4 (−
√3
2
)
𝑥 = −2√3
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛 (
5𝜋
6
) = 4 (
1
2
)
𝑦 = 2.
𝑧 = 𝑧
𝑧 = 3.
Finalmente, las coordenadas rectangulares son
(−2√3, 2,3)
Ejemplo # 5: Convertir el punto (𝐫, 𝐲, 𝐳) =
(𝟏, √𝟑, 𝟐) a coordenadas cilíndricas.

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Se llevará a cabo la conversión de coordenadas
rectangulares a cilíndricas. Para ello, se sabe que,
𝑥 = 1, 𝑦 = √3 𝑦 𝑧 = 2, entonces, utilizando las
fórmulas y sustituyendo
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑟 = √(1)2 + (√3)2
𝑟 = √1 + 3 = √4
𝑟 = 2
𝑡𝑔( 𝜃) = (
𝑦
𝑥
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦
𝑥
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
√3
1
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3)
𝜃 =
𝜋
3
𝑧 = 𝑧
𝑧 = 2
Finalmente, las coordenadas cilíndricas
son (2,
𝜋
3
, 2)
Ejemplo # 4: Hallar una ecuación en coordenadas
esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en
coordenadas rectangulares se indican.
a) cono: 𝑥2
+ 𝑦 2
= 𝑧2
b) esfera: −4𝑧 = 0
a) haciendo las sustituciones adecuadas para
𝑥, 𝑦, 𝑧 en la ecuación dada se obtiene:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑧2
𝑝2
𝑠𝑒𝑛2
Ф 𝑐𝑜𝑠2
ө + 𝑝2
𝑠𝑒𝑛2
Ф 𝑠𝑒𝑛2
ө = 𝑝2
𝑐𝑜𝑠2
Ф
p2
sen2
Ф (cos2
ө + sen2
ө) =p2
cos2
Ф
p2
sen2
Ф = p2
cos2
Ф
sen2
Ф/ cos2
Ф = 1 𝑝 > 0
𝑡𝑔2 Ф = 1 Ф = 𝜋 /4 o Ф = 3𝜋/4
La ecuación Ф = 𝜋/4 representa la mitad superior
del cono y la ecuación Ф = 3𝜋/4 su mitad inferior.
b) Como 𝑝2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
y 𝑧 = 𝑝 𝑐𝑜𝑠 Ф, la
ecuación dada adopta la siguiente forma en
coordenadas esféricas.
𝑃2
– 4 𝑝 𝑐𝑜𝑠 Ф = 0 → 𝑝 (𝑝 − 4 𝑐𝑜𝑠 Ф) = 0
Descartando por el momento la posibilidad de que
𝑝 = 0, obtenemos la ecuación en esféricas.
𝑃 − 4 𝑐𝑜𝑠 Ф = 0 o 𝑝 = 4𝑐𝑜𝑠 Ф
Bibliográficas
• Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México:
PEARSON EDUCACIÓN.
• Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3.
Cálculo de varias variables. México: CENGAGE
Learning.
• R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México:
McGRAW – HILL.