SlideShare una empresa de Scribd logo
Página 1 de 6
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática II
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Julio del 2020
COORDENADAS POLARES,
CILINDRICAS Y ESFERICAS
INTRODUCCION:
Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de
espacio a fin o de espacio vectorial de "𝑅2
”,
utilizando el sistema de representación cartesiana
mediante pares de números, en el caso del plano, o
mediante ternas en el caso del espacio, que
identificamos con un sistema de coordenadas
ortogonal. Sin embargo, esta no es la única forma
posible de identificar los puntos. Hay otras formas de
representación que en ocasiones pueden resultar más
útiles: el sistema de representación cartesiana es útil
para representar la superficie de la tierra en un plano,
pero sin embargo los barcos en el más utilizan un
sistema de radar bidimensional que sitúa los puntos
del plano en círculos centrados en el origen de
coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o
los submarinos, utilizan un sistema de radar
tridimensional. Estos sistemas se basan en los
sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y
esféricas.
Coordenadas Cilíndricas
{
𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝑧
𝜌2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦
𝑥
) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0, 𝑧 = 𝑧
Coordenadas Esféricas
Página 2 de 6
{
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
𝜌2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
CONCEPTO
Dada una integral doble de una función 𝐹(𝑥, 𝑦)
definida en un dominio 𝐷 𝑥𝑦, es posible realizar un
cambio de variables para otro dominio 𝐷 𝑢𝑣de la
siguiente manera:
Sustituimos x por una función 𝐻(𝑢, 𝑣), e y por otra
función 𝐺(𝑢, 𝑣). Entonces la integral doble resultará
∬ 𝐹( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷 𝑥𝑦
= ∬ 𝐹[ 𝐻( 𝑢, 𝑣), 𝐺(𝑢. 𝑣)]| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷 𝑥𝑦
= ∬ 𝑀(𝑢, 𝑣)| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷 𝑥𝑦
J se denomina Jacobiano, y resulta de resolver un
determinante formado por las derivadas parciales de
las funciones H y G.
𝐽 = |
𝐻 𝑢
′
𝐻𝑣
′
𝐺 𝑢
′
𝐺𝑣
′ |
COORDENADAS POLARES
En ciertas ocasiones, la descripción de los dominios
de integración en coordenadas rectangulares resulta
más bien complicada, y se simplifica si los definimos
en coordenadas polares.
Supongamos un punto genérico (x, y) dentro de un
sistema de ejes cartesianos ortogonales. Si trazamos
un segmento r desde el origen de coordenadas hasta
el punto (x, y), podemos determinar un vector que
forma un ángulo t con el eje de las x.
Entonces tenemos a x e y como coordenadas
rectangulares, y a r y t como coordenadas polares,
las cuales las podemos relacionar de la siguiente
manera:
{
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡
Entonces vamos a formar el Jacobiano con las
derivadas parciales de las funciones 𝑥(𝑟, 𝑡) e 𝑦(𝑟, 𝑡)
𝐽 = |
𝑑𝑥
𝑑𝑟
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑟
𝑑𝑦
𝑑𝑡
| = |
𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡
|
= 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛2
𝑡 = 𝑟( 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)
= 𝑟 ∴ 𝐽 = 𝑟
Como r es un radio, es siempre positivo, así que no
hace falta tomarlo como valor absoluto.
Por lo tanto, la evaluación de una integral doble en
coordenadas polares resultará
∬ 𝐹( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝐺(𝑟, 𝑡)𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡
𝐷 𝑥𝑦𝐷 𝑥𝑦
COORDENADAS CILÍNDRICAS
Vimos que en la geometría plana presentamos el
sistema de coordenadas polares con el objeto de dar
una descripción más conveniente a ciertas curvas y
regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas
de coordenadas que son semejantes a las
coordenadas polares y proporcionan descripciones
más apropiadas de algunas superficies y sólidos que
suelen presentarse.
Página 3 de 6
Uno es el sistema de coordenadas esféricas (que lo
veremos más adelante), y el otro es el sistema de
coordenadas cilíndricas, en donde un punto P del
espacio tridimensional se representa mediante una
tríada ordenada (r, t, z) donde r y t son las
coordenadas polares de la proyección de P sobre el
plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x
y a P como se muestra en la figura.
Entonces podemos afirmar que 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑦 =
𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡, y 𝑧 = 𝑧.
Supongamos ahora una integral triple de una
función 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) definida en un dominio 𝐷 𝑥𝑦𝑧,
podemos sustituir las variables x, y, z por
funciones 𝐻 (𝑢, 𝑣, 𝑤), M (u, v, w), y N (u, v,
w) respectivamente, entonces la integral triple nos
queda igual a
∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐷 𝑥𝑦𝑧
= ∭ 𝐺(𝑢, 𝑣, 𝑤)| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤
𝐷 𝑥𝑦𝑧
Siendo J el Jacobiano que resulta
𝐽 = |
𝐻 𝑢
′
𝐻𝑣
′
𝐻 𝑤
′
𝑀 𝑢
′
𝑀𝑣
′
𝑀 𝑤
′
𝑁 𝑢
′
𝑁𝑣
′
𝑁 𝑤
′
|
Si calculamos el Jacobiano con las ecuaciones
anteriores obtenemos
𝐽 = |
𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡 0
𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 0
0 0 1
|
= 1(−1)3+3[ 𝑟𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛2
𝑡]
= 𝑟(𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)
𝐽 = 𝑟
Entonces el cambio de variables en coordenadas
cilíndricas será
∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐷 𝑥𝑦𝑧
= ∭ 𝐺(𝑢, 𝑣, 𝑤)𝑟𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤
𝐷 𝑥𝑦𝑧
Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a
Rectangulares
𝑥( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑦( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑧( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧
Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas
que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso
se selecciona el eje z de manera que coincida con el
eje de simetría.
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a
Cilíndricas
𝜃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑦
𝑥
)
𝑟( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2
𝑧( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧
Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a
Esféricas
𝜌 = √ 𝑟2 + 𝑧2
𝜃 = 𝜃
𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑟
𝑧
)
Página 4 de 6
El sistema de coordenadas esféricas es especialmente
útil en problemas donde hay simetría alrededor de un
punto, y el origen se pone en ese punto.
Ejemplo # 1: Convertir el Punto (3, −3, −7) a
coordenadas cilíndricas.
Encontramos 𝑟
𝑟 = √32 + (−3)2 = √18 = 3√2
∴ 𝑟 = 3√2
Ahora encontramos 𝜃
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−3
3
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1)
El cuadrante donde y es negativo (-3) y x es positivo
(3) es el IV cuadrante.
∴ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) = −
𝜋
4
Ahora encontramos z:
𝑧 = 𝑧 𝑧 = −7
Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es:
3√2, −
𝜋
4
, −7
Ejemplo # 2: Convertir el punto (2,
2π
3
, 1) en
coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares.
Encontremos x
𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 (
2𝜋
3
) = 2 (−
1
2
) = −1
Ahora encontremos y
𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 (
2𝜋
3
) = 2 (
√3
2
) = √3
Ahora encontremos z
𝑧 = 𝑧; 𝑧 = 1
Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es:
(−1, √3, 1)
Ejemplo # 3: Escribir la ecuación z = x2
+ y2
en
coordenadas cilíndricas.
Sabemos que 𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
entonces sustituimos en
la ecuación, obteniendo:
𝑧 = 𝑟2
𝑦 esta ecuación ya está expresada
completamente en coordenadas cilíndricas, pues solo
depende de 𝑧, 𝑟 𝑦 𝜃
COORDENADAS ESFÉRICAS
Las coordenadas esféricas (𝑟, 𝑗, 𝑡) se muestran en la
figura, donde r es la distancia desde el origen de
coordenadas hasta el punto 𝑃, 𝑗 es el ángulo entre el
eje positivo z y el segmento de recta 𝑂𝑃, y t es el
mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas.
La relación entre las coordenadas esféricas y las
rectangulares pueden observarse en la misma figura.
De los triángulos 𝑂𝑃𝑍 y 𝑂𝑃𝑃’ obtenemos
{
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
De acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el
Jacobiano para realizar el cambio de variables.
𝐽
= |
𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑 0
|
= 𝑐𝑜𝑠𝜑( 𝜌2
𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠2
𝑡
+ 𝜌2
𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛2
𝑡) −
Página 5 de 6
−(−𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑)( 𝜌𝑠𝑒𝑛2
𝜑𝑐𝑜𝑠2
𝑡
+ 𝜌𝑠𝑒𝑛2
𝜑𝑠𝑒𝑛2
𝑡) + 0
= 𝜌2
𝑐𝑜𝑠2
𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)+
+𝜌2
𝑠𝑒𝑛3
𝜑(𝑐𝑜𝑠2
𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2
𝑡)
= 𝜌2
𝑠𝑒𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠2
𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜑)
𝐽 = 𝜌2
𝑠𝑒𝑛𝜑
Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a
esféricas en integrales triples resultará
∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝐷 𝑥𝑦𝑧
= ∭ 𝐺(𝜌, 𝜑, 𝑡)𝜌2
𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝑡
𝐷 𝑥𝑦𝑧
Sistema de Coordenadas Esféricas
Es el sistema de coordenadas esféricas un punto 𝑝 del
espacio que viene representado por un trío ordenado
( 𝜌, 𝜃, 𝜑), donde:
• 𝜌 es la distancia de P al origen, 𝜌 ≥ 0.
• 𝜃 es el mismo Angulo utilizado en coordenadas
cilíndricas para 𝑟 > 0. 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
• 𝜑 es el Angulo entre el semieje z positivo y el
segmento recto (0, 𝑃), 0 < 𝜑 < 𝜋
También el ángulo 𝜑 se puede medir de −𝜋 ≤
𝜑 ≤ 𝜋.
Ecuaciones para transformar de Esféricas a
Rectangulares
𝑥( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑦( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑
𝑧( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
Ecuaciones para transformar de Rectangulares a
Esféricas
𝜌( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝜑( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
√𝑥2 + 𝑦2
𝑧
)
𝜃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 (
𝑦
𝑥
)
Ecuaciones para transformar de Esféricas a
Cilíndricas
𝑟 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑
𝜃 = 𝜃
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
Ejemplo # 4: Convertir el punto (r, θ, z) = (4,
5π
6
, 3)
a coordenadas rectangulares.
Se llevará a cabo la conversión de coordenadas
cilíndricas a rectangulares. Para ello, se sabe
que, 𝑟 = 4, 𝜃 =
5𝜋
6
𝑦 𝑧 = 3, entonces, utilizando
las fórmulas y sustituyendo
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 (
5𝜋
6
) = 4 (−
√3
2
)
𝑥 = −2√3
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛 (
5𝜋
6
) = 4 (
1
2
)
𝑦 = 2.
𝑧 = 𝑧
𝑧 = 3.
Finalmente, las coordenadas rectangulares son
(−2√3, 2,3)
Ejemplo # 5: Convertir el punto (𝐫, 𝐲, 𝐳) =
(𝟏, √𝟑, 𝟐) a coordenadas cilíndricas.
Página 6 de 6
Se llevará a cabo la conversión de coordenadas
rectangulares a cilíndricas. Para ello, se sabe que,
𝑥 = 1, 𝑦 = √3 𝑦 𝑧 = 2, entonces, utilizando las
fórmulas y sustituyendo
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2
𝑟 = √(1)2 + (√3)2
𝑟 = √1 + 3 = √4
𝑟 = 2
𝑡𝑔( 𝜃) = (
𝑦
𝑥
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑦
𝑥
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
√3
1
)
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3)
𝜃 =
𝜋
3
𝑧 = 𝑧
𝑧 = 2
Finalmente, las coordenadas cilíndricas
son (2,
𝜋
3
, 2)
Ejemplo # 4: Hallar una ecuación en coordenadas
esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en
coordenadas rectangulares se indican.
a) cono: 𝑥2
+ 𝑦 2
= 𝑧2
b) esfera: −4𝑧 = 0
a) haciendo las sustituciones adecuadas para
𝑥, 𝑦, 𝑧 en la ecuación dada se obtiene:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑧2
𝑝2
𝑠𝑒𝑛2
Ф 𝑐𝑜𝑠2
ө + 𝑝2
𝑠𝑒𝑛2
Ф 𝑠𝑒𝑛2
ө = 𝑝2
𝑐𝑜𝑠2
Ф
p2
sen2
Ф (cos2
ө + sen2
ө) =p2
cos2
Ф
p2
sen2
Ф = p2
cos2
Ф
sen2
Ф/ cos2
Ф = 1 𝑝 > 0
𝑡𝑔2 Ф = 1 Ф = 𝜋 /4 o Ф = 3𝜋/4
La ecuación Ф = 𝜋/4 representa la mitad superior
del cono y la ecuación Ф = 3𝜋/4 su mitad inferior.
b) Como 𝑝2
= 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
y 𝑧 = 𝑝 𝑐𝑜𝑠 Ф, la
ecuación dada adopta la siguiente forma en
coordenadas esféricas.
𝑃2
– 4 𝑝 𝑐𝑜𝑠 Ф = 0 → 𝑝 (𝑝 − 4 𝑐𝑜𝑠 Ф) = 0
Descartando por el momento la posibilidad de que
𝑝 = 0, obtenemos la ecuación en esféricas.
𝑃 − 4 𝑐𝑜𝑠 Ф = 0 o 𝑝 = 4𝑐𝑜𝑠 Ф
Bibliográficas
• Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México:
PEARSON EDUCACIÓN.
• Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3.
Cálculo de varias variables. México: CENGAGE
Learning.
• R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México:
McGRAW – HILL.

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Derivada direccional y su vector gradiente
Derivada direccional y su vector gradienteDerivada direccional y su vector gradiente
Derivada direccional y su vector gradiente
Nahiely Padron
 
Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1
ERICK CONDE
 
Cálculo de volumen capas
Cálculo de volumen capasCálculo de volumen capas
Cálculo de volumen capas
Emma
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
ratix
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminados
Ricardo Garibay
 
2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)
2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)
2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)
julio sanchez
 

La actualidad más candente (20)

127671607 resolucion-hansen-pothenot
127671607 resolucion-hansen-pothenot127671607 resolucion-hansen-pothenot
127671607 resolucion-hansen-pothenot
 
Derivada direccional y su vector gradiente
Derivada direccional y su vector gradienteDerivada direccional y su vector gradiente
Derivada direccional y su vector gradiente
 
Algebra Lineal ejercicios
Algebra Lineal ejercicios Algebra Lineal ejercicios
Algebra Lineal ejercicios
 
Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1Solucionario ecuaciones1
Solucionario ecuaciones1
 
Cálculo de volumen capas
Cálculo de volumen capasCálculo de volumen capas
Cálculo de volumen capas
 
COORDENADAS POLARES
COORDENADAS POLARESCOORDENADAS POLARES
COORDENADAS POLARES
 
Volumen de solidos_de_revolucion
Volumen de solidos_de_revolucionVolumen de solidos_de_revolucion
Volumen de solidos_de_revolucion
 
Gráfica, curvas de nivel, límites
Gráfica, curvas de nivel, límitesGráfica, curvas de nivel, límites
Gráfica, curvas de nivel, límites
 
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
Ejercicios resueltos(f.vectoriales)(1)
 
Tangentes en coordenadas polares
Tangentes en coordenadas polaresTangentes en coordenadas polares
Tangentes en coordenadas polares
 
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y aplicaciones(tema 1)
 
Coeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminadosCoeficientes indeterminados
Coeficientes indeterminados
 
Tabla de _derivadas
Tabla de _derivadasTabla de _derivadas
Tabla de _derivadas
 
Ejercicios Básicos de Sistema de fuerzas.
Ejercicios Básicos de Sistema de fuerzas.Ejercicios Básicos de Sistema de fuerzas.
Ejercicios Básicos de Sistema de fuerzas.
 
integrales triples
integrales triplesintegrales triples
integrales triples
 
Area sobre la curva
Area sobre la curvaArea sobre la curva
Area sobre la curva
 
2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)
2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)
2. ed capítulo ii resultante de sistemas de fuerzas (1)
 
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas cilíndricasCoordenadas cilíndricas
Coordenadas cilíndricas
 
Tabla operadores inversos y coef. indeterminados.
Tabla operadores inversos y coef. indeterminados.Tabla operadores inversos y coef. indeterminados.
Tabla operadores inversos y coef. indeterminados.
 
Dominio de una funcion vectorial - UNSCH
Dominio de una funcion vectorial - UNSCHDominio de una funcion vectorial - UNSCH
Dominio de una funcion vectorial - UNSCH
 

Similar a Coordenadas cilindricas y esfericas

Coordenadas polares y gráficas polares
Coordenadas polares y gráficas polaresCoordenadas polares y gráficas polares
Coordenadas polares y gráficas polares
Iván Ordiozola
 
Resumen De Cordenadas Polares
Resumen De Cordenadas PolaresResumen De Cordenadas Polares
Resumen De Cordenadas Polares
ada1r65
 

Similar a Coordenadas cilindricas y esfericas (20)

CEREBRITO geometría analítica.docx
CEREBRITO geometría analítica.docxCEREBRITO geometría analítica.docx
CEREBRITO geometría analítica.docx
 
Coordenadas Polares
Coordenadas PolaresCoordenadas Polares
Coordenadas Polares
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
 
Rectas en r3
Rectas en r3Rectas en r3
Rectas en r3
 
toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
toaz.info-328986774-cap-10-secc-10-4-coordenadas-polares-y-graficasdocx-pr_8e...
 
EJE NUMÉRICO.pptx
EJE NUMÉRICO.pptxEJE NUMÉRICO.pptx
EJE NUMÉRICO.pptx
 
Coordenadas polares y gráficas polares
Coordenadas polares y gráficas polaresCoordenadas polares y gráficas polares
Coordenadas polares y gráficas polares
 
Sistema de coordenada
Sistema de coordenadaSistema de coordenada
Sistema de coordenada
 
Mate 3 segundo tema sistemas de coordenadas
Mate 3 segundo tema sistemas de coordenadasMate 3 segundo tema sistemas de coordenadas
Mate 3 segundo tema sistemas de coordenadas
 
Coordenadas polares
Coordenadas polaresCoordenadas polares
Coordenadas polares
 
Geometría analítica plana
Geometría analítica planaGeometría analítica plana
Geometría analítica plana
 
Resumen De Cordenadas Polares
Resumen De Cordenadas PolaresResumen De Cordenadas Polares
Resumen De Cordenadas Polares
 
Generalidades del algebra vectorial.
Generalidades del algebra vectorial.Generalidades del algebra vectorial.
Generalidades del algebra vectorial.
 
Rectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacioRectas y planos en el espacio
Rectas y planos en el espacio
 
12 plano cartesiano
12 plano cartesiano12 plano cartesiano
12 plano cartesiano
 
Coordenadas Polares
Coordenadas PolaresCoordenadas Polares
Coordenadas Polares
 
Sistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesianoSistema de coordenadas cartesiano
Sistema de coordenadas cartesiano
 
Funciones de varias variables
Funciones de varias variablesFunciones de varias variables
Funciones de varias variables
 
AREAS DE REGIONES-BMA02.pptx
AREAS DE REGIONES-BMA02.pptxAREAS DE REGIONES-BMA02.pptx
AREAS DE REGIONES-BMA02.pptx
 
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variablesCurvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
Curvas y superficies de nivel, trazado de funciones de 2 variables
 

Más de UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV

Más de UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV (20)

Notas de clase del semestre 2044-I NÚMEROS REALES UNFV.pdf
Notas de clase del semestre 2044-I NÚMEROS REALES UNFV.pdfNotas de clase del semestre 2044-I NÚMEROS REALES UNFV.pdf
Notas de clase del semestre 2044-I NÚMEROS REALES UNFV.pdf
 
LIMITES - EJERCICOS PROPUESTOS.pdf
LIMITES - EJERCICOS PROPUESTOS.pdfLIMITES - EJERCICOS PROPUESTOS.pdf
LIMITES - EJERCICOS PROPUESTOS.pdf
 
SISTEMA DE COORDENADAS.pdf
SISTEMA DE COORDENADAS.pdfSISTEMA DE COORDENADAS.pdf
SISTEMA DE COORDENADAS.pdf
 
HISTORIA DEL CALCULO INFINITESIMAL.pdf
HISTORIA DEL CALCULO INFINITESIMAL.pdfHISTORIA DEL CALCULO INFINITESIMAL.pdf
HISTORIA DEL CALCULO INFINITESIMAL.pdf
 
Intervalo de tiempo
Intervalo de tiempoIntervalo de tiempo
Intervalo de tiempo
 
Ecuacion diferencial de segundo orden
Ecuacion diferencial de segundo ordenEcuacion diferencial de segundo orden
Ecuacion diferencial de segundo orden
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Progresiones
ProgresionesProgresiones
Progresiones
 
Inecuaciones
InecuacionesInecuaciones
Inecuaciones
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Desigualdades
DesigualdadesDesigualdades
Desigualdades
 
Multiplicadores de lagrange
Multiplicadores de lagrangeMultiplicadores de lagrange
Multiplicadores de lagrange
 
Matrices y determinantes 2019
Matrices y determinantes 2019Matrices y determinantes 2019
Matrices y determinantes 2019
 
Operaciones basicas
Operaciones basicasOperaciones basicas
Operaciones basicas
 
Transformada de laplace
Transformada de laplaceTransformada de laplace
Transformada de laplace
 
Revista informativa
Revista informativaRevista informativa
Revista informativa
 
Magnitudes Proporcionales y Semejanza de triángulos
Magnitudes Proporcionales y Semejanza de triángulosMagnitudes Proporcionales y Semejanza de triángulos
Magnitudes Proporcionales y Semejanza de triángulos
 
Sistema de numeracion
Sistema de numeracionSistema de numeracion
Sistema de numeracion
 
Medidas de-tendencia-central
Medidas de-tendencia-centralMedidas de-tendencia-central
Medidas de-tendencia-central
 
Matemática II exámenes
Matemática II   exámenesMatemática II   exámenes
Matemática II exámenes
 

Último

Ferias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdf
Ferias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdfFerias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdf
Ferias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdf
JudithRomero51
 

Último (20)

Proyecto integrador Vereda Cujacal Centro.pptx
Proyecto integrador Vereda Cujacal Centro.pptxProyecto integrador Vereda Cujacal Centro.pptx
Proyecto integrador Vereda Cujacal Centro.pptx
 
📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Aplicación del resumen como estrategia de fuen...
📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Aplicación del resumen como estrategia de fuen...📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Aplicación del resumen como estrategia de fuen...
📝 Semana 09 - Tema 01: Tarea - Aplicación del resumen como estrategia de fuen...
 
ACERTIJO LA RUTA DE LAS ADIVINANZAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO LA RUTA DE LAS ADIVINANZAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACERTIJO LA RUTA DE LAS ADIVINANZAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO LA RUTA DE LAS ADIVINANZAS OLÍMPICAS. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
ensayo literario rios profundos jose maria ARGUEDAS
ensayo literario rios profundos jose maria ARGUEDASensayo literario rios profundos jose maria ARGUEDAS
ensayo literario rios profundos jose maria ARGUEDAS
 
PLAN DE TRABAJO CONCURSO NACIONAL CREA Y EMPRENDE.docx
PLAN DE TRABAJO CONCURSO NACIONAL CREA Y EMPRENDE.docxPLAN DE TRABAJO CONCURSO NACIONAL CREA Y EMPRENDE.docx
PLAN DE TRABAJO CONCURSO NACIONAL CREA Y EMPRENDE.docx
 
Presentación Revistas y Periódicos Digitales
Presentación Revistas y Periódicos DigitalesPresentación Revistas y Periódicos Digitales
Presentación Revistas y Periódicos Digitales
 
Poemas de Beatriz Giménez de Ory_trabajos de 6º
Poemas de Beatriz Giménez de Ory_trabajos de 6ºPoemas de Beatriz Giménez de Ory_trabajos de 6º
Poemas de Beatriz Giménez de Ory_trabajos de 6º
 
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de BarbacoasDiagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
Diagnostico del corregimiento de Junin del municipio de Barbacoas
 
Cuadro Sinóptico Arquitectura Barroca Historia
Cuadro Sinóptico Arquitectura Barroca HistoriaCuadro Sinóptico Arquitectura Barroca Historia
Cuadro Sinóptico Arquitectura Barroca Historia
 
Módulo No. 1 Salud mental y escucha activa FINAL 25ABR2024 técnicos.pptx
Módulo No. 1 Salud mental y escucha activa FINAL 25ABR2024 técnicos.pptxMódulo No. 1 Salud mental y escucha activa FINAL 25ABR2024 técnicos.pptx
Módulo No. 1 Salud mental y escucha activa FINAL 25ABR2024 técnicos.pptx
 
Lec. 08 Esc. Sab. Luz desde el santuario
Lec. 08 Esc. Sab. Luz desde el santuarioLec. 08 Esc. Sab. Luz desde el santuario
Lec. 08 Esc. Sab. Luz desde el santuario
 
Ferias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdf
Ferias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdfFerias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdf
Ferias de ciencias y estrategia STEAM – PNFCyT 2024.pdf
 
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
 
5.Deicticos Uno_Enfermería_EspanolAcademico
5.Deicticos Uno_Enfermería_EspanolAcademico5.Deicticos Uno_Enfermería_EspanolAcademico
5.Deicticos Uno_Enfermería_EspanolAcademico
 
Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)
Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)
Análisis de la situación actual .La Matriz de Perfil Competitivo (MPC)
 
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOSTRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
TRABAJO CON TRES O MAS FRACCIONES PARA NIÑOS
 
Lección 1: Los complementos del Verbo ...
Lección 1: Los complementos del Verbo ...Lección 1: Los complementos del Verbo ...
Lección 1: Los complementos del Verbo ...
 
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencialCerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
Cerebelo Anatomía y fisiología Clase presencial
 
Proceso de admisiones en escuelas infantiles de Pamplona
Proceso de admisiones en escuelas infantiles de PamplonaProceso de admisiones en escuelas infantiles de Pamplona
Proceso de admisiones en escuelas infantiles de Pamplona
 
Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
Tipologías de vínculos afectivos (grupo)Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
Tipologías de vínculos afectivos (grupo)
 

Coordenadas cilindricas y esfericas

  • 1. Página 1 de 6 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Matemática II Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com http://migueltarazonagiraldo.com/ Julio del 2020 COORDENADAS POLARES, CILINDRICAS Y ESFERICAS INTRODUCCION: Estamos acostumbrados a utilizar la estructura de espacio a fin o de espacio vectorial de "𝑅2 ”, utilizando el sistema de representación cartesiana mediante pares de números, en el caso del plano, o mediante ternas en el caso del espacio, que identificamos con un sistema de coordenadas ortogonal. Sin embargo, esta no es la única forma posible de identificar los puntos. Hay otras formas de representación que en ocasiones pueden resultar más útiles: el sistema de representación cartesiana es útil para representar la superficie de la tierra en un plano, pero sin embargo los barcos en el más utilizan un sistema de radar bidimensional que sitúa los puntos del plano en círculos centrados en el origen de coordenadas, y los aviones o las naves espaciales, o los submarinos, utilizan un sistema de radar tridimensional. Estos sistemas se basan en los sistemas de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Coordenadas Cilíndricas { 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝑧 𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑦 𝑥 ) 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0, 𝑧 = 𝑧 Coordenadas Esféricas
  • 2. Página 2 de 6 { 𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜌2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 CONCEPTO Dada una integral doble de una función 𝐹(𝑥, 𝑦) definida en un dominio 𝐷 𝑥𝑦, es posible realizar un cambio de variables para otro dominio 𝐷 𝑢𝑣de la siguiente manera: Sustituimos x por una función 𝐻(𝑢, 𝑣), e y por otra función 𝐺(𝑢, 𝑣). Entonces la integral doble resultará ∬ 𝐹( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷 𝑥𝑦 = ∬ 𝐹[ 𝐻( 𝑢, 𝑣), 𝐺(𝑢. 𝑣)]| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 𝑥𝑦 = ∬ 𝑀(𝑢, 𝑣)| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝐷 𝑥𝑦 J se denomina Jacobiano, y resulta de resolver un determinante formado por las derivadas parciales de las funciones H y G. 𝐽 = | 𝐻 𝑢 ′ 𝐻𝑣 ′ 𝐺 𝑢 ′ 𝐺𝑣 ′ | COORDENADAS POLARES En ciertas ocasiones, la descripción de los dominios de integración en coordenadas rectangulares resulta más bien complicada, y se simplifica si los definimos en coordenadas polares. Supongamos un punto genérico (x, y) dentro de un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Si trazamos un segmento r desde el origen de coordenadas hasta el punto (x, y), podemos determinar un vector que forma un ángulo t con el eje de las x. Entonces tenemos a x e y como coordenadas rectangulares, y a r y t como coordenadas polares, las cuales las podemos relacionar de la siguiente manera: { 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Entonces vamos a formar el Jacobiano con las derivadas parciales de las funciones 𝑥(𝑟, 𝑡) e 𝑦(𝑟, 𝑡) 𝐽 = | 𝑑𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑟 𝑑𝑦 𝑑𝑡 | = | 𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 | = 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = 𝑟( 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) = 𝑟 ∴ 𝐽 = 𝑟 Como r es un radio, es siempre positivo, así que no hace falta tomarlo como valor absoluto. Por lo tanto, la evaluación de una integral doble en coordenadas polares resultará ∬ 𝐹( 𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝐺(𝑟, 𝑡)𝑟𝑑𝑟𝑑𝑡 𝐷 𝑥𝑦𝐷 𝑥𝑦 COORDENADAS CILÍNDRICAS Vimos que en la geometría plana presentamos el sistema de coordenadas polares con el objeto de dar una descripción más conveniente a ciertas curvas y regiones. En tres dimensiones existen dos sistemas de coordenadas que son semejantes a las coordenadas polares y proporcionan descripciones más apropiadas de algunas superficies y sólidos que suelen presentarse.
  • 3. Página 3 de 6 Uno es el sistema de coordenadas esféricas (que lo veremos más adelante), y el otro es el sistema de coordenadas cilíndricas, en donde un punto P del espacio tridimensional se representa mediante una tríada ordenada (r, t, z) donde r y t son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano x y, y z es la distancia dirigida desde el plano x y a P como se muestra en la figura. Entonces podemos afirmar que 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝑡, 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝑡, y 𝑧 = 𝑧. Supongamos ahora una integral triple de una función 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) definida en un dominio 𝐷 𝑥𝑦𝑧, podemos sustituir las variables x, y, z por funciones 𝐻 (𝑢, 𝑣, 𝑤), M (u, v, w), y N (u, v, w) respectivamente, entonces la integral triple nos queda igual a ∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐷 𝑥𝑦𝑧 = ∭ 𝐺(𝑢, 𝑣, 𝑤)| 𝐽| 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 𝐷 𝑥𝑦𝑧 Siendo J el Jacobiano que resulta 𝐽 = | 𝐻 𝑢 ′ 𝐻𝑣 ′ 𝐻 𝑤 ′ 𝑀 𝑢 ′ 𝑀𝑣 ′ 𝑀 𝑤 ′ 𝑁 𝑢 ′ 𝑁𝑣 ′ 𝑁 𝑤 ′ | Si calculamos el Jacobiano con las ecuaciones anteriores obtenemos 𝐽 = | 𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝑟𝑠𝑒𝑛𝑡 0 𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 0 0 0 1 | = 1(−1)3+3[ 𝑟𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑛2 𝑡] = 𝑟(𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) 𝐽 = 𝑟 Entonces el cambio de variables en coordenadas cilíndricas será ∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐷 𝑥𝑦𝑧 = ∭ 𝐺(𝑢, 𝑣, 𝑤)𝑟𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤 𝐷 𝑥𝑦𝑧 Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares 𝑥( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑦( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑧( 𝑟, 𝜃, 𝑧) = 𝑧 Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría. Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas 𝜃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑦 𝑥 ) 𝑟( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 𝑧( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧 Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas 𝜌 = √ 𝑟2 + 𝑧2 𝜃 = 𝜃 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑟 𝑧 )
  • 4. Página 4 de 6 El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Ejemplo # 1: Convertir el Punto (3, −3, −7) a coordenadas cilíndricas. Encontramos 𝑟 𝑟 = √32 + (−3)2 = √18 = 3√2 ∴ 𝑟 = 3√2 Ahora encontramos 𝜃 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( −3 3 ) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) El cuadrante donde y es negativo (-3) y x es positivo (3) es el IV cuadrante. ∴ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) = − 𝜋 4 Ahora encontramos z: 𝑧 = 𝑧 𝑧 = −7 Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es: 3√2, − 𝜋 4 , −7 Ejemplo # 2: Convertir el punto (2, 2π 3 , 1) en coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares. Encontremos x 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 ( 2𝜋 3 ) = 2 (− 1 2 ) = −1 Ahora encontremos y 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 ( 2𝜋 3 ) = 2 ( √3 2 ) = √3 Ahora encontremos z 𝑧 = 𝑧; 𝑧 = 1 Entonces, el punto en coordenadas rectangulares es: (−1, √3, 1) Ejemplo # 3: Escribir la ecuación z = x2 + y2 en coordenadas cilíndricas. Sabemos que 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 entonces sustituimos en la ecuación, obteniendo: 𝑧 = 𝑟2 𝑦 esta ecuación ya está expresada completamente en coordenadas cilíndricas, pues solo depende de 𝑧, 𝑟 𝑦 𝜃 COORDENADAS ESFÉRICAS Las coordenadas esféricas (𝑟, 𝑗, 𝑡) se muestran en la figura, donde r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto 𝑃, 𝑗 es el ángulo entre el eje positivo z y el segmento de recta 𝑂𝑃, y t es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas. La relación entre las coordenadas esféricas y las rectangulares pueden observarse en la misma figura. De los triángulos 𝑂𝑃𝑍 y 𝑂𝑃𝑃’ obtenemos { 𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 De acuerdo con estas ecuaciones vamos a calcular el Jacobiano para realizar el cambio de variables. 𝐽 = | 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝑡 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜑 −𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑 0 | = 𝑐𝑜𝑠𝜑( 𝜌2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝜌2 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛2 𝑡) −
  • 5. Página 5 de 6 −(−𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑)( 𝜌𝑠𝑒𝑛2 𝜑𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝜌𝑠𝑒𝑛2 𝜑𝑠𝑒𝑛2 𝑡) + 0 = 𝜌2 𝑐𝑜𝑠2 𝜑𝑠𝑒𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡)+ +𝜌2 𝑠𝑒𝑛3 𝜑(𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) = 𝜌2 𝑠𝑒𝑛𝜑(𝑐𝑜𝑠2 𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2 𝜑) 𝐽 = 𝜌2 𝑠𝑒𝑛𝜑 Entonces el cambio de coordenadas rectangulares a esféricas en integrales triples resultará ∭ 𝐹( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝐷 𝑥𝑦𝑧 = ∭ 𝐺(𝜌, 𝜑, 𝑡)𝜌2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝑡 𝐷 𝑥𝑦𝑧 Sistema de Coordenadas Esféricas Es el sistema de coordenadas esféricas un punto 𝑝 del espacio que viene representado por un trío ordenado ( 𝜌, 𝜃, 𝜑), donde: • 𝜌 es la distancia de P al origen, 𝜌 ≥ 0. • 𝜃 es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para 𝑟 > 0. 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 • 𝜑 es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto (0, 𝑃), 0 < 𝜑 < 𝜋 También el ángulo 𝜑 se puede medir de −𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋. Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares 𝑥( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑦( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑧( 𝜌, 𝜃, 𝜑) = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas 𝜌( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝜑( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( √𝑥2 + 𝑦2 𝑧 ) 𝜃( 𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 ( 𝑦 𝑥 ) Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas 𝑟 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑 𝜃 = 𝜃 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 Ejemplo # 4: Convertir el punto (r, θ, z) = (4, 5π 6 , 3) a coordenadas rectangulares. Se llevará a cabo la conversión de coordenadas cilíndricas a rectangulares. Para ello, se sabe que, 𝑟 = 4, 𝜃 = 5𝜋 6 𝑦 𝑧 = 3, entonces, utilizando las fórmulas y sustituyendo 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 ( 5𝜋 6 ) = 4 (− √3 2 ) 𝑥 = −2√3 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑦 = 4𝑠𝑒𝑛 ( 5𝜋 6 ) = 4 ( 1 2 ) 𝑦 = 2. 𝑧 = 𝑧 𝑧 = 3. Finalmente, las coordenadas rectangulares son (−2√3, 2,3) Ejemplo # 5: Convertir el punto (𝐫, 𝐲, 𝐳) = (𝟏, √𝟑, 𝟐) a coordenadas cilíndricas.
  • 6. Página 6 de 6 Se llevará a cabo la conversión de coordenadas rectangulares a cilíndricas. Para ello, se sabe que, 𝑥 = 1, 𝑦 = √3 𝑦 𝑧 = 2, entonces, utilizando las fórmulas y sustituyendo 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 𝑟 = √(1)2 + (√3)2 𝑟 = √1 + 3 = √4 𝑟 = 2 𝑡𝑔( 𝜃) = ( 𝑦 𝑥 ) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( 𝑦 𝑥 ) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( √3 1 ) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3) 𝜃 = 𝜋 3 𝑧 = 𝑧 𝑧 = 2 Finalmente, las coordenadas cilíndricas son (2, 𝜋 3 , 2) Ejemplo # 4: Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican. a) cono: 𝑥2 + 𝑦 2 = 𝑧2 b) esfera: −4𝑧 = 0 a) haciendo las sustituciones adecuadas para 𝑥, 𝑦, 𝑧 en la ecuación dada se obtiene: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 𝑝2 𝑠𝑒𝑛2 Ф 𝑐𝑜𝑠2 ө + 𝑝2 𝑠𝑒𝑛2 Ф 𝑠𝑒𝑛2 ө = 𝑝2 𝑐𝑜𝑠2 Ф p2 sen2 Ф (cos2 ө + sen2 ө) =p2 cos2 Ф p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 𝑝 > 0 𝑡𝑔2 Ф = 1 Ф = 𝜋 /4 o Ф = 3𝜋/4 La ecuación Ф = 𝜋/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3𝜋/4 su mitad inferior. b) Como 𝑝2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 y 𝑧 = 𝑝 𝑐𝑜𝑠 Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en coordenadas esféricas. 𝑃2 – 4 𝑝 𝑐𝑜𝑠 Ф = 0 → 𝑝 (𝑝 − 4 𝑐𝑜𝑠 Ф) = 0 Descartando por el momento la posibilidad de que 𝑝 = 0, obtenemos la ecuación en esféricas. 𝑃 − 4 𝑐𝑜𝑠 Ф = 0 o 𝑝 = 4𝑐𝑜𝑠 Ф Bibliográficas • Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN. • Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning. • R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.