elasticidad slg - FIME

1. 1.- El objeto mostrado descansa sobre una superficie horizontal sometida a las fuerzas que se
indican, hallar la deformación de longitud en cada tramo.
2𝑐𝑚2
8𝑐𝑚2
6000𝑁
4000𝑁
10000𝑁
10𝑚 5𝑚
𝐸1 = 5 × 1010
𝑁 𝑚2
𝐸2 = 10 × 1010
𝑁 𝑚2

2. 2.- Un bloque de 5kg cuelga de un hilo de acero de 60 cm de longitud y 0,625 mm2 de sección; de él
cuelga un hilo de acero como el anterior que soporta un peso de 2.5kg. Calcular el alargamiento de
cada hilo (considerar el peso de los hilos despreciable) EAcero = 2x1011N/m2.
5𝑘𝑔
2.5𝑘𝑔
𝐻𝑖𝑙𝑜 1
𝐻𝑖𝑙𝑜 2
𝐿1 = 60𝑐𝑚
𝐿2 = 60𝑐𝑚

3. 3.- Se tiene una barra rígida OC, suspendida por dos cables ubicados en A y B, con los datos
indicados. Hallar el máximo peso vertical que se puede colocar en C.
𝐿1 = 1m
𝐿2 = 2m
𝐴1 = 4𝑐𝑚2
𝐴2 = 5𝑐𝑚2
𝜎2 𝑀𝑎𝑥 = 5 × 106
𝑘 𝑔 𝑐𝑚2
𝑊𝑚𝑎𝑥
1𝑚 1𝑚 1𝑚
𝐸2 =
5
3
𝐸1
𝐶𝐴 𝐵𝑂

4. 4.- Al levantar una jaula que pesa 10Tn con un cable que tiene 200m de longitud y área de sección
recta 1,000mm2, este se estira 170mm. Hallar la aceleración de la jaula despreciando el peso del cable
que es de acero y su modulo vale 2x106 Kgf/cm2.

5. 5.- Calcular el incremento de longitud que tendrá un pilar de hormigón de 50 x 50 cm2 de sección y de
3 m de longitud, que se encuentra apoyado en su base inferior, debido a su propio peso. (E= 25Gpa,
𝛾hormigon =24KN/m3.)

6. 5.- A dos caras opuestas de un bloque cubico de acero de 25cm de lado se aplican sendas fuerzas
de extensión opuestas de 200Kgf c/u. Hallar el ángulo de cizalla y el desplazamiento relativo. El
modulo de rigidez del acero vale 8.4 x 105 Kgf/cm2.

7. 6.- Una barra de acero (G = 12 x 106 lb/plg2) de una pulgada de diámetro sobresale 1.5 pulgadas fuera de la
pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo cortante de 8000 libras, calcular la deflexión hacia
abajo.

8. 7.- Una esfera sólida de latón cuyo módulo volumétrico es B,( B = 6.1 x 1010 N/m2) inicialmente está rodeada de
aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es igual a 1 x 105 N/m2 (Presión atmosférica). La esfera se sumerge
en el océano a una profundidad a la cual la presión es 2 x 107 N/m2. EL volumen de la esfera en el aire es de 0.5
m3. ¿ En cuánto cambiará este volumen una vez que la esfera este sumergida?

9. 8.- El módulo volumétrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contracción volumétrica de 100 ml de agua
cuando se someten a una presión de 1.5 MPa.

10. 9.- Una barra de 10 mm de diámetro de un aluminio (E = 70 x 109 Pa) es sometida a una carga
de tracción de 6 kN. a) Calcule el diámetro final de la barra. b) calcule de diámetro final de la
barra si se somete a una carga de compresión de 6 kN. Relación de Poisson  = 0.33.

11. 7.- Una carga de 100Kgf esta colgada de un alambre de acero de 1m de longitud y 1mm de radio ¿A
que es igual el trabajo de tracción del alambre?.

12. 7.- Una barra prismática de longitud L(m) y sección transversal rectangular A(m2), esta soldada a un techo rígido, si
el peso especifico de la barra es 𝛾 (kg/m3). Hallar el alargamiento de la barra, debido a su propio peso.

13. 8.- Un alambre de acero cuya densidad es 7,8 g/cm3, pesa 16gr y tiene 250 cm de longitud, Si se estira 1,2mm
cuando es traccionado por una fuerza de 8kg. Hallar:
a) El modulo de Young
b) La energía almacenada en el alambre.

14. 9.- El limite elástico de un cable de acero es 2,4x108 N/m2, el área de su sección transversal es 4cm2. Si el cable debe sostener un ascensor de
800kg que se desplaza hacia arriba. Calcular la aceleración máxima que se puede dar al ascensor sin que el esfuerzo en el cable exceda la mitad
del limite elástico dado.

15. Ejemplo
Una barra de acero uniforme está suspendida verticalmente y
soporta una carga de 2 500 kg en su extremo inferior como se indica
en la figura. Si la sección recta de la barra es 6 cm², el módulo de
elasticidad E=2,1x106 kg/cm2. Determinar
el alargamiento total de la barra.
DSL
R=5 000 kg
La barra está afectada en
tres porciones: superior,
media e inferior; la
deformación de cada
porción se calcula con la
relación:
AE
FL
L 
Solución

16. Las tres porciones de la barra se alargan, entonces el alargamiento
total es:
imsT LLLL 
)/101,2(6
)25(2500)50(4000)75(5000
262
cmkgxcm
cmkgcmkgcmkg
TL 

cmLT 0506,0

17. Ejemplo
Dos barras prismáticas están unidas rígidamente y soportan una
carga de 5 000 kg como se indica en la figura. La barra superior es
de acero con una densidad de 0,0078 kg/cm³,
una longitud de 10 m y una sección recta de
60 cm². La barra inferior es de bronce de
densidad 0,0080 kg/cm³, una longitud de 6 m
y una sección de 50 cm². Para el acero
E=2,1x106 kg/cm2 y para el bronce E=9x105
kg/cm2. Determinar los esfuerzos máximos en
cada material.
Solución:
Se debe calcular primero el peso de cada parte
de la barra.
Peso = (peso específico)(volumen)

18. El peso de la barra de bronce es:
Wb=0,008 kg/cm³(50 cm²)(600 cm)=240 kg
El peso de la barra de acero es:
Wa=0,0078 kg/cm³(60 cm²)(1000 cm)=468 kg
El máximo esfuerzo en la barra de bronce ocurre inmediatamente
debajo de la sección BB.
2
2
/105
50
)2405000(
cmkg
cm
kg
b 


El máximo esfuerzo en la barra de acero tendrá lugar inmediatamente
por debajo de la sección AA.
2
2
/95
60
)4682405000(
cmkg
cm
kg
a 



19. Ejemplo 2.
- Una grua esta alzando un objecto de 20,000 N.
- Caracteristicas del cable
diámetro=1.0 m, longitud previa al alzado =50 m
)785.0)(0.5r(A
a478,25
785.0
000,20
222
2
mm
P
m
N
A
F




1) ¡Esfuerzo Normal en el cable?
2) ¿Deformación?
000728.0
a1035
a478,25
6



P
P
E


Pa1035
Pa000,70
Pa000,60
6
UT



E
y



20. Ejemplo 3
F = 30.0 kg * 9.81 m/s2
= 294 N
A = ( /4)*(5.00mm)2
= 19.6 mm^2
 = F/A
= 294 N / 19.6 mm2
= 15.0 N/mm2
= 1.5 x 107 Pa
= 15 MPa
2.50 m
30.0 kg
5.00 mm

21. Ejemplo 4
 = 15.0 MPa
 = /E
= 15.0 MPa/210000 MPa
= 7.14 x 10^-5 mm/mm
= 0.0000714 mm/mm
= 0.0000714 m/m
L = L
= (0.0000714 m/m) * 2.50 m
= 0.000178 m
= 0.178 mmE = 21 x 10^4 MPa
(varilla de acero)
2.50 m
30.0 kg
5.00 mm

22. Ejemplo 5
Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E =
200 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N.
Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga
de tracción.
Datos: E = 200 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 50 000 N
Fórmulas:  = F/A; = /E
Desarrollo:
 = F/A = 50 000N/ ((5x10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa
= /E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3
TT

23. Ejemplo 6
Una barra de 10 mm de diámetro de un aluminio (E = 70 x 109 Pa) es
sometida a una carga de tracción de 6 kN. a) Calcule el diámetro final
de la barra. b) calcule de diámetro final de la barra si se somete a una
carga de compresión de 6 kN. Relación de Poisson  = 0.33.
Datos: E = 70 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 6 kN
Fórmulas:  = F/A; = /E; = (df – do)/do
Desarrollo:
a)  = F/A = 6 000N/ ((5x10-3 m)2)= 76.4 x 106 N/m2= 76.4 MPa
= /E = 76.4 x106 Pa/(70x 109 Pa) = 1.09 x 10 -3
= –z= – 0.33(1.09 x 10-3) = – 3.6 x 10 -4.
 = (df – do)/do df= do( +1)=10mm( -3.6 x 10-3 +1)= 9.9964 mm
b) = + 3.6 x 10-4
df= do( +1)=10mm( +3.6 x 10-3 +1)= 10.0036 mm

24. Ejemplo 7
Una barra de 10 mm de diámetro de un acero al carbono 1040 (E =
200 x 109 Pa) es sometida a una carga de tracción de 50 000 N.
Calcule la recuperación elástica que tendría lugar tras retirar la carga
de tracción.
Datos: E = 200 x 109 Pa; o= 10 mm; T = 50 000 N
Fórmulas:  = F/A; = /E
Desarrollo:
 = F/A = 50 000N/ ((5x10-3 m)2)= 6.37 x 106 N/m2= 6.37 MPa
= /E = 6.37 x106 Pa/(200x 109 Pa) = 3.18 x 10 -3
T T

25. Ejemplo 8
Una pelota de 15 kg y de 4 cm de radio está suspendida de un punto localizado a
2.94 m sobre el piso por medio de un alambre de hierro cuya longitud es de 2.85 m
y de diámetro de 0.090 cm, siendo su módulo de Young de 180 GPa. Si la pelota se
pone a oscilar de tal manera que su centro pase por el punto más bajo de su
trayectoria a 5 m/s, ¿a qué distancia del piso pasará la pelota?
Datos: Alambre E= 180 GPa, = 0.09 cm, Lo = 2.85 m
pelota m= 15 kg, r = 4 cm; Altura del piso = 2.94 m.
Fórmulas: Fc= T – mg  T = Fc+mg = mg + mv2/R
R = Lo+r+L = 2.85+0.04 + L= 2.89 + L  L 0
R
= E= E L/L  L= Lo /E= LoT/EA
 T= 15(9.81+52/2.89) =277 N
 L= (277x2.85)/(x(4.5x10-4)2x(180x 109)= 6.9x10-3 m
 h = 2.94-(2.85+0.08+6.9x10-3)=0.0031 m
h

26. Ejemplo 9
Un alambre vertical de 5 m de largo y 0.0088 cm2 de área de sección transversal,
tiene un módulo de Young E=200 GPa. Un objeto de 2 kg se sujeta a su extremo y
alarga el alambre elásticamente. Si ahora se tira de objeto hacia abajo un poco y se
suelta, el objeto experimentará un MAS vertical. Encuentre el periodo de
vibración.
Datos: alambre Lo= 5 m, A= 0.088 cm2, E = 200GPa.; masa m= 2 kg
Formulas: Ley de Hooke F = k.L k= F/ L y = E F/A =E (L /L)
k= AE/Lo= (8.8x10-7 m2)(2x1011Pa)/(5 m) = 35 kN/m
 T= 2 (m/k)½ = 2(2/35000) ½ = 0.047 s

27. Ejemplo 10
La placa de acero que se muestra en la figura tiene 12 mm de espesor, su
ancho varía uniformemente desde 50 mm en el lado izquierdo hasta 100mm
en el lado derecho, la longitud de la placa es de 450 mm. Si se aplica en cada
extremo una fuerza axial de tracción de 5 000 kg, determinar el alargamiento
de la placa. Considerar el módulo de elasticidad del acero
26
/101,2 mkgxE 

28. Solución:
Datos: carga aplicada P= 5 000 kg (tracción), espesor e= 12 mm,
longitud L=450 mm, ancho menor 50 mm, ancho mayor 100 mm
Fórmula:
Solución: teniendo en cuenta la fórmula dada y expresándola en
forma diferencial se tendrá: , entonces;
Luego: para expresar de forma explícita la integral anterior y
poderla integrar debemos expresar el área del elemento diferencial
en función de la variable x, entonces, si “e” es el espesor “y” la
altura, el área del elemento diferencial será: A=ey=
Donde “a” es el ancho menor y A el ancho mayor, simplificando y
reemplazando en la expresión integral tenemos:
AE
PL
L 
)()(
AE
PL
dLd  )()(
0
 
L
AE
PL
dLdL
])
2
(2
2
)[(
L
xaAa
e





L
e
L
x
aA
a
E
Pdx
L
0 ])(
2
[

29. Reemplazando los datos queda: la misma que
integrando ( ) y reemplazando valores
resulta: ∆L=0,0124 cm.
Resultado: el alargamiento de la placa por acción de las cargas
de tracción es: ∆L=0,0124 cm.
 

45
0
45
9
x
dx
Ee
P
L
Cbxa
bbxa
dx

 )ln(
1
∆L=0,0124 cm

30. Módulo de Corte: G ó S
Esfuerzo cortante = Fuerza tangencial/ área que se corta
S = Ft/A
Deformación cortante = distancia que se corta/distancia entre las superficies
S=x/h
S = G S

31. Ejemplo 10
Una barra de acero (G = 12 x 106 lb/plg2) de una pulgada de diámetro sobresale 1.5
pulgadas fuera de la pared. Si en el extremo de la barra se aplica un esfuerzo
cortante de 8000 libras, calcular la deflexión hacia abajo.
Datos: F= 8000 lb,  = 1 plg, l = 1.5 plg
Formula: G = (F/A)/(d/l) d=Fl/AG
d = [(8000lb)(1.5 plg)]/[((1plg)2x12x106 lb/plg2]
d = 1.27 x 10-3 plg.

32. Ejemplo 11
Una gelatina con forma de caja tiene un área en su base de 15 cm2 y una altura de 3
cm. Cuando se aplica una fuerza cortante de 0.5 N en la cara superior, ésta se
desplaza 4 mm en relación a la cara inferior. ¿ Cuáles son el esfuerzo cortante, la
deformación al corte y el módulo de corte para la gelatina?
Datos: F= 0.5 N, A= 15 cm2, h = 3 cm, x= 4 mm
Formulas: τ= Ft/A ; γ=S=x/h; G = τ /S
τ=S = 0.5 N/(15 x 10 -4 m2)= 0.33 kPa
γ=S= 0.4 cm/0.3 cm = 0.13
G = 330 Pa/0.13 = 2.5 kPa

33. Ejemplo 12
En la figura se muestra un punzón para perforar placas de acero, suponga que se usa
un punzón con diámetro de 0.75 plg para perforar un agujero en una placa de ¼ plg
como muestra la vista de perfil. Si se requiere una fuerza P = 28000 lb ¿cuál es el
esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el
punzón?
Datos: d= 0.75 plg, P= 28000 lb, t = ¼ plg
Formula: AS= 2rt= dt = (0.75 plg)(0.25 plg)= 0.589 plg2
S = P/AS= 28000lb/0.589 plg2 = 47500 lb/plg2
C = P/AC= P/(d2/4)= 28000lb/ ((0.75 plg)2/4)= 63400 lb/plg2

34. Módulo volumétrico: elasticidad de volumen
B = esfuerzo de volumen/deformación de volumen
B = - (F/A)/ (V/V)
B = - P/ (V/V)

35. Ejemplo 13
Una esfera sólida de latón cuyo módulo volumétrico es B,( B = 6.1 x 1010 N/m2)
inicialmente está rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es
igual a 1 x 105 N/m2 (Presión atmosférica). La esfera se sumerge en el océano a
una profundidad a la cual la presión es 2 x 107 N/m2. EL volumen de la esfera
en el aire es de 0.5 m3. ¿ En cuánto cambiará este volumen una vez que la esfera
este sumergida?
B = - P/ (V/V)  V= - P V/B = - (2 x 10 7 N/m2)(0.5 m3)/ (6.1x 10 10 N/m2)
 V= -1.6 x 10 -4 m3

36. Ejemplo 14
El módulo volumétrico para el agua es 2.1 GPa. Calcule la contracción volumétrica
de 100 ml de agua cuando se someten a una presión de 1.5 MPa.
B = - P/ (V/V)  V= - P V/B = - (1.5 x 10 6 N/m2)(100 ml)/ (2.1x 10 9 N/m2)
 V= -0.071 ml

37. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS O ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADOS
Un sistema se dice que es hiperestático cuando las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo no pueden determinarse solo por las
ecuaciones de la estática, porque hay mas fuerzas desconocidas que
ecuaciones de equilibrio.
Para solucionar los sistemas hiperestáticos es necesario suplementar
las ecuaciones del equilibrio con ecuaciones de las deformaciones;
esto es, debemos disponer de n ecuaciones independientes para
hallar los valores de n incógnitas.
En los ejemplos siguientes se ilustra la forma de solucionar
problemas hiperestáticos o estáticamente indeterminados. Los
sistemas anteriormente estudiados, se denominan sistemas
Isostáticos o estáticamente determinados.

38. Ejemplo
Una barra de sección recta cuadrada de 5 cm de lado, está sujeta
rígidamente entre dos muros indeformables y cargada con una
fuerza axial de 20 000 kg como se ve en la figura. Determinar las
reacciones en los extremos de la barra y el alargamiento de la parte
derecha. Considerar E=2,1x106 kg/cm2
DSL de la barra
Ra+Rb=20 000 kg

39. Como la barra está fija a muros indeformables, entonces la
deformación de la porción izquierda de la barra será igual a la
deformación de la porción derecha; entonces:
di
di
di
RR
x
R
x
R
LL
5,1
)101,2)(25(
)15(
)101,2)(25(
)10(
66



Entonces:
)/101,2)(25(
)15(
262
cmkgxcm
cmR
L d
d 
amientoalcmLd arg0023,0 
kgR
kgR
d
i
8000
12000


Luego:

40. Ejemplo:
Considerar la barra AB de la figura, absolutamente rígida y
horizontal antes de aplicar la carga de 20 000 kg, articulada en A y
soportada por la varilla de acero EB y por la varilla de cobre CD.
La longitud de CD es 90 cm y la de EB es 150 cm. Si la sección de
CD es de 5 cm² y la de EB 3 cm², determinar el esfuerzo en cada
varilla vertical y el alargamiento de la de acero. Despreciar el peso
de AB y considerar para el cobre E=1,2x106 kg/cm2 y para el acero
E=2,1x106 kg/cm2

41. DSL de la barra AB:
0)180(20000)240()120(0
0200000
00






acCuA
acCuyy
xx
FFM
FFAF
AF
Como se puede ver las ecuaciones del equilibrio del sistema no
son suficientes para solucionar el problema; debemos entonces
suplementar estas ecuaciones con otras provenientes de la
deformación ocurrida en el sistema.

42. El efecto de la carga aplicada deformará las barras verticales por lo
que la barra AB dejará la posición horizontal y aparecerá inclinada
como el esquema de la figura:
CuAc
CuAc




2
120240
Teniendo en cuenta
que:
AE
FL
L 
)102,1)(5(
)90(2
)101,2)(3(
)150(
66
x
F
x
F CuAc

CuAc FF 26,1
Resolviendo el sistema
de ecuaciones tenemos:
2
2
/17005800
/360010700
cmkgkgF
cmkgkgF
CuCu
AcAc





43. Ejemplo:
Se tienen 3 cables trenzados iguales de 500 m de longitud, a los
cuales se le amarra una rejilla que pesa 2000 kg, este sistema se usa
para subir y bajar sacos de cemento en una construcción, la rejilla se
carga con 100 sacos de 50 kg cada uno. Calcule el diámetro de los
alambres para que el sistema no falle. Cual es su deformación total.
Densidad del cable = 8.5 ton/m3
 fluencia del cable = 3000 kg/cm2
E = 2.1*106 kg/cm2
n = 3

44. Ejemplo:
Una barra cilíndrica, como la mostrada en la figura esta sometida a
una fuerza de tracción.
a) Calcule el coeficiente se seguridad de cada barra, ¿El sistema
falla? explique.
b) Calcule la fuerza máxima y el alargamiento total del sistema.
 Fluencia acero = 50 kg/mm2
 Fluencia cobre = 25 kg/mm2
E Acero = 2,1*106 kg/cm2
E Cobre = 9,1*105 kg/cm2
Diámetro barra = 4 cm

45. Ejemplo: Se tiene un sistema formado por unas barras cilíndricas metálicas,
como el mostrado en la figura, la barra de acero tiene un diámetro de 80 mm y
la barra de plomo de 50 mm.

46. a) Calcule la fuerza Q que le debe aplicar al sistema para que su
alargamiento total sea de 0,1 mm.
b) Calcule los coeficientes de seguridad de cada barra.
c) Si el sistema esta a una temperatura de 25ºC, ¿a que temperatura
se tendría que llevar el sistema para que el alargamiento total del
sistema se duplique?

47. ACERO
FLUENCIA = 50 MPa
E = 210 GPa
 = 1,2 x 10-5 (1/ºC)
Peso específico = 77 KN/m3
Una barra de acero de 6 mm de diámetro, cuelga dentro de una torre y sostiene un
peso de 900 N en su extremo inferior, como se muestra en figura.
a) Calcular el largo de la barra si se fabrica con un coeficiente de seguridad igual a 1,5
b) Determine el alargamiento total de la barra si la temperatura del sistema sube de
17 ºC a 45 ºC.
Ejemplo:

48. ACERO LATÓN
FLUENCIA = 7000 Kg/cm2 FLUENCIA = 3300 Kg/cm2
E = 2,1x 106 Kg/cm2 E = 1x 106 Kg/cm2
 = 1,2 x 10-5 (1/ºC)  = 1,8 x 10-5 (1/ºC)
Sección = 8 cm2 Sección = 20 cm2
Largo = Largo =
Peso específico = 8.5 ton/m3 Peso específico = 7 ton/m3
Se tiene el sistema mostrado en la figura, el cual esta soportando una
carga de 68 toneladas:
1.Calcule el alargamiento total del sistema.
2.Si el sistema se encuentra inicialmente a temperatura ambiente
(25ºC), ¿Cuál debe ser el aumento de temperatura que debe
experimentar el sistema para que el alargamiento total sea cero.
3.¿El sistema falla? Explique.
Ejemplo:

49. Ejemplo
La densidad del agua líquida a 100°C y 1 atm de presión es
958.4 kg/m3, mientras que el vapor de agua en las mismas
condiciones es 0.598 kg/m3. ¿Cuál es la relación del
espaciamiento promedio intermolecular en el agua en estado
líquido y el agua en estado gaseoso?

50. Ejemplo
Júpiter tiene un radio de R = 7.14 x 104 km, y la aceleración
debida a la gravedad en su superficie es de gj = 22.9 m/s2. Use
estos datos para calcular la densidad promedio de Júpiter.
2
r
mM
Gmg La fuerza sobre un cuerpo en la superficie es:
Despejando M G
gr
M
2

La densidad es
rG
g
r
G
gr
V
M
d
 4
3
3
4 3
2
 = 1,145 kg/m3

51. Tarea
Calcule la densidad del Sol si su radio es de R = 6.96 x 108 m y
g = 274 m/s2. Calcule la densidad de la Tierra, R = 6,374 km y
g = 9.8 m/s2.

52. Ejemplo
Suponga que el módulo de Young para un hueso es de 1.5 X
1010 N/m2, y que un hueso se fractura si se ejerce más de 1.50
x 108 N/m2. a) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede ejercerse
sobre el hueso fémur en la pierna si este tiene un diámetro
efectivo mínimo de 2.50 cm? b) si la fuerza de esta magnitud
se aplica compresivamente, ¿cuánto se acorta un hueso de
25.0 cm de largo?
0tensióndendeformació
tensióndeesfuerzo
Y
LL
AF



53. Ejemplo
Si el esfuerzo del corte en el acero excede aproximadamente 4.00 x 108
N/m2 el acero se rompe. Determine la fuerza de corte necesaria para: a)
cortar un perno de acero de 1.00 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1.00
cm de diámetro en una placa de acero de 0.500 cm de espesor.
F
perno
1 cm
   N10105.0104 4428



SAF
A
F
S
Cuando el acero se rompe, el esfuerzo es igual al módulo
de corte, entonces
   N102105.00.1104 448



SAF
A
F
S
Cuando el acero es penetrado, el esfuerzo es igual al módulo de
corte pero el área es la lateral del corte, entonces
1 cm
0.5 cm

54. Ejemplo
Calcule la densidad del agua del mar a una profundidad de
1000 m, donde la presión hidráulica es aproximadamente de
1.00 x 107 N/m2. (La densidad del agua de mar en la superficie
es de 1.030 x 103 kg/m3. El módulo volumétrico del agua es
0.21 x 1010)
1m3 agua pesa 1030 kg, el cambio en el volumen es
V = –P V/B = – 4.75 x 10–3
La densidad cambia a
r = 1030/(1 – 4.75 x 10–3) = 1034.9 kg/m3

55. Tarea
Una carga de 200 kg cuelga de un alambre de 4.00 m de largo,
con 0.200 x 10-4 m2 de área de sección transversal y módulo
de Young de 8.00 x 1010 N/m2. ¿Cuánto aumenta su longitud?
Un cubo de gelatina de 3 cm de altura se somete a una fuerza
cortante de 0.5 N en la parte superior y hace que esta se
desplace 2.5 mm en la dirección de la fuerza. Encuentre el
módulo de corte de la gelatina.
¿A que presión deberá someterse el agua para que su densidad
aumente 0.01%?

56. Tarea
Un niño se desliza a través de un pisó en un par de zapatos con
suela de goma. La fuerza friccionante que actúa sobre cada pie
es de 20.0 N. El área de la huella de cada suela del zapato es de
14.0 cm2, y el grosor de cada suela es de 5.00 mm. Encuentre la
distancia horizontal que se desplazan las partes superior e
inferior de la suela. El módulo de corte del hule es de 3.00 x 106
N/m2.
F
Área = 14 cm
5 mm
F

57. Tarea
Piense en un ejemplo de la vida diaria en el que se presente
cada una de las deformaciones de longitud, corte y volumen.

58. EJEMPLO 01
• La viga rígida es soportada por un pasador en A y los alambres
BD y CE. (a) Si la aplicación de la carga P produce un
desplazamiento de 10 mm hacia abajo, determine la
deformación normal e los alambres CD y DE. (b) si la máxima
deformación normal en cada alambre es 0,02. Determine el
máximo desplazamiento vertical de la carga P.

59. Solución 01
• Por semejanza de triángulos
• Definición de deformación unitaria

60. Solución 01
• Usando ambos elementos alcanzan la deformación máxima se
tiene
• Como 1 > 2; el elemento BD falla primero, entonces es el
elemento CE el que controla la deformación

61. EJEMPLO 02
• Los desplazamientos en la dirección x de las placas
rígidas debido a set de fuerzas aplicadas esta dado por:
Determine las deformaciones axiales en las barras AB,
BC y CD

62. EJEMPLO 05
• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura, el
espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm.
Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra
B es de -2500 m/m. Determine la deformación axial en la
barra A

63. Solución 05
• Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura, el
espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm.
Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra
B es de -2500 m/m. Determine la deformación axial en la
barra A

64. Solución 05
• Teniendo en cuenta la deformación de la barra B, su cambio
dimensional será
• Los puntos D y E de la placa después de la carga se desplazan a
D1 y E1 como se muestra en la figura

65. Solución 05
• Debido a que la aplicación de la carga produce un
desplazamiento vertical de la placa. El desplazamiento de E será.
• Como la placa rígida se mueve sin rotación se tiene
• El desplazamiento de A es
• La deformación unitaria será

66. EJEMPLO 06
• La placa es deformada y adquiere la forma mostrada con líneas
punteadas en la figura. Si en esta configuración horizontal, las
líneas horizontales sobre la placa permanecen horizontales.
Determine: (a) la deformación unitaria normal promedio a lo
largo del lado AC y BD y (b) la deformación unitaria cortante
promedio de la placa relativa a los ejes x e y en A, B, C y D

67. Solución 06
• Las longitudes iniciales y finales de AC y BD

68. Solución 06
• Las deformaciones unitarias de AC y BD serán y las
correspondientes deformaciones angulares serán

69. Ejemplo 07
• Parte del varillaje de mando de
un avión consiste en un
miembro rígido CBD y en un
cable flexible AB. Si se aplica
una fuerza al extremo D del
miembro y ocasiona una
rotación del elemento de  =
0,3 °deformación unitaria
normal en el cable 0,0035
mm/mm. Determine el
esfuerzo normal medio en el
cable. Originalmente el cable
no se encuentra estirado

70. SOLUCIÓN 07

71. Ejemplo 08
• La barra rígida CD de la figura es horizontal cuando no está
sometida a carga, mientras que las barras A y B no están sujetas a
deformación. Cuando se aplica la carga P, se encuentra que la
deformación unitaria axial en la barra B es de 0,0015 pulg/pulg.
Determine: (a) La deformación unitaria axial en la barra A y (b) La
deformación unitaria axial en la barra A si hay un espacio libre de
0,005 pulg en la conexión entre las barras A y B.

72. Ejemplo 09
• Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas, como se
muestra en la Fig. No hay deformación unitaria en las barras
verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la carga P, la
deformación unitaria axial en la varilla BF es de 400 μm/m.
Determine: (a) la deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la
deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un espacio libre de
0,25 mm en la conexión del seguro C antes de aplicar la carga.
•

73. Ejemplo 10
• La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de
latón B de la figura de 0,0014 pulg/pulg. Determine: (a) La
deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio.
(b) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de
aluminio si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión
entre A y C, además del espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.

74. Ejemplo 08
• La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de
acero D de la figura de 0,0075 m/m. Determine: (a) La
deformación unitaria axial en la varilla de aluminio C. (b) La
deformación unitaria axial en la varilla C de aleación de aluminio
si existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión en E, además
del espacio libre de 0,09 mm en la conexión en E, además del
espacio libre de 0,09 mm entre B y D antes de aplicar la carga P

75. Ejemplo 1. Un alambre de acero de 10 m de largo y 2 mm de
diámetro se une al techo y a su extremo se une un peso de 200
N. ¿Cuál es el esfuerzo aplicado?
L
L
A
A
F
Primero encuentre el área del
alambre:
2 2
(0.002 m)
4 4
D
A
 
 
A = 3.14 x 10-6 m2
Esfuerzo
6.37 x 107 Pa
26
m10x3.14
N200


A
F
Esfuerzo

77. Ejemplo 1 (Cont.) Un alambre de acero de 10 m se estira
3.08 mm debido a la carga de 200 N. ¿Cuál es la
deformación longitudinal?
L
L
Dado: L = 10 m; L = 3.08 mm
Deformación longitudinal
3.08 x 10-4
m10
m0.00308



L
L
nDeformació

78. Ejemplo 2. El límite elástico para el acero es 2.48 x 108
Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar sin
superar el límite elástico?
L
L
A
A
F
Recuerde: A = 3.14 x 10-6 m2
F = (2.48 x 108 Pa) A
F = (2.48 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2) F = 779 N
Pa10x2.48 8

A
F
Esfuerzo

79. Ejemplo 2 (Cont.) La resistencia a la rotura para el acero es
4089 x 108 Pa. ¿Cuál es el peso máximo que puede soportar
sin romper el alambre?
L
L
A
A
F
Recuerde: A = 3.14 x 10-6 m2
F = (4.89 x 108 Pa) A
F = (4.89 x 108 Pa)(3.14 x 10-6 m2) F = 1536 N
Pa104.89 8

A
F
Esfuerzo

80. Ejemplo 3. En el ejemplo anterior, el esfuerzo aplicado al
alambre de acero fue 6.37 x 107 Pa y la deformación fue 3.08 x
10-4. Encuentre el módulo de elasticidad para el acero.
L
L
Módulo = 207 x 109 Pa
Este módulo de elasticidad longitudinal se llama
módulo de Young y se denota con el símbolo Y.
4
7
1008.3
Pa106.37




ndeformació
esfuerzo
Módulo

81. Ejemplo 4: El módulo de Young para el
latón es 8.96 x 1011 Pa. Un peso de 120 N
se une a un alambre de latón de 8 m de
largo; encuentre el aumento en longitud. El
diámetro es 1.5 mm.
8 m
L
120 N
Primero encuentre el área del alambre:
2 2
(0.0015 m)
4 4
D
A
 
  A = 1.77 x 10-6 m2
or
FL FL
Y L
A L AY
  


82. Ejemplo 4: (continuación)
8 m
L
120 N
Y = 8.96 x 1011 Pa; F = 120 N;
L = 8 m; A = 1.77 x 10-6 m2
F = 120 N; L = ?
or
FL FL
Y L
A L AY
  

-6 2 11
(120 N)(8.00 m)
(1.77 x 10 m )(8.96 x 10 Pa)
FL
L
AY
  
L = 0.605 mmAumento en longitud:

83. Ejemplo 5. Un perno de acero (S = 8.27 x 1010 Pa) de 1 cm de diámetro se
proyecta 4 cm desde la pared. Al extremo se aplica una fuerza cortante
de 36,000 N. ¿Cuál es la desviación d del perno?
d
l
F
2 2
(0.01 m)
4 4
D
A
 
 
Área: A = 7.85 x 10-5 m2
;
F A F A Fl Fl
S d
d l Ad AS
   
-5 2 10
(36,000 N)(0.04 m)
(7.85 x 10 m )(8.27 x 10 Pa)
d  d = 0.222 mm

84. Ejemplo 7. Una prensa hidrostática contiene 5 litros de aceite.
Encuentre la disminución en volumen del aceite si se sujeta a una
presión de 3000 kPa. (Suponga que B = 1700 MPa.)
/
P PV
B
V V V
 
 
 
6
9
(3 x 10 Pa)(5 L)
(1.70 x 10 Pa)
PV
V
B
 
  
V = -8.82 mL
Disminución en V;
mililitros (mL):