Les comparto este material con la finalidad de aportar con un resumen en el tema de números complejos; espero que le sea de mucha ayuda :)

1. POR: JHUDY YESSENIA MAYLLE
ALEJANDRO

2. Un número de la forma 𝒂 + 𝒃𝒊 donde a
y b son números reales, se conoce
como un número complejo.
La a se conoce como la parte real y la b
se conoce como la parte imaginaria del
número complejo.
El imaginario es un conjunto
totalmente a parte de los
Reales, por lo tanto no
comparten ningún elemento
en común.
ℚ
ℤ
ℕ ℚ∗
ℕ0
La unión de los reales con los
imaginarios resulta los
COMPLEJOS y la intersección
de los mencionados nos da el
conjunto vacío.
ℝ ∪ 𝐼𝐼 = ℂ ℝ ∩ 𝐼𝐼 = ∅

3. Dos números complejos son iguales si las
partes reales son iguales y las partes
imaginarias también son iguales .
Si 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces a = c y b = d.
𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

4. 𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝑹𝒆(𝒁)
𝑰𝒎(𝒁)
NOMBRE NÚMERO COMPLEJO EJEMPLO
Complejo imaginario puro Si 𝒂 = 𝟎, entonces 𝐙 = 𝐛𝐢 𝐙 = 𝟑𝐢
Complejo real puro Si 𝒃 = 𝟎, entonces 𝒁 = 𝒂 𝐙 = 𝟐
complejo Si 𝒂 ≠ 𝟎 𝒚 𝒃 ≠ 𝟎 entonces
𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝐙 = 𝟐 + 𝟑𝐢
PLANO COMPLEJO
O
PLANO DE ARGAND

5. Todos os números de la forma
𝒃𝒊, siendo 𝒃 un número real e
𝒊 (la unidad imaginaria).
Es el producto de entre un
número real y la unidad
imaginaria.
Cada cierto intervalo de
números, se repite el
resultado para la potencia
de 𝒊 (múltiplo de 4)
−𝒂 = −𝒂𝒊 ∀𝒂 > 𝟎
𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
−𝟏𝟖 = 𝟏𝟖 ∗ −𝟏
= 𝟏𝟖 ∗ −𝟏
= 𝟏𝟖 ∗ 𝒊
= 𝟏𝟖𝒊
= 𝟗 ∗ 𝟐𝒊
= 𝟗 ∗ 𝟐𝒊
= 𝟑 𝟐𝒊
𝒊𝟏 = 𝒊 𝒊𝟓 = 𝒊
𝒊𝟐= −𝟏 𝒊𝟔 = −𝟏
𝒊𝟑 = −𝒊 𝒊𝟕 = −𝒊
𝒊𝟒
= 𝟏 𝒊𝟖
= 𝟏

7.  El conjugado de un número complejo 𝒛 = 𝒂 +
𝒃𝒊 denotado 𝒛, es el númro complejo 𝒂 − 𝒃𝒊. Es
decir: 𝐳 = 𝒂 − 𝒃𝒊.
 Si 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, entonces:
1) 𝒛 + 𝒛 = 𝟐𝒂 ∈ ℝ, 𝟐) 𝒛 − 𝒛 = 𝟐𝒃𝒊 ∈ ℂ,
𝟑) 𝒛 ∗ 𝒛 = 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
∈ ℝ,
Si 𝒛 = −𝟐 − 𝟑𝒊, entonces: 𝒛 = −𝟐 + 𝟑𝒊
𝟏) −𝟐 − 𝟑𝒊 + −𝟐 + 𝟑𝒊 = 𝟒,
𝟐) (−𝟐 − 𝟑𝒊) − (−𝟐 + 𝟑𝒊) = 𝟔𝒊,
𝟑) −𝟐 − 𝟑𝒊 ∗ −𝟐 + 𝟑𝒊 = 𝟒 + 𝟗 = 𝟏𝟑
 Nos permite encontrar el inverso multiplicativo del
número complejo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 cuando 𝒛 ≠ 𝟎
 Como 𝒛 ≠ 𝟎 y 𝒛 ∗ 𝒛 = 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
≠ 𝟎, entonces
𝒛−𝟏
=
𝟏
𝒛
=
𝒛
𝒂𝟐+𝒃𝟐
 Es decir que la forma estándar de 𝒛−𝟏
𝒛−𝟏
=
𝒂
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
−
𝒃
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
𝒊
Si 𝒛 = −𝟐 − 𝟑𝒊, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔:
𝒛−𝟏
=
𝟐
𝟏𝟑
+
𝟑
𝟏𝟑
𝒊

8.  Si 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, Es un número complejo y 𝑷(𝒂, 𝒃) su par ordenado asociado, entonces la distancia
de 𝑷 hasta el origen está dada por 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐. Esta distancia se denomina módulo o magnitud de 𝒛
y se denota con 𝒛 .
𝒛 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐.
𝑹𝒆(𝒁)
𝑰𝒎(𝒁)
PROPIEDADES:
• 𝒛 ≥ 𝟎
• 𝒛 = 𝟎 ⇔ 𝒛 = 𝟎
• 𝒛𝒛 = 𝒛𝟐
• 𝒛𝒘 = 𝒛𝒘
•
𝒛
𝒘
=
𝒛
𝒘
, 𝒘 ≠ 𝒐
• 𝒛 + 𝒘 ≤ 𝒛 + 𝒘

9. 𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝑹𝒆(𝒁)
𝑰𝒎(𝒁)

10.  Si consideramos un número complejo distinto de
creo 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, y su representación geométrica
y 𝑷(𝒂, 𝒃) observamos que 𝒂 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒚
𝒃 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 por lo que,
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
= 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒊
= 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽)
𝒁 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝑹𝒆(𝒁)
𝑰𝒎(𝒁)
𝒂
𝒃 𝒓 = 𝒛
𝒐
z = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
 A esta expresión también se le conoce como la
forma polar del número complejo 𝒂 + 𝒃𝒊
 El ángulo θ, asociado a z, se conoce como el
argumento de z
Expresar −4 + 4𝑖 en su forma trigonométrica
con 𝟎 ≤ 𝜽 < 𝟐𝝅
Calculamos el módulo de z:
−4 + 4𝑖 = (−4)2+42
𝟑𝟐 = 𝟒 𝟐
Luego calculamos el
argumeto del número:
𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1
4
4 2
= 𝑠𝑒𝑛−1
1
2
=
3𝜋
4
(−𝟒, 𝟒)
𝑹𝒆(𝒁)
𝑰𝒎(𝒁)
𝒂
𝒃
𝒛 = 𝟒 𝟐
𝒐
La forma trigonométrica de z:
−𝟒 + 𝟒𝒊 = 𝟒 𝟐(𝒄𝒐𝒔
3𝜋
4
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
3𝜋
4
)
3𝜋
4

11.  Sean 𝒛𝟏𝒚 𝒛𝟐, dos números complejos tal
que
𝒛𝟏 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 y
𝒛𝟐 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜶
Entonces el producto de 𝒛𝟏 y 𝒛𝟐tiene:
 Un módulo igual al producto del módulo de
cada número.
 Un argumento igual a la suma de los
argumentos.
𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝒓𝟏𝒓𝟐 𝒄𝒐𝒔(𝜽 + 𝜶) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽 + 𝜶)
 Sean 𝒛𝟏𝒚 𝒛𝟐, dos números complejos tal
que
𝒛𝟏 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 y
𝒛𝟐 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜶
Entonces el cociente de 𝒛𝟏 y 𝒛𝟐tiene:
 Un módulo igual al cociente del módulo de
cada número.
 Un argumento igual a la diferencia de los
argumentos.
𝒛𝟏
𝒛𝟐
=
𝒓𝟏
𝒓𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝜽 − 𝜶) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝜽 − 𝜶) , 𝒛𝟐 ≠ 𝟎

12.  El teoema de Moivre describe la fórmula
para determinar potencias de un número
complejo.
 Un número complejo, en la forma
trigonométrica elevado a un entero positivo,
n, se puede expresar:
𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽) 𝒏
= 𝒓𝒏
(𝒄𝒐𝒔(𝒏𝜽) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒏𝜽))
 Según el teorema de Moivre:
𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽) 𝒏
= 𝒓𝒏
(𝒄𝒐𝒔(𝒏𝜽) + 𝒊𝒔𝒆𝒏(𝒏𝜽))
En el caso que tenemos, 𝒓 = 𝟏, 𝜽 =
𝝅
𝟔
𝒚 𝒏 = 𝟑
Aplicando el teorema:
𝒄𝒐𝒔
𝜋
6
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜋
6
3
= 𝟏𝟑
𝒄𝒐𝒔𝟑
𝜋
6
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜋
6
= 𝒄𝒐𝒔
𝜋
2
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜋
2
= 𝟎 + 𝒊 = 𝒊
 Usando el teorema de Moivre para
determinar y expresar en la forma 𝒂 + 𝒃𝒊
𝒄𝒐𝒔
𝜋
6
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜋
6
3
2 𝒄𝒐𝒔
𝜋
9
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜋
9
3
TÚ PUEDES

13.  Si 𝐳 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽 es cualquier número complejo diferente de cero y si n es cualquier entero
positivo, entonces z tiene exactamente n raíces n-ésimas diferentes 𝒘𝟎, 𝒘𝟏, 𝒘𝟐, … , 𝒘𝒏−𝟏. Estas
raíces, para u en radianes, son:
𝒘𝒌 = 𝒏
𝒓 𝒄𝒐𝒔
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜽 + 𝟐𝝅𝒌
𝒏
𝒘𝒌 = 𝒏
𝒓 𝒄𝒐𝒔
𝜽 + 𝟑𝟔𝟎°𝒌
𝒏
+ 𝒊𝒔𝒆𝒏
𝜽 + 𝟑𝟔𝟎°𝒌
𝒏

14. bibliografía
Swokowski-Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica
13a edición
SITIO WEB:
https://www.matematicasonline.es/BachilleratoCCNN/Primer
o/apuntes/complejos.pdf