multivariable calc where you see some exercises in which your learn about aproximation with lagrange second orden of aproximmation and also two variable integral

1. CALCULO VECTORIAL
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
CLASE DE EJERCICIOS

5. 5
a)La temperatura 𝑇 en una región 𝑅 del espacio viene dada
por
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3
+ 𝑥2
𝑦 + 0.5 𝑥𝑦2
+ 𝑥𝑧
Hallar los puntos 𝑥, 𝑦, 𝑧 que satisfacen la ecuación
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 y en donde se alcanza la máxima y mínima
temperatura.
b)Solo indique como demostraría sus resultados, es decir
asegurar que los extremos son máximos o mínimos.
TEMA 1

6. 6
Sean 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3
+ 𝑥2
𝑦 + 0.5 𝑥𝑦2
+ 𝑥𝑧 y G 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1 .
Para hallar 𝑥, 𝑦, 𝑧 en donde se alcance la máxima y mínima temperatura,
debemos optimizar 𝑇 sujeta a la restricción 𝐺, es decir, resolver:
𝛻𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝛽 𝛻𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 (𝛽 ≠ 0)
Esto es, ൞
3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 0.5 𝑦2 + 𝑧 = 𝛽 (1)
𝑥2
+ 𝑥𝑦 = 𝛽 (2)
𝑥 = 𝛽 (3)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 1 = 0 (4)
Reemplazando (3) en (2): 𝛽2 + 𝛽𝑦 = 𝛽 , 𝑠𝑖 𝛽 ≠ 0 ⟹ 𝑦 = 1 − 𝛽
Ahora, reemplazamos 𝑥 = 𝛽 y 𝑦 = 1 − 𝛽 en (1):
3𝛽 2 + 2𝛽 1 − 𝛽 + 0.5(1 − 𝛽 )2 + z = 𝛽 ⟹ 𝑧 = −1.5 𝛽 2 − 0.5
SOLUCION TEMA 1

7. 7
Como 𝛽 ≠ 0. De (4), 𝑧 = −1 − 𝑥 − 𝑦 = −1 − 𝛽 − 1 + 𝛽 = −2, reemplazando en
𝑧 = −1.5 𝛽 2
− 0.5 obtenemos 𝛽 2
= 1:
• 𝛽 = 1 ⟹ 𝑃1 = (1,0, −2)
• 𝛽 = −1 ⟹ 𝑃2 = −1,2, −2
Evaluando los puntos en 𝑇:
• 𝑇 𝑃1 = 𝑇 = 1,0, −2 = −𝟏 Menor Temperatura
• 𝑇 𝑃2 = 𝑇 = −1,2, −2 = 𝟏 Máxima Temperatura
SOLUCION TEMA 2
𝑻(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒙𝟑
+ 𝒙𝟐
𝒚 + 𝟎. 𝟓 𝒙𝒚𝟐
+ 𝒙𝒛

8. TEMA 2
a) Use multiplicadores de Lagrange, para determinar los
extremos de la función sujeta a las restricciones
b) Interprete geométricamente este resultado
( , , )
f x y z x y z
=
2 2 2
1
0
x y z
x y z
+ + =
+ + =

9. 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑡𝑒𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒𝑎𝑛𝑎
SOLUCION TEMA 2
( )
2 2 2
{ , , , , , } 1 ( )
f x y z xyz x y z x y z
   
= + + + − + + +
2 2 2
2 0
2 0
2 0
1 0
0
yz x
x
xz y
y
xy z
z
x y z
x y z
 
 
 



= + + =


= + + =


= + + =


= + + − =


= + + =

Derivando e igualando a cero

10. 10
SOLUCION TEMA 2
El problema se reduce a resolver este sistema no lineal de 5x5. Para
ello, restemos la segunda a la tercera ecuación, obteniendo:
( ) 2 ( ) 0 ( )( 2 ) 0
x y z z y y z x
 
− + − = → − − =
Distinguimos dos casos posibles:
i) y z
= Se obtiene el sistema
2 2
2 1
2 0
x y
x y
+ =
+ =
Como 2 , entonces reemplazando en la primera ecuación:
x y
= −
2 1 1 2
6 6 6
y y z x
= → = =  → =
los multiplicadores de Lagrange se dejan propuestos, ya que no es lo que principalmente
tratábamos de determinar.
ii) 2
x 
= Sigamos probando combinaciones de restas: restando la primera a la segunda:
2 2 2
2 0
2 0
2 0
1 0
0
yz x
x
xz y
y
xy z
z
x y z
x y z
 
 
 



= + + =


= + + =


= + + =


= + + − =


= + + =


11. ( ) 2 ( ) 0 ( )( 2 ) 0
z x y y x x y z
 
− + − = → − − =
Obteniendo:
Distinguimos dos casos:
ii-a) . Se obtiene el sistema:
x y
= 2 2
2 1
2 0
y z
y z
+ =
+ =
Con lo cual, 1 2
6 6
x y z
= =  → =
ii-b) 2 . En dicho caso, la última ecuación queda:
z 
=
4 0 4
y y
 
+ = → = −
Reemplazando en la cuarta ecuación:
2 2 2 2
4 16 4 1 24 1
   
+ + = → =
Despejando, 1
2 6
 =  Es decir, 1 2
6 6
x z y
= =  → =
2 2 2
2 0
2 0
2 0
1 0
0
yz x
x
xz y
y
xy z
z
x y z
x y z
 
 
 



= + + =


= + + =


= + + =


= + + − =


= + + =

Como z 2 , entonces reemplazando en la primera ecuación:
y
= −
ii) 2
x 
=

12. La situación gráficamente puede entenderse como encontrar el volumen máximo del paralelepípedo
generado tal que uno de sus vértices pasa por la intersección del plano y la esfera.
Visto gráficamente: 1 1 2
, ,
6 6 6
1 1 2
, ,
6 6 6
1 1 2
, ,
6 6 6
1 1 2
, ,
6 6 6
1 2 1
, ,
6 6 6
1 2 1
, ,
6 6 6
 
− −
 
 
 
− −
 
 
 
−
 
 
 
 
 
 
−
 
 
 
− −
 
 