Miguel perrotta saia b analisis numerico

1. Interpolación
Integrante
Miguel Perrotta

2. Teoría de la interpolación
Se trata de un método matemático que permite obtener un valor
desconocido, siempre y cuando se conozcan otros dos valores uno mayor y
otro menor.
También se pude utilizar para aproximar una función complicada desde
una mas simple por supuesto este método no seria tan exacta como
evaluar en la función real
Una forma sencilla de interpolación lineal es aplicando la
siguiente formula.

3. Tabla de diferencias
Este método se basa en crear una tabla de datos en la primera fila se
colocan los datos que se tienen, en la segunda fila se coloca el valor se
colocan los puntos que satisfagan un conjunto de puntos. Se busca obtener
un polinomio que se acople a los puntos seleccionados. Ejem:
X F(x) Df(x) D2f(x) D3f(x) D4f(x)
0 0,00
0,53
0,50 0,53 0,43
0,10
0,60 0,63
Se continua restando de esa manera hasta terminar
completar la fila.

4. Newton-Gregory Gauss
Método de Newton-Gregory
Este método se utiliza cuando los datos ya esta tabulados, con este metodo se busca
aproximar al polinomio que cumple con el conjunto de puntos necesitados. Posen
dos formulas avance y retroceso:
Avance:
Buscamos en la tabla yo, su coeficiente es el valor que aparece inmediatamente
arriba, esto nos da el valor de yo.
A partir de yo, seguimos con la tabla diagonalmente hacia abajo, seguimos a delta yo
y su coeficiente será el valor (s/1), esto proporciona el valor (s/1)delta yo.
Se continua con este método hasta haber terminado toda la tabla luego se procede
con una sumatoria ejemplo
Po= yo+(s/1) yo+(s/2) yo+…+(s/n) yo
La formula de retroceso es igual, solo que se dibuja diagonalmente hacia arriba.
Polinomios interpolantes de gauss
La única diferencia entre las formulas de avance y retroceso de newton-gregory con el
método de gauss es que este ultimo avanza por la tabla en forma de zigzag tanto hacia
arriba o hacia abajo.

5. Polinomios de Hermite
Se buscan polinomios por pedazos es decir Hn(x) que sea cubico en cada sub
intervalo, y que sea capaz de interpolar en los puntos F(x) y F´(x). La función
Hn(x) que restringida solo por estas condiciones para calcular usando este
método se necesitan resolver sistemas lineales de tamaño 4x4.
Polinomios interpolante de LaGrange
Si la construcción del polinomio tiene esta forma: N+1 puntos
pertenece a los polinomios interpolante de LaGrange
Este método se puede aplicar libremente a
cualquier tabla sin importar su espacio, pero al no
conocerse el grado del polinomio se debe interpolar
hasta conseguir el grado correcto el cual es
comparado con un criterio de convergencia

6. Formula general de Newton
Se basa en obtener el polinomio interpolador en base a la siguiente
formula:
Pn(x) = a0+(x−x0)a1+(x−x0)(x−x1)a2+···+(x−x0)(x−x1) ···(x−xn−1)na
Esta formula proporciona una algoritmo ya que a0 depende de x0 y
asi sucesivamente , cada a es cambiado por su respectiva fx al restar
las ecuaciones obtenemos
a1 = f [x0,x1] = f (x1)− f (x0)
x1−x0
Si se quiere sacar aN solo se debe intercambiar las f ejemplo
an = f [x0,x1, . . . ,xn] = f [x1, . . . ,xn]− f [x0, . . . ,xn−1]
xn−x0

7. Aplicación de los métodos de
interpolación
Para calculos se usa cuando conocemos por medio practico o teorico algun valor
pero son necesarios valores medios que de otra manera son imposibles de
conseguir